资料简介
【考点 1】一元二次方程的根的求值问题
【例 1】(2019•兰州)x=1 是关于 x的一元二次方程 x2+ax+2b=0的解,则 2a+4b=( )
A.﹣2 B.﹣3 C.﹣1 D.﹣6
【答案】A
【解析】把 x=1代入方程 x2+ax+2b=0得 1+a+2b=0,
所以 a+2b=﹣1,
所以 2a+4b=2(a+2b)=2×(﹣1)=﹣2.
故选:A.
点睛:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元
二次方程的解.
【变式 1-1】(2019•遂宁)已知关于 x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0有一个根为
x=0,则 a的值为( )
A.0 B.±1 C.1 D.﹣1
【答案】D
【解析】∵关于 x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0有一个根为 x=0,
∴a2﹣1=0,且 a﹣1≠0,
则 a的值为:a=﹣1.
故选:D.
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解,注意二次项系数不能为零.
【变式 1-2】(2019•甘肃)若一元二次方程 x2﹣2kx+k2=0 的一根为 x=﹣1,则 k 的值为
( )
A.﹣1 B.0 C.1或﹣1 D.2或 0
【答案】A
【解析】把 x=﹣1代入方程得:1+2k+k2=0,
解得:k=﹣1,
故选:A.
点睛:此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
【考点 2】配方法解一元二次方程
【例 2】(2019•南通)用配方法解方程 x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=﹣9 B.(x+4)2=﹣7 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=7
【答案】D
【解析】方程 x2+8x+9=0,整理得:x2+8x=﹣9,
配方得:x2+8x+16=7,即(x+4)2=7,
故选:D.
点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
【变式 2-1】(2019•金华)用配方法解方程 x2﹣6x﹣8=0 时,配方结果正确的是( )
A.(x﹣3)2=17 B.(x﹣3)2=14 C.(x﹣6)2=44 D.(x﹣3)2=1
【答案】A
【解析】用配方法解方程 x2﹣6x﹣8=0 时,配方结果为(x﹣3)2=17,
故选:A.
点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
【考点 3】因式分解法解一元二次方程
【例 3】(2019•桂林)一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=0的根是 .
【答案】x1=3,x2=2
【解析】x﹣3=0或 x﹣2=0,
所以 x1=3,x2=2.
故答案为 x1=3,x2=2.
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的
解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
【变式 3-1】(2019•十堰)对于实数 a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2﹣(a
﹣b)2.若(m+2)◎(m﹣3)=24,则m= .
【答案】﹣3或 4
【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2=24,
(2m﹣1)2﹣49=0,
(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0,
2m﹣1+7=0或 2m﹣1﹣7=0,
所以m1=﹣3,m2=4.
故答案为﹣3或 4.
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的
解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
【变式 3-2】(2019•扬州)一元二次方程 x(x﹣2)=x﹣2的根是 .
【答案】x1=2,x2=1.
【解析】x(x﹣2)=x﹣2,
x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,
(x﹣2)(x﹣1)=0,
x﹣2=0,x﹣1=0,
x1=2,x2=1,
故答案为:x1=2,x2=1.
点睛:本题考查了解一元二次方程的应用,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题
的关键.
【考点 4】一元二次方程的判别式问题
【例 4】(2019•铁岭)若关于 x的一元二次方程ax2﹣8x+4=0有两个不相等的实数根,则 a
的取值范围是 .
【答案】a<4且 a≠0
【解析】由题意可知:△=64﹣16a>0,
∴a<4,
∵a≠0,
∴a<4且 a≠0,
故答案为:a<4且 a≠0
点睛:本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.
【变式 4-1】(2019•宁夏)已知一元二次方程 3x2+4x﹣k=0 有两个不相等的实数根,则 k的
取值范围 .
【答案】k .
【解析】∵方程 3x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,即 42﹣4×3×(﹣k)>0,
解得 k ,
故答案为:k .
点睛:本题考查根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔
方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没
有实数根.
【变式 4-2】(2019•黄石)已知关于 x的一元二次方程 x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根为 x1、x2,且|x1﹣x2|=4,求m的值.
【解析】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0,
解得:m≤2.
(2)∵方程 x2﹣6x+(4m+1)=0的两个实数根为 x1、x2,
∴x1+x2=6,x1x2=4m+1,
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=42,即 32﹣16m=16,
解得:m=1.
点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,
方程有实数根”;(2)利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|=4,找出关于m的一元一次方程.
【考点 5】一元二次方程的根与系数的关系问题
【例 5】(2019•十堰)已知于 x的元二次方程 x2﹣6x+2a+5=0 有两个不相等的实数根 x1,x2.
(1)求 a的取值范围;
(2)若 x12+x22﹣x1x2≤30,且 a为整数,求a的值.
