资料简介
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
1 课堂讲解
2 课时流程
u一元二次方程的定义
u一元二次方程的一般形式
u利用一元二次方程建立实际问题模型
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
随着人们经济收入的不断提高，汽车产业的快速发展，
汽车已越来越多地进入了普通家庭，据某市交通部门统计，
前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆，
你能算出该市两年来汽车拥有量的年平均增长率是多少吗?
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
知1－导
1知识点 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
程( 其中 π 取3 )；
3
4
150cm
200cm
150cm
200cm
知1－导
(2) 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75 万
辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有
量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解： (1) 由于圆的半径为 x cm，则它的面积为3x2 cm2.
根据等量关系，可以列出方程
化简，整理得
①
2 3200 150 3 = 200 150 .4
x
2 2500 = 0x
知1－导
(2) 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
根据等量关系，可以列出方程
化简，整理得
.275 ( 1 + ) = 108x
225 + 50 -11 = 0.x x ②
方程①②中有几个未知数? 它们的左边是 x 的
几次多项式?
解：
知1－讲
1. 定义：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而
左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样
的方程叫作一元二次方程.
2. 一元二次方程的“三要素”：
一是整式方程，
二是只含一个未知数，
三是整理后未知数的最高次数是2.
知1－讲
解： ①含有两个未知数；②不是整式方程；
③符合一元二次方程的“三要素”；
④未知数的最高次数不是2；
⑤整理后未知数的最高次数不是2.
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；
④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元
二次方程的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行识别.
1
x
知1－讲
判断一个方程是否是一元二次方程，要从原
方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否
符合一元二次方程的“三要素”，三者缺一不可.
2 一元二次方程的一般形式
知2－讲
1. 一般形式：关于x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a ≠ 0 )，
这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .其中ax2 是二次
项，bx 是一次项，c 是常数项.
2. 特殊形式：
知2－讲
例2 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它们的
二次项系数、一次项系数及常数项.
(1) (x+1)(x－2)＝4；
(2) 2(x－3)(x+4)＝x2－10；
(3) (2x+1)(x－2)＝5－3x；
解题秘方：紧扣一元二次方程一般形式的特征及相关概念
解答.
知2－讲
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0.
其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0.
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0.
其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
知2－讲
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢
掉各项的符号，一般情况下，将一元二次方程整理为一
般形式时， 若二次项系数为负数，要把它转化为正数，
若有关项系数是分数， 要把它转化为整数.
3 利用一元二次方程建立实际问题模型
知3－导
一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模
型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知
数用一元二次方程来表达.
知3－讲
例3 【中考·巴中】某种品牌运动服经过两次降价，每件
零售价由560元降为315元.已知两次降价的百分率相
同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，
下面所列的方程中正确的是( )
A. 560 ( 1+x )2 = 315 B. 560 ( 1－x )2 = 315
C. 560 ( 1－2x )2 = 315 D. 560 ( 1+x2 ) = 315
解题秘方：紧扣百分率问题中的等量关系，建立一元二
次方程.
B
知3－讲
解：百分率问题的表达式为a ( 1±x )n=b. 根据题意，
得每次降价的百分率为 x，降价的基数 a 是560，
降价后的数量b 是315，“两次降价” 表明n＝2，
所以可得方程 560 ( 1﹣x )2 ＝ 315，故选B.
知3－讲
建立一元二次方程模型的一般步骤：
(1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量；
(2) 设出合适的未知数，一般设为x；
(3) 确定等量关系；
(4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式.
一元二
次方程
一般形式
常数项
一次项系数
二次项系数
建立一元一次
方程的模型
定义
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法——直接开
平方法
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u一元二次方程的解
u形如 x² = p ( p≥0 ) 型方程的解法
u形如 ( mx+n )² = p( p≥0 ) 型方程的解法
如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①：x2－2500=0呢 ?
1 一元二次方程的解
把方程①写成
x2=2500.
这表明 x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
因此，原方程的解为x1=50,x2=－50.
对于实际问题的方程①而言， x2=－50不合题意，
应当舍去.而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50cm.
知1－讲
= 2500 = 2500,x x或
知1－讲
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就
是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫
作一元二次方程的根.
解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断.
解： 将x = 2代入方程，得左边 = 4－2 = 2，
∵右边 = 6，2 ≠ 6，
∴ x = 2不是原方程的根.
将 x = 3代入方程，得左边 = 9－3=6，
∵右边 = 6，6 = 6，
∴ x = 3是原方程的根.
例1 判断x=2，x=3 是不是一元二次方程x2－x=6的根.
知1－讲
知1－讲
检验一元二次方程根的步骤：
步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左
右两边.
步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是
一元二次方程的根；否则，这个数不是一元二次方
程的根.
2 形如x²=p(p≥0)型方程的解法
一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这
桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部
外表面，你能算出盒子的棱长吗?
设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积
为x2 dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
整理，得 x2=25 ，
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即 x1=5, x2=－5.
可以验证，5和－5是原方程的两个根，因为棱
长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm.
知2－讲
解：
1. 定义：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次
方程解的方法叫作直接开平方法.
2. 方程x2=p 的解（根）的情况：
(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1=－ ，
x2= ；
(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
(3)当p0， 则当 x＝－m 时，代数式取得最小值
n； 若a
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