资料简介
【典例分析】
【考点 1】动点之全等三角形问题
【例 1】如图,直线 4 4
3
y x 与 x轴和 y轴分别交于 ,A B两点,另一条直线过点 A和点 (7,3)C .
(1)求直线 AC的函数表达式;
(2)求证: AB AC ;
(3)若点 P是直线 AC上的一个动点,点Q是 x轴上的一个动点,且以 , ,P Q A为顶点的三角形
与 AOB 全等,求点Q的坐标.
【答案】(1) 3 9
4 4
y x ;(2) 2 2 2AB AD BD ; (3) 点Q的坐标为 (7,0)或 (8,0)或 ( 1,0) 或
( 2,0)
【解析】(1)在 y=- 4
3
x+4 中,令 y=0,则 0=- 4
3
x+4,求得A(3,0),设直线AC对应的函
数关系式为 y=kx+b,解方程组即可得到结论;
(2)在直线ABy=- 4
3
x+4 中,得到 k1=-
4
3
,在直线ACy= 3
4
x− 9
4
中,得到 k2=
3
4
,由于 k1•k2=-1,
即可得到结论;
(3)根据勾股定理得到AB=5,①当∠AQP=90°时,如图 1,由全等三角形的性质得到
AQ=OB=4,于是得到Q1(7,0),Q2(-1,0),②当∠APQ=90°时,如图 2,根据全等三
角形的性质得到AQ=AB=5,于是得到Q3(8,0),Q4(-2,0),③当∠PAQ=90°时,这种
情况不存在.
【详解】(1)在 y=- 4
3
x+4 中,
令 y=0,则 0=- 4
3
x+4,
∴x=3,
∴A(3,0),
设直线AC对应的函数关系式为 y=kx+b,
则:
0 3
3 7
k b
k b
=
=
,解得:
3
4
9
4
k
b
=
=
,
∴直线AC对应的函数关系式为 y= 3
4
x- 9
4
.
(2) 在直线 ABy=- 4
3
x+4 中,
∵k1=-
4
3
,
在直线ACy= 3
4
x− 9
4
中,k2=
3
4
,
∴k1•k2=-1,
∴AB⊥AC;(3)在 y=- 4
3
x+4 中,
令 x=0,则 y=4,
∴OA=3,OB=4,由勾股定理得AB=5,
①当∠AQP=90°时,如图 1,∵△AOB≌△AQP,
∴AQ=OB=4,
∴Q1(7,0),Q2(-1,0),
②当∠APQ=90°时,如图 2,∵△AOB≌△AQP,
∴AQ=AB=5,
∴Q3(8,0),Q4(-2,0).
③当∠PAQ=90°时,这种情况不存在,
综上所述:点Q的坐标为:(7,0)(8,0)(-1,0)(-2,0).
【点睛】考查了一次函数综合题,待定系数法求函数的解析式,勾股定理的应用和全等三角形
的性质等知识,分类讨论是解题关键,以防遗漏.
【变式 1-1】)如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线 BM⊥BQ,垂足为 B,动点 P从
C点出发以 1cm/s 的速度沿射线CQ运动,点 N为射线 BM上一动点,满足 PN=AB,随着 P点
运动而运动,当点 P运动_______秒时,△BCA与点 P、N、B为顶点的三角形全等.(2 个全等
三角形不重合)
【答案】0;4;8;12
【解析】此题要分两种情况:①当 P在线段 BC上时,②当 P在 BQ上,再分别分两种情况
AC=BP或 AC=BN进行计算即可.
【详解】解:①当 P在线段 BC上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,
∵AC=2,
∴BP=2,
∴CP=6−2=4,
∴点 P的运动时间为 4÷1=4(秒);
②当 P在线段 BC上,AC=BN时,△ACB≌△NBP,
这时 BC=PN=6,CP=0,因此时间为 0秒;
③当 P在 BQ上,AC=BP 时,△ACB≌△PBN,
∵AC=2,
∴BP=2,
∴CP=2+6=8,
∴点 P的运动时间为 8÷1=8(秒);
④当 P在 BQ上,AC=NB 时,△ACB≌△NBP,
∵BC=6,
∴BP=6,
∴CP=6+6=12,
点 P的运动时间为 12÷1=12(秒),
故答案为:0或 4或 8或 12.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等时必须有边的参与,若有两边
一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
【考点 2】动点之直角三角形问题
【例 2】(模型建立)
(1)如图 1,等腰直角三角形 ABC中, 90ACB ,CB CA ,直线 ED经过点C,过 A作
AD ED 于点D,过 B作 BE ED 于点E .求证: BEC CDA ;
(模型应用)
(2)已知直线 1l :
4 4
3
y x 与坐标轴交于点 A、B,将直线 1l 绕点 A逆时针旋转 45至直线 2l ,
如图 2,求直线 2l 的函数表达式;
(3)如图 3,长方形 ABCO,O为坐标原点,点 B的坐标为 8, 6 ,点 A、C分别在坐标轴
上,点 P是线段 BC上的动点,点D是直线 2 6y x 上的动点且在第四象限.若 APD 是以点
D为直角顶点的等腰直角三角形,请直接..写出点D的坐标.
