天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 浙教版（2012） / 九年级下册 / 第3章 投影与三视图 / 浙教版九年级数学下册第3章三视图与表面展开图
资料简介
第
3
章 三视图与表面展开图
3.1
投影
1.
能结合具体例子说
明什
么是投影，
什么是投影线和投影面
等；
学
习
目
标
2.
理解平行投影和中心投影的概念
；
(
重点、难点
)
3.
通过例子来解释说明投影的分类.
观察下列图片你发现了什么共同点？
图片引入
投影的概念
一
观察与思考
思考：
你知道物体与影子有什么关系吗？
投影面
投影
投影线
照射光线叫做
投影
线，投影所在的平面叫做投影面．
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的
投影
.
概念归纳
把下列物体与它们的投影用线连接起来：
练一练
平行投影与中心投影
二
有时光线是一组互相平行的射线，例如探照灯光的一束光中的光线
.
平行投影
由平行光线形成的投影叫做
平行投影
．
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影．日影的方向可以反映时间
，我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
例
1
：
某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为
1.5m.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下
图，
你能画出此时乙木杆的影子吗？
（甲）
（乙）
A
D
D
'
B
E
E
'
(2)
当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（甲）
（乙）
A
D
D
'
B
E
E
'
(3)
在
(2)
的情况下
,
如果测得甲、乙木杆的
影子长分别
为
1.24m
和
1m,
那么你能求出甲木杆的高度吗
?
（甲）
（乙）
A
D
D
'
B
E
E
'
解：
因为△
ADD'
∽△
BEE'
,
所以，
所以，甲木杆的高度为
1.86m.
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．
皮影
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影．
由
同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做
中心投影
．
中心投影
请你分别指出下面的例子属于什么投
影
.
（
1
）平行投影
（
2
）中心投影
（
3
）平行投影
（
4
）中心投影
练一练
例2
：
确定下
图灯泡
所在的位置
.
解：
过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点
O
，点
O
就是灯泡的位置
.
O
平行投影和中心投影
小组讨论：
如图，平行投影和中心投影有什么区别和联系呢
?
区别
联系
平行投影
投影线互相平行，形成平行投影
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子
.
（即都是投影）
中心投影
投影线集中于一点，形成中心投影
1
.
上图中
物体
的
影子，
不正确的是
(
)
A
B
C
D
B
当堂练习
2
.
小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置
，已知
小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较
______.
（填“远”或“近”）
.
3
.
将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是
_______________
．
近
三角形或线段
5
.
小亮在上午
8
时、
9
时
30
分、
10
时、
12
时四次到室外的阳光下观察广场的旗杆随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上的影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）
A.
上午
12
时
B
.
上午
10
时
C.
上午
9
时
30
分
D
.
上午
8
时
D
4
.
晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是
( )
A
．先变短后变长
B
．先变长后变短
C
．逐渐变短
D
．逐渐变长
A
6
.
小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片，下面哪幅照片是小华在下午拍摄的？（天安门是坐北向南的建筑
.
）
7
.
确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
√
平行投影与中心投影
投影的概念
课堂小结
平行投影与中心投影
投影作图
第
3
章 三视图与表面展开图
3.2
简单几何体的三视图
3.2
简单几何体的三视图（
1
）
想一想：
长方体
按下图摆放，在平行光线下，它分别在水平投影面、侧投影面、正投影面三个相互垂直的平面上的正投影是什么图形？
※
我们把物体的正投影称为
视图
.
※
物体在正投影面、侧投影面和水平投影面上得到的视图分别称为主视图、左视图和俯视图，它们统称为
三视图
.
产生主视图的投射线方向叫做
主视方向
想一想：
三视图的大小与物体的大小有怎样的联系？
长
宽
高
长
宽
高
长对正
.
高平齐
.
宽相等
.
※
三视图中的
“三等规则”
.
※
三视图中的
位置
.
主视图
俯视图
左视图
从左面看
到的图形
从上面看
到的图形
从正面看
到的图形
主视图
左视图
俯视图
主视图
俯视图
左视图
例
1
：
一个长方体的立体图如图所示
,
长为
4
，宽为
2
，高为
3
，请画它的三视图
.
