资料简介
【考点 1】平移变换问题
【例 1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移 3个单位
长度，再向左平移 2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【解析】
试题分析：已知将点A（1，﹣2）向上平移 3个单位长度，再向左平移 2个单位长度，得到
点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为 1﹣2=﹣1，纵坐
标为﹣2+3=1，即 A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．
考点：坐标与图形变化-平移．
【变式 1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy中，将四边形 ABCD向下
平移，再向右平移得到四边形 1 1 1 1A BC D ，已知 1( 3,5), ( 4,3), (3,3)A B A ，则点 1B 坐标为（ ）
A． (1,2) B． (2,1) C． (1,4) D． (4,1)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移 2个单位，再向右平移 6个单位得到四边
形 1 1 1 1A BC D ，则 B的平移方法与A点相同，即可得到答案．
【详解】
图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）
得向右平移 3－（－3）＝6个单位，向下平移 5－3＝2个单位.所以 B（－4，3）平移后 B1（2，
1）.
故选 B.
【点睛】
此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键
【变式 1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC 的三个顶点坐
标分别是 2, 1 , 1,( ) ( )2 , 3, 3( )A B C
（1）将 ABC 向上平移 4个单位长度得到 1 1 1ABC ，请画出 1 1 1ABC ；
（2）请画出与 ABC 关于 y轴对称的 2 2 2A B C ；
（3）请写出 1 2A A、 的坐标．
【答案】（1）如图所示： 1 1 1ABC ，即为所求；见解析；（2）如图所示： 2 2 2A B C ，即为所求；
见解析；（3） 1 22,3 ,) , 1( ( )2A A ．
【解析】
【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标.
【详解】
（1）如图所示： 1 1 1ABC ，即为所求；
（2）如图所示： 2 2 2A B C ，即为所求；
（3） 1 22,3 ,) , 1( ( )2A A ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.
【考点 2】轴对称变换问题（含折叠变换）
【例 2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形 ABCD中， 4sin
5
B ，点 ,E F分别在边 ,AD BC
上，将四边形 AEFB沿 EF翻折，使 AB的对应线段MN经过顶点C，当MN BC 时， AE
AD
的
值是_____．
【答案】 2
9
.
【解析】
【分析】
延长CM交 AD于点G，进而利用翻折变换的性质得出 AE ME ， A EMC ，BF FN ，
B N ，AB MN ，再利用菱形的性质得出 AB BC CD AD ， B D ， 180A B ，
设 4CF x ， 5FN x ，利用勾股定理得出 9BC x AB CD AD ，再根据三角函数进行计
算即可解答
【详解】
延长CM交 AD于点G，
∵将四边形 AEFB沿 EF 翻折，
∴ AE ME ， A EMC ，BF FN ， B N ， AB MN
∵四边形 ABCD是菱形
∴ AB BC CD AD ， B D ， 180A B
∵ 4sin sin
5
CFB N
FN
，
∴设 4CF x ， 5FN x ，
∴ 2 2 3CN FN CF x ，
∴ 9BC x AB CD AD ，
∵ 4sin sin
5
GCB D
CD
∴ 36
5
xGC
∴ 36x 66
5 5
GM GC MN CN x x
∵ 180A B ， 180EMC EMG
∴ B EMG
∴ 4sin sin
5
EGB EMG
EM
∴ 3cos
5
GMEMG
EM
∴ =2EM x，
∴ 2AE x ，
∴ 2 2
9 9
AE x
AD x
故答案为： 2
9
.
【点睛】
此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答
【变式 2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片 ABCD沿一条直线折叠，使点 A
与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1） ECB FCG ；
（2） EBC FGC ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)依据平行四边形的性质，即可得到 A BCD ，由折叠可得， A ECG ，即可得到
ECB FCG ；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出 D B ，AD BC ，由折叠可得， D G ，AD CG ，
即可得到 B G ，BC CG ，进而得出 EBC FGC ．
【详解】
(1)四边形 ABCD是平行四边形，
A BCD ，
由折叠可得， A ECG ，
BCD ECG ，
BCD ECF ECG ECF ，
ECB FCG ；
(2)四边形 ABCD是平行四边形，
D B ， AD BC ，
由折叠可得， D G ， AD CG ，
B G ，BC CG ，
又 ECB FCG ，
( )EBC FGC ASA ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质
以及折叠的性质是解题的关键.