【答案】(1)见解析;(2)y=−7x−21;(3)D(4,−2)或( 20
3
, 22
3
).
【解析】(1)根据△ABC为等腰直角三角形,AD⊥ED,BE⊥ED,可判定 BEC CDA ;
(2)①过点 B作 BC⊥AB,交 l2于C,过C作CD⊥y轴于D,根据△CBD≌△BAO,得出
BD=AO=3,CD=OB=4,求得C(−4,7),最后运用待定系数法求直线 l2的函数表达式;
(3)根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形,当点D是直线 y=−2x+6上的动
点且在第四象限时,分两种情况:当点D在矩形AOCB的内部时,当点D在矩形AOCB 的
外部时,设D(x,−2x+6),分别根据△ADE≌△DPF,得出AE=DF,据此列出方程进行求
解即可.
【详解】解:(1)证明:∵△ABC为等腰直角三角形,
∴CB=CA,∠ACD+∠BCE=90°,
又∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠D=∠E=90°,∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠EBC,
在△ACD与△CBE 中,
D E
ACD EBC
CA CB
=
=
=
,
∴ BEC CDA (AAS);
(2)①如图 2,过点 B作 BC⊥AB,交 l2于C,过C作CD⊥y轴于D,
∵∠BAC=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
由(1)可知:△CBD≌△BAO,
∴BD=AO,CD=OB,
∵直线 l1:y= 4
3
x+4 中,若 y=0,则 x=−3;若 x=0,则 y=4,
∴A(−3,0),B(0,4),
∴BD=AO=3,CD=OB=4,
∴OD=4+3=7,
∴C(−4,7),
设 l2的解析式为 y=kx+b,则
7 4
0 3
k b
k b
,
解得:
7
21
k
b
,
∴l2的解析式为:y=−7x−21;
(3)D(4,−2)或( 20
3
, 22
3
).
理由:当点D是直线 y=−2x+6 上的动点且在第四象限时,分两种情况:
当点D在矩形AOCB的内部时,如图,过D作 x轴的平行线 EF,交直线OA于 E,交 BC于
F,
设 D(x,−2x+6),则OE=2x−6,AE=6−(2x−6)=12−2x,DF=EF−DE=8−x,
由(1)可得,△ADE≌△DPF,则 DF=AE,即:12−2x=8−x,
解得 x=4,
∴−2x+6=−2,
∴D(4,−2),
此时,PF=ED=4,CP=6=CB,符合题意;
当点D在矩形AOCB的外部时,如图,过D作 x轴的平行线 EF,交直线OA于 E,交直线
BC于 F,
设D(x,−2x+6),则OE=2x−6,AE=OE−OA=2x−6−6=2x−12,DF=EF−DE=8−x,
同理可得:△ADE≌△DPF,则 AE=DF,即:2x−12=8−x,
解得 x= 20
3
,
∴−2x+6= 22
3
,
∴D( 20
3
, 22
3
),
此时,ED=PF= 20
3
,AE=BF= 4
3
,BP=PF−BF=16
3
<6,符合题意,
综上所述,D点坐标为:(4,−2)或( 20
3
, 22
3
)
【点睛】本题属于一次函数综合题,主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直
角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等
三角形,运用全等三角形的性质进行计算,解题时注意分类思想的运用.
【变式 2-1】(2019·辽宁中考模拟)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+4 的图象与 x 轴交于点
A(4,0)和点 D(﹣1,0),与 y轴交于点C,过点C作 BC平行于 x轴交抛物线于点 B,连接
AC
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点 M从点O出发以每秒 2个单位长度的速度向点A运动;点N从点 B同时出发,以每秒
1个单位长度的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停动,过点N
作NQ垂直于 BC交 AC于点Q,连结MQ.
①求△AQM的面积 S与运动时间 t 之间的函数关系式,写出自变量的取值范围;当 t 为何值
时,S有最大值,并求出 S的最大值;
②是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明
理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)①S=-t2+t+2;0≤t≤2;t= 1
2
时,S 最大值=
9
4
;②存在,点M
的坐标分别为(1,0)和(2,0).
【解析】(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解.
(2)①分别用 t 表示出AM、PQ,由三角形面积公式直接写出含有 t 的二次函数关系式,由二
次函数的最大值可得答案;
②分类讨论直角三角形的直角顶点,然后解出 t,求得M坐标.
【详解】(1)∵二次函数的图象经过A(4,0)和点 D(﹣1,0),
∴
16 4 4 0
4 0
a b
a b
,
解得
1
3
a
b
,
所以,二次函数的解析式为 y=﹣x2+3x+4.