主视方面
4cm
2cm
3cm
主视图
俯视图
左视图
4cm
3cm
2cm
3cm
2cm
4cm
点
E
KN
GF
矩形
OPQR
B
长方体
和立方体都是直四棱柱。
图
3-19
课内练习
3.
主视图
左视图
俯视图
线段
DG
线段
IH
线段
EF
线段
DE
矩形
DIHG
作业题
2.
小结
:
1.
我们把物体的正投影称为视图
.
2.
物体在正投影面、侧投影面和水平投影面上得到的视图分别称为主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图
.
3.
画三视图应遵循的法则是
:
长对正、
高平齐、宽相等
.
4.
在画
三视
图时，我们一般先选择主视方向，画主视图，再把左视图画在主视图的右边，把俯视图画在主视图的下方
在
主视图、俯视图中都体现形体的长度，且长度在竖直方向上是对正的，我们称之为
长对正
。
在
主视图、左视图上都体现形体的高度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之为
高平齐
。
在
左视图、俯视图上都体现形体的宽度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称之为
宽相等
。
3.2
简单几何体的三视图
(2) (3)
1
、
三视图
主视图
——
从正面看到的图
左视图
——
从左面看到的图
俯视图
——
从上面看到的图
2
、
画物体的三视图
时
,
要符合如下
原则
:
主视图
左视图
俯视图
大小：
长对正
,
高平齐
,
宽相等
.
温故而知新
位置：
你会画圆柱的三视图吗？试一试吧！
试一试
主 视 图
左 视 图
俯 视 图
练习
：下面的四组图，如图所示的圆柱体的三视图是（ ）
主视图
左视图
俯视图
A
主视图
左视图
俯视图
B
主视图
左视图
俯视图
C
主视图
左视图
俯视图
D
B
例
4.
一个圆锥如图
,
底面直径为
8 cm
,
高
6 cm
,
按
1:4
比例画出它的三视图
.
主视图
左视图
俯视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
圆柱、圆锥和球的三种视图如下表所示：
例
2
、
如图
,
一个蒙古包上部的圆锥部分和下部的圆柱部分的高都是
2 m
,
底面直径为
3 m
,
请以
1:200
的比例画出它的三视图
.
例
3
、
如图
,
一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长为
120mm,
高为
120mm,
内孔直径为
120mm.
画出这个六角螺帽毛坯的三视图
.
画某些实物的三视图时
,
若没有特殊的比例要求
,
可根据实际情况进行合理的缩放
,
但需在解题过程中予以标注
.
练习
1.
如图，下列关于物体的主视图画法正确的是
( )
A
B
C
D
C
2.
如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，画出它的三视图（按立体图尺寸）
3.
如
图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三角形），下部是圆柱，画出它的三视图（按立体图尺寸）
4
、
一截钢管如
图，
其内直径为
200 mm
，外直径为
260mm
，高为
300mm
，请选取适当的比例画出它的三视图。
主视图
左视图
俯视图
5
、
如图的物体是由两个圆锥组成，选取适当的比例画出该物体的三视图（单位：
mm
）。
440
200
400
6
、如图是一个“凹”字形几何体，画出它的三视图（尺寸自选）
7
、从一个边长为
2cm
的大立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，画出它的三视图（比例为
1
：
1
）
8
、如
图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图：
与同伴交流你的看法和具体做法
.
主视图
左视图
俯视图
小结：三视图的画法
（
1
）先画主视图
,
在主视图正下方画出俯视图
,
注意与主视图
“长对正”
，在主视图正右方画出左视图，注意与主视图
“高平齐”
，与俯视图
“宽相等”
.
（
2
）
看得见
部分的轮廓线画成
实线
，因被其他部分遮挡而
看不见
部分的轮廓线画成
虚线
.
说一说
1
、说出圆柱、圆锥、球、直三棱柱的三视图吗？
2
、有没有三视图都一样的物体？
3
、画三视图的规则如何？
2.
圆锥的三视图分别是
,
,
.
1.
直三棱柱的三视图分别是
,
,
；
4.
三视图都一样的几何体是
,
.