【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为 8，点 P是 AB边上的
一个动点（与点A、B不重合），直线 l 是经过点 P的一条直线，把△ABC沿直线 l 折叠，点 B
的对应点是点 B’.
（1）如图 1，当 PB=4 时，若点 B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；
（2）如图 2，当 PB=5 时，若直线 l//AC，则 BB’的长度为 ；
（3）如图 3，点 P在 AB边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变
化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.
【答案】（1）4；（2）5 3；（3）面积不变，S△ACB’=16 3；（4）24+4 3
【解析】
【分析】
(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；
(2)如图 2中，设直线 l 交 BC于点 E，连接 B B′交 PE于O，证明△PEB 是等边三角形，求出
OB即可解决问题；
(3)如图 3中，结论：面积不变，证明 B B′//AC即可；
(4)如图 4中，当 PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线 PB′交 AC于点 E，求出 B′E
即可解决问题.
【详解】
(1)如图 1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，
∵PB=4，
∴PB′=PB=PA=4，
∵∠A=60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′=AP=4，
故答案为 4；
(2)如图 2，设直线 l 交 BC于点 E，连接 B B′交 PE 于O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB 是等边三角形，
∵PB=5，B、B′关于 PE 对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴OB=PB·sin60°= 5 3
2
，
∴BB′=5 3，
故答案为 5 3；
(3)如图 3，结论：面积不变.
过点 B作 BE⊥AC于 E，
则有 BE=AB·sin60°= 38 4 3
2
，
∴S△ABC=
1 1 8 4 3
2 2
AC BE =16 3，
∵B、B′关于直线 l 对称，
∴BB′⊥直线 l，
∵直线 l⊥AC，
∴AC//BB′，
∴S△ACB’=S△ABC=16 3；
(4)如图 4，当 B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
设直线 PB′交 AC于 E，
在 Rt△APE 中，PA=2，∠PAE=60°，
∴PE=PA·sin60°= 3，
∴B′E=B′P+PE=6+ 3，
∴S△ACB最大值= 1
2
×(6+ 3 )×8=24+4 3 .
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行
线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
【考点 3】旋转变换问题
【例 3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现
如图 1,△ACB和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段 AD,BE 之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图 2,△ACB和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE 的关系,并
说明理由.
(3)解决问题
如图 3,线段 PA=3,点 B是线段 PA外一点,PB=5,连接 AB,将 AB绕点 A逆时针旋转 90°得到
线段AC,随着点 B的位置的变化,直接写出 PC的范围.
【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3 2≤PC≤5+3 2．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长 BE
交 AD于点 F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义
得∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当 P、E、B共线时，BE
最小，最小值=PB-PE；当 P、E、B共线时，BE 最大，最大值=PB+PE，故 5-3 2≤BE≤5+3 2 .
【详解】
（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图 1中，
∵△ACB与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在 Rt△ACD和 Rt△BCE 中
AC BC
ACD BCE
CD CE
＝
＝
＝
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延长 BE 交 AD于点 F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案为AD=BE，AD⊥BE．
（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图 2中，设AD交 BE 于 H，AD交 BC于O．
∵△ACB与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在 Rt△ACD和 Rt△BCE 中
AC BC
ACD BCE
CD CE
＝
＝
＝
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图 3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，
∴PC=BE，
图 3-1 中，当 P、E、B共线时，BE 最小，最小值=PB-PE=5-3 2，
图 3-2 中，当 P、E、B共线时，BE 最大，最大值=PB+PE=5+3 2，
∴5-3 2≤BE≤5+3 2，
即 5-3 2≤PC≤5+3 2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决
问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式 3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为
A(-4，4)，B(-1，1)，C(-1，4)．
(1)画出与△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1．
(2)将△ABC绕点 B逆时针旋转 90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．
(3)求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π)
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3) 9
2
π.
【解析】
【分析】
(1)根据关于 y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可；
(3)线段 AB在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：(1)如图，△AlB1C1为所作.