(2)①延长NQ交 x轴于点 P,
∵BC平行于 x轴,C(0,4)
∴B(3,4),NP⊥OA.
根据题意,经过 t秒时,NB=t,OM=2t,
则CN=3﹣t,AM=4﹣2t.
∵∠BCA=∠MAQ=45°,
∴QN=CN=3﹣t,
∴PQ=NP﹣NQ=4﹣(1﹣t)=1+t,
∴S△AMQ=
1
2
AM×PQ= 1
2
(4-2t)(1+t)
=﹣t2+t+2.
∴S=-t2+t+2=-(t- 1
2
)2+ 9
4
.
∵a=﹣1<0,且 0≤t≤2,∴S有最大值.
当 t= 1
2
时,S 最大值=
9
4
.
②存在点M,使得△AQM为直角三角形.
设经过 t秒时,NB=t,OM=2t,
则CN=3﹣t,AM=4﹣2t,
∴∵∠BCA=∠MAQ=45°.
Ⅰ.若∠AQM=90°,
则 PQ是等腰 Rt△MQA底边MA上的高.
∴PQ是底边MA的中线,
∴PQ=AP= 1
2
MA,
∴1+t= 1
2
(4﹣2t),
解得,t= 1
2
,
∴M的坐标为(1,0).
Ⅱ.若∠QMA=90°,此时QM与QP重合.
∴QM=QP=MA,
∴1+t=4﹣2t,
∴t=1,
∴点M的坐标为(2,0).
所以,使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1,0)和(2,0).
【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了三角形的面积,要注意利用点的坐标的意
义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数.
【变式 2-2】如图,四边形ABCD是正方形,以DC为边向外作等边△DCE,连接 AE交 BD
于点 F,交CD于点G,点 P是线段 AE上一动点,连接DP、BP.
(1)求∠AFB 的度数;
(2)在点 P从 A到 E的运动过程中,若DP平分∠CDE,求证:AG•DP=DG•BD;
(3)已知 AD=6,在点 P从 A到 E的运动过程中,若△DBP 是直角三角形,请求DP的长.
【答案】(1) 60°;(2)见解析;(3) DP=6 或 DP=3 3-3或 DP=3 6 3 2 时,△DBP 是
直角三角形
【解析】(1)根据正方形的性质、等边三角形的性质解答;
(2)连接AC,证明△DGP∽△AGC,根据相似三角形的对应边的比相等证明;
(3)根据正方形的性质、勾股定理分别求出 BD、OD,根据直角三角形的性质求出DF,分
∠BPD=90°、∠BDP=90°两种情况,根据相似三角形的性质计算.
【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DC,∠ADC=90°,
又∵△DCE 是等边三角形,
∴DE=DC,∠EDC=60°,
∴DA=DE,∠ADE=150°,
∴∠DAE=15°,
又∠ADB=45°,
∴∠AFB=∠DAF+∠ADF=15°+45°=60°;
(2)连接AC,
∠CAG=∠CAD﹣∠DAG=45°﹣15°=30°,
∵DP平分∠CDE,
∴ 1 30
2
GDP EDC ,
∴∠PDG=∠CAG,
又∠DGP=∠AGC,
∴△DGP∽△AGC,
∴ DG DP
AG AC
,即AG•DP=DG•AC,
∵AC=DB,
∴AG•DP=DG•BD;
(3)连接AC交 BD于点O,则∠AOF=90°,
∵AD=6,
∴0A 0D 3 2 ,
在 Rt△AOF中,∠OAF=30°,
∴ 6, 2 6OF AF ,
∴FD 3 2 6 ,
由图可知:0°<∠DBP≤45°,
则△DBP 是直角三角形只有∠BPD=90°和∠BDP=90°两种情形:
①当∠BPD=90°时,
I、若点 P与点A重合,∠BPD=90°,
∴DP=DA=6;
II、当点 P在线段AE上时,∠BPD=90°,
连接OP, 1 3 2
2
OP OA BD ,
∴∠OPA=∠OAP=30°,
∴∠AOP=120°,
∴∠FOP=∠AOP﹣∠AOF=30°,
∴∠DBP=∠OPB=15°,
∴∠FDP=75°,
又∠BAF=∠BAD﹣∠DAF=75°,
∴∠BAF=∠PDF,
又∠AFB=∠DFP,
∴△BAF∽△PDF,
∴ DP DF
AB AF
,即 3 2 6
6 2 6
DP
解得, 3 3 3DP ;
②当∠BDP=90°时,∠DFP=∠AFB=60°,
∴DP=DF×tan∠DFP= 3(3 2 6) 3 6 3 2 ,
综上,DP=6 或 DP=3 3-3或 DP=3 6 3 2 时,△DBP 是直角三角形.