立方体
球体
三角形
三角形
圆形
矩形
矩形
三角形
3.
圆柱的三视图分别是
_______,_______,_______.
矩形
矩形
圆形
填一填
第
3
章 三视图与表面展开图
3.3
由三视图描述几何图
圆锥
·
长方体
圆柱
四棱锥
课前回顾
基本几何体的三视图
直五棱柱
三棱锥
66
基本几何体的三视图
1.
柱体
——
有两个视图是矩形
.
2.
锥体
——
有两个视图是三角形
.
3.
台体
圆台
——
有两个视图是等腰梯形
棱台
——
有两个视图是梯形
4.
球
——
三个视图都是圆
课前回顾
正视图
侧视图
俯视图
由立体图得到三视图
课前回顾
探究
1
那么怎样由三视图得到几何体呢？
69
根据三视图说出立体图形的名称
想一想
如果第三个图形为
圆
，
那么是
______
；
如果第三个图形为
n
边
形
,
那么是
_______
；
一般地，三视图中有两个图形是
长方形
，考虑是
_____;
柱体
圆柱
直
n
棱柱
归纳
一般地，三视图中有两个图形是
三角形
，
考
虑是
锥体
如果第三个图形为
圆，
则
是
圆锥
；
如果第三个图形为
n
边形，
则是
n
棱锥
.
归纳
下
列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述
.
正视图
侧视图
俯视图
六棱锥与六棱柱的组合体
练习
（
1
）
正视图
侧视图
俯视图
举重杠铃
（
2
）
拓展提升
同学们，三视图还原立体图是中考的必考题，这极其考验学生的识图能力、判断能力和空间想象能力。多数同学普遍感到很棘手或根本没有办法想象得出。
今天我们就来介绍一种很奇妙的方法：
借助长方体将三视图还原成立体图
。
A
正视图
俯视图
侧视图
B
C
拓展提升
某四面体的三视图如图所示，能不能画出该三视图对应的立体图呢？
首先我们先画一个长方体。
步骤分析
接下来，在长方体底面画出俯视图，得到
A,B,C三个点
步骤分析
再根据三视图之间的关系来判断，哪些点会被拉伸，哪些点保持不动。
由俯视图与左视图宽相等可知，
B点
保持不动，
A，C
两点至少有一点被垂直拉伸
再来观察俯视图与主视图可知，
A点被
拉伸至点
D，C点被拉伸至点E。
步骤分析
这样就得到了几何体的所有顶点，将各顶点连接起来，即可得到对应的立体图。
A
B
C
D
首先画一个长方体
根据三视图之间的关系确定哪些点被拉伸，哪些点保持不动
。
将三视图
的俯视图放入长方体的底面
最后连接各个顶点
总结
答案：两个圆台组合而成的简单组合体。
主视图
左
视图
俯视图
1
、由三视图描述出立体图
达标测试
（
1
）
主视图
俯视图
左视图
（
2
）
答案：一个四棱柱和一个圆柱体组成的简单组合体。
2.
说出下面的三视图表示的几何体的结构特征，并画出其示意图
.
正视图
左视
图
俯视图
将一个长方体挖去两个
小长方体后剩余的部分
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1
、简单几何体的三视图。
3
、借助长方体将三视图还原为立体图
2
、由三视图想象立体图。
第
3
章 三视图与表面展开图
3.4
简单几何体的表面展开图
展开图
第
1
课 时
杜登尼
(Dudeney,1857-1930
年
)
是
19
世纪英国知名的谜题创作者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在
1903
年的英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜题之一．它对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪．
想挑战世纪谜题吗
?
A
B
挑战世纪谜题
A
B
---- “
蜘蛛和苍蝇”问题
在一
个长
、宽、高 分别为
3
米，
2
米，
2
米的长
方体房间内，一蜘蛛在一面的
中间
,
离
天花
板
0.1
米
处
(
A
点
)
，苍蝇在对面墙的中间
,
离地面
0.1
米处
(
B
点
),
试问
:
蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少
?
