资料简介
第
2
章 圆
2.1
圆的对称性
观察下面图形，它们有什么特点
这就是圆的一种原型．
圆
是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形
.
探究学习
1、什么是圆？
·
O
A
定长叫作
半径
.
这个定点叫作
圆心
.
圆
也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作
圆心
.
定点与动点的连线段叫作
半径
.
如图
,
点
O
是圆心
.
以点
O
为圆心的圆叫作圆
O
，记作
⊙
O
.
E
F
2、圆中有关概念：
·
O
D
C
连结圆上任意两点的线段叫作
弦
.
如图，线段
CD
是一条弦
.
经过圆心的弦叫作
直径
.
如
图线段
EF
是⊙
O
的一条直径，线段
EF
的
长
度
也称为
直径
.
直径是最长的弦
·
O
A
B
M
·
圆上任意两点间的部分叫作
圆弧，
简称
弧
.
如图圆
O
上两点
A
，
B
间的小于半圆的部分
叫作
劣弧，
用符号
“⌒”
表示
.
记作：
AB
A
，
B
间的大于半圆的部分叫作
优弧，
记作：
AMB
其中M是圆上一点
。
A
3、点与圆的位置关系：
·
O
P
M
B
A
观察点B、P、M与圆的位置回答问题：
（1）点与圆的位置关系有几种情况？
（2）用图形怎么叙述？
（3）用数量怎么叙述？
设点和圆心距离为
d
，圆的半径为
r
（1）
点
P
在
圆内
（2）点
B
在圆上
（3）点
M
在圆外
dr
1
、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
能够重合
的两
个圆
叫作相等
的圆，
或等圆
4、圆的对称性：
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？
这体现圆具有什么样的性质？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合
.
特别
地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
.
2.
在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
·
O
A
B
C
D
E
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
这体现圆具有什么样的性质？
思考：
弦AB与直径CD有什么关系？
如图，
CD
是⊙
O
的任意一条直径，
A
是⊙
O
上任意一点，
过点
A
作
CD
的垂线，与⊙
O
交点
B
，
A
和
B
关于
CD
对称。
直线
CD
是线段
AB
的垂直平分线．
1.下述命题是否正确？为什么？
（
1
）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦；
（
2
）圆只有一条对称轴
.
正确
错
课时练习
（3）圆的任意一条弦是圆的对称轴。
错
（4）圆的直径是弦，圆中任意弦也是圆的直径。
错
（5）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
正确
2、自行车的车轮是圆形，为什么？
车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的
半径，坐车
的人会感觉到非常
平稳
,
这
是车轮都做成圆形的数学道理．
3、已知⊙
O
的半径是5cm，线段OA=6cm，则A点
在⊙
O
。
4、已知Rt
∆ABC，∠C=90º，BC=3cm，AB=5cm，
以C为圆心，4cm长为半径作
⊙C，则顶点A在圆
。
外
上
6、已知
⊙
O
的半径为
5 cm
，弦
AB
的
长
为6 cm
，求圆心到
AB
的
距离
.
圆心到
AB
的距离为
4
㎝
5、在
∆
ABC
中，∠
ACB
=90º，∠
A
=40º，
以
C
为圆心，
BC
为半径的圆交
AB
于
D
点，
则∠
ACD
=
.
7、已知半径为
3 cm
的⊙
O
中
，
有一条AC与直径AB成
60º的角，
试求点O到弦AC的距离及AC的长。
8、如图，一水平放置的圆形水管内水面的宽度是16分米，水的最大深度是4分米，求水管的直径。
40º
·
A
B
O
D
·
B
A
C
D
·
C
B
A
D
O
A
B
C
D
·
课堂小结
1
、圆的概念是什么？
到
一定点
的距离等于
定长
的
所有点
组成的图形叫做圆
。
一个动点绕一个定点
旋转一周
所形成的图形，叫做圆。
2、圆对称性：
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形，对称轴是圆的任意一条直径。
圆还是旋转对称图形。
因为圆绕着圆心旋转
任意一
个角度，都与自身重合。
3、点与圆的位置关系：
设点
P
和
圆心距离为
d
，圆的半径为
r
（1）
点
P
在
圆内
（2）
点
P
在
圆上
（3）
点
P
在
圆外
dr
第
2
章 圆
2.2
圆心角、圆周角
本节内容
2.2.1
圆心角
知识回顾
1
、圆的概念是什么？
2、
圆的对称性
：
C
·
O
A
B
圆上任意两点间的部分叫作
圆弧，
简称
弧
.
