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人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.1

2021-04-06
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第十八章平行四边形 18.1 平行四边形第 1 课时平行四边形的边、角性质 1 课堂讲解平行四边形的定义平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行线之间的距离 2 课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业 1 知识点平行四边形的定义知 1 －导两组对边分别平行四边形平行四边形 ∠ A 与∠ C ，∠ B 与∠ D 叫做对角 . AB 与 CD ， AD 与 BC 叫做对边 . 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . A D C B 例 1 如图，在 ▱ ABCD 中，过点 P 作直线 EF ， GH 分别平行于 AB ， BC ，那么图中共有 ______ 个平行四边形．知 1 －讲导引：根据平行四边形的定义，知 AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，由已知可知， EF ∥ AB ， GH ∥ BC ，所以根据平行四边形的定义可以判定四边形 ABFE 是平行四边形，同理可判定四边形 EFCD 、四边形 AGHD 、四边形 GBCH 、四边形 AGPE 、四边形 EPHD 、四边形 GBFP 、四边形 PFCH 都是平行四边形，最后还要加上 ▱ ABCD ，即共有 9 个平行四边形． 9 如图，▱ ABCD 中， EF ∥ GH ∥ BC ， MN ∥ AB ，则图中平行四边形的个数是 ( 　　 ) A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 18 知 1 －练 1 D ( 中考 · 泰安 ) 如图，在▱ ABCD 中， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， ∠ C 的平分线交 AD 于 E ，交 BA 的延长线于 F ，则 AE ＋ AF 的值等于 ( 　　 ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 知 1 －练 2 C 【中考 · 广州】如图， E ， F 分别是▱ ABCD 的边 AD ， BC 上的点， EF ＝ 6 ，∠ DEF ＝ 60° ，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到四边形 EFC′D ′ ， ED ′ 交 BC 于点 G ，则△ GEF 的周长为 ( 　　 ) A ． 6 B ． 12 C ． 18 D ． 24 知 1 －练 3 C 2 知识点平行四边形的对边相等知 2 －导根据定义画一个平行四边形，观察它，除了 “两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它进行证明. 探究知 2 －导如图，连接 AC . ∵ AD//BC ， AB//CD ， ∴∠ 1= ∠ 2 ，∠ 3= ∠ 4. 又 AC 是 △ ABC 和 △ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌△ CDA . ∴ AD = CD ， AB = CD . 证明：归纳知 2 －导（来自《教材》）这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等 . 知 2 －讲边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．数学表达式：如图， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， AB ＝ CD ， AD ＝ BC . 知 2 －讲例 2 如图，在 ▱ ABCD 中， DE ⊥ AB ， BF ⊥ CD ，垂足分别为 E ， F . 求证 AE = CF . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ A = ∠ C ， AD=CB. 又 ∠ AED = ∠ CFB = 90 。， ∴△ ADE ≌△ CBF. ∴ AE=CF. （来自《教材》）证明：总结知 2 －讲在四边形中证明四边形的对边相等，经常证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质定理—— 对边相等来得到线段相等 . 1 在 ▱ ABCD 中，已知 AB =5 ， BC =3，求它的周长 . 知 2 －练（来自《教材》）如图所示，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 CD ＝ AB ＝ 5 ， AD ＝ BC ＝ 3 ，所以▱ ABCD 的周长为 AB ＋ BC ＋ CD ＋ AD ＝ 5 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 3 ＝ 16. 解： 2 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形 . 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？知 2 －练（来自《教材》）由已知，可得 AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，所以四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ＝ BC . 