立体图
平面图
转化
将立方体沿某些棱剪开后铺平
,
且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的
表面展开图
。
需要
七刀
才能剪开。
不同的剪法就会有不同的展开图。
一四一型
一三二型
二个
三型
三个
二型
二个三型
归纳规律
一四一型
一三二型
三个二型
“
一四一”
,
“一三二”
.
“
一”在同层可任意；
“三个二”成阶梯，
“二个三”，“日”字连；
异层 “日”字连
整体没
“
凹”和“
田”
口诀
下面的图形都是立方体的展开图吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
下面的图形都是立方体的展开图吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
C
D
E
A
B
添上一个小正方形
,
使下图折叠后能围成一个立方体
,
有哪几种添法？
C
D
E
A
B
添上一个小正方形
,
使下图折叠后能围成一个立方体
,
有哪几种添法？
C
D
E
A
B
添上一个小正方形
,
使下图折叠后能围成一个立方体
,
有哪几种添法？
C
D
E
A
B
添上一个小正方形
,
使下图折叠后能围成一个立方体
,
有哪几种添法？
添上一个小正方形
,
使下图折叠后能围成一个立方体
,
有哪几种添法？
C
D
E
A
B
立方体展开图的周长是每个小正方形边长的几倍
?
1
2
3
4
5
6
6
1
4
1
5
6
3
2
(1)
5
6
3
2
4
1
(2)
5
6
3
2
1
4
(3)
5
6
3
2
1
4
(4)
5
3
2
4
(5)
5
6
3
2
1
4
(6)
4
5
6
3
1
2
(7)
6
3
1
5
6
3
4
1
2
(8)
展开图规律之四
:
立方体表面展开图的周长是小正方形边长的
14
倍
.
想一想：
5
6
3
4
2
1
(9)
2
5
1
3
6
4
(10)
5
6
3
4
2
1
(11)
例1.如图是一个立方体的表面展开图吗? 如果是,请分别用1,2,3,4,5,6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面(只要求给出一种表示法)
6
2
3
4
5
1
1
4
2
3
5
6
典型例题
（
1
）下图给出三种纸样，它们都正确吗？
典型例题
例
2
：
有一种牛奶软包装盒如图
.
为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样
.
解
：图中，因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，所以图乙不正确
.
图甲和图丙都正确
.
甲 乙
丙
（
2
）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸；
解：若选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如下
图
.
甲
a
b
b
b
b
a
a
解
:
由右图可得
,
包装盒的侧面积为
S
侧
=
S
表
=S
侧
+2S
底
a
b
b
b
b
a
a
h
（
3
）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积（侧面积与两个底面积的和）
.
想一想：
(1)
直棱柱的侧面展开图一定是什么平面图形？
长方形
(2)
直棱柱的侧面积与底面周长及侧棱长有怎样的关系？
直棱柱的侧面积
=
底面周长
×
侧棱长
⑴
⑷
⑶
下图中的哪些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒
?
先想一想，再折一折
.
⑵
(5)
想一想
在一个长方形长、宽、高 分别为
3
米，
2
米，
2
米长方体房间内，一蜘蛛在一面的
中间离
天花
板
0.1
米
处
(A
点
)
，苍蝇在对面墙的中间
,
离地面
0.1
米处
(B
点
),
试问
:
蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少
?
B
A
解：
1.
左→上 →右
A
B
3
米
2
米
2
米
3.
左→前→右
B
A
2.
左→下 →右
B
A
AB
=5
AB
=5
直四棱柱
直三棱柱
直六棱柱
2
4
2
2
C
B
5.
感悟反思
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
你还有什么想法吗？
c
7
-1
b
a
1
、如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的
6
个正方形中分别已填入了
-1
、
7
、 、
a
、
b
、
c
，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数
,
求
a
、
b
、
c
的值
.