【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角
三角形的性质,掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
【考点 3】动点之等腰三角形问题
【例 3】(2019·湖南中考真题)如图一,在射线DE的一侧以 AD为一条边作矩形 ABCD,
5 3AD , 5CD ,点M 是线段 AC上一动点(不与点 A重合),连结 BM,过点M 作 BM的
垂线交射线DE于点N ,连接BN.
(1)求 CAD 的大小;
(2)问题探究:动点M 在运动的过程中,
①是否能使 AMN 为等腰三角形,如果能,求出线段MC的长度;如果不能,请说明理由.
② MBN 的大小是否改变?若不改变,请求出 MBN 的大小;若改变,请说明理由.
(3)问题解决:
如图二,当动点M 运动到 AC的中点时,AM与BN的交点为 F,MN的中点为H,求线段 FH
的长度.
【答案】(1) 30 CAD ;(2)①能,CM的值为 5或5 3;②大小不变, 30 MBN ;(3)
5 3
6
FH .
【解析】(1)在 Rt ADC 中,求出 DAC 的正切值即可解决问题.
(2)①分两种情形:当 NA NM 时,当 AN AM 时,分别求解即可.
② 30MBN .利用四点共圆解决问题即可.
(3)首先证明 ABM 是等边三角形,再证明BN垂直平分线段 AM,解直角三角形即可解决问
题.
【详解】解:(1)如图一(1)中,
∵四边形 ABCD是矩形,
∴ 90ADC ,
∵ DC 5 3tan
AD 35 3
CAD ,
∴ 30 CAD .
(2)①如图一(1)中,当 AN NM 时,
∵ 90BAN BMN , BN BN , AN NM ,
∴ Rt Rt ( )BNA BNM HL ,
∴ BA BM ,
在Rt ABC 中,∵ 30ACB DAC , 5AB CD ,
∴ 2 10AC AB ,
∵ 60BAM , BA BM ,
∴ ABM 是等边三角形,
∴ 5AM AB ,
∴ 5CM AC AM .
如图一(2)中,当 AN AM 时,易证 15AMN ANM ,
∵ 90BMN ,
∴ 75CMB ,∵ 30MCB ,
∴ 180 75 30 75CBM ,
∴ CMB CBM ,
∴ 5 5CM CB ,
综上所述,满足条件的CM的值为 5或5 3.
②结论: 30 MBN 大小不变.
理由:如图一(1)中,∵ 180BAN BMN ,
∴ , , ,A B M N 四点共圆,
∴ 30MBN MAN .
如图一(2)中,∵ 90BMN BAN ,
∴ , , ,A N B M 四点共圆,
∴ 180MBN MAN ,
∵ 180DAC MAN ,
∴ 30MBN DAC ,
综上所述, 30 MBN .
(3)如图二中,
∵ AM MC ,
∴ BM AM CM ,
∴ 2AC AB ,
∴ AB BM AM ,
∴ ABM 是等边三角形,
∴ 60BAM BMA ,
∵ 90BAN BMN ,
∴ 30NAM NMA ,
∴ NA NM ,
∵ BA BM ,
∴BN垂直平分线段 AM,
∴ 5
2
FM ,
∴ 5 3
cos30 3
FMNM ,
∵ 90NFM , NH HM ,
∴ 1 5 3
2 6
FH MN .
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角
形,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
【变式 3-1】如图①,已知正方形 ABCD边长为 2,点 P是 AD边上的一个动点,点 A关于直
线BP的对称点是点Q,连结 PQ、DQ、CQ、 BQ .设 AP=x.
(1)当 1x 时,求 BP长;
(2)如图②,若 PQ的延长线交CD边于E,并且 90CQD o,求证: CEQ 为等腰三角形;
(3)若点 P是射线 AD上的一个动点,则当 CDQ 为等腰三角形时,求 x的值.
【答案】(1)BP= 5;(2)证明见解析;(3)△CDQ为等腰三角形时 x的值为 4-2 3、2 3
3
、
2 3 +4.
【解析】(1)利用勾股定理求出 BP 的长即可;(2)根据对称性质及正方形的性质可得
AB=BQ=BC,∠A=∠BQP=∠BCE=90°,可得∠BQE=90°,由第一视角相等性质可得
∠BCQ=∠BQC,根据同角或等角的余角相等的性质可得∠EQC=∠ECQ,可得 EC=EQ,可
得结论;(3)若△CDQ为等腰三角形,则边CD边为该等腰三角形的一腰或者底边.又Q点
为A点关于 PB 的对称点,则AB=QB,以点 B为圆心,以AB的长为半径画弧,则Q点只能
在弧AB上.若CD为腰,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDQ
为等腰三角形(CD为腰)的Q点.若CD为底边,则作CD的垂直平分线,其与弧AC的
交点即为使得△CDQ为等腰三角形(CD为底)的Q点.则如图所示共有三个Q点,那么
也共有 3个 P点.作辅助线,利用直角三角形性质求之即可.
