资料简介
第
1
课时
变 量
第十九章
一次函数
19.1
函 数
1
课堂讲解
常量与变量
两个变量之间的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
一辆长途客车从杭州驶向
上海，全程哪些量不变？
哪些量在变？
1
知识点
常量与变量
知
1
－导
问题
1
汽车以
60 km/h
的速度匀速行驶，行驶路程为
s
km
，
行驶时间为
t
h.
填写表
19-1
，
s
的值随
t
的值的变化而变
化吗？
t
/h
1
2
3
4
5
s
/km
表
19-1
（来自
《
教材
》
）
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
问题
2
电影票
的售价为
10
元
/
张
.
第一
场售出
150
张票，
第
二场
售出
205
张票
，第三场售出
310
张票，三场电影
的
票房收
人各多少元？设一场电影
售出
x
张
票，票房
收
入为
y
元，
y
的
值
随
x
的
值的变化而变化吗？
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
（来自
《
教材
》
）
问题
3
你见过水中涟漪吗？如图，圆形水波慢慢地扩大
.
在这一过程中，当圆的半径
r
分别为
10 cm
，
20 cm
，
30 cm
时，圆的面积
S
分别为多少？
S
的值随
r
的值的变
化而变化吗？
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
问题
4
用
10 m
长的绳子围一个矩形
.
当矩形的一边长
x
分
别为
3 m
，
3.5 m
，
4 m
，
4. 5 m
时，它的邻边长
y
分别
为多少？
y
的值随
x
的值的变化而变化吗？
这些问题反映了不同事物的变化过程
.
其中有些
量的数值是变化的，例如时间
t
，路程
s
，售出票数
x
，
票房收入
y
，
……
有些量的数值是始终不变的，例如
速度
60 km/h
，票价
10
元
/
张
……
在一个变化过程中，
我们称数值发生变化的量为
变量
，数值始终不变的量
为
常量
.
归 纳
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
变量与常量：
在一个
变化过程
中，我们称数值发生变化的
量为变量，数值始终不变的量叫常量．
知
1
－讲
例
1
根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面积是
边长与该边上的高的长度的乘积的一半，已知边长，
可以得出常量是边长的一半，变量是高和面积．
常量是
6
，变量是
h
和
S
.
导引：
已知三角形的一边长为
12
，这边上的高是
h
，则三角形的面积
S
＝
×
12·
h
，即
S
＝
6
h
.
在这个式子中常量和变量分别是什么？
解：
判断一个量是常量还是变量的方法：
看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否
发生改变
(
或者说是否会取不同的数值
)
，其中在变
化过程中不变的量是常量
,
可以取不同数值的量是
变量．
总 结
知
1
－讲
1
知
1
－练
指出下列问题中的变量和常量：
(1)
某市的自来水价为
4
元
/t.
现要抽取若干户居民调查水费
支出情况，记某户月用水量为
x
t
，月应交水费为
y
元
.
(2)
某地手机通话费为
0.2
元
/min.
李明在手机话费卡中存入
30
元，记此后他的手机通话时间为
t
min
，话费卡中的
余额为
w
元
.
（来自
《
教材
》
）
(1)
变量：月用水量
x
，月应交水费
y
；
常量：自来水价
4
元
/t.
(2)
变量：通话时间
t
，余额
w
；
常量：通话费
0.2
元
/min
，
30
元．
解：
知
1
－练
(3)
水中涟漪
(
圆形水波
)
不断扩大，记它的半径为
r
，圆周长为
C
，圆周率
(
圆周长与直径之比
)
为
π.
(4)
把
10
本书随意放入两个抽屉
(
每个抽屉内都放
)
，第一个抽屉放入
x
本， 第二个抽屉放入
y
本
.
（来自
《
教材
》
）
(3)
变量：半径
r
，周长
C
；常量：圆周率
π.
(4)
变量：第一个抽屉放入本数
x
，第二个抽屉放
入本数
y
；常量：总本数
10
本．
解：
知
1
－练
关于圆的周长公式
C
＝
2π
r
，下列说法正确的
是
(
)
A
．
π
，
r
是变量，
2
是常量
B
．
C
，
r
是变量，
2
，
π
是常量
C
．
r
是变量，
2
，
π
是常量
D
．
C
是变量，
2
，
π
，
r
是常量
2
B
知
1
－练
3
以
21 m/s
的速度向上抛一个小球，小球的高度
h
(m)
与小球运动的时间
t
(s)
之间的关系是
h
＝
21t
－
4.9
t
2
.
下列
说法正确的是
(
)
A
．
4.9
是常量，
21
，
t
，
h
是变量
B
．
21
，
4.9
是常量，
t
，
h
是变量
C
．
t
，
h
是常量，
21
，
4.9
是变量
D
．
t
，
h
是常量，
4.9
是变量
B
知
1
－练
下列说法不正确的是
(
)
A
．正方形的面积
S
＝
a
2
中有两个变量
S
，
a
B
．圆的面积
S
＝
π
R
2
中
π
是常量
C
．在一个关系式中用字母表示的量可能不是变量
D
．如果
x
＝
y
，则
x
，
y
都是常量
4
D
2
知识点
两个变量之间的关系
知
2
－导
思考
问题
(1)~(4)
中是否各有两个变量？同一个问题中
的变量之间有 什么联系？
在问题
(1)
中，观察填出的表格，可以发现：
t
和
s
是两个变量，每当
t
取定一个值时，
s
就有唯一确定的
值与其对应
.