(2)如图，△A2BC2为所作；
(3)AB= 2 23 3 =3 2 ，
所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积=
290 π (3 2)
360
= 9
2
π．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也
相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接
得出旋转后的图形．也考查了扇形面积公式．
【变式 3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在 ABC 中， 3AB AC ， 100BAC ，D
是 BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点 P，连接 PB．将线段 PB绕点 P按逆时针
方向旋转80，点 B的对应点是点 E，连接 BE，得到 BPE ．小明发现，随着点 P在线段 AD
上位置的变化，点 E的位置也在变化，点 E可能在直线 AD的左侧，也可能在直线AD上，还
可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点 E在直线AD上时，如图②所示．
① BEP ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ．
（2）请在图③中画出 BPE ，使点 E在直线 AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线
AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点 P在线段AD上运动时，求AE的最小值．
【答案】（1）①50 ；②EC AB∥ ；（2） AB EC∥ ；（3）AE 的最小值3．
【解析】
【分析】
（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明 40ABC ， 40ECB ，推出
ABC ECB 即可．
（2）如图③中，以 P为圆心，PB 为半径作⊙P．利用圆周角定理证明 1 40
2
BCE BPE 即
可解决问题．
（3）因为点 E在射线CE上运动，点 P在线段AD上运动，所以当点 P运动到与点A重合时，
AE的值最小，此时AE的最小值 3AB ．
【详解】
（1）①如图②中，
∵ 80BPE ，PB PE ，
∴ 50PEB PBE ，
②结论： AB EC∥ ．
理由：∵ AB AC ， BD DC ，
∴ AD BC ，
∴ 90BDE ，
∴ 90 50 40EBD ，
∵AE垂直平分线段 BC，
∴EB EC ，
∴ 40ECB EBC ，
∵ AB AC ， 100BAC ，
∴ 40ABC ACB ，
∴ ABC ECB ，
∴ AB EC∥ ．
故答案为 50， AB EC∥ ．
（2）如图③中，以 P为圆心，PB 为半径作⊙P．
∵AD垂直平分线段 BC，
∴PB PC ，
∴ 1 40
2
BCE BPE ，
∵ 40ABC ，
∴ AB EC∥ ．
（3）如图④中，作 AH CE⊥ 于H，
∵点 E在射线CE上运动，点 P在线段AD上运动，
∴当点 P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值 3AB ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解
题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于
中考压轴题．
【考点 4】位似变换问题
【例 4】（2019·广西中考真题）如图， ABC 与 ' ' 'A B C 是以坐标原点O为位似中心的位似
图形，若点 2,2 , 3,4A B ， 6,1C ， ' 6,8B 则 ' ' 'A B C 的面积为__．
【答案】18．
【解析】
【分析】
根据 3,4B ， ' 6,8B 的坐标得到位似比，继而得到A、C对应点的坐标，再用 ' ' 'A B C 所在
的矩形的面积减去顶点处的三角形面积即可求得答案.
【详解】
∵ ABC 与 ' ' 'A B C 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
若点 3,4B ， ' 6,8B ，
∴位似比为： 3 1=
6 2
，
∵ 2,2A ， 6,1C ，
∴ ' 4,4 , ' 12,2A C ，
∴ ' ' 'A B C 的面积为： 1 1 16 8 2 4 6 6 2 8 18
2 2 2
，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式 4-1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中， ABO三个顶点的坐标分别为
2,4 , 4,0 , 0,0A B O ．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 1
2
，得到 CDO，
则点 A的对应点C的坐标是__________．
【答案】 1,2 或 1, 2
【解析】
【分析】
根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C.
【详解】
解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 1
2
，点 A的坐标为 2,4 ，
∴点C的坐标为 1 12 ,
2 2
( 4 ) 或 1 12 ,
2 2
( 4 ) ，即 1,2 或 1, 2 ，
故答案为： 1,2 或 1, 2 ．
【点睛】
本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向.
【变式 4-2】（2018·四川中考真题）如图， ABC 在方格纸中.
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 (2,3)A ， (6, 2)C ，并求出 B点坐标；
（2）以原点O为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将 ABC 放大，画出放大后的图形
' ' 'A B C ；
（3）计算 ' ' 'A B C 的面积 S .
【答案】（1）作图见解析； (2,1)B .（2）作图见解析；（3）16.
