资料简介
【典例分析】
【考点 1】二次函数的图象与性质
【例 1】（2019·四川中考真题）二次函数 2y x ax b 的图象如图所示，对称轴为直线 2x ，
下列结论不正确的是（ ）
A． 4a
B．当 4b 时，顶点的坐标为 (2, 8)
C．当 1x 时， 5b
D．当 3x 时，y随 x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴公式
2
bx
a
和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】
解：∵二次函数 2y x ax b
∴对称轴为直线 2
2
ax
∴ 4a ，故A选项正确；
当 4b 时， 2 24 4 ( 2) 8y x x x
∴顶点的坐标为 (2, 8) ，故 B选项正确；
当 1x 时，由图象知此时 0y
即1 4 0b
∴ 5b ，故C选项不正确；
∵对称轴为直线 2x 且图象开口向上
∴当 3x 时，y随 x的增大而增大，故D选项正确；
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.
【变式 1-1】
（2019·重庆中考真题）抛物线 23 6 2y x x 的对称轴是（ ）
A．直线 2x B．直线 2x C．直线 1x D．直线 1x
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：∵ 2 23 6 2 3( 1) 5y x x x ，
∴抛物线顶点坐标为 (1,5) ，对称轴为 1x ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线 2( )y a x h k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为 x＝h．
【变式 1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线 22 4y x x c 与 x轴有两个不同的交点.
(1)求c的取值范围；
(2)若抛物线 22 4y x x c 经过点 2,A m 和点 3,B n ，试比较m与 n的大小，并说明理由.
【答案】(1) c的取值范围是 2c ； (2)m n . 理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由二次函数与 x轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线 x=1，由于A（2，m）和点 B（3，n）都在对称轴的右侧，即
可求解；
【详解】
(1) 22 4 4 8 16 8b ac c c .
由题意，得 2 4 0b ac ，
∴16 8 0c
∴c的取值范围是 2c .
(2)m n . 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线 1x ，
又∵ 2 0a ，
∴当 1x 时， y随 x的增大而增大.
∵ 2 3 ，∴m n .
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
【考点 2】抛物线的平移与解析式的确定
【例 2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线 2 6 5y x x 向上平移两个单位长度，再向右平
移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． 2( 4) 6y x B． 2( 1) 3y x C． 2( 2) 2y x D． 2( 4) 2y x
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再
由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解： 22 6 5 3 4y x x x ，即抛物线的顶点坐标为 3, 4 ，
把点 3, 4 向上平移 2个单位长度，再向右平移 1个单位长度得到点的坐标为 4, 2 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 24 2y x ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平
移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用
待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【例 2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个
高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2所示，
此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，
B两点，拱高为 78 米(即最高点O到AB的距离为 78米)，跨径为 90米(即 AB=90 米)，以最
高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数
表达式为( )
A． 226
675
y x B． 226
675
y x C． 213
1350
y x D． 213
1350
y x
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为 y=ax2，由已知可得点 B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为 78米(即最高点O到AB的距离为 78米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点O
为坐标原点，以平行于AB的直线为 x轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a= 26
675
，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为 226
675
y x ，
故选 B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【变式 2-1】（2019·西藏中考真题）把函数 21
2
y x 的图象，经过怎样的平移变换以后，可
以得到函数 21 1 1
2
y x 的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】
抛物线 21
2
y x 的顶点坐标是 0 0（ ，），抛物线线 21 1 1
2
y x 的顶点坐标是 11（，），
所以将顶点 0 0（ ，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点 11（，），
即将函数 21
2
y x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数 21 1 1
2
y x 的
图象．
故选：C．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函
数解析式．
【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点 (2, 2)P ，顶点为 (0,0)O 将该图
象向右平移，当它再次经过点 P时，所得抛物线的函数表达式为__．
【答案】 21 ( 4)
2
y x ．
【解析】
【分析】
设原来的抛物线解析式为： 2y ax ．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得
到平移后的解析式，将点 P的坐标代入即可．
【详解】
设原来的抛物线解析式为： 2y ax ( 0)a ，
把 (2, 2)P 代入，得2 4a ，
解得 1
2
a ，
故原来的抛物线解析式是： 21
2
y x ，
设平移后的抛物线解析式为： 21 ( )
2
y x b ，
把 (2, 2)P 代入，得 212 (2 )
2
b ，
解得 0b (舍去)或 4b ，
所以平移后抛物线的解析式是： 21 ( 4)
2
y x ，
故答案是： 21 ( 4)
2
y x ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用
待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
【变式 2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 ( 5)( 3)y x x 经过变换
后得到抛物线 ( 3)( 5)y x x ，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移 2个单位 B．向右平移 2个单位
C．向左平移 8个单位 D．向右平移 8个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线 y=（x+5）（x-3）向右平移 2个单位长度得到抛物线 y=（x+3）（x-5），
故选 B．
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式 2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线 23) 2y x＝(﹣ ﹣ 向左平移_______个单位后经过点
(2 2)A ， ．
【答案】3
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【详解】
解：∵将抛物线 23 2y x＝（﹣）﹣ 向左平移后经过点 2 2A（ ，），
∴设平移后解析式为： 23 2y x a＝（﹣ ）﹣ ，
则 22 2 3 2a＝（﹣ ）﹣ ，
解得： 3a＝ 或 1a＝﹣（不合题意舍去），
故将抛物线 23 2y x＝（﹣）﹣ 向左平移 3个单位后经过点 2 2A（ ，）．
故答案为：3．
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
【考点 3】二次函数的图象与字母系数的关系
【例 3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，现给出
下列结论：① 0abc ；②9 3 0a b c ；③ 2 4 8b ac a ；④5 0a b c ．其中正确结论的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于 1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图象可知： 0a ， 0c ，由于对称轴 0
2
b
a
，∴ 0b ，∴ 0abc ，故①正确；
②∵抛物线过 (3,0)，∴ 3x 时， 9 3 0y a b c ，故②正确；
③顶点坐标为：
24,
2 4
b ac b
a a
.由图象可知：
24 2
4
ac b
a
，∵ 0a ，∴ 24 8ac b a ，即
2 4 8b ac a ，故③错误；
④由图象可知： 1
2
b
a
， 0a ，∴ 2 0a b ，
∵9 3 0a b c ，∴ 9 3c a b ，
∴5 5 9 3 4 2 2(2 ) 0a b c a b a b a b a b ，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性
质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
【变式 3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如
下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线 y=-x+1 上；②存在一个m的值，使得函数图象的
顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则 y1
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