【详解】(1)∵AP=x=1,AB=2,
∴BP= 2 2AB AP = 5,
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠BCD=90°.
∵Q点为A点关于 BP的对称点,
∴AB=QB,∠A=∠PQB=90°,
∴QB=BC,∠BQE=∠BCE=90°,
∴∠BQC=∠BCQ,
∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°,
∴∠EQC =∠ECQ,
∴EQ=EC,即△CEQ为等腰三角形.
(3)如图,以点 B为圆心,以AB的长为半径画弧,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,
两弧分别交于Q1,Q3.此时△CDQ1,△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形.
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2,此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形.
①讨论Q1,如图,连接 BQ1、CQ1,作 PQ1⊥BQ1交AD于 P,过点Q1,作 EF⊥AD于 E,
交 BC于 F,
∵△BCQ1为等边三角形,正方形ABCD 边长为 2,
∴FC=1,Q1F= 2 2
1CQ FC = 3,Q1E=2- 3,
在四边形ABPQ1中,
∵∠ABQ1=30°,
∴∠APQ1=150°,
∴∠EPQ1=30°,△PEQ1为含 30°的直角三角形,
∴PE= 3 EQ1=2 3 -3,
∵EF 是 BC的垂直平分线,
∴AE= 1
2
AD=1,
∴x=AP=AE-PE=1-(2 3 -3)=4-2 3 .
②讨论Q2,如图,连接 BQ2,AQ2,过点Q2作 PG⊥BQ2,交AD于 P,交CD于G,连接
BP,过点Q2作 EF⊥CD于 E,交AB于 F,
∵EF 垂直平分CD,
∴EF 垂直平分AB,
∴AQ2=BQ2.
∵AB=BQ2,
∴△ABQ2为等边三角形.
∴AF= 1
2
AE=1,FQ2= 2 2AE AF = 3,
在四边形ABQ2P 中,
∵∠BAD=∠BQ2P=90°,∠ABQ2=60°,
∴∠APQ2=120°,
∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°,
∴EQ2=EF-FQ2=2- 3,
EG= 3 EQ2=2 3 -3,
∴DG=DE+GE=1+2 3 -3=2 3 -2,
∴DG= 3 PD,即 PD=2- 2 3
3
,
∴x=AP=2-PD= 2 3
3
.
③对Q3,如图作辅助线,连接 BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,过点Q3作 PQ3⊥BQ3,交AD的延
长线于 P,连接 BP,过点Q1,作 EF⊥AD于 E,此时Q3在 EF 上,记Q3与 F重合.
∵△BCQ1为等边三角形,△BCQ3为等边三角形,BC=2,
∴Q1Q2=2 3,Q1E=2- 3,
∴EF=2+ 3,
在四边形ABQ3P 中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°,
∴∠EPF=30°,
∴EP= 3 EF=2 3 +3,
∵AE=1,
∴x=AP=AE+PE=1+2 3 +3=2 3 +4.
综上所述:△CDQ为等腰三角形时 x的值为 4-2 3、 2 3
3
、2 3 +4.
【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含 30°角的直角三角形的性质,第三问是
一个难度非常高的题目,可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全.另外求解各个 P
点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并灵活运所学知识是解题关键.
【变式 3-2】(2019·河南中考模拟)如图,抛物线 y=ax2+bx+3 交 y 轴于点A,交 x 轴于点
B(-3,0)和点C(1,0),顶点为点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点 E为 x 轴上一动点,若△AME的周长最小,请求出点 E的坐标;
(3)点 F为直线AB上一个动点,点 P为抛物线上一个动点,若△BFP为等腰直角三角形,
请直接写出点 P的坐标.
【答案】(1) 2 2 3y x x ;(2)E(- 3
7
,0);(3)点 P的坐标为(2,-5)或(1,0).
【解析】(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),然后将点A的坐标代入函数解析式即
可求得此抛物线的解析式;
(2)作A关于 x轴的对称点A′(0,-3),连接MA′交 x轴于 E,此时△AME的周长最小,
求出直线MA'解析式即可求得 E的坐标;
(3)如图 2,先求直线AB的解析式为:y=x+3,根据解析式表示点 F的坐标为(m,m+3),
分三种情况进行讨论:
①当∠PBF=90°时,由 F1P⊥x 轴,得 P(m,-m-3),把点 P的坐标代入抛物线的解析式可
得结论;
②当∠BF3P=90°时,如图 3,点 P与C重合,
③当∠BPF4=90°时,如图 3,点 P与C重合,
从而得结论.
