天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第一章 特殊平行四边形 / 1 菱形的性质与判定 / 北师大版九年级数学上册第一章教学课件
资料简介
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
1.1.1 菱形及其性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解菱形的定义。
2.掌握并理解菱形边的性质。 (重点）
3.掌握菱形对角线的性质。
学习目标
菱形对
新课导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四
边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课导入
思考
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有
性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平
分。中心对称图形。
（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
新课讲解
知识点1 菱形的定义
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
要点精析：
(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组
邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判
定方法．
新课讲解
1.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，
则需
要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
C
新课讲解
2 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，
DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是
( )
A．AD⊥BC
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝DC
D．AD＝BD
B
新课讲解
做一做
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形，有两
条对称轴，分别是两条对
角线所在的直线，两条对
称轴互相垂直。
新课讲解
练一练
1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交
于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长.
新课讲解
新课讲解
知识点2 菱形的性质
菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些
特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有
什么大小关系?
菱形的四条边都相等.
新课讲解
例1 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
E、F 分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、
AF，则△AEF 的周长为( )
A．2 B．
C．4 D．3
分析： 在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则
△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，
所以AE垂直于BC，因此AE＝ ,所以
△AEF的周长为 ，故选B.
22 1 3
3 3
B
3 3
新课讲解
练一练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm
C．12 cm D．15 cm
c
新课讲解
知识点03 菱形对角线的性质
思考
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由
于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特
殊性质呢？
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交
于点O.求证（1）AB＝BC＝CD＝AD，（2）AC⊥BD.
证明：
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．又∵AB＝AD，∴AB＝
BC＝CD＝AD.
(2)∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形．
又∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．
在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD，即 AC⊥BD.
新课讲解
思考
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法：
一种是底乘以高的积；
另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积
时，要灵活运用使计算简单.
新课讲解
例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝
12cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．
由于菱形的四条边都相等，所以要求
其周长就要先求出其边长．由菱形的性质
可知，其对角线互相垂直平分，因此可以
在直角三角形中利用勾股定理来进行计
算．
新课讲解
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得AB＝
∴菱形的周长＝4AB
2 2 2 23 6 5(cm).3AO BO
解：
课堂小结
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
对称性 菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角
线所在的直线
边 定理1：菱形的四条边相等
对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直，每一
条对角线平分一组对角
周长 L=4a
面积 (1)S=ah
(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半
当堂小练
1.菱形的定义: 是菱形.
2.菱形的性质:①菱形的四条边 ②菱形的对角
线 ，并且每一条对角线一组 对角.
3.下列说法不正确的有 (填序号)
①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分
③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直.
⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等.
互相垂直
有一组邻边相等的平行四边形
相等
平分
③
当堂小练
4.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知
AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.
解： ∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD
∵Rt△AOB 中OB 2+OA 2=AB2
AB=5cm，AO=4cm
∴OB=3cm
∴BD=2OB=6cm
AC=2OA=8cm
C
B
D
A
O
D
拓展与延伸
如图，菱形花坛ABCD的周长为80m,∠ABC＝60°,沿着菱形的
对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积
（分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
2 2 2 2
2
:
1 1, 6 0 3 0
2 2
1 1, 2 0 1 0 m
2 2
2 0 1 0 3 0 0 m
2 2 0
2 3 4 . 6 4
1 3 4 6 . 4 m
2A B C D
A B C D
A C B D A B O A B C
R t O A B A O A B
B O A B A O
A C A O m
B D B O m
S A C B D
菱 形
解 花 坛 是 菱 形
在 中
花 坛 的 两 条 小 路 长
花 坛 的 面 积
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
1.3.1 正方形及其性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1. 正方形的定义
2.正方形的性质（重点）
学习目标
新课导入
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形
之间的关系吗？
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，
所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能
说出正方形有哪些性质吗？
新课导入
图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特
殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课讲解
知识点1 正方形的定义
合作探究
把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁
出正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
新课讲解
1.下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
B
新课讲解
讨论
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平
行四边形叫做正方形.
结论
1.如图，将5个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、 A3 、A4分别是正方形的中心，
则阴影部分面积和为 .
A1
A2
A3
A4
1
新课讲解
知识点2 正方形的性质
议一议
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交
流．
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形
的所有性质．
新课讲解
例
典例分析
如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC 延
长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由．
解： BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等， 四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.
新课讲解
知识点03 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二
次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程.
的根.练一练
下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解?
-2，0 ，1，2，3，4.
解：1和3.
新课讲解
例
典例分析
如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC 延
长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE ≌△DCF.∴BE＝DF.
新课讲解
例
典例分析
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌ △DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
课堂小结
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，
因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方
形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相
等、垂直，角相等提供了重要的依据．
当堂小练
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
B
当堂小练
2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，
使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH. 若
BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B
D
拓展与延伸
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，
则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 .