即线段 AD 和 BC 的长度相等．解：【中考 · 丽水】如图，在▱ ABCD 中，连接 A C ，∠ ABC ＝∠ CAD ＝ 45° ， AB ＝ 2 ，则 BC 的长是 ( 　　 ) A. B ． 2 C ． 2 D ． 4 知 2 －练 3 C 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ BAD 的平分线把 BC 边分成长度是 6 和 8 的两部分，则平行四边形 ABCD 的周长是 ( 　　 ) A ． 44 B ． 40 C ． 44 或 40 D ． 36 知 2 －练 4 C 【中考 · 威海】如图，在▱ ABCD 中，∠ DAB 的平分线交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 G ，∠ ABC 的平分线交 CD 于点 F ，交 AD 的延长线于点 H ， AG 与 BH 交于点 O ，连接 BE ，下列结论错误的是 ( 　　 ) A ． BO ＝ OH B ． DF ＝ CE C ． DH ＝ CG D ． AB ＝ AE 知 2 －练 5 D 3 知识点平行四边形的对角相等知 3 －导根据定义画一个平行四边形，观察它，除了 “两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它进行证明. 探究知 3 －导如图，连接 AC . ∵ AD//BC ， AB//CD ， ∴∠ 1= ∠ 2 ，∠ 3= ∠ 4. 又 AC 是 △ ABC 和 △ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌△ CDA . ∴∠ B = ∠ D . 请同学们自己证明 ∠ BAD = ∠ DCB . 证明：结论知 3 －导（来自《教材》）这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等 . 知 3 －讲角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ A ＝ ∠ C ， ∠ B ＝ ∠ D ， ∠ A ＋ ∠ B ＝ 180° ， ∠ B ＋ ∠ C ＝ 180° ， ∠ C ＋ ∠ D ＝ 180° ， ∠ A ＋ ∠ D ＝ 180°. 知 3 －讲例 3 如图，在 ▱ ABCD 中，已知 ∠ A ＋ ∠ C ＝ 120° ，求平行四边形各角的度数．由平行四边形的对角相等，得 ∠ A ＝ ∠ C ，结合已知条件 ∠ A ＋ ∠ C ＝ 120° ，即可求出 ∠ A 和 ∠ C 的度数；再根据平行线的性质，进而求出 ∠ B ， ∠ D 的度数．在 ▱ ABCD 中， ∠ A ＝ ∠ C ， ∠ B ＝ ∠ D . ∵∠ A ＋ ∠ C ＝ 120° ， ∴∠ A ＝ ∠ C ＝ 60°. ∵∠ D ＝ 180° － ∠ A ＝ 180° － 60° ＝ 120°. ∴∠ B ＝ ∠ D ＝ 120°. 解：导引：总结知 3 －讲平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．在 ▱ ABCD 中，已知 ∠ A = 38° ，求其余各内角的度数 . 知 3 －练（来自《教材》）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB ∥ CD ，∠ C ＝∠ A ＝ 38° ，∠ B ＝∠ D ，所以∠ A ＋∠ D ＝ 180° ，所以∠ D ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 38° ＝ 142° ，所以∠ B ＝∠ D ＝ 142°. 解：【中考 · 衢州】如图，在▱ ABCD 中， M 是 BC 延长线上的一点，若∠ A ＝ 135° ，则∠ MCD 的度数是 ( 　　 ) A ． 45° B ． 55° C ． 65° D ． 75° 知 3 －练 2 A 【中考 · 黔西南州】已知▱ ABCD 中，∠ A ＋∠ C ＝ 200° ，则∠ B 的度数是 ( 　　 ) A ． 100° B ． 160° C ． 80° D ． 60° 知 3 －练 3 C 知 4 －导 4 知识点平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．例 4 如图所示， a ∥ b ， AB ∥ CD ， CE ⊥ b ， FG ⊥ b ，点 E ， G 为垂足，则下列结论中错误的是 ( 　　 ) A ． AB ＝ CD B ． CE ＝ FG C ． A ， B 两点间的距离就是线段 AB 的长 D ．直线 a ， b 间的距离就是线段 CD 的长根据 “ 两点间的距离 ” ， “ 两平行线间的距离 ” 的有关概念和定理，可以作出判断．知 4 －讲 D 导引：总结知 4 －讲如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等；即：平行线间的距离处处相等． (1)“ 平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置； ( 注：平行线的这一性质常用来解决三角形同底等高问题 ) (2) 平行线的位置确定后，它们间的距离是定值 ( 是正值 ) ，不随垂线段位置的改变而改变．直线 a 上有一点 A ，直线 b 上有一点 B ，且 a ∥ b . 点 P 在直线 a ， b 之间，若 PA ＝ 3 ， PB ＝ 4 ，则直线 a ， b 之间的距离 ( 　　 ) A ．等于 7 B ．小于 7 C ．不小于 7 D ．不大于 7 知 4 －练 1 D 如图， a ∥ b ，若要使 S △ ABC ＝ S △ DEF ，需增加条件 ( 　　 ) A ． AB ＝ DE B ． AC ＝ DF C ． BC ＝ EF D ． BE ＝ AD 知 4 －练 2 C 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形 . 