例如
t
＝
1
，则
s
＝
60;
t
＝
2,
则
s
＝
120
……
t
＝
5
，则
s
＝
300.
（来自
《
教材
》
）
知
2
－导
（来自
《
教材
》
）
在问题
(2)
中，可以发现：
x
和
y
是两个变量，每当
x
取定一个值时，
y
就有唯一确定的值与其对应
.
例如，
若
x
＝
150,
则
y
＝
1 500;
若
x
＝
205,
则
y
＝
2 050;
若
x
＝
310
，
则
y
＝
3 100.
在问题
(3)
中，可以发现：
r
和
S
是两个变量，每当
r
取
定一个值时，
S
就有唯一确定的值与其对应
.
它们的关系
式为
S
＝
π
r
2
.
据此可以算出
r
分别为
10 cm
，
20 cm
，
30 cm
时，
S
分别为
100π
cm
2
，
400π
cm
2
，
900π
cm
2
.
知
2
－导
（来自
《
教材
》
）
在问题
(4)
中，可以发现：
x
和
y
是两个变量，每当
x
取定一个值时，
y
就有唯一确定的值与其对应
.
它们的关
系式为
y
＝
5
－
x
.
据此可以算出
x
分别为
3 m
，
3.5 m
，
4 m
，
4. 5 m
时，
y
分别为
2 m
，
1.5 m
，
1m
，
0.5 m.
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一
个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值
与其对应
.
归 纳
知
2
－导
（来自
《
教材
》
）
知
2
－讲
常用的变量之间的关系的表示方法有三种：
(1)
关系式法；
(2)
列表法；
(3)
图象法．
表示
方法
说明
优缺点
关系
式法
用一个关系式
(
等式
)
表示两个变量之间的关系
(1)
能准确地反映两个变量在整个变化过程中的关系；
(2)
有些实际问题不一定能用关系式表示出来．
列表
法
用表格表示两个变量之间的关系
(1
)
可由表中一个变量确定另一个变量的对应值；
(2)
所给变量的值往往是有限的，不容易看出两个变量之间关系的全貌．
图象
法
用图象表示两个变量之间的关系
(1)
能形象直观地表达两各变量之间
的关系；
(2)
观察
图象能得到两个变量之间的对应值，但往往是不完全准确．
知
2
－讲
(1)《
齐鲁晚报
》
每份
1.60
元，请写出购买
x
份
《
齐鲁晚报
》
与所需钱数
y
(
元
)
之间的关系式
.
并指出哪些量是常量，哪些量是变量．
(2)
设圆柱的底面半径
R
不变，请写圆柱的体积
V
与圆柱的高
h
的关系式，并指出关系式中的变量与常量．
例
2
知
2
－讲
(1)
y
＝
1.60
x
1.60
是常量
x
，
y
是变量；
(2)
V
＝
π
R
2
h
π
是常量，
V
，
R
，
h
是变量
.
解：
(1)
常量是在整个变化过程中保持不变的量，千万不
能认为式中出现的字母就是变量，如
π
，它是常
量，而不是变量．
(2)
判断常量与变量的标准是看这个量是否保持不变．
(3)
常量、变量与字母的指数没有关系，如
(2)
中不能
说常量是
R
2
解析：
中国电信公司最近推出的无线市话的收费标准为：前
3 min(
不足
3 min
按
3 min
计
)
收费
0.2
元，
3 min
后每分钟
0.1
元．则通话一次的时间
x
(min)(
x
>3)
与
这
次
通话费用
y
(
元
)
之间的关系是
(
)
A
．
y
＝
0.1
x
B
．
y
＝
0.2
＋
0.1
x
C
．
y
＝
0.2
＋
0.1(
x
－
3)
D
．
y
＝
0.1
x
＋
0.5
知
2
－练
1
C
【
中考
·
邵阳
】如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中
y
与
n
之间的关系是
(
)
A
．
y
＝
2
n
＋
1 B
．
y
＝
2
n
＋
n
C
．
y
＝
2
n
＋
1
＋
n
D
．
y
＝
2
n
＋
n
＋
1
知
2
－练
2
B
判断一个量是常量还是变量的方法：
看这个量所在的变化过程中
.
该量的值是否发生
改变
(
或者说是否会取不同的数值
).
其中在变化过程
中，数值始终不变的量是常量，可以取不同数值的
量是变量
.
1
知识小结
第
2
课时
函 数
第十九章
一次函数
19.1
函 数
1
课堂讲解
函数的定义
自变量的取值范围
函数
值与解析式
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
根据经验，跳远的距
离
s
＝
0.085
v
2
(
v
是助跑的
速度，
0
＜
v
＜
10.5
米
/
秒
)
，
其中变量
s
随着哪一个量
的变化而变化？
1
知识点
函数的定义
知
1
－导
思考
(1)
下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标
x
表示时间，
纵坐标
y
表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量
.