如图圆
O
上两点
A
，
B
间的小于半圆的部分
叫作
劣弧，
用符号
“⌒”
表示
.
记作：
AB
A
，
B
间的大于半圆的部分叫作
优弧，
记作：
AMB
其中M是圆上一点
。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
·
O
A
B
如图，∠
AOB
是怎样构成的？
∠
AOB
叫作AB所对的
圆心角.
AB叫作圆心角∠
AOB
所对的弧．
两条半径所形成的角叫
圆心角
。
在生活中，我们常遇到圆心角，
如飞靶中有圆心角，还有手表中的
时针与分针所成的角也是圆心角．
下面所示的
角，
哪个是圆心角？
·
A
·
B
·
C
·
D
概念学习
合作探究
圆心角、弦、弧的关系
1、实验操作：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙
O
和⊙
O
'
，
在
⊙
O
和⊙
O
'
中，作圆心角
∠
AOB
和∠
A
'
O
'
B
'
，
连接
AB
和
A'B',
将两张纸重叠，
使
⊙
O
和⊙
O
'
重合。
当
∠
AOB
=∠
A
'
O
'
B
'
时
，弦
AB
A
'B'
，
2、探究思考：
·
O
A
B
·
O'
A'
B'
AB
A
'B'
=
=
3、在同一圆中，∠
AOB=
∠
COD
由旋转不变性得：AB=CD，
AB=CD
∠
AOB=
∠
COD
AB=CD
AB=CD
结论：
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，
那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
·
O
C
B
D
A
·
O
C
B
A
D
议一议
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗？你能讲出道理吗？
∠
AOB=
∠
COD
AB=CD
AB=CD
∠
AOB=
∠
COD
AB=CD
AB=CD
在
同圆或等圆
中，
如果两个
圆心角
，两条
弧
，两条
弦
中有
一组量相等
，
那么它们所对应的其余
各组都分别相等
。
n
º
的圆心角对着
n
º
的弧，
n
º
的弧对着
n
º
的圆心角。
圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
小知识
2、已知⊙
O
的半径是
5 cm
，弦
AB
长是
5 cm
，
则圆心角∠
AOB=
.
60
º
3、在
∆ABC中，
∠
A
CB=90
º，以C为圆心，CA为半径
的圆交AB于D，且AD=
70
º，则
∠B=
.
35
º
例1
、如图在
∆ABC中，
∠C=90
º，
∠B=28
º，
以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，
交BC于E，求AD，DE的度数。
解
：连结CD
,
∠A=90
º-
28
º=
62
º
∠ACD=180
º
-
62
º×2=
56
º
∠ECD=34
º
∴AD=
56
º，
DE=
34
º
·
E
D
C
B
A
4、如图，
AB
是⊙
O
的直径
，D，C
是
AB
的三等分点，
连结
AD、DC、CB,
求∠
DCB
的大小。
提示：证明
∆
AOD
、∆
DOC
、∆
COB
是
等边三角形，
∠
DCB=
120
º
5、如图，已知
AB
、
CD
是⊙
O
的两条直径，
BE
是⊙
O
的一条弦，点
C
是
AE
的中点，
且
BE
=
BD
，求∠
AOD
的度数。
7
4
∠
EOB=
40
º，
∠
AOC=
∠
COE=
∠
DOB=
70
º
∠
AOD
=110
º
·
C
D
B
A
O
·
E
D
C
B
A
O
6、如图，已知
CD
是⊙
O
直径，圆心角∠
AOB=
30
º，
弦
CA
//
OB
，求
∠
BOD
的度数
。
7、如图，
AB
是⊙
O
直径，
AC
=
CD
，∠
COD=
60
º，
（1）求证：∆
AOC
是等边三角形
。
（2）求证：
OC//BD
·
C
D
B
A
O
·
C
D
B
A
O
由CA//OB，
∠
AOB=
30
º，
得
∠
CAO=
∠
ACO=
30
º
∴∠
AOC=
120
º
∴∠
AOD=
60
º
∴∠
BOD=
30
º
（1）仿第4题得证
（2）∆
AOC≌
∆
BOD
∴∠
AOC=
∠
DBO=
60
º
∴
OC//BD
1.
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.
在
同圆或等圆
中，
如果两个
圆心角
，两条
弧
，两条
弦
中有
一组量相等
，
那么它们所对应的
其余各组都
分别
相等
。
课堂小结
3
.