2. 平行四边形的对角相等 . 3. 平行四边形的对角相等 . 4. 平行线之间的距离：一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线之间的距离． 1 知识小结第十八章平行四边形 18.1 平行四边形第 2 课时平行四边形的对角线性质 1 课堂讲解平行四边形的对角线互相平分平行四边形的面积 2 课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形的性质：对边相等；对角相等回顾旧知 1 知识点平行四边形的对角线互相平分探究如图，在 ▱ ABCD 中，连接 AC ， BD ，并设它们相交于点 O , OA 与 OC ， OB 与 OD 有什么关系？你能证明发现的结论吗？我们猜想，在 ▱ ABCD 中， OA = OC ， OB = OD . 知 1 －导归纳知 1 －导（来自《教材》）由此我们又得到平行四边形的一个性质：平行四边形的对角线互相平分对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . 知 1 －讲例 1 如图，已知 ▱ ABCD 的周长是 60 ，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 若 △ AOB 的周长比 △ BOC 的周长长 8 ，求这个平行四边形各边的长．知 1 －讲由平行四边形对边相等知， 2 AB ＋ 2 BC ＝ 60 ，所以 AB ＋ BC ＝ 30. 又由 △ AOB 的周长比 △ BOC 的周长长 8 ，知 AB － BC ＝ 8 ，联立以上两式，即可求出各边长．导引：知 1 －讲 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AB ＝ CD ， AD ＝ BC . ∵ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ＝ 60 ， OA ＋ AB ＋ OB － ( OB ＋ BC ＋ OC ) ＝ 8 ， ∴ AB ＋ BC ＝ 30 ， AB － BC ＝ 8. ∴ AB ＝ CD ＝ 19 ， BC ＝ AD ＝ 11. 即这个平行四边形各边长分别为 19 ， 11 ， 19 ， 11. 解：知 1 －讲例 2 如图，已知 ▱ ABCD 与 ▱ EBFD 的顶点 A ， E ， F ， C 在一条直线上，求证： AE ＝ CF . 平行四边形的性质提供了边的平行与相等，角的相等与互补，对角线的平分，当所要证明的结论中的线段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上的 AE ＝ CF ，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接 BD 交 AC 于点 O ，再进行证明．导引：知 1 －讲如图，连接 BD 交 AC 于点 O . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ( 平行四边形的对角线互相平分 ) ． ∵ 四边形 EBFD 是平行四边形， ∴ OE ＝ OF ( 平行四边形的对角线互相平分 ) ， ∴ OA － OE ＝ OC － OF ，即 AE ＝ CF ( 等式的性质 ) ．证明：总结知 1 －讲本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质． 1 如图，在 ▱ ABCD 中， BC = 10 ， AC =8， BD =14. △ AOD 的周长是多少? △ ABC 与 △ DBC 的周长哪个长？长多少？知 1 －练（来自《教材》）在▱ ABCD 中， AD ＝ BC ＝ 10 ， AB ＝ CD . 因为 AC ＝ 8 ， BD ＝ 14 ，所以 OA ＝ OC ＝ AC ＝ ×8 ＝ 4 ， OB ＝ OD ＝ BD ＝ ×14 ＝ 7. 解：知 1 －练（来自《教材》）所以△ AOD 的周长为 OA ＋ OD ＋ AD ＝ 4 ＋ 7 ＋ 10 ＝ 21 ，△ ABC 的周长为 AB ＋ AC ＋ BC ＝ AB ＋ 8 ＋ 10 ＝ 18 ＋ AB ，△ DBC 的周长为 BC ＋ CD ＋ BD ＝ 10 ＋ CD ＋ 14 ＝ 24 ＋ CD ＝ 24 ＋ AB ，所以△ DBC 的周长 >△ ABC 的周长， △ DBC 的周长－△ ABC 的周长＝ 24 ＋ AB － (18 ＋ AB ) ＝ 24 ＋ AB － 18 － AB ＝ 6 ，即△ DBC 的周长比△ ABC 的周长长，长 6. 2 如图， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， EF 过点 O 且与 AB ， CD 分别相交于点 E ， F . 求证 OE = OF . 知 1 －练（来自《教材》）因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 OA ＝ OC ， AB ∥ CD ，所以∠ EAO ＝∠ FCO . 又因为∠ AOE ＝∠ COF ，所以△ OAE ≌△ OCF . 所以 OE ＝ OF . 解：【中考 · 泸州】如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 AC ＋ BD ＝ 16 ， CD ＝ 6 ，则△ ABO 的周长是 ( 　　 ) A ． 10 B ． 14 C ． 20 D ． 22 知 1 －练 3 B 【中考 · 青岛】如图，▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AE ⊥ BC ，垂足为 E ， AB ＝ 3 ， AC ＝ 2 ， BD ＝ 4 ，则 AE 的长为 ( 　　 ) A. B. C. D. 