【答案】(1) a<2;(2) ﹣1,0,1.
【解析】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根 x1,x2,
∴△>0,即(﹣6)2﹣4(2a+5)>0,
解得 a<2;
(2)由根与系数的关系知:x1+x2=6,x1x2=2a+5,
∵x1,x2满足 x12+x22﹣x1x2≤30,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2≤30,
∴36﹣3(2a+5)≤30,
∴a ,∵a为整数,
∴a的值为﹣1,0,1.
点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式,利用根的判别式求得 k的取值范围是解
题的关键,注意方程根的定义的运用.
【变式 5-1】(2019•绥化)已知关于 x的方程 kx2﹣3x+1=0 有实数根.
(1)求 k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为 x1和 x2,当 x1+x2+x1x2=4时,求 k的值.
【答案】(1) k 的取值范围为 k
(2) k 的值为 1.
【解析】(1)当 k=0时,原方程为﹣3x+1=0,
解得:x ,
∴k=0符合题意;
当 k≠0时,原方程为一元二次方程,
∵该一元二次方程有实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0,
解得:k .
综上所述,k的取值范围为 k .
(2)∵x1和 x2是方程 kx2﹣3x+1=0的两个根,
∴x1+x2 ,x1x2 .
∵x1+x2+x1x2=4,
∴ 4,
解得:k=1,
经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意.
∴k的值为 1.
点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以
及解分式方程,解题的关键是:(1)分 k=0及 k≠0 两种情况,找出 k的取值范围;(2)
利用根与系数的关系结合 x1+x2+x1x2=4,找出关于 k的分式方程.
【考点 6】一元二次方程的增长率问题
【例 6】(2019•大连)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为 24200 元
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019
年村该村的人均收入是多少元?
【答案】(1) 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%
(2) 预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元
【解析】(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x,
根据题意得:20000(1+x)2=24200,
解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去).
答:2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
答:预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元
二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.
【变式 6-1】(2019•贺州)2016 年,某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元,通过政府产
业扶持,发展了养殖业后,到 2018 年,家庭年人均纯收入达到了 3600 元.
(1)求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率;
(2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?
【答案】(1) 该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20%
(2) 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元
【解析】(1)设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x,
依题意,得:2500(1+x)2=3600,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).
答:该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20%.
(2)3600×(1+20%)=4320(元),
4320>4200.
答:2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关
键.
【考点 7】一元二次方程的面积问题
【例 7】(2019•徐州)如图,有一块矩形硬纸板,长 30cm,宽 20cm.在其四角各剪去一个
同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的
边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm2?
【答案】当剪去正方形的边长为 cm时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm2.
【解析】设剪去正方形的边长为 xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30﹣2x)cm,
宽为(20﹣2x)cm,高为 xcm,
依题意,得:2×[(30﹣2x)+(20﹣2x)]x=200,
整理,得:2x2﹣25x+50=0,
解得:x1 ,x2=10.
当 x=10 时,20﹣2x=0,不合题意,舍去.
答:当剪去正方形的边长为 cm时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm2.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关
键.
【变式 7-1】(2019•襄阳)改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)
16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,
另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为 112m2,则小路的宽应为多
少?
【答案】小路的宽应为 1m.
【解析】设小路的宽应为 xm,
根据题意得:(16﹣2x)(9﹣x)=112,
解得:x1=1,x2=16.
∵16>9,
∴x=16 不符合题意,舍去,
∴x=1.
答:小路的宽应为 1m.
点睛:本题考查一元二次方程的应用,弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键.
【考点 8】一元二次方程的销售问题
【例 8】(2019•东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的
一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子
产品销售单价定为 200 元时,每天可售出 300 个;若销售单价每降低 1元,每天可多售出
5个.已知每个电子产品的固定成本为 100 元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少
元时,公司每天可获利 32000 元?
【答案】这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时,公司每天可获利 32000 元.
【解析】设降价后的销售单价为 x元,则降价后每天可售出[300+5(200﹣x)]个,
依题意,得:(x﹣100)[300+5(200﹣x)]=32000,
整理,得:x2﹣360x+32400=0,
解得:x1=x2=180.
180<200,符合题意.
答:这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时,公司每天可获利 32000 元.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关
键.
【变式 8-1】(2019•安顺)安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果,计划以每
千克 60 元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售
量 y(千克)与每千克降价 x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求 y与 x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利 2090 元,则这种干果每千克应降价多少元?
【答案】商贸公司要想获利 2090 元,则这种干果每千克应降价 9元.