圆心角
的度数与它所对弧的度数相等。
练 习 巩 固：
练习第
1
、
2
题
作 业 布 置
：
习题
2.2
第
1
、
2
题
圆周角
(1)
本节内容
2.2.2
3、如图，已知∠BOC=80°
，
①
求AB弧的度数
；
②
延长BO交⊙O于点A，连结AC，求∠C的度数。
80°
40°
1.
圆心角的定义
?
顶点在圆心的角叫圆心角.
O
B
C
·
2.
圆心角、弧、弦三个量之间关系
在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦
有
一
组量相等，那么它们所对应的其余两
个
量
都分别相等。
O
B
C
·
A
动脑筋
圆心角的顶点发生变化时
,
我们得到几种情况
:
O
B
C
·
O
B
C
·
A
A
A
圆周角
回忆
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗
?
O
B
C
·
A
顶点在圆上
,
并且
两边都和圆相交
的角叫
圆周角
.
特征：
① 角的顶点在圆上
.
② 角的两边都与圆相交
.
辨一辨
判别下列各图形中的角是不是圆周角，为什么？
·
O
·
O
·
O
·
O
·
O
不是
不是
不是
不是
是
指出图中的圆周角。
找一找
·
A
B
C
D
E
O
A
圆周角性质定理：
1、画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.
2
、一
条弧所对的圆周角有多少个
?
圆心角呢
?
一条弧所对的圆周角有
无数个
。
圆心角只有
一个
。
O
B
C
·
A
A
A
圆周角
与同弧所对的
圆心角
有什么关系？
结论
:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
圆周角的度数就等于所对弧度数的一半。
例题与练习
1
、如
图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB
=______
。
2
、
如图，在直径为
AB
的半圆中，
O
为圆心，
C
、
D
为半圆上的两点，∠
COD=50
0
，则∠
CAD=_________
3
、
在圆
O
中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)
0
和
(5x-30)
0
，则这条弧的度数为
____
4
、
如图，已知∠ACB=20°，
则∠AOB=
，∠OAB=
。
·
O
A
B
C
40
°
70
°
130°
25°
140
°
5
.
如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.
·
O
C
B
A
∠
BAC=
0.5
∠BOC
∠
AOC=2∠BOC
∠
ACB=2∠BAC
证明：
∠
ACB=
0.5∠
AOB
6
、
已知，⊙
O
的弦
AB
长等于圆的半径，求该弦所对的圆心角和圆周角的度数。
·
O
C
B
A
∠AOB=60°
∠ACB=30°
D
∠
A
D
B
=150°
7
、
如图
，在⊙
O
中
，
AB
是直径
，
半径CO⊥AB, D是CO的中点
，
DE // AB
，
求
∠ABE的度数.
·
A
B
E
O
D
C
∠ABE=15
°
8
、
AB、AC为⊙O的两条弦
，延长
CA到D，使AD=AB
，如果
∠ADB=35°，求∠BOC的度数。
·
O
D
C
B
A
9
、
如图，在⊙O中，BC=2DE，
∠
BOC=84°，求∠ A的度数。
⌒
⌒
·
O
D
C
B
A
E
∠A=21
°
∠BOC=140
°
课堂小结
1
、
圆周角的定义
。
顶点在圆上
,
并且
两边都和圆相交
的角叫
圆周角
.
特征：
① 角的顶点在圆上
.
② 角的两边都与圆相交
.
2
、圆周角定理及其定理应用。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透
了
“
特殊到一般
”
的思想方法和
分类讨论
的思想方法。
本节内容
2.2.2
圆周角
(2)
1
、
圆周角的定义
。
顶点在圆上
,
并且
两边都和圆相交
的角叫
圆周角
.
特征：
① 角的顶点在圆上
.
② 角的两边都与圆相交
.
2
、圆周角定理及其定理应用。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
知识回顾
1.
如图，在⊙
O
中，∠
BAC=32º
，则∠
BOC=________
。
64º
130º
A
O
C
B
A
O
C
B
2、如图，⊙O中，∠ACB = 1
15
º，
则∠AOB=______。
问题1
、如图，在
⊙
O
中,
∠B、∠D、∠E
的
大小有什么关系?为什么?
B
A
C
D
E
O
∠B
=
∠
AOC
2
1
∠B=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
；
反之
，相等的圆周角所对的弧也相等。
∠
D=
∠
AOC
2
1
∠
E=
∠
AOC
2
1
问题
2
、
如图
，
BC
是
⊙
O
的直径
，
A
是
⊙
O
上任一点
，
你能确定
∠
BAC
的度数吗
?