【解析】
分析：（1）直接利用A，C点坐标得出原点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'；
（3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可．
详解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）；
（2）如图：△A'B'C'即为所求；
（3）S△A'B'C'=
1
2
×4×8=16．
点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画
位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似
比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
一、单选题
1．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点 , 2A m 与点 ( )3,b n 关于 y轴对称，则（ ）
A． 3m ， 2n B． 3m ， 2n C． 2m ， 3n D． 2m ， 3n
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点关于 y轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.
【详解】
A，B关于 y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选 B
【点睛】
本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称.
2．（2019·辽宁中考真题）如图，点 P（8，6）在△ABC的边 AC上，以原点O为位似中心，
在第一象限内将△ABC缩小到原来的 1
2
，得到△A′B′C′，点 P在 A′C′上的对应点 P′
的的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图
形对应点的坐标的比等于 k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】
∵点 P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到
原来的 1
2
，得到△A′B′C′，
∴点 P在 A′C′上的对应点 P′的的坐标为：（4，3）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
3．（2019·湖南中考真题）如图，将 OAB 绕点O逆时针旋转 70°到 OCD 的位置，若
40AOB ，则 AOD （ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据旋转角定义可以知道 70BOD ，而 40AOB ，然后根据图形即可求出 AOD ．
【详解】
解：∵ OAB 绕点O逆时针旋转 70°到 OCD 的位置，
∴ 70BOD ，
而 40AOB ，
∴ 70 40 30AOD
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知
识．
4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋
转 180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作
菱形OABC关于 y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对
称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（ ）
A．(2,-1) B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1)
【答案】A
【解析】
【分析】
先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.
【详解】
如图，
'' 2 1C ， .
故选 A.
【点睛】
本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的
关键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图
形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点 2,3 向右平移 4个单位长度后得到的
点的坐标为（ ）
A． 2,3 B． 6,3 C． 2,7 D． 2, 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角坐标系的坐标平移即可求解.
【详解】
一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加 4，故选A
【点睛】
此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.
7．（2019·湖南中考真题）点 ( 1, 2) 关于原点的对称点坐标是（ ）
A． ( 1, 2)- - B． (1, 2) C． (1, 2) D． (2, 1)
【答案】B
【解析】
【分析】
坐标系中任意一点 ,P x y ，关于原点的对称点是 ,x y ，即关于原点的对称点，横纵坐标都
变成相反数．
【详解】
根据中心对称的性质，得点 1,2 关于原点的对称点的坐标为 1, 2 ．
故选 B．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
8．（2019·湖南中考真题）如图，以点O为位似中心，把 ABC放大为原图形的 2倍得到
A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A． ABC A'B'C'∽ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO:AA' 1: 2 D．AB A'B'
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】
∵以点O为位似中心，把 ABC放大为原图形的 2倍得到 A'B'C'，
∴ ABC A'B'C'∽ ，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB A'B'，
AO:AA' 1:3 ，
∴C选项错误，符合题意．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
9．（2018·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点 A作
AB⊥x轴于点 B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 1
2
，得到△COD，则
CD的长度是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2 5
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．
【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点 B，将△AOB以坐标原点O为位
似中心缩小为原图形的 1
2
，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是 2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质
是解题关键．
10．（2019·山东中考真题）如图，点A的坐标是(-2,0)，点 B的坐标是(0,6)，C为OB的中
点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到 A B C ．若反比例函数 ky
x
的图象恰好经过 A B
的中点D，则 k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
作 'A H y 轴于 .H 证明 AOB≌ 'BHA AAS ，推出OA BH ， 'OB A H ，求出点 'A 坐标，
再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】
解：作 A H y 轴于H．
∵ 90AOB A HB ABA ，
∴ 90ABO A BH ， 90ABO BAO ，
∴ BAO A BH ，
∵ BA BA ，
∴ AOB BHA AAS≌ ，
∴OA BH ，OB A H ，
∵点 A的坐标是 2,0 ，点 B的坐标是 0,6 ，
∴ 2OA ， 6OB ，
∴ 2BH OA ， 6A H OB ，
∴ 4OH ，
∴ 6,4A ，
∵ BD A D ，
∴ 3,5D ，
∵反比例函数 ky
x
的图象经过点D，
∴ 15k ．
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化 -旋转等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．（2019·浙江中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线
的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，
P是其中 4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 P的某条直线剪
一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A． 2 2 B． 5 C． 3 5
2
D． 10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得 EM=DN，利用勾股定理
即可求得．
【详解】
如图， EF为剪痕，过点F作FG EM 于G .