在心
电图中，对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确定的值与
其对应吗？
（来自
《
教材
》
）
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
(2
)
下面
的我国人口数
统计表
(
表
19-2)
中，年份与
人口
数
可以
分别
记作两个
变量
x
与
y
.
对于
表中每一个
确
定
的
年份
x
，
都对应着一个确 定的人口
数
y
吗？
表
19
-
2
中国人口数统计表
年份
1984
1989
1994
1999
2010
人口数
/
亿
10.
34
11.06
11.76
12.52
13.71
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
与
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确
定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，
y
是
x
的
函数
.
归 纳
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
函数：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变
量
x
和
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，
y
都有
唯一
确定的值与其对应，那么我们就说
x
是
自变量
，
y
是
x
的函数．
知
1
－讲
例
1
紧扣函数的定义，要判断
y
是不是
x
的函数，关键看
给
x
一个值，
y
是否也有一个唯一的值与其对应．若
是，则
y
就是
x
的函数；若不是，则
y
就不是
x
的函数．
导引：
如
图，
各曲线中表示
y
是
x
的函数的是
________
(
写出所有满足条件的图的序号
)
．
①②③
判断一个关系是否是函数关系的方法：
一看是否存在
于一个变化过程中；二看过程中是否存在两个变量；
三看对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量是
否都有唯一确定的值与之对应．三者必须同时满足．
解本例的技巧在于过
x
轴上任意一点作
x
轴的垂线，若
垂线与图象交于两点或多点，说明
x
取一值，有两个
或多个
y
与其对应，则
y
不是
x
的函数．它是以形来表
达函数关系．
总 结
知
1
－讲
1
知
1
－练
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式
.
(1)
改变正方形的边长
x
，正方形的面积
S
随之改变
.
(2)
每分向一水池注水
0.1m
3
，注水量
y
(
单位：
m
3
)
随注水时间
x
(
单位：
min)
的变化而变化
.
（来自
《
教材
》
）
(1)
正方形的边长
x
是自变量，正方形的面积
S
是边
长
x
的函数，它们的关系式是
S
＝
x
2
(
x
＞
0)
．
(2)
注水时间
x
是自变量，注水量
y
是注水时间
x
的函
数，它们的关系式是
y
＝
0.1
x.
解：
知
1
－练
(3)
秀水村的耕地面积是
10
6
m
2
，这个村人均占有耕地面
积
y
(
单位：
m
2
)
随这个村人数
n
的变化而变化
.
(4)
水池中有水
10 L
，此后每小时漏水
0.05 L
，水池中的
水量
V
(
单位：
L)
随时间
t
(
单位：
h)
的变化而变化
.
（来自
《
教材
》
）
(3)
人数
n
是自变量，此时人均占有耕地面积
y
是人数
n
的函数，它们的关系式是
y
＝
(
n
为正整数
)
．
(4)
时间
t
是自变量，水池中的水量
V
是
t
的函数，它们
的关系式是
V
＝
10
－
0.05
t
.
解：
2
知
1
－练
下列关系式中，
y
不是
x
的函数的是
(
)
A
．
y
＝
± (
x
＞
0)
B
．
y
＝
x
2
C
．
y
＝－
(
x
＞
0)
D
．
y
＝
( )
2
(
x
＞
0)
A
3
知
1
－练
下列说法正确的是
(
)
A
．变量
x
，
y
满足
y
2
＝
x
，则
y
是
x
的函数
B
．变量
x
，
y
满足
x
＋
3
y
＝
1
，则
y
是
x
的函数
C
．变量
x
，
y
满足
|
y
|
＝
x
，则
y
是
x
的函数
D
．在
V
＝
π
r
3
中，
是常量，
π
，
r
是自变
量，
V
是
r
的函数
B
4
知
1
－练
【
中考
·
泸州
】
下列曲线中不能表示
y
是
x
的函数的是
(
)
C
2
知识点
自变量的取值范围
知
2
－讲
确定
自变量的取值范围的方法
：
(
1)
整式和奇次根式中，自变量的取值范围是
全体
实数；
(
2)
偶次根式中，被开方式大于或等于
0
；
(
3)
分式中
，分母不能为
0
；
(
4)
零指数幂、负整数指数幂中
，底数
不为
0
；
(
5)
实际问题中，自变量除了满足解析
式有
意义外
，
还要
考虑使实际问题有意义
．
知
2
－讲
例
2
(1)
函数
中
，自变量
x
的取值范围是
_____
_
_
_
．
(
2)
下列函数中，自变量
x
的取值范围是
x
＞
2
的
函数是
( )
A
．
B
．
C
．
D
．
x
≠
－
1
C
对于第
(1)
题，易从
1
＋
x
≠
0
，得
x
≠
－
1
；
对于第
(2)
小题分别确定
A
、
B
、
C
、
D
的取值范围，
可知只有
C
的取值范围是
x
＞
2
．
导引：
自变量的取值范围要使所给函数解析式有意
义，而实际问题中的自变量取值，还应保证实际
问题有意义．
总 结
知
2
－讲
1
知
2
－练
梯形的上底长
2 cm
，高
3 cm
，下底长
x
cm
大于上底长但不超过
5 cm.