·
O
A
C
B
∠B
O
C=
180
º
2
1
∠BAC
=
∠
B
O
C
=90º
问题
3
、
如图，圆周角∠
BAC =90
º
，
弦
BC
经过圆心
O
吗？为什么？
直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所对的弦是直径。
1
、如图，点
A
、
B
、
C
、
D
在同一个圆上，四边形的
对角线把
4
个
内角
分成
8
个
角，这些角中哪些是相等的角？
·
D
C
B
A
8
5
6
3
2
4
7
1
∠
2=∠7
∠
1=∠4
∠
3=∠6
∠
5=∠8
2、如图，⊙
O
直径
AB
为10cm，弦
AC
为6cm，∠
ACB
的平分线交⊙
O
于
D
，求
BC、AD、BD
的长．
·
O
D
C
B
A
∵
AB
是直径，
∴ ∠
ACB
= ∠
ADB
=90
°
在Rt△
ABC
中，由勾股定理BC=8cm
∵
CD
平分∠
ACB
，∠
ACD
= ∠
BCD
∴
AD=BD=
AB
=
5
√
2
cm
√2
2
3.如图，你能设法确定一个圆形纸片
的圆心
吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
4、在⊙
O
中，∠
CBD
=30
°,∠
BDC
=20°,
求∠
A.
·
O
D
C
B
A
∠BAC=∠BDC
∠DAC=∠DBC
∠
A
=
∠BAC+∠DAC
=∠BDC+∠DBC
=
2
0°
+
3
0
°
=5
0°
5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC
，
以AB为直径的圆交BC于D
，
交AC于E
，
求证：
BD=DE
⌒
⌒
·
A
B
C
E
D
证明
：
连结
AD.
∵
AB
是圆的直径
∴∠
ADB=90°
，
∴
AD⊥BC
∵
AB=AC
，
∴
AD
平分∠
BAC
，即∠
BAD=∠CAD
，
⌒
⌒
∴
BD
= DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角
所对弧相等）
。
课外练习
1
、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD
、BD
分别交⊙O于E、F，比较∠
BAC
与
∠
BDC
的大小，
并说明理由。
·
O
A
B
C
D
F
E
连结
CF
，
∠
B
F
C
是△CDF的一个外角。
∴∠
B
FC
>
∠
BDC
，
又
∠
BAC
=
∠
B
F
C
∴∠
B
AC
>
∠
BDC
，
也可连结FC，证法相同
2、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，那么你能得到什么结论？
A
B
C
D
O
E
（
1
）
AE = BE
，
AC = BC
，
AD = BD
（
2
）
AC = BC
，∠
CAB = ∠ABC =
∠ADC
，
∠
ACE =∠BCE =∠DAB
（
3
）
BC
2
= AC
2
= CE · CD
，
AD
2
= DE · DC
BE
2
= AE
2
= DE · CE
课堂小结
一、知识点：
圆周角
顶点在圆上
两边都和圆相交
圆周角性质定理
一条弧所对的圆周角，等于该弧所对的圆心角的一半。
推论：
1、在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
2、直径或半圆所对的圆周角是直角；
90º
的圆周角的所对的弦是直径。
二、体现的数学思想：
由
特殊到一般
和
分类讨论
的思想。
三、方法思考
：
1
、证明题的思路寻找方法
；
2
、等积式的证明方法
；
3
、添辅助线的方法。
第
2
章 圆
2.3
垂径定理（
1
）
回顾导入
1
、什么叫轴对称图形？
2
、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
圆
是
轴对称图形
，其
对称轴
是任意一条
直径
（过圆心的直线）。
1300
多年前
,
我国隋朝建造的赵州石拱桥
(
如图
)
的桥拱是圆弧形
,
它的
跨度
(
弧所对的弦的长
)
为
37.4m,
拱高
(
弧的中点到弦的距离
,
也叫弓形高
)
为
7.2m,
求桥拱的半径
(
精确到
0.1m).
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD
，使CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等
的线段
和弧？为什么？
CD
为⊙
O
的
直径
CD
⊥AB
条件
结论
AE=BE
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦
，并且
平分弦对的两条弧。
应用垂径定理的书写步骤
∵ CD是
直径
,
CD
⊥AB,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
·
O
A
B
C
D
└
M
是否符合垂径定理的条件，主要看两点
：
一
是直径
；
二
是要与弦垂直。
注意几个基本图形：
(1)、(2)、(3)、(4)
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
E
O
A
B
D
C
(1)
E
O
A
B
C
(2)
E
O
A
B
D
(3)
E
O
A
B
(4)
E
O
A
B
D
C
(5)
E
O
A
B
D
C
(6)
E
O
A
B
D
C
(7)
例
1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：
连结OA
∴AE= AB=4
2
1
∵OE AB于E.