知 1 －练 4 D 【中考 · 眉山】如图， EF 过▱ ABCD 对角线的交点 O ，交 AD 于 E ，交 BC 于 F ，若▱ ABCD 的周长为 18 ， OE ＝ 1.5 ，则四边形 EFCD 的周长为 ( 　　 ) A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 10 知 1 －练 5 C 如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AE ⊥ BD 于点 E ， CF ⊥ BD 于点 F ，连接 AF ， CE ，则下列结论： ① CF ＝ AE ； ② OE ＝ OF ； ③ DE ＝ BF ； ④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是 ( 　　 ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 知 1 －练 6 B 2 知识点平行四边形的面积知 2 －导 1 ．面积公式：平行四边形的面积＝底 × 高 ( 底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离 ) ． 2 ．等底等高的平行四边形的面积相等．知 2 －讲例 3 如图，在 ▱ ABCD 中， AB =10， AD =8 ， AC ⊥ BC . 求 BC ， CD ， AC ， OA 的长，以及 ▱ ABCD 的面积 . （来自《教材》） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC = AD= 8 ， CD = AB= 10 . ∵ AC ⊥ BC ， ∴△ ABC 是直角三角形 . 根据勾股定理，又 OA = OC ， ∴ OA = AC =3 ， S ▱ ABCD = BC • AC =8×6=48. 解：总结知 2 －讲求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．如图，若▱ ABCD 的周长为 36 cm ，过点 D 分别作 AB ， BC 边上的高 DE ， DF ，且 DE ＝ 4 cm ， DF ＝ 5 cm ，▱ ABCD 的面积为 ( 　　 )cm 2 . A ． 40 B ． 32 C ． 36 D ． 50 知 2 －练 1 A 【中考 · 包头】如图，过▱ ABCD 的对角线 BD 上一点 M 分别作平行四边形两边的平行线 EF 与 GH ，那么图中的▱ AEMG 的面积 S 1 与▱ HCFM 的面积 S 2 的大小关系是 ( 　　 ) A ． S 1 ＞ S 2 B ． S 1 ＜ S 2 C ． S 1 ＝ S 2 D ． 2 S 1 ＝ S 2 知 2 －练 2 C 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC ， BD 为对角线， BC ＝ 6 ， BC 边上的高为 4 ，则图中阴影部分的面积为 ( 　　 ) A ． 3 B ． 6 C ． 12 D ． 24 知 2 －练 3 C 1. 平行四边形的对角线互相平分． 2. 平行四边形的面积＝底 × 高 ( 底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离 ) ． 1 知识小结第十八章平行四边形 18.1 平行四边形第 3 课时平行四边形的判定 1 课堂讲解两组对边平行或相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形的性质平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分； 1 知识点两组对边平行或相等的四边形是平行四边形知 1 －导一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求 . ” 从边看：方法一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ( 定义法 ) 数学表达式：如图， ∵ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；数学表达式：如图， ∵ AB ＝ CD ， AD ＝ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；知 1 －讲要证四边形 BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得 DF ∥ BE ，因此可采用判定方法一即定义法证明 DE ∥ FB 即可．例 1 如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形， DE 平分 ∠ ADC ，交 CB 的延长线于点 E ， BF 平分 ∠ ABC ，交 AD 的延长线于点 F . 求证：四边形 BFDE 是平行四边形．知 1 －讲导引： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ ADC ＝ ∠ ABC ， AD ∥ CB . ∴ DF ∥ BE . ∵ DE 平分 ∠ ADC ， BF 平分 ∠ ABC ， ∴∠1 ＝ ∠2 ＝ ∠3 ＝ ∠4. ∵ AD ∥ BC ， ∴∠1 ＝ ∠ E . ∴∠ E ＝ ∠3. ∴ DE ∥ FB . ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形． ( 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ) 知 1 －讲证明：总结知 1 －讲平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断．