【详解】(1)当 x=0 时,y=3,即 A(0,3),
设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),
把A(0,3)代入得:3=-3a,
a=-1,
∴y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,
即抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3;
(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴M(-1,4),
如图 1,作点A(0,3)关于 x轴的对称点A'(0,-3),连接A'M交 x轴于点 E,则点 E就
是使得△AME的周长最小的点,
设直线A′M的解析式为:y=kx+b,
把 A'(0,-3)和M(-1,4)代入得:
4
3
k b
b
=
=
,
解得:
7
3
k
b
=
=
∴直线A'M的解析式为:y=-7x-3,
当 y=0 时,-7x-3=0,
x=- 3
7
,
∴点 E(- 3
7
,0),
(3)如图 2,易得直线AB的解析式为:y=x+3,
设点 F的坐标为(m,m+3),
①当∠PBF=90°时,过点 B作 BP⊥AB,交抛物线于点 P,此时以 BP 为直角边的等腰直角三
角形有两个,即△BPF1和△BPF2,
∵OA=OB=3,
∴△AOB和△A'OB 是等腰直角三角形,
∴∠F1BC=∠BF1P=45°,
∴F1P⊥x轴,
∴P(m,-m-3),
把点 P的坐标代入抛物线的解析式 y=-x2-2x+3 中得:
-m-3=-m2-2m+3,
解得:m1=2,m2=-3(舍),
∴P(2,-5);
②当∠BF3P=90°时,如图 3,
∵∠F3BP=45°,且∠F3BO=45°,
∴点 P与C重合,
故 P(1,0),
③当∠BPF4=90°时,如图 3,
∵∠F4BP=45°,且∠F4BO=45°,
∴点 P与C重合,
故 P(1,0),
综上所述,点 P的坐标为(2,-5)或(1,0).
【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式,周长最短问题,等腰直角三角形的性质和判
定等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用.
【变式 3-3】(2019·广西中考真题)已知抛物线 2y mx 和直线 y x b 都经过点 2,4M ,
点O为坐标原点,点 P为抛物线上的动点,直线 y x b 与 x轴、 y轴分别交于 A B、两点.
(1)求m b、 的值;
(2)当 PAM 是以 AM为底边的等腰三角形时,求点 P的坐标;
(3)满足(2)的条件时,求sin BOP 的值.
【答案】(1) 1m ; 2b ;(2)点 P的坐标为 1,1 或 2,4 ;(3)sin BOP 的值为 2
2
或 5
5
.
【解析】(1)根据点M 的坐标,利用待定系数法可求出 ,m b的值;
(2)由(1)可得出抛物线及直线 AB的解析式,继而可求出点 A的坐标,设点 P的坐标为 2( , )x x ,
结合点 ,A M 的坐标可得出 2 2,PA PM 的值,再利用等腰三角形的性质可得出关于 x的方程,解
之即可得出结论;
(3)过点 P作 PN y 轴,垂足为点N ,由点 P的坐标可得出 ,PN PO的长,再利用正弦的定义
即可求出 sin BOP 的值.
【详解】(1)将 2,4M 代入 2y mx ,得:4 4m ,
∴ 1m ;
将 2,4M 代入 y x b ,得: 4 2 b ,
∴ 2b ;
(2)由(1)得:抛物线的解析式为 2y x= ,直线 AB的解析式为 2y x ,
当 0y 时, 2 0x ,
解得: 2x ,
∴点 A的坐标为 2,0 , 2OA ,
设点 P的坐标为 2( , )x x ,则 22 2 2 4 22 0 4( ) 4PA x x x x x ,
22 2 2 4 2( )2 4 7 4 20PM x x x x x ,
∵ PAM 是以 AM为底边的等腰三角形,
∴ 2 2PA PM ,即 4 2 4 24 4 7 4 20x x x x x x ,
整理,得: 2 2 0x x ,
解得: 1 21, 2x x ,
∴点 P的坐标为 1,1 或 2,4 ;
(3)过点 P作 PN y 轴,垂足为点N ,如图所示,
当点 P的坐标为 1,1 时, 1PN , 2 21 1 2PO ,
∴ 2sin
2
PNBOP
PO
;
当点 P的坐标为 2,4 时, 2PN , 2 22 4 2 5PO ,
∴ 5sin
5
PNBOP
PO
,
∴满足(2)的条件时,sin BOP 的值的值为 2
2
或 5
5
.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数
图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形,解题的关键是:(1)
根据点的坐标,利用待定系数法求出 ,m b的值;(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质,找出
关于 x的方程;(3)通过解直角三角形,求出sin BOP 的值.
【考点 4】动点之相似三角形问题
【例 4】在边长为4的正方形 ABCD中,动点E以每秒1个单位长度的速度从点 A开始沿边 AB
向点 B运动,动点 F以每秒2个单位长度的速度从点 B开始沿边 BC向点C运动,动点 E比动点
F先出发1秒,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点F的运动时间为 t
秒.