【解析】(1)设一次函数解析式为:y=kx+b
当 x=2,y=120;当 x=4,y=140;
∴ ,
解得: ,
∴y与 x之间的函数关系式为 y=10x+100;
(2)由题意得:
(60﹣40﹣x)(10 x+100)=2090,
整理得:x2﹣10x+9=0,
解得:x1=1.x2=9,
∵让顾客得到更大的实惠,
∴x=9,
答:商贸公司要想获利 2090 元,则这种干果每千克应降价 9元.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用;由题意列出方程组或方程是解题
的关键.
1.(2019•滨州)用配方法解一元二次方程 x2﹣4x+1=0时,下列变形正确的是( )
A.(x﹣2)2=1 B.(x﹣2)2=5 C.(x+2)2=3 D.(x﹣2)2=3
【答案】D
【解析】x2﹣4x+1=0,
x2﹣4x=﹣1,
x2﹣4x+4=﹣1+4,
(x﹣2)2=3,
故选:D.
点睛:本题考查了解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键.
2.(2019•营口)若关于 x的方程 kx2﹣x 0 有实数根,则实数 k的取值范围是( )
A.k=0 B.k 且 k≠0 C.k D.k
【答案】C
【解析】当 k≠0时,△=1+4k 1+3k≥0,
∴k ,
∴k 且 k≠0,
当 k=0 时,
此时方程为﹣x 0,满足题意,
故选:C.
点睛:本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解根的判别式,本题属于基础题型.
3.(2019•丹东)等腰三角形一边长为 2,它的另外两条边的长度是关于 x的一元二次方程 x2
﹣6x+k=0的两个实数根,则 k的值是( )
A.8 B.9 C.8或 9 D.12
【答案】B
【解析】当等腰三角形的底边为 2时,
此时关于 x的一元二次方程 x2﹣6x+k=0的有两个相等实数根,
∴△=36﹣4k=0,
∴k=9,
此时两腰长为 3,
∵2+3>3,
∴k=9 满足题意,
当等腰三角形的腰长为 2时,
此时 x=2是方程 x2﹣6x+k=0 的其中一根,
∴4﹣12+k=0,
∴k=8,
此时另外一根为:x=4,
∵2+2=4,
∴不能组成三角形,
综上所述,k=9,
故选:B.
点睛:本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形
的性质,本题属于中等题型.
4.(2019•包头)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且 a、b是关于 x的一元二次方
程 x2﹣12x+m+2=0 的两根,则m的值是( )
A.34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36
【答案】A
【解析】当a=4时,b<8,
∵a、b是关于 x的一元二次方程 x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴4+b=12,
∴b=8不符合;
当b=4时,a<8,
∵a、b是关于 x的一元二次方程 x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴4+a=12,
∴a=8不符合;
当a=b时,
∵a、b是关于 x的一元二次方程 x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴12=2a=2b,
∴a=b=6,
∴m+2=36,
∴m=34;
故选:A.
点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系;根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合
韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键.
5.(2019•荆州)若一次函数 y=kx+b 的图象不经过第二象限,则关于 x的方程 x2+kx+b=0
的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵一次函数 y=kx+b 的图象不经过第二象限,
∴k>0,b≤0,
∴△=k2﹣4b>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac
有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实
数根;当△<0时,方程无实数根.也考查了一次函数的性质.
6.(2019•遵义)一元二次方程 x2﹣3x+1=0 的两个根为 x1,x2,则 x12+3x2+x1x2﹣2的值是
( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】D
【解析】∵x1为一元二次方程 x2﹣3x+1=0 的根,
∴x12﹣3x1+1=0,
∴x12=3x1﹣1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,
根据题意得 x1+x2=3,x1x2=1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3×3+1﹣3=7.
故选:D.
点睛:本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
时,x1+x2 ,x1x2 .
7.(2019•鸡西)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数
目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是 43,则这种
植物每个支干长出的小分支个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】设这种植物每个支干长出 x个小分支,
依题意,得:1+x+x2=43,
解得:x1=﹣7(舍去),x2=6.
故选:C.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关
键.
8.(2019•朝阳)一元二次方程 x2﹣x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
【答案】A
【解析】∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的两个实数根.
故选:A.
点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac
有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等
的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
9.(2019•湘潭)已知关于 x的一元二次方程 x2﹣4x+c=0 有两个相等的实数根,则 c=( )
A.4 B.2 C.1 D.﹣4
【答案】A
【解析】∵方程 x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4×1×c=16﹣4c=0,
解得:c=4.
故选:A.
点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判
别式得出关于 c的一元一次方程是解题的关键.
10.(2019•资阳)a是方程 2x2=x+4 的一个根,则代数式 4a2﹣2a的值是 .
【答案】8
【解析】∵a是方程 2x2=x+4 的一个根,
∴2a2﹣a=4,
∴4a2﹣2a=2(2a2﹣a)=2×4=8.