写出梯形面积
S
关于
x
的函数解析式及自变量
x
的取值范围
.
（来自
《
教材
》
）
S
＝
(2
＋
x
)(2
＜
x
≤5)
．
解：
【
中考
·
恩施州
】函数
的自变量
x
的取值范围是
(
)
A
．
x
≥1 B
．
x
≥1
且
x
≠3
C
．
x
≠3 D
．
1≤
x
≤3
知
2
－练
2
B
3
【
中考
·
广
安
】
如
图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为
(
)
A
．
y
＝
x
＋
2
B
．
y
＝
x
2
＋
2
C
．
y
＝
D
．
y
＝
知
2
－练
C
3
知识点
函数值与解析式
知
3
－导
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
与
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确
定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，
y
是
x
的
函数
.
如果当
x
＝
a
时
y
＝
b
，那么
b
叫做当自变量的值
为
a
时的
函数值
.
（来自
《
教材
》
）
知
3
－导
可以认为：在前面问题
(1)
中，时间
t
是自变量，路程
s
是
t
的函数，当
t
＝
1
时，函数值
s
＝
60
，当
t
＝
2
时，函
数值
s
＝
120
；在心电图中，时间
x
是自变量，心脏部
位的生物电流
y
是
x
的函数；在人口数统计表中，年份
x
是自变量，人口数
y
是
x
的函数，当
x
＝
2010
时，函数
值
y
＝
13. 71.
（来自
《
教材
》
）
知
3
－讲
函数值：
如果在自变量取值范围内给定一个数值
a
，函数对应的值为
b
，那么
b
叫做自变量的值为
a
时的函数值．
知
3
－讲
例
3
（来自
《
教材
》
）
汽车油箱中有汽油
50 L.
如果不再加油，那么油箱中的油量
y
(
单位：
L)
随行驶
路程
x
(
单位：
km)
的增加而减少，耗油量为
0.1 L/km.
(1
)
写出表示
y
与
x
的
函数关系的式子；
(2
)
指出
自变量
x
的取值范围；
(3)
汽车行驶
200 km
时，油箱中还有多少汽油
？
(1)
行驶路程
x
是自变量，油箱中的油量
y
是
x
的函数，
它们的关系为
y
＝
50
－
0.1
x
.
解：
知
3
－讲
（来自
《
教材
》
）
(2)
仅从式子
y
＝
50
－
0.1
x
看，
x
可以取任意实数
.
但是考
虑到
x
代表的实际意义为行驶路程，因此
x
不能取负
数
.
行驶中的耗油量为
0.1
x
，它不能超过油箱中现有
汽油量
50,
即
0. 1
x
≤
50.
因此，自变量
x
的取值范围是
0
≤
x
≤
500.
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义
.
知
3
－讲
（来自
《
教材
》
）
(3)
汽车行驶
200 km
时，油箱中的汽油量是函数
y
＝
50
－
0.1
x
在
x
＝
200
时的函数值
.
将
x
＝
200
代入
y
＝
50
－
0.1
x
，
得
y
＝
50
－
0.1×200
＝
30.
汽车行驶
200 km
时，油箱中还有
30 L
汽油
.
求函数值时，要注意函数的
对应关系
，代入自
变量的值计算时，要按照函数中代数式指明的运算
顺序计算，并结合相应的运算法则，使运算简便；
说函数值时，要说明自变量是多少时的函数值
.
总 结
知
3
－讲
知
3
－练
【
中考
·
百色
】
已知函数
当
x
＝
2
时，函数值
y
为
(
)
A
．
5 B
．
6
C
．
7 D
．
8
1
A
知
3
－练
【
中考
·
甘南州
】
若函数 则当
函数值
y
＝
8
时，自变量
x
的值是
(
)
A
．
±
B
．
4
C
．
±
或
4 D
．
4
或－
2
D
知
3
－练
【
中考
·
呼和浩特
】
如果两个变量
x
，
y
之间的函数
关系如图所示，则函数值
y
的取值范围是
(
)
A
．－
3≤
y
≤3
B
．
0≤
y
≤2
C
．
1≤
y
≤3
D
．
0≤
y
≤3
3
D
1.
函数：
在变化过程中，有两个变量
x
和
y
，并且对
于每一个
x
的值，
y
都有
唯一
的值与其对应．
1
知识小结
2.
自变量的取值范围要使所给函数解析式有意义
.
3.
函数值：
如果在自变量取值范围内给定一个数值
a
，函数对应的值为
b
，那么
b
叫做自变量的值为
a
时的函数值．
李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为
24 m
，要围成的菜园是如图所示的长方形
ABCD
.
设
BC
边的长为
x
m
，
AB
边的长为
y
m
，则
y
与
x
之间的函数关系式
y
＝－
x
＋
12
中，
x
的取值范围是
______________
．
0
＜
x
＜
24
2
易错小结
本题易错之处在于只考虑
x
＞
0
，而忽视
y
＞
0
，从而给出
x
的取值范围为
x
＞
0.