∵ EF将该图形分成了面积相等的两部分，
∴ EF经过正方形 ABCD对角线的交点，
∴ ,AF CN BF DN .
易证 PME PDN ≌ ，
∴EM DN ，
而 AF MG ，
∴ 1EG EM MG DN AF DN CN DC .
在 Rt FGE 中， 2 2 2 23 1 10FG EGEF .
故选：D.
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题
的关键．
12．（2019·湖北中考真题）如图，矩形 ABCD中， AC与 BD相交于点E， : 3 :1AD AB ，
将 ABD△ 沿 BD折叠，点 A的对应点为 F，连接 AF 交 BC于点G，且 2BG ，在 AD边上有一
点H，使得BH EH 的值最小，此时 BH
CF
（ ）
A． 3
2
B． 2 3
3
C． 6
2
D． 3
2
【答案】B
【解析】
【分析】
设 BD与 AF 交于点M．设AB=a，AD= 3 a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE 都是等边
三角形，利用折叠的性质得到 BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= 3 a．解直角△BGM，
求出 BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出 a=2 3，再证明CF=CD=2 3．作 B点
关于AD的对称点 B′，连接 B′E，设 B′E与 AD交于点 H，则此时 BH+EH=B′E，值最小．建
立平面直角坐标系，得出 B（3，2 3），B′（3，-2 3），E（0， 3），利用待定系数法求出
直线 B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出 BH=4，进而求出
4
2 3
BH
CF
= 2 3
3
．
【详解】
如图，设 BD与 AF 交于点M．设AB=a，AD= 3 a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，tan∠ABD= 3
1
AD
AB
，
∴BD=AC= 2 2AB AD =2a，∠ABD=60°，
∴△ABE、△CDE 都是等边三角形，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，
∵将△ABD沿 BD折叠，点A的对应点为 F，
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= 3 a，
在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，
∴GM= 1
2
BG=1，BM= 3GM= 3，
∴DM=BD-BM=2a- 3，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴ AD DM
BG BM
，即 3 2 3
2 3
a a
，
∴a=2 3，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2 3，AD=BC=6，BD=AC=4 3，
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF=CD=2 3，
作 B点关于AD的对称点 B′，连接 B′E，设 B′E与 AD交于点 H，则此时 BH+EH=B′E，
值最小．
如图，建立平面直角坐标系，
则A（3，0），B（3，2 3），B′（3，-2 3），E（0， 3），
易求直线 B′E的解析式为 y=- 3 x+ 3，
∴H（1，0），
∴BH= 2 2(3 1) (2 3 0) =4，
∴
4
2 3
BH
CF
= 2 3
3
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不
变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂
直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，
两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出 BH、CF 的长是解题的关键．
13．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1的正方形OABC绕点
O顺时针旋转 45后得到正方形 1 1 1OABC ，依此方式，绕点O连续旋转 2019 次得到正方形
2019 2019 2019OA B C ，那么点 2019A 的坐标是( )
A．
2 2,
2 2
B． (1,0) C．
2 2,
2 2
D． (0, 1)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、…的坐标，继而发现 8次为一个循环，用 2019 除
以 8，看余数即可求得答案.
【详解】
四边形OABC是正方形，且OA 1 ，
A 0,1 ，
将正方形OABC绕点O逆时针旋转 45后得到正方形 1 1 1OA B C ，
∴点A1的横坐标为 1 2sin 45
2
，点A1的纵坐标为 1 2cos 45
2
，
1
2 2A ,
2 2
，
继续旋转则 2A 1,0 ， 3
2 2A ,
2 2
，A4(0，-1)，A5
2 2,
2 2
，A6(-1，0)，A7
2 2,
2 2
，
A8(0，1)，A9
2 2,
2 2
，……，
发现是 8次一循环，所以2019 8 252 …余 3，
点 2019A 的坐标为
2 2,
2 2
，
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律
是解题的关键.
14．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时
针旋转α(0
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