知 1 －讲例 2 如图，分别以 △ ABC 的三边为一边，在 BC 的同侧作等边三角形 ABD ，等边三角形 BCE ，等边三角形 ACF ，连接 DE ， EF . 求证：四边形 ADEF 是平行四边形．由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形 ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．导引：知 1 －讲 ∵△ ABD 、 △ BCE 、 △ ACF 都为等边三角形， ∴ DB ＝ AB ＝ AD ， BE ＝ BC ， AC ＝ AF ， ∠ DBA ＝ 60° ， ∠ EBC ＝ 60°. ∴∠ DBE ＝ 60° － ∠ EBA ， ∠ ABC ＝ 60° － ∠ EBA ， ∴∠ DBE ＝ ∠ ABC ， ∴△ DBE ≌△ ABC ， ∴ DE ＝ AC . 又 ∵ AC ＝ AF ， ∴ AF ＝ DE . 同理可证： △ ABC ≌△ FEC ， ∴ AB ＝ FE ， ∴ FE ＝ AD ， ∴ 四边形 ADEF 是平行四边形．证明：总结知 1 －讲根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而通过证明三角形全等得到四边形 ADEF 的两组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．如图， AB ＝ DC ＝ EF ， AD ＝ BC ， DE ＝ CF . 图中有哪些互相平行的线段？知 1 －练（来自《教材》） 1 AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， CD ∥ EF ， DE ∥ CF ， AB ∥ EF . 解：知 1 －练 2 四边形的四条边长分别是 a ， b ， c ， d ，其中 a ， b 为一组对边长， c ， d 为另一组对边长且 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ d 2 ＝ 2 ab ＋ 2 cd ，则这个四边形是 ( 　　 ) A ．任意四边形 B ．平行四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线垂直的四边形 B 2 知识点两组对角分别相等的四边形是平行四边形知 2 －讲几何语言： ∵∠ ABC = ∠ ADC ，∠ BAD = ∠ BCD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ( 如图所示 ) 知 2 －讲例 3 如图，在 ▱ ABCD 中， BE 平分 ∠ ABC ，交 AD 于点 E ， DF 平分 ∠ ADC ，交 BC 于点 F ，那么四边形 BFDE 是平行四边形吗？为什么？利用平行四边形对角相等的性质可得 ∠ ABC ＝ ∠ ADC ， ∠ A ＝ ∠ C ，然后再依据角平分线的定义和三角形外角的性质证出四边形 BFDE 的两组对角分别相等，于是可得出结论．导引：知 2 －讲四边形 BFDE 是平行四边形．理由：在 ▱ ABCD 中， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ， ∠ A ＝ ∠ C . ∵ BE 平分 ∠ ABC ， DF 平分 ∠ ADC ， ∴∠ ABE ＝ ∠ CBE ＝ ∠ ABC ， ∠ CDF ＝ ∠ ADF ＝ ∠ ADC ， ∴∠ CDF ＝ ∠ ADF ＝ ∠ ABE ＝ ∠ CBE . ∵∠ DFB ＝ ∠ C ＋ ∠ CDF ， ∠ BED ＝ ∠ ABE ＋ ∠ A ， ∴∠ DFB ＝ ∠ BED ， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形．解：总结知 2 －讲当已知条件出现所要说明的四边形的角时，可选择 “ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ” 来判定． 1 下列给出的条件中，能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( 　　 ) A ． AB ∥ CD ， AD ＝ BC 　 B ． AB ＝ AD ， CB ＝ CD C ． AB ＝ CD ， AD ＝ BC 　 D ． ∠ B ＝ ∠ C ， ∠ A ＝ ∠ D 知 2 －练 C 3 知识点对角线互相平分的四边形是平行四边形知 3 －导过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分 . 反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明 . 思考知 3 －导如图，在四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OC ， OB = OD . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵ OA=OC ， OD=OB, ∠ AOD= ∠ COB ， ∴△ AOD ≌△ COB. ∴∠ OAD = ∠ OCB. ∴ AD//BC. 同理 AB // DC . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明：知 3 －讲从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．数学表达式：如图， ∵ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．知 3 －讲（来自《教材》） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO=CO ， BO=DO. ∵ AE=CF ， ∴ AO - AE = CO - CF ，即 EO = FO . 