易错点：
用函数关系式表示实际问题时弄错自变量的取值范围
.
第
3
课时
函数的图象
第十九章
一次函数
19.1
函 数
1
课堂讲解
函数的
图象以及由
图象读取信息
画
函数的
图象
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
37
45
h
（米）
t
（分）
(1)
根据图填表：
t
/min
0
1
2
3
4
5
…
h
/m
…
(2)
对于给定的时间
t
，相应的高度
h
确定吗？
1
知识点
函数的图象以及由图象读取信息
知
1
－导
有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是
可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏部
位的生物电流与时间的关系
.
即使对于能列式表示
的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关
系更直观
.
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数
的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标
平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象
.
归 纳
知
1
－导
（来自
《
教材
》
）
知
1
－导
思考
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的
春季某天气温
T
如何随时间
t
的变化而变化
.
你从图象中
得到了哪些信息？
知
1
－导
可以
认为，
气温
T
是时间
t
的
函数
，上图是
这个
函
数
的
图象
.
由图象
可知：
(1
)
这一天中
凌晨
4
时气温
最低
(
－
3
℃
)
，
14
时气温
最高
(
8
℃
).
(2
)
从
0
时至
4
时气温呈下降
状态
(
即
温度随时间的增长
而
下降
)
，
从
4
时到
14
时气温呈上升状态，从
14
时
至
24
时
气温又呈下降
状态
.
(3
)
我们
可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温
大
约
是
多少
.
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
定义：
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与
函数的
每对对应值
分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的
图象．
知
1
－讲
例
1
如
图
19.1
-
5
所
示，小明家、 食堂、图书馆在同一条直线
上
.
小
明
从家
去食堂吃早餐，接着去图书馆读报， 然后
回家
.
图
19.1
-
6
反映了这个
过程中
，小明离家的
距离
y
与时间
x
之间
的 对应关系
.
图
19.1
-
5
图
19.1
-
6
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
根据图象回答下列问题：
(1)
食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)
小明吃早餐用了多少时间？
(3)
食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少
时间？
(4)
小明读报用了多少时间？
(5)
图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速
度是多少？
知
1
－讲
小明离家的距离
y
是时间
x
的函数
.
由图象中有两段
平行于
x
轴的线段可知，小明离家后有两段时间先
后停留在食堂与图书馆里
.
分析：
(1)
由纵坐标看出，食堂离小明家
0.6 km;
由横坐标看
出，小明从家到食堂用了
8 min.
(2)
由横坐标看出，
25
－
8
＝
17,
小明吃早餐用了
17 min.
(3)
由纵坐标看出，
0.8
－
0.6
＝
0. 2
，食堂离图书馆
0.2
km;
由横坐标看出，
28
－
25
＝
3,
小明从食堂到图书
馆用了
3 min.
解：
知
1
－讲
(4)
由横坐标看出，
58
－
28
＝
30,
小明读报用了
30 min.
(5)
由纵坐标看出，图书馆离小明家
0.8 km;
由横坐标
看出，
68
－
58
＝
10
，小明从图书馆回家用了
10 min
，
由此算出平均速度是
0.08 km/min.
（来自
《
教材
》
）
(1)
从函数图象中获取信息时要做到：①看清横、纵坐标各
表示哪个量，这一变化过程属于哪种变化；②从左向右，
分析每段图象上，自变量和函数如何变化；③平行于横
轴的线段，自变量在变，函数值不变．
(2)
从函数图象获取信息时
应注意三点
：其一是图象的最大值
或最小值；其二是随着自变量逐渐增加时函数值是增加了
还是减少了，还是不变
(
变化趋势
)
；其三是观察图象是否
是几种变化情况的组合，以便分情况讨论变化规律．
总 结
知
1
－讲
1
知
1
－练
如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象
.
(1)
这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)
这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪
段时间比北京气温低？
（来自
《
教材
》
）
(1)7
时和
12
时，上海与北
京的气温相同．
(2)0
时至
7
时，
12
时至
24
时，
上海比北京的气温高；
7
时至
12
时，上海比北京的
气温低．
解：
知
1
－练
【
中考
·
衢州
】
下列四个函数图象中，当
x
＞
0
时，
y
随
x
的增大而减小的是
(
)
2
B
知
1
－练
【
中考
·
丽水
】
在同一条道路上，甲车从
A
地到
B
地，乙车从
B
地到
A
地，乙先出发，如图所示的折线段表示甲、乙两车之间的距离
y
(km)
与行驶时间
x
(h)
的函数关系的图象，下列说法错误的是
(
)
A
．乙先出发的时间为
0.5 h
B
．甲的速度是
80 km/h
C
．甲出发
0.5 h
后两车相遇
D
．甲到
B
地比乙到
A
地早
h
3
D
知
1
－练
【
中考
·
绍兴
】
均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度
h
随时间
t
的变化规律如图所示
(
图中
OABC
为折
线
)
，这个容器的形状可以是
(
)
4
D
知
1
－练
【
中考
·
凉山州
】
小明和哥哥从家里出发去买书，从家出发走了
20
分钟到一个离家
1 000
米的书店，小明买了书后随即按原路返回；
哥哥看了
20
分钟书后，
用
15
分钟返回家．下
面的图象中哪一个表
示哥哥离家时间与距
离之间的关系
(
)
5
D
2
知识点
画函数的图象
知
2
－讲
用
描点法画函数图象的一般步骤：
(1)
列表：
在自变量取值范围内有代表性地取值
，并
求
出相应的函数值．
(2)
描点：
一对对应值即一个坐标，一个坐标确定
一
个
点．
(3)
连线：
按照横坐标
由小到大
的顺序把所描出的
各
点
用
平滑
的曲线连接起来
．
知
2
－讲
例
2
在
下列式子中，对于
x
的每一个确定的值
，
y
有
唯一的对应值，
即
y
是
x
的
函数
.