1 如图1,连接DE , AF,若DE AF ,求 t的值
2 如图2,连接 ,EF DF,当 t为何值时, ?EBF DCF
【答案】(1)t=1;(2) 当 t为 9 57
2
秒时, EBF DCF
【解析】(1)利用正方形的性质及条件,得出 ABF DAE≌ ,由 BF=AE,列出方程解方程即
可
(2) EBF DCF ,得到 EB BF
DC CF
,用 t 表示出 BF、AE、FC、BE 列出方程解方程即可,
最后对 t的取值进行取舍
【详解】解: 1 四边形 ABCD是正方形
, 90AB AD ABF DAE
90ADE AED
DE AF
90BAF AED
BAF ADE
ABF DAE ≌
由题意得, 2 , 1BF t AE t
2 1t t
解得: 1t
2 若 EBF DCF
则 EB BF
DC CF
1, 2AE t BF t
4 1 3BE t t , 4 2CF t
3 2
4 4 2
t t
t
解得 1 2
9 57 9 57,
2 2
t t
由题意知: 2t
9 57
2
t
当 t为 9 57
2
秒时, EBF DCF
【点睛】本题考查正方形基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,第
二问的关键在于能够写出比例式列出方程,最后要记得对方程的解进行取舍
【变式 4-1】已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点
A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),BC= 3
4
AC
(1)求过点 A,B的直线的函数表达式;
(2)在 x轴上找一点D,连接 DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的
坐标;
(3)在(2)的条件下,如 P,Q分别是AB和 AD上的动点,连接 PQ,设AP=DQ=m,
问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请
说明理由.
【答案】(1)y= 3
4
x+ 9
4
;(2)D点位置见解析,D(13
4
,0);(3)符合要求的m的值为125
36
或 25
9
.
【解析】(1)先根据A(−3,1),C(1,0),求出AC进而得出 BC=3求出 B点坐标,利
用待定系数法求出直线AB的解析式即可;
(2)运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标;
(3)由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等,只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB
两种情况讨论,然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程,就可解决问题.
【详解】解:(1)∵A(﹣3,0),C(1,0),
∴AC=4,
∵BC= 3
4
AC,
∴BC= 3
4
×4=3,
∴B(1,3),
设直线AB的解析式为 y=kx+b,
∴
3 0
3
k b
k b
,
∴
3
4
9
4
k
b
,
∴直线AB的解析式为 y= 3
4
x+ 9
4
;
(2)若△ADB 与△ABC相似,过点 B作 BD⊥AB交 x 轴于 D,
∴∠ABD=∠ACB=90°,如图 1,
此时 AB
AC
= AD
AB
,即AB2=AC•AD.
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∴25=4AD,
∴AD= 25
4
,
∴OD=AD﹣AO= 25
4
﹣3=13
4
,
∴点D的坐标为(13
4
,0);
(3)∵AP=DQ=m,
∴AQ=AD﹣QD= 25
4
﹣m.
Ⅰ、若△APQ∽△ABD,如图 2,
则有 AP
AB
= AQ
AD
,
∴AP•AD=AB•AQ,
∴ 25
4
m=5( 25
4
﹣m),
解得m= 25
9
;
Ⅱ、若△APQ∽△ADB,如图 3,
则有 AP
AD
= AQ
AB
,
∴AP•AB=AD•AQ,
∴5m= 25
4
( 25
4
﹣m),
解得:m=125
36
,
综上所述:符合要求的m的值为125
36
或 25
9
.
【点睛】此题是相似形综合题,主要考查了是待定系数法,相似三角形的判定与性质、勾股定
理等知识,也考查了分类讨论的数学思想,属于中档题,解本题的关键是根据相似建立方程求
解.
【变式 4-2】如图,已知抛物线 2y ax bx c 经过A(-3,0)、B(8,0)、C(0,4)三点,
点D是抛物线上的动点,连结AD与 y轴相交于点 E,连结AC,CD.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)当AD平分∠CAB时.
①求直线AD所对应的函数表达式;
②设 P是 x轴上的一个动点,若△PAD与△CAD相似,求点 P的坐标.
【答案】(1) 21 5 4
6 6
y x x ;(2)① 1 3
2 2
y x ;②(2,0)或(13,0).
【解析】(1)将 3 0A , 、 8,0B 、 0,4C 点坐标代入抛物线 2y ax bx c ,化简计算即可;
(2)①设 0,E t ,根据 AD平分 CAB ,EH AC ,EO x 轴,求得 5AC ,并证得 CHE ∽
COA,利用
A
EH
OA
CE
C
可的 3
2
t ,可得 E点坐标,把 3 0A , ,
30,
2
E
代入 y kx b ,化简
可得AD所对应的函数表达式;
②因为 P是 x轴上的一个动点,且 PAD△ 与 CAD相似,并且 ACD是腰长为 5的等腰三角
形,所以 P点有两种情况:AD为等腰三角形的斜边,或者以AD为腰, 2P A为底,分别讨论
求解即可.