1
4
n
第一章 特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
1.3.2 正方形的判定
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.正方形的对称性
2.正方形的判定（重点、难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
• 1.正方形的性质有哪些？
• 2.正方形的定义如何描述？
• 3.判定一个图形是矩形还有哪些方法？
新课导入
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打
开．怎样剪才能剪出一个正方形？
新课导入
思考
• 1.判定一个矩形是正方形的方法有哪些？
• 2.判定一个菱形是正方形的方法有哪些？
• 3.如何判定一个图形是正方形，一般思考方法是
什么？
新课讲解
知识点1 正方形的对称性
合作探究
例1 如图, 正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，
BE=1，F为AB上的一点，AF =2，P为AC上一个
动点，则PF+PE的最小值为_______.
新课讲解
分析：
找到点F 关于直线AC的对称点M，连接EM, 计算EM的
长即可. 如图, 在AD上取一点M，使AM=2, 点M即为
点F关于直线AC的对称点. 连接EM，过M点作MN⊥B
于N，由题意可知EN = BN－BE =AM－BE=2－1，易
得MN＝4，
∴EM＝
新课讲解
结论
正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中
心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每
组对边中点连线所在直线.
新课讲解
练一练
1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边
上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?
为什么?
H
G
F
E
DA
B C
N
M
新课讲解
练一练
1
H
G
F
E
DA
B C
N
M
证明：∵ABCD 是正方形，AE=BF=CM=DN,
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE=BF=CM=DN，
∠A=∠B=∠C=∠D，
AN=BE=CF=DM，
∴△AEN ≌△BFE ≌△CMF ≌△DNM.
∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF.
∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
∵EN=FE=MF=NM，∴EFMN是菱形.
又∵∠NEF=90°，∴EFMN是正方形.
新课讲解
知识点2 正方形的判定
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么
条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与
同伴交流．
新课讲解
1.正方形的判定定理：
（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.
（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.
请你证明以上定理.
新课讲解
2.判定方法：
(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是
正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的
平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形
是正方形．
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互
相垂直的矩形是正方形．
(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相
等的菱形是正方形．
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平
分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是
正方形．
解： ∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC.
新课讲解
典例分析
∴ BECF是菱形(菱形的定义)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是
正方形)．
新课讲解
例
典例分析
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
不添加任何辅助线，请添加一个条件_____________，
使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)
∠BAD＝90°
新课讲解
例
典例分析
在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，
且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正
方形，其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
B
课堂小结
正方形的判定：
当堂小练
1. 在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，
则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
C
当堂小练
2.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边
三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______.
【解析】△ABE为等边三角形
∠BAE=60°， ∠DAE=150°，
△ABE为等腰三角形， ∠AED=15°
同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°
答案：30°
E
BC
D A
30°
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
1.1.2 菱形的判定
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1. 由对角线的位置关系判定菱形（重点、难点）
2. 由边的数量关系判定菱形
学习目标
新课导入
1.菱形的定义?
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,
则只需补充 就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD
相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,
则菱形ABCD的周长为 cm.
新课导入
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四
边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可
以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与
同伴交流．
思考
新课讲解
知识点1 由对角线的位置关系判定菱形
合作探究
• 可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是
菱形．下面我们证明这个结论．
新课讲解
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，AC⊥BD. 求证： ABCD是菱形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴BA＝BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
新课讲解
讨论
结论
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为
菱形的一条对角线吗？
1. 判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2. 规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四
边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线
互相垂直平分.
新课讲解
例
典例分析
1 如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加
一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即
可)．
AC⊥BD
新课讲解
练一练
1 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.
求证:四边形ABCD是菱形. D
B
CA O证明:
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO.∵AC⊥BD,
∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)
∴四边形ABCD是菱形.
新课讲解
知识点2 由边的数量关系判定菱形
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为
菱形的一条对角线吗？
如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分
别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱
形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？
与同伴交流．
定理：四边相等的四边形是菱形.
请你完成这个定理的证明.
讨论讨论
新课讲解
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，AB ＝ ，OA＝2，OB＝1. 求证： ABCD
是菱形．
在△AOB中，
∵AB＝ ，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
典例分析典例分析
例
5
5
新课讲解
例
典例分析
3 如图，在▱ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
若增加一个条件，使▱ ABCD成为菱形，下列给
出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
C
新课讲解
结论
1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.
2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平
行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四
边形的四条边都相等．
课堂小结
1.菱形的判定方法：
(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱
形；
(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．
当堂小练
如图1-6，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线
BD长10cm.求：
（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.
°
2 2 2 2
9 0
1 1 1 0 5 ( c m ) (
2 2
1 3 5 1 2 ( c m ) .