练一练：
2
、将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展开，以下各示意图中是它的展开图的是（
）
A
B
D
C
C
练一练：
3
、下面的图形是正方体的平面展开图，如果把它们叠成正方体，哪个字母与哪个字母对应（即哪个面与哪个面是对面的）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
练一练：
4
、如图是立方体的表面展开图，要求折成立方体后，使得
6
在前，右面是
2
，哪个面在上？
5
6
2
1
3
4
练一练：
5
、 有一个正方体，在它的各个面上分别写了①、②、③、④、⑤、⑥。甲、乙、丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方体，结果如下图，问这个正方体各个面的对面的是什么数？
⑥
②
④
甲
②
③
①
乙
④
③
⑤
丙
练一练：
下面的图形都是立方体的展开图吗？
第
2
课时
B
C
D
A
问题
1
：
矩形
ABCD
，绕
AB
边所在
直线
旋转
一周
得到的图形是什么？
B
C
D
A
动作演示
圆柱的有关概念：
圆柱
可以看作由一个矩形
ABCD
绕一条边
(
AB
)
旋转一周
,
其余各边所成的面围成的几何体
.
直线
AB
叫做
圆柱的轴
，
AD
、
BC
旋转所成的面就是圆柱的
两个底面
,
是两个半径相同的圆．
CD
旋转所成的面就是
圆柱的侧面
,
CD
不论转到哪个位置
,
都是
圆柱的母线
．圆柱两个底面之间的距离是
圆柱的高
.
A
B
C
D
母线
底面
侧面
高
问题
:
将圆柱的
侧面沿母线剪开
，展在一个平面上 得到什么图形？你能想象出圆柱的展开图吗？
观察
1
、这个展开图是圆柱侧面展开图
----
矩形的两边分别是圆柱中的什么线段？
一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长
2
、矩形的面积公式是什么？请归纳圆柱的侧面面积公式？
3
、圆柱的表面展开图怎样？
请归纳圆柱的表面积公式？
S
圆柱侧面积
=
底面圆的周长
×
圆柱母线长
=2π
r
l
S
圆柱全面积
=
圆柱侧面积
+2×
底面积
=
2π
r
l
+ 2π
r
2
底面圆的周长
l
r
例
3
如图
,
用
一张面积为
900cm
2
的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径（精确到
0.1cm
）
解：设正方形边长为
x
,
则：
依题意可得：
2π
r=
30
答：这个圆柱的直径约为
9.6cm
。
1.
如图
,
已知矩形
ABCD, AB
＝
25 cm, AD
＝
13 cm .
若以
AD
边为轴
,
将矩形旋转一周
,
则所成的圆柱的底面直径是
________cm,
母线长是
________cm,
侧面展开图是一组邻边长分别为
___________
的一个矩形
.
13
50
50πcm
和
13cm
25 cm
13 cm
变式：
若
以
AB
边为轴
,
将矩形旋转一周呢？
2.
一个圆柱的底面直径为
20cm
,
母线长为
15cm.
求这个圆柱的侧面积和全面积
(
结果保留
π)
.
S
侧
= 2π
r
l
= 2π
×
10
×
15
= 300π(cm
2
).
S
全
= 2π
r
l
+ 2π
r
²
= 2π
×
10
×
15
+2π
×
10²
= 500π(cm
2
).
答
:
圆柱的侧面积为
300πcm
2
，全面积为
500πcm
2
.
如
图
,
一只蚂蚁在圆柱的底面
A
处
,
准备沿着圆柱的侧面爬到
B
处
,
它怎样爬行路线最近？先说说你的解题思路
,
然后给出解答
,
并算出最近路线的长
(
精确到
0.01 cm)
.
探究活动
4
6
A
B
A
画出圆柱的侧面展开图如图
,
B
C
BC
＝
2π
,
AC
＝
6
.
根据两点之间线段最短
,
蚂蚁在圆柱表面爬行的
最短路程长应是线段
AB
的长
,
1.
一个圆柱的底面半径为
120mm
,
母线长为
280mm.
以
1:10
的比例画出它的表面展开图
,
并求出它的侧面积和全面积
(
结果保留
π)
.
S
侧
=
2π
r
l
= 2π
×
120
×
280
=67200π(mm
2
).
S
全
=
2π
rl
+
2π
r
² = 96000π(mm
2
).
2
π×
1.2
2.8cm
4.
已知圆柱的全面积为
150πcm²
,
母线长为
10 cm.
求这个圆柱的底面半径
.
设底面积半径为
r
.
由题意
,
得
2π
r
² + 2π
r
×
10 = 150π
,
∴
r
²+10
r
－
75 = 0
,
解得
r
1
= 5
,
r
2
＝
-15 (
不合题意
,
舍去
)
.