又 BO = DO ， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 . 例 4 如图， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF . 求证：四边形 BFDE 是平行四边形 . 证明：总结知 3 －讲从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点 . 如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 分别是 OA ， OC 的中点 . 求证 BE ＝ DF . 知 3 －练（来自《教材》） 1 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 BO ＝ DO ， OA ＝ OC . 因为 E ， F 分别是 OA ， OC 的中点，所以 OE ＝ OA ＝ OC ＝ OF . 又因为∠ BOE ＝∠ DOF ，所以△ BOE ≌△ DOF ，所以 BE ＝ DF . 解：如图，线段 AB ， CD 相交于点 O ，且图上各点把线段 AB ， CD 四等分，这些点可以构成 ________ 个平行四边形．知 3 －练 1 4 4 知识点一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知 4 －导我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等 . 反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？我们猜想这个结论正确，下面进行证明. 思考知 4 －导如图，在四边形 ABCD 中， AB//CD ，且 AB = CD . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 连接 AC ， ∵ AB//CD , ∴∠ 1= ∠ 2 . 又 AB = CD ， AC = CA . ∴△ ABC ≌△ CDA. ∴ BC = DA. ∴ 四边形 ABCD 两组对边分别相等，它是平行四边形 . 证明：归纳知 4 －导于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . （来自《教材》）知 4 －讲一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；数学表达式：如图， ∵ AB CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． ∥ ＝知 4 －讲（来自《教材》） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD ， EB//FD . 又 EB = AB ， FD = CD ， ∴ EB=FD. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . 例 5 如图，在 ▱ ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形 . 证明：总结知 4 －讲要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：一是证明另一组对边平行；二是证明平行的这组对边相等．而证明边相等要三角形全等这条思路较常见．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了 . 你能说出其中的道理吗？知 4 －练（来自《教材》） 1 因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的．解：如图，在 ▱ ABCD 中， BD 是它的一条对角线，过 A ， C 两点分别作 AE 丄 BD ， CF 丄 BD ， E ， F 为垂足 . 求证：四边形 AFGE 是平行四边形 . 知 4 －练（来自《教材》） 2 知 4 －练（来自《教材》）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB ∥ CD ， AB ＝ CD ，所以∠ CDB ＝∠ ABD . 又因为 AE ⊥ BD ， CF ⊥ BD ，所以∠ AEB ＝∠ CFD ＝ 90° ，所以 AE ∥ CF . 在△ ABE 和△ CDF 中， AB ＝ CD ，∠ ABE ＝∠ CDF ，∠ AEB ＝∠ CFD ，所以△ ABE ≌△ CDF ，所以 AE ＝ CF . 又因为 AE ∥ CF ，所以四边形 AFCE 是平行四边形．解： 3 ( 中考 · 湘西州 ) 下列说法错误的是 ( 　　 ) A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形知 4 －练 D 4 【中考 · 衡阳】如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，要使四边形 ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是 ( 　　 ) A ． AB ＝ CD B ． BC ＝ AD C ．∠ A ＝∠ C D ． BC ∥ AD 知 4 －练 B 5 如图，在▱ ABCD 中，点 E ， F 分别在 AD ， BC 上，若要使四边形 AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是 ( 　　 ) ① AF ＝ CF ；② AE ＝ CE ；③ BF ＝ DE ；④ AF ∥ CE . A ．①或②　 B ．②或③ C ．③或④　 D ．①或③ 知 4 －练 C 6 下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( 　　 ) 　 A ． AB ∥ CD ， AD ∥ BC B ．