2 2 1 2 2 4 ( c m ) (
A B C D A C B D
E
A E D
D E B D
A E A D D E
A C A E
( 1 ) 四 边 形 是 菱 形 ， 与
相 交 于 点 ，
（ 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 ） ，
菱 形 的 对 角 线
互 相 平 分 ）
菱 形 的 对 角 线
互 相
解 :
平 分 ） .
当堂小练
2
( 2 )
= +
= 2
1 = 2
2
1 = 2 1 0 1 2
2
= 1 2 0 (cm ).
ABC D
ABD C BD
ABD
BD AE
菱 形 的 面 积
的 面 积 的 面 积
的 面 积
D
拓展与延伸
如图1-7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部
分ABCD是菱形吗？为什么？
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
1.2.1 矩形及其性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
学习目标
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
直角三角形斜边上中线的性质
1.理解矩形的定义。
2.掌握矩形的边角性。
3.理解并掌握矩形的对角线性质。（重点）
4.理解并掌握直角三角形斜边上中线的性质。
新课导入
知识回顾
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边
形有哪些性质？
边：对边平行且相等；
角：对角相等；
对角线：对角线互相平分．
新课导入
情境导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特
殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课讲解
知识点1 矩形的定义
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行
四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．
新课讲解
例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分
别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四边形ABCD是矩形
吗? 简述你的理由．
分析：很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为
直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
证明：四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，
∴AD∥BC．∵l1∥l2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．
新课讲解
分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由
量变到质变的变化过程．
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直
角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”
来定义矩形．
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
新课讲解
讨论
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平
行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.
结论
下列说法正确的是( )
A．平行四边形是矩形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
B
新课讲解
例
典例分析
已知：四边形ABCD是矩形，∠C=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
CB
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°
∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °
∴∠B=180－∠C=90°
∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
新课讲解
知识点2 矩形的边角性质
矩形是轴
对称图形.
(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所
有性质．你能列举一些这样的性质吗？
(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．
讨论思考
新课讲解
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，
对角线AC与DB 相交于点O.
求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的
对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
新课讲解
例
典例分析
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，
且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列
结论中不正确的是( )
A．△AOB≌ △BOC
B．△BOC≌ △EOD
C．△AOD≌ △EOD
D．△AOD≌ △BOC
A
新课讲解
知识点03 矩形的对角线性质
练一练
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你
有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
新课讲解
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角相等
B．对角线相等
C．对边相等
D．对角线互相平分
A
新课讲解
知识点04 直角三角形斜边上中线的性质
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么
BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什
么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
新课讲解
例
典例分析
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，
AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，
OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD(矩形的对角线互相平分)．
∴OA＝OD.∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝ (180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
课堂小结
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩
形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四
边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)对角线性质：对角线互相平分且相 等．
(3)对称性：矩形是轴对称图形．
当堂小练
1.如图，P 是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是
AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE
的周长为( )
A．14
B．16
C．17
D．18
D
当堂小练
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的
中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝
4，则BF的长为( )
A．4
B．8
C．2
D．4
D
D
拓展与延伸
矩形之歌
脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门.
对角线段皆相等，相互交叉且平分.
内有直角三角形，斜边中线半斜边.
若要牢记其定义，直角平行四边形.
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
1.2.2 矩形的判定
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.由对角线关系判定矩形
2.由直角的个数判定矩形（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同
之处？
新课导入
做一做
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点
时，平行四边形的形状会发生变化．
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发
生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形
有什么特征？由此
你能得到一个怎样的猜想？
新课讲解
知识点1 由对角线关系判定矩形
合作探究
甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，
一木工师傅要他们利用自己所学的几何知识
帮助检测一个窗框ABCD是不是矩形，他们
各自做了检测.你认为他们的方法对吗？
A
B C
D
新课讲解
例1 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB＝4，求 ABCD是矩形.
新课讲解
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
∴ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩
形)．
新课讲解
讨论
结论
如图，在▱ ABCD中，延长AD到点E，使
DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一
个条件________，使四边形DBCE是矩形．EB＝DC
判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
新课讲解
练一练
1 下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
B
新课讲解
练一练
2 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，下列结论中不正确的是( )
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
D
新课讲解
知识点2 由直角的个数判定矩形
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过
来，一个四边形至少有几个角是直角时，这
个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并
与同伴交流．
练一练想一想
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平
分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM)＝ ×180°＝90°
在△ABC 中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
课堂小结
矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定方法2
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定方法3
对角线相等的平行四边形是矩形.
当堂小练
1.已知平行四边形ABCD,下列条件不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC
2.在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分
别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
B.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
C.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
D.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B
A
D
拓展与延伸
议一议
你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门
框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，
你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并
与同伴交流．
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