画出这些函数的图象：
(
1)
y
＝
x
＋
0.5
；
(2)
y
＝
(
x
＞
0
).
(1)
从式子
y
＝
x
＋
0.5
可以看出，
x
取任意实数时这个
式子都有意义，所以
x
的取值范围是全体实数
.
从
x
的取值范围中选取一些数值，算出
y
的对
应值，列表（计算并填写 表中空格
).
解：
x
…
－
3
－
2
－
1
0
1
2
3
…
y
…
－
0.5
0.5
1.5
2.5
…
（来自
《
教材
》
）
知
2
－讲
根据表中数值描点
(
x
,
y
)
，并用平滑曲线连接这
些点
(
如图
).
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即
当
x
由小变大时，
y
＝
x
＋
0. 5
随之增大
.
知
2
－讲
(2)
y
＝
(
x
＞
0
).
列表
(
计算并填写 表中空格
).
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
6
…
y
…
6
3
2
1.5
…
解：
根据表中数值描点
(
x
,
y
)
，
并用平滑曲线连接这些点
(
如图
).
从函数图象可以看出，曲
线从左向右下降，即当
x
由小变
大时，
(
x
＞
0)
随之减小
.
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表
——
表中给出一些自变量的值及其对
应的函数值；
第二步，描点
——
在直角坐标系中，以自变量的值
为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数
值对应的各点；
第三步，连线
——
按照横坐标由小到大的顺序，把
所描出的各点用平滑曲线连接起来
.
总 结
知
2
－讲
（来自
《
教材
》
）
(1)
画出函数
y
＝
2
x
－
1
的图象；
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
1
(1)
列表：
解：
x
…
－
3
－
2
－
1
0
1
2
3
…
y
＝
2
x
－
1
…
－
7
－
5
－
3
－
1
1
3
5
…
描点、连线，图象如图．
(2)
判断点
A
(
－
2.5
，－
4)
，
B
(1
，
3)
，
C
(2.5
，
4)
是否在函数：
y
＝
2
x
－
1
的图象上
.
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
(2)
当
x
＝－
2.5
时，
y
＝－
6
，
所以点
A
(
－
2.5
，－
4)
不在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上；
当
x
＝
1
时，
y
＝
1
，
所以点
B
(1
，
3)
不在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上；
当
x
＝
2.5
时，
y
＝
4
，
所以点
C
(2.5
，
4)
在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上．
解：
(1)
画出函数
y
＝
x
2
的图象
.
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
2
(1)
列表：
解：
描点、连线，函数图象如图所示．
x
…
－
3
－
2
－
1
0
1
2
3
…
y
＝
x
2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)
从图象中观察，当
x
0
时呢？
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
(2)
从图象中观察可知，
当
x
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
当
x
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大．
解：
已知点
A
(2
，
3)
在函数
y
＝
ax
2
－
x
＋
1
的图象上，
则
a
＝
(
)
A
．
1 B
．－
1
C
．
2 D
．－
2
知
2
－练
3
A
画出函数
y
＝
2
x
－
1
的图象．
(1)
列表：
(2)
描点并连线；
知
2
－练
4
x
…
－
1
0
1
…
y
…
－
3
－
1
1
…
(2)
如图
.
解：
(3)
判断点
A
(
－
3
，－
5)
，
B
(2
，－
3)
，
C
(3
，
5)
是否在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上；
知
2
－练
(3)
当
x
＝－
3
时，
y
＝
2×(
－
3)
－
1
＝－
7≠
－
5
；
当
x
＝
2
时，
y
＝
2×2
－
1
＝
3≠
－
3
；
当
x
＝
3
时，
y
＝
2×3
－
1
＝
5.
∴
点
A
，
B
不在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上，
点
C
在其图象上．
解：
(4)
若点
P
(
m
，
9)
在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上，求出
m
的值．
知
2
－练
(4)∵
点
P
(
m
，
9)
在函数
y
＝
2
x
－
1
的图象上，
∴
2
m
－
1
＝
9
，解得
m
＝
5.