∠ A ＝∠ C ，∠ B ＝∠ D C ． AB ＝ CD ， AD ＝ BC D ． AB ∥ CD ， AD ＝ BC 知 4 －练 D 平行四边形的判定方法 : (1) 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形． (4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 1 知识小结第十八章平行四边形 18.1 平行四边形第 4 课时三角形的中位线 1 课堂讲解三角形的中位线性质三角形中位线在四边形中的应用 2 课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业温故知新平行四边形的判定边角对角线两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 1 知识点三角形中位线的性质知 1 －导探究思考请同学们按要求画图：画任意△ ABC 中，画 AB 、 AC 边中点 D 、 E ，连接 DE ． D E 定义：像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．知 1 －导观察猜想在 △ ABC 中，中位线 DE 和边 BC 什么关系 ? DE 和边 BC 关系数量关系：位置关系： A B C D E DE//BC DE ＝ BC 知 1 －导如图， D ， E 分别是 △ ABC 的 AB ， AC 的中点. 求证： DE//BC ， DE = BC. 本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半 . 将 DE 延长一倍后，可以将证明 DE = BC 转化为证明延长后的线段与 BC 相等.又由于 E 是 AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明 . 分析：知 1 －导如图，延长 DE 到点 F ，使 EF = DE ，连接 FC ， DC ， AF . ∵ AE = EC ， DE = EF ， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形， CF DA . ∴ CF BD . ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形， DF BC . 又 DE = DF ， ∴ DE // BC ，且 DE = BC . ∥ ＝ ∥ ＝ ∥ ＝证明：归纳知 1 －导（来自《教材》）通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；数学表达式：如图， ∵ AD ＝ BD ， AE ＝ EC ， ∴ DE ∥ BC ，且 DE ＝ BC . 知 1 －讲例 1 如图所示， D 是 △ ABC 内一点， BD ⊥ CD ， AD =6 ， BD =4 ， CD =3 ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 AC 、 CD 、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是．知 1 －讲利用勾股定理列式求出 BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EH = FG = AD ， EF = GH = BC ，然后代入数据进行计算即可得解． 11 分析：知 1 －讲 ∵ BD ⊥ CD ， BD =4 ， CD =3 ， ∴ BC ∵ E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 AC 、 CD 、 BD 的中点， ∴ EH = FG = AD ， EF = GH = BC ， ∴四边形 EFGH 的周长 = EH + GH + FG + EF = AD + BC ，又∵ AD =6 ， ∴四边形 EFGH 的周长 =6+5=11 ．解：总结知 1 －讲本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．知 1 －讲例 2 如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线上一点，且 CE ＝ DC ，连接 AE ，分别交 BC ， BD 于点 F ， G ，连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 OF . 求证： AB ＝ 2 OF . 点 O 是平行四边形两条对角线的交点，所以点 O 是线段 AC 的中点，要证明 AB ＝ 2 OF ，我们只需证明点 F 是线段 BC 的中点，即证明 OF 是 △ ABC 的中位线．导引：知 1 －讲 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∵ E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线上一点，且 CE ＝ DC ， ∴ AB ∥ CE ， AB ＝ CE ， ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形， ∴ 点 F 是 BC 的中点．又 ∵ 点 O 是 AC 的中点， ∴ OF 是 △ ABC 的中位线， ∴ AB ＝ 2 OF . 证明：总结知 1 －讲证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理． 1 如图，在△ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点 . 以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？