答
:
圆柱的底面半径为
5cm.
5.
已知一个圆柱的侧面展开图是长为
20πcm
,
宽为
10cm
的矩形
.
描述这个圆柱的形状
,
并画出它的三视图
(
尺寸比例自选
)
.
它的三视图如图
.
解：
∵2
π
r
=20
π，
∴
r
=10
∴
这个圆柱的底面半径为
10cm
,
母线长为
10cm
,
6.
已知一个圆柱的底面半径
r
与母线长
l
的比为
2:3
,
圆柱的全面积为
500πcm².
选取适当的比例画出这个圆柱的表面展开图
.
∴
r
=10,
l
＝
15.
所求展开图如图
.
15
20π
解：设
r
=2
k
，
l
=3
k
，由
已知可得
2π
r
² + 2π
rl
= 500π.
∴
8π
k
2
+12π
k
2
=500π
∴
20π
k
2
=500π
∴
k
＝
5(
负值舍去）
.
总结
：
知识：
圆柱的形成
、
基本概念
（
圆柱的底面
、侧
面和高
、
圆柱的轴、母线）
、
圆柱的侧
面展
开图及其面积
公式
:
S
侧
=2π
r
l
S
全
=
S
侧
+ 2
S
底
=
2π
r
l
+
2π
r
2
思想
:
“
转化思想
”
求
圆柱的侧面积（立体问题
） 转
化为求矩形的面积（平面问题）
运
动的观点（
圆柱的形成）
方法：圆柱的侧面展开（化曲为直）．
如图为一个圆柱的三视图
.
根据三视图的尺寸
,
画出这个圆柱的表面展开图
.
问题
1.
圆柱体怎么形成呢？
问题
2.
你对圆柱还有哪些了解？
将矩形绕一边所在直线旋转
360°
所形成的几何体
第
3
课时
试一试
：以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体是
……
？
圆锥可以看成是
直角三角
形
以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体
.
侧面
斜边旋转而成的曲面叫做
圆锥的侧面
母线
无论转到什么位置，这条斜边都叫做
圆锥的母线
另一条直角边旋转而成的面叫做
圆锥的底面
圆锥的相关
概念
圆锥底面圆周上的任意一点
与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线
l
连结顶点与底面圆心的线段
叫做圆锥的高
问
题
:
圆锥的母线有几条？
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到的截面是圆，在不同位置所截得的圆的半径，与底面半径均不等。
用过圆锥的高线的平面截圆锥，得到的截面（圆锥的轴截面）是等腰三角形
它的底边是圆锥底面的直径
底边上的高线就是圆锥的高线
1.
连结
顶点
与
底面圆
心
的线段叫做
圆锥的高
如图
中
l
是
圆锥的一条母线，
而
h
就是圆锥的高
2.
圆锥的底面半径
、高
线、母线长三者之
间的
关系
:
O
P
A
B
r
h
l
填空
:
根据下列条件求值（其中
r
、
h
、 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（
1
）
l
= 2
，
r
=1
则
h
=_______
（
2
）
h
=3,
r
=4
则
=_______
（
3
）
l
=
10,
h
= 8
则
r=_______
5
6
l
动一动：
1
．准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的表面展开图．
问题
:
1
、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
既是圆的周长
又是侧面展开图扇形的弧长
问题
:
2
、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
既是圆锥的母线
又是侧面展开图扇形的半径
O
P
A
B
r
h
l
圆
锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的
周长
、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积
.
圆锥的全面积
=
圆锥的侧面积
+
底面积
.
圆锥的侧面积和全面积
如图
:
设圆锥的母线长为
a,
底
面半
径为
r.
则圆锥的侧面
积公
式为：
全面积公式为：
=
πrl
＋
πr
2
O
P
A
B
r
h
l
例
1
、根据圆锥的下列条件，求它的侧面积和全面积
（
1
）
r
=12cm,
l
=20cm
（
2
）
h
=12cm
，
r
=5cm
l
O
P
A
B
r
h
l
)
θ
若设圆锥
的表面展开图
扇形的圆心角为 ，
则由
得到圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：
例
2.