【详解】解(1)∵抛物线经过 3 0A , 、 8,0B 、 0,4C 三点,
∴
9 3 0
64 8 0
4
a b c
a b c
c
,解得:
1
6
5
6
4
a
b
c
,
∴抛物线的表达式为 21 5 4
6 6
y x x ;
(2)①作 EH AC 于点H,如图,设 0,E t .
∵ AD平分 CAB , EH AC ,EO x 轴,
∴EH EO t , 4CE t ,
在Rt OAC△ 中, 2 2 2 23 4 5AC OA OC .
∵ 90CHE COA
HCE OCA ,
∴ CHE ∽ COA,
∴
A
EH
OA
CE
C
∴ 4
3 5
t t
,解得: 3
2
t ,
∴
30,
2
E
,设直线AD的表达式为 y kx b ,
把 3 0A , ,
30,
2
E
代入,
得
0 3
3
2
k b
b
,解得:
1
2
3
2
k
b
,
∴直线AD所对应的函数表达式为 1 3
2 2
y x ;
② 直线AD与二次函数相交于点D,
∴
21 5 4
6 6
1 3
2 2
y x x
y x
解得
3
0
x
y
或
5
4
x
y
,
点D在第一象限,
∴点D坐标为 5,4 ,
∴ 5DC AC ,且DC AB∥ ,
∴ ACD是腰长为 5的等腰三角形,
P 是 x轴上的一个动点,且 PAD△ 与 CAD相似,
∴ PAD△ 也为等腰三角形,
如上图示,
当AD为等腰三角形的斜边时, 1 1 5PA PD ,
3,0A
∴点 1P的坐标为 2,0 ;
当以AD为腰, 2P A为底时,作 2DF AP
点D坐标为 5,4 , 3 0A ,
∴ 3 5 8AF OA OF
∴ 2 2 16AP AF , 2 2 16 3 13OP AP OA ,
∴点 P的坐标为 13,0 .
综上所述点 P的坐标为 2,0 或 13,0 .
【点睛】本题考查了二次函数综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的性
质;会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式;灵活利用相似比表示线段之间的关系;
理解坐标与图形性质.
【考点 5】动点之平行四边形问题(含特殊四边形)
【例 5】(2019·广东中考模拟)如图,点O是平面直角坐标系的原点,点A( 3,3),AC⊥OA
与 x轴的交点为C.动点M以每秒 3个单位长度由点A向点O运动.同时,动点N以每秒
3个单位长度由点O向点C运动,当一动点先到终点时,另一动点立即停止运动.
(1)写出∠AOC的值;
(2)用 t 表示出四边形AMNC的面积;
(3)求点 P的坐标,使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形?
【答案】(1)30°;(2) 296 3 (0 2)
4
t t ;(3) 3
3 3P 3t t, t
2 2
.
【解析】(1)如图 1中,作AH⊥OC于 H.在 Rt△AOH中,解直角三角形求出∠AOH即可
解决问题.
(2)作MK⊥BC于 K.根据 S 四边形AMNC=S△OAC﹣S△OMN,计算即可.
(3)分别考虑以OM,ON,MN为平行四边形的对角线,利用平行四边形的性质求解即可.
【详解】解:(1)如图 1中,作AH⊥OC于 H.
∵A( 3,3),
∴OH= 3,AH=3,
∴tan∠AOH= AH
OH
= 3,
∴∠AOH=60°,
∵OA⊥AC,
∴∠OAC=90°,
∴∠ACO=30°.
(2)作MK⊥BC于 K.
在 Rt△AOH中,∵OH= 3,∠OAH=30°,
∴OA=2OH=2 3,
在 Rt△AOC中,∵∠AOC=30°,OA=2 3,
∴AC= 3OA=6,
∵OM= 3 t,
∴MK=OM•sin60°= 3
2
t,
∴S 四边形AMNC=S△OAC﹣S△OMN
= 1
2
•OA•AC﹣ 1
2
•ON•MKa
= 1
2
×2 3×6﹣ 1
2
×3t× 3
2
t
=6 3﹣
9
4
t2(0<t<2).
(3)当四边形CNMP1是平行四边形时,P1(
3
2
t﹣3t, 3
2
t).
当四边形ONP2M是平行四边形时,P2(
3
2
t+3t, 3
2
t).
当四边形OMNP3是平行四边形时,P3(3t﹣ 3
2
t,﹣ 3
2
t).
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了四边形的面积,平行四边形的性质,解直角三角形等
知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
【变式 5-1】(2019·江西中考真题)在图 1,2,3中,已知 , ,点 为线
段 上的动点,连接 ,以 为边向上作菱形 ,且 .
(1)如图 1,当点 与点 重合时, ________°;
(2)如图 2,连接 .
①填空: _________ (填“>”,“
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