知 1 －练（来自《教材》）可画出 3 个平行四边形，根据三角形的中位线定理可得平行四边形有：▱ BDFE ，▱ DFCE ，▱ ADEF . 解： 2 如图，直线 l 1 ∥ l 2 ，在 l 1 ， l 2 上分别截取 AD ， BC ，使 AD = BC ，连接 AB ， CD . AB 和 CD 有什么关系？为什么？知 1 －练（来自《教材》） AB ＝ CD 且 AB ∥ CD . 因为 l 1 ∥ l 2 ，所以 AD ∥ BC ，又因为 AD ＝ BC ，所以四边形 ABCD 是平行四边形．所以 AB ＝ CD ，且 AB ∥ CD . 解： 3 如图， A ， B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC 和 BC . 怎样测出 A ， B 两点间的距离？根据是什么？知 1 －练（来自《教材》）如图所示，分别取 AC ， BC 的中点 E ， F ，连接 EF ，则 EF 就是△ ABC 的中位线．量出 EF 的长，根据 AB ＝ 2 EF ，即可求出 A ， B 两点间的距离．解： 4 【中考 · 宜昌】如图，要测定被池塘隔开的 A ， B 两点的距离，可以在 AB 外选一点 C ，连接 AC ， BC ，并分别找出它们的中点 D ， E ，连接 ED . 现测得 AC ＝ 30 m ， BC ＝ 40 m ， DE ＝ 24 m ，则 AB ＝ ( 　　 ) A ． 50 m B ． 48 m C ． 45 m D ． 35 m 知 1 －练 B 5 【中考 · 梧州】如图，在△ ABC 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AC ＝ 2 ， D ， E ， F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，连接 DF ， FE ，则四边形 DBEF 的周长是 ( 　　 ) A ． 5 B ． 7 C ． 9 D ． 11 知 1 －练 B 6 【中考 · 营口】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， E ， F 分别是 BC ， AC 的中点，以 AC 为斜边作 Rt△ ADC ，若∠ CAD ＝∠ CAB ＝ 45° ，则下列结论不正确的是 ( 　　 ) A ．∠ ECD ＝ 112.5° B ． DE 平分∠ FDC C ．∠ DEC ＝ 30° D ． AB ＝ CD 知 1 －练 C 2 知识点三角形中位线在四边形中的应用知 2 －讲欲证 MN BC ，只需证明 MN 是 △ EBC 的中位线即可．而要证得 M ， N 分别为 BE ， CE 的中点，则可利用 E ， F 分别为 AD ， BC 的中点证四边形 ABFE 和四边形 EFCD 为平行四边形得到．例 3 如图，在 ▱ ABCD 中， E ， F 分别是 AD ， BC 的中点，连接 AF ， DF 分别交 BE ， CE 于点 M ， N ，连接 MN . 求证： MN BC . ∥ ＝ ∥ ＝导引：知 2 －讲如图，连接 EF . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD BC . ∵ E ， F 分别是 AD ， BC 的中点， ∴ AE ＝ AD ， BF ＝ BC ， ∴ AE BF . ∴ 四边形 ABFE 是平行四边形， ∴ MB ＝ ME . 同理，四边形 EFCD 是平行四边形， ∴ NC ＝ NE . ∴ MN 是 △ EBC 的中位线． ∴ MN BC . ∥ ＝ ∥ ＝ ∥ ＝证明：总结知 2 －讲 (1) 证明两直线平行的常用方法： ① 利用同平行 ( 垂直 ) 于第三条直线；②利用同位角、内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形的性质；④利用三角形的中位线定理． (2) 证明一条线段是另一条线段的 2 倍的常用方法： ① 利用含 30° 角的直角三角形； ② 利用平行四边形的对角线； ③ 利用三角形的中位线定理． 1 如图，已知长方形 ABCD 中， R ， P 分别是 DC ， BC 上的点， E ， F 分别是 AP ， RP 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，下列结论成立的是 ( 　　 ) A ．线段 EF 的长逐渐增大 B ．线段 EF 的长逐渐减小 C ．线段 EF 的长不改变 D ．线段 EF 的长先增大后减小知 2 －练 C 2 【中考 · 怀化】如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 AB 的中点， OE ＝ 5 cm ，则 AD 的长为 ______cm. 知 2 －练 10 3 【中考 · 广州】如图，四边形 ABCD 中，∠ A ＝ 90° ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 3 ，点 M ， N 分别为线段 BC ， AB 上的动点 ( 含端点，但点 M 不与点 B 重合 ) ，点 E ， F 分别为 DM ， MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 ________ ．知 2 －练 3 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．几何语言 ( 如图 ) ： ∵ DE 是△ ABC 的中位线， ∴ DE ∥ BC ． DE = BC ． 1 知识小结 A B C D E 查看更多

人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.1

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