圆锥形烟囱帽的母线长为
80cm
，高为
38.7cm.
（
1
）求这个烟囱帽的面积（精确到
10 c㎡)
。
r
h
l
解：（
1
）∵
l
=80cm,
h
=38.7cm,
∴
∴
S
侧
=
= ×70×80
答：烟囱帽的面积约
r
h
l
（
2
）以
1:40
的比例画出这个烟囱帽的展开图
解：烟囱帽的展开图
的扇形圆心角为
按
1:40
的比例画出这个烟囱帽的展开图如
图
.
例
3.
童
心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为
15cm
，底面半径为
5cm
，生产这种帽身
10000
个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和余料，
π
取
3.14
）？
解
:∵
l
=15cm,
r
=5cm,
235.5×10000= 2355000
（
cm
2
)
答：至少需
235.5
平方米的材料
.
∴
S
侧
=
π
rl
3.14×15×5
= 235.5
（
cm
2
)
注意：
1.
认清直径还是半径
2.
公式中的
l
表示母线
1.
已知圆锥的底面半径为
12cm
,
母线长为
20cm
.
求这个圆锥的侧面积和全面积
.
S
側
= 240πcm
2
，
S
全
= 384πcm
2
.
2.
如图为一个圆锥的三视图
.
以相同的大小比例画出它的表面展开图
.
解：
由
已知三视图， 得
r
＝
120mm,
l
＝
＝
200(mm)
练习
4.
将半径为
30cm
的圆形铁皮剪成三个全等的扇形
,
用来做三个无底的圆锥形筒
,
则圆锥形筒的高是少
(
不计接头
) ?
3.
一个圆锥的侧面展开图是半径为
18cm
,
圆心角为
240°
的扇形
.
求这个圆锥的底面半径
.
12cm
解：
设
圆锥底面半径为
r
,
则
得
r
=
10(cm).
在圆锥的轴截面中
,
由勾股定理
,
知
5.
已知圆锥的轴截面
(
过圆锥顶点和底面圆心的截面
)
是边长为
6cm
的正三角形
.
求圆锥的高和侧面积
,
并以
1:2
的比例画出圆锥的表面展开图
?
6.
如图为一个圆锥的侧面展开图
.
以
1:10
的比例画出它的三视图
.
解：
由
已知侧面展开图
,
得
×
360
＝
270
,
解得
r
＝
225(cm).
所求三视图如图
,
比例
1:10
解：
一个圆锥形的零件
,
经过轴的剖面是一个等腰三角形
,
这个三角形就叫做圆锥的
轴截面
；它的腰长等于圆锥的
母线
长
,
底边长等于圆锥底面的
直径
.
圆锥的轴截面
A
B
C
O
如△
ABC
就是圆锥的轴截面
S
轴截面
=
h
×2
r
÷2=
rh
已知一个圆锥的轴截面△
ABC
是等边三角形，它的表面积
为
75
cm
2
,
求这个圆锥的底面半径和母线的长
.
B
C
O
A
解：∵轴截面△
ABC
是等边三角形
∴
AC
=2
OC
由题意，得
答：圆锥的底面半径为
5cm
，母线长为
10cm.
合作
探究
如
图，圆锥的底面半径为
1
，母线长为
3
，一只小虫要从底面圆周上一点
B
出发，沿圆锥侧面回到
B
点，问它爬行的最短路线是多少？
若沿圆锥侧面爬到过母线
AB
的轴截面上另一母线
AC
上中点
D
,
问它爬行的最短路线是多少？
D
本
节课我们认识了圆锥的侧面展开图
,
学会计算圆锥的侧面积和全面积
,
在认识圆锥的侧面积展开图时
,
应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长
.
圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径
,
这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确
.
本节课我们有什么收获
?
h
高
底面半径
r
母线
小结
1.
圆锥的高
,
底面半径
,
母线长之间的关系是
:
2
．
圆锥的侧面积：
3
．
圆锥的全面积：
4
．
圆锥侧面展开图的圆心角：
转化（立体图形与平面图形之间的相互转化）
数学思想：
数学方法：
分割法
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