解：
用描点法画函数图象的一般步骤：
(1)
列表：
在自变量取值范围内有代表性地取值，并
求出相应的函数值．
(2)
描点：
一对对应值即一个坐标，一个坐标确定一
个点．
(3)
连线：
按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各
点用平滑的曲线连接起来．
1
知识小结
第
4
课时
函数的表示法
第十九章
一次函数
19.1
函 数
1
课堂讲解
函数的表示法
三种函数表示法间的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
某公司招聘
条件：初中学历以上，团员优先，能吃苦耐劳
年舲：
16-25
岁
待遇：按钟点计酬
(
工资标准为每小时
8
元
)
假如你是初中毕业生被聘用
,
设工作时数为
t
(
时
)
，应得
工资额为
m
(
元
),
则
m
＝
8
t
.
取一些不同的
t
的值，求出相应的
m
的值：
t
＝
2
时
,
m
＝
16
元；
t
＝
3
时，
m
＝
24
元
;
…….
在根据不同的工作时数计算你应得工资额的过程中你
用了函数的哪些表示方法呢？
1
知识点
函数的表示法
知
1
－讲
函数的表示法：
可以用三种方法：
①
图象法
②
列表法
③解析式法
知
1
－讲
用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式
或函数关系式．
(1)
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量的方
法叫做
解析式法
．
(2)
用表格表示函数关系的方法，叫做
列表法
．
(3)
用图象表示函数关系的方法．叫做
图象法
．
知
1
－讲
例
1
一个水库的水位在最近
5 h
内持续上涨
.
下表记录
了这
5 h
内
6
个时间点的水位高度，
其中
t
表示
时间
，
y
表示水位高度
.
(1)
在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是
否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
(2)
水位高度
y
是否为时间
t
的函数？如果是，试写出一个符
合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象
.
这个
函数能表示水位的变化规律吗？
(3)
据估计这种上涨规律还会持续
2 h
，预测再过
2 h
水位高
度将为多少米
.
t/
h
0
1
2
3
4
5
y/
m
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
(1)
如图
,
描出表中数据对应的点
.
可以看出，这
6
个点
在一 条直线上
.
再结合表中数据，可以发现每小时水
位上升
0.3m.
由此猜想，如果画出这
5 h
内其他时刻
(
如
t
＝
2. 5 h
等
)
及其水位高度所对应的点，它们可能
也在这条直线上，即在这
个时间段中水位可能是始
终以同一速度均匀上升的
.
解：
知
1
－讲
(2
)
由于
水位在最近
5 h
内
持续上涨，对于时间
t
的
每一个
确定
的
值，水位高度
y
都有
唯一的
值与其对应，
所以
y
是
t
的函
数
.
开始时水位高度为
3 m
，以后每小时
水位
上升
0.3 m.
函
数
y
＝
0
.
3
t
＋
3(0
≤
t
≤
5)
是
符合表中数据的一个函数，它
表
示经过
t
h
水位上升
0.3
t
m
，即
水位
y
为
(0. 3
t
＋
3)m.
其
图象
是
(1)
图中点
A
(0, 3)
和点
B
(5, 4.5)
之间的线段
AB
.
如果在这
5 h
内，水位一直匀速上升， 即升速为
0.3m/h
，
那么函数
y
＝
0.3
t
＋
3(0
≤
t
≤
5)
就精确地表示了这种变化规律
.
即使
在这
5 h
内，水位的升速有些变化，而由于
每小时水位
上升
0.3 m
是确定的，因此这个函数也可以
近似
地
表示水位
的
变化规律
.
知
1
－讲
(
3)
如果水位的变化规律不变
，
则可
利用上述函数预测
，
再
过
2 h
，
t
＝
5
＋
2
＝
7(h
)
时
，
水位高度
y
＝
0
.
3×7
＋
3
＝
5.1(m
).
把
(1)
图中
的函数
图象
(
线段
AB
)
向右延伸到
t
＝
7
所
对应
的位置，
得右图
,
从
它也
能
看出这时的水位高度
约为
5.1
m
.
（来自
《
教材
》
）
(1)
从图中获取信息首先要弄清楚横、纵轴分别
表示
什么
意义，再对问题进行分析．
(2)
在实际问题中，有的横轴和纵轴上的单位长度
可
以
不一致，这对问题的结论没有影响，但每条
坐
标
轴上的单位长度必须要一致．
总 结
知
1
－讲
1
知
1
－练
用列表法与解析式法表示
n
边形的内角和
m
(
单
位：度
)
关于边数
n
的函数
.
（来自
《
教材
》
）
列表法：
解：
多边形的边数
n
3
4
5
6
…
内角和
m
180°
360°
540°
720°
…
解析式法：
m
＝
(
n
－
2)·180°(
n
≥3
，
n
为正整数
)
．
2
知
1
－练
用解析式法与图象法表示等边三角形的周长
l
关
于边长
a
的函数
.
（来自
《
教材
》
）
解：
解析式法：
l
＝
3
a
(
a
＞
0)
．
图象法：函数图象如图．
知
1
－练
3
如图，△
ABC
的边
BC
长是
8
，
BC
边上的高
AD
′
是
4
，点
D
在
BC
上运动
(
不与
C
点重合
)
，设
BD
长为
x
，则△
ACD
的面积
y
与
x
之间的函数关系式为
___________________
．
y
＝
16
－
2
x
(0≤
x
＜
8)
知
1
－练
b.