故答案为:8.
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解,正确将原式变形是解题关键.
11.(2019•济宁)已知 x=1是方程 x2+bx﹣2=0 的一个根,则方程的另一个根是 .
【答案】﹣2
【解析】∵x=1是方程 x2+bx﹣2=0 的一个根,
∴x1x2 2,
∴1×x2=﹣2,
则方程的另一个根是:﹣2,
故答案为﹣2.
点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题
的关键.
12.(2019•抚顺)若关于 x的一元二次方程 kx2+2x+1=0有实数根,则 k的取值范围是 .
【答案】k≠0且 k≤1
【解析】由题意可知:△=4﹣4k≥0,
∴k≤1,
∵k≠0,
∴k≠0 且 k≤1,
故答案为:k≠0且 k≤1;
点睛:本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.
13.(2019•青海)某种药品原价每盒 60 元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售
价每盒 48.6 元,则平均每次下调的百分率为 .
【答案】10%
【解析】设平均每次降价的百分比是 x,根据题意得:
60(1﹣x)2=48.6,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去),
答:平均每次降价的百分比是 10%;
故答案为:10%.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化
率为 x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
14.某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作,去年已投入 5亿元
资金,并计划投入资金逐年增长,明年将投入 7.2 亿元资金用于保障性住房建设,则这两
年投入资金的年平均增长率为 .
【答案】20%
【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是 x,由题意得:
5(1+x)2=7.2,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意舍去).
答:这两年中投入资金的平均年增长率约是 20%.
故答案是:20%.
点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增
长后的量.
15.(2019•呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x﹣6)=16的实数根.
【答案】x1 ,x2 .
【解析】原方程化为一般形式为 2x2﹣9x﹣34=0,
x2 x=17,
x2 x 17 ,
(x )2 ,
x ± ,
所以 x1 ,x2 .
点睛:本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方
法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
16.(2019•孝感)已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0 有两个不相等
的实数根 x1,x2.
(1)若 a为正整数,求a的值;
(2)若 x1,x2满足 x12+x22﹣x1x2=16,求 a的值.
【解析】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0 有两个不相等的实
数根,
∴△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4(a2﹣a﹣2)>0,
解得:a<3,
∵a为正整数,
∴a=1,2;
(2)∵x1+x2=2(a﹣1),x1x2=a2﹣a﹣2,
∵x12+x22﹣x1x2=16,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2=16,
∴[2(a﹣1)]2﹣3(a2﹣a﹣2)=16,
解得:a1=﹣1,a2=6,
∵a<3,
∴a=﹣1.
点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式,先判断出a的取值范围,
再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键.
17(2019•贵港)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两
年内由 5万册增加到 7.2 万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率;
(2)经统计知:中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%,在这两年新
增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到 2018
年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?
【解析】(1)设这两年藏书的年均增长率是 x,
5(1+x)2=7.2,
解得,x1=0.2,x2=﹣2.2(舍去),
答:这两年藏书的年均增长率是 20%;
(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.2﹣5)×20%=0.44(万册),
到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是: 100%=10%,
答:到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10%.
点睛:本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用
方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.
18.(2019•南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长 50m,宽 40m,要求
扩充后的矩形广场长与宽的比为 3:2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元,扩建后在原
广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米 100 元.如果计划总费用 642000 元,
扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
【解析】设扩充后广场的长为 3xm,宽为 2xm,
依题意得:3x•2x•100+30(3x•2x﹣50×40)=642000
解得 x1=30,x2=﹣30(舍去).
所以 3x=90,2x=60,
答:扩充后广场的长为 90m,宽为 60m.
点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用,总价=单价×数量的运用,解答时找准
题目中的数量关系是关键.
19.(2019•长沙)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓
励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅
导,据统计,第一批公益课受益学生 2万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;
(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
【解析】(1)设增长率为 x,根据题意,得
2(1+x)2=2.42,
解得 x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%.
答:增长率为 10%.
(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).
答:第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次.
点睛:本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条
件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
20.(2019•衡阳)关于 x的一元二次方程 x2﹣3x+k=0有实数根.
(1)求 k的取值范围;
(2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0 与方程 x2
﹣3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
【解析】(1)根据题意得△=(﹣3)2﹣4k≥0,
解得 k ;
(2)k 的最大整数为 2,
方程 x2﹣3x+k=0变形为 x2﹣3x+2=0,解得 x1=1,x2=2,
∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0 与方程 x2﹣3x+k=0有一个相同的根,
∴当 x=1时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得m ;
当 x=2时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得m=1,
而m﹣1≠0,
∴m的值为 .
点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac
有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实
数根;当△<0时,方程无实数根.
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