列表法
4
已知某品牌东北大米
6
元
/kg
，请你根据条件完
成下表：
购买该品牌东北大米
的
质量
x
(kg
)
1
2
3
4
5
6
…
付款金额
y
(
元
)
…
6 12 18 24 30 36
知
1
－练
某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是
(
)
A. 8
～
12
时
B
．
12
～
16
时
C
．
16
～
20
时
D
．
20
～
24
时
5
时间
/
时
0
4
8
12
16
20
24
水位
/
米
2
2.5
3
4
5
6
8
D
知
1
－练
c.
图象法
6
【
中考
·
淄博
】
小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看成一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，
则下面可以近似地刻画出容器最高水位
h
与注水时间
t
之间的变化情况的是
(
)
D
2
知识点
三种函数表示法间的关系
知
2
－讲
注意：
列表法、图象法、解析法虽然形式不同、但都
反映了问题中的两个变量
——
x
自变量
)
、
y
(
函数
)
的
关系．我们在解决问题时，常常综合运用这三种表
示法来深入地研究自变量与函数的关系式的性质．
同一个函数关系可以用不同的方法表示．
知
2
－讲
例
2
某年初，我国西南部分
省市遭
遇
了严重干旱．某
水库
的
蓄水
量
随着时间的
增加
而减小，
干
旱持续时间
t
(
天
)
与蓄水量
V
(
万
立方米
)
的
变化情况如
图所
示
，
根据
图象回答问题：
(1)
这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
(2)
根据图象填表
：
(
3)
当
t
取
0
至
60
天之间的任一值时，对应几个
V
值？
(4)
V
可以看作
t
的函数吗？若可以，写出函数解析式
．
干旱持续时间
t
/
天
0
10
20
30
40
50
60
蓄水量
V
/
万立方米
知
2
－讲
(1)
通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表
示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库
蓄水量之间的关系；
(2)
根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可；
(3)
观察图象可得；
(4)
可根据函数的定义来判断．
(1)
图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系．
(2)
填表如下：
导引：
解：
干旱持续时间
t
/
天
0
10
20
30
40
50
60
蓄水量
V
/
万立方米
1 200
1 000
800
600
400
200
0
知
2
－讲
(3)
当
t
取
0
至
60
天之间的任一值时，对应着一个
V
值．
(4)
V
可以看作
t
的函数．
根据图象可知，该水库初始蓄水量为
1 200
万立方米，
干旱每持续
10
天，蓄水量相应减少
200
万立方米，由
此可得出函数解析式为
V
＝
1 200
－
＝－
20
t
＋
1 200(0
≤
t
≤
60)
．
本例通过“形”，即图象中的信息，用列表及
解析式这些“数”来表示说明，三种函数表示方法
之间有互补性，是可以相互转化的，体现了
数形结
合思想
的应用．
总 结
知
2
－讲
（来自
《
教材
》
）
1
知
2
－练
一条小船沿直线向码头匀速前进
.
在
0min
，
2min
，
4min
，
6min
时，测得小船与码头的距离分别为
200 m
，
150 m
，
100 m
，
50 m.
小船与码头的距离
s
是时间
t
的函数吗？如果是，写出函数解析式，并画出函数图象
.
如果船速不变， 多长时间后小船到达码头？
（来自
《
教材
》
）
解：
s
是
t
的函数，函数解析式为：
s
＝
200
－
25
t
(0≤
t
≤8)
，函数图象如图．如果船速不变，
8 min
后小船到达码头．
知
2
－练
常用的三种函数的表示方法是：
________
、
________
、
________
，其中
________
可以由表中已有自变量的每一个值直接得出相应的函数值；
________
能准确地反映整个变化过程中函数与自变量之间的关系；
________
能直观、形象地表示函数关系．
2
图象法
列表法
解析式法
列表法
解析式法
图象法
某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量
x
(kg)
与收入
y
(
元
)
的关系如下表：则收入
y
(
元
)
与卖出的苹果质量
x
(kg)
之间的函数解析式为
(
)
A
．
y
＝
2
x
＋
0.1 B
．
y
＝
2
x
C
．
y
＝
2
x
＋
0.5 D
．
y
＝
2.1
x
知
2
－练
3
质量
x
/kg
1
2
3
4
5
…
收入
y
/
元
2
＋
0.1
4
＋
0.2
6
＋
0.3
8
＋
0.4
10
＋
0.5
…
D
函数的表示方法共有三种：
列表法、解析式法、图象法，它们分别从数、
式和形的角度反映了函数的本质．
1
知识小结
【
中考
·
济宁
】如图，
A
，
B
是半径为
1
的
⊙
O
上两点，且
OA
⊥
OB
，点
P
从点
A
出发，在
⊙
O
上以每秒一个单位
长度的速度匀速运动，回到点
A
运动结束，设运动
时间为
x
(
单位：
s)
，弦
BP
的长为
y
，那么下列图象
中可能表示
y
与
x
函数关系的是
(
)
A
．
① B
．
④ C
．
②
或
④ D
．
①
或
③
D
2
易错小结
此类问题容易出错的地方是没有分类确定
y
与
x
的函数关系，导致漏选．
易错点：
不注意分
类导致
漏解
而致错
.
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