┴
OE=3
由勾股定理得：
∴OA=
√ AE
2
+OE
2
=
5
圆心到弦的距离、半径、弦的一半
构成
直角
三角形
，便将问题转化为直角三角形的问题。
E
·
A
B
O
37.4
7.2
D
C
B
A
O
18.7
R-7.2
R
解决“赵州桥”问题：
如图，OA=OC=
R
，
OD=OC
-
CD=
R
-
7.2
AB=18.7
AD
2
+OD
2
=OA
2
即：18.7
2
+(R-7.2)
2
=R
2
R
≈27.9(m)
答：赵州桥的主桥拱半径约为
27.9m.
3、已知：如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中
，
大圆
的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD.
·
·
A
B
C
D
O
证明
：
过O点，作OE
AB
┴
E
∴AE=BE，CE=
DE
,
AE-CE=BE-
DE
,
∴AC=BD
4、已知⊙
O
的半径为13cm，该圆的弦AB
∥
CD，且AB=10cm，CD=24cm，求弦AB和弦CD之间的距离。
O
·
A
B
C
D
E
F
解：
如图，过
O
作OF
AB
，交AB于F，
交CD于
E，
┴
∴AB
∥
CD
∴OE
CD
┴
在Rt
∆OCE中，OE=5cm
在Rt
∆OAF中，OF=12cm
∴EF=OF-OE=7cm
C
D
E
弦AB、CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=17cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是
。
2
√3cm
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是
。
8cm
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
。
2
√3cm
4.弓形的弦长AB为24cm，弓形
的高CD
为8cm，则这弓形所在圆的半径为
.
13cm
巩固练习
E
B
A
O
E
B
A
O
E
O
A
B
12
8
6、如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径等于
cm。
7、已知，
M
是⊙
O
内一点，已知过点
M
的
⊙
O
最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm
，
则
OM
=_____ cm.
C
7
3
5、如图，AC⊥BO
，
AC=8cm，BA=5cm，
则⊙
O
的半径为
，
AC
的弦心距为
。
6
25
cm
6
7
cm
C
D
B
A
9、求证：同圆中，两平行弦所夹得弧相等。
·
O
D
C
B
A
已知，
AB
,
CD
是⊙O的两条弦，
且AB
∥
CD，求证：AC=BD
8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。
·
B
A
课堂小结
请围绕以下两个方面小结本节课：
1
、
从知识上学习了什么？
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。
2
、
从方法上学习了什么？
（1
）垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确,
一条直线只要
满足①过圆心；②垂直于弦；
则可得
③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
（2
)
垂
径定理
和
勾股定理
有机结合计算弦长、半径、弦心
距等
问题
的方法，构造直角三角形
（3）解决有关弦的问题时，经常
①
连结半径；
②
过圆心作一条与弦垂直的线段
等辅助线，为应用
垂径
定理创造
条件
。
第
2
章 圆
2.3
垂径定理（
2
）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
结论
（
3
）平分弦
（
4
）平分弦所对的优弧
（
5
）平分弦所对的劣弧
回顾导入
条件
（
1
）过圆心
（
2
）垂直于弦
CD⊥AB,
CD
是直径
,
条件
AM=BM,
结论
⌒
⌒
AD =BD.
⑤
⌒
⌒
AC =BC,
④
●
O
A
B
C
D
└
M
探究
一、
AB
是⊙
O
的一条弦（非直径
），且
AM
=
BM
，过点
M
作
直径
CD
.
你发现图中有哪些等量关系
?
说说你的想法和理由
.
②
CD
⊥
AB
,
由 ①
CD
是直径
③
AM
=
BM
可推得
⌒
⌒
④
AC
=
BC
,
⌒
⌒
⑤
AD
=
BD
.
●
O
C
D
M
A
B
┗
·
Ｏ
A
B
D
C
（
E
）
（不是直径）
连接
OA
,
OB
,
则
OA
=
OB
.
∴△
OAM
≌△
OBM
.
∴∠
AMO
= ∠
BMO
.
∴
CD
⊥
AB
∵⊙
O
关于直径
CD
对称
,
⌒
⌒
AC
和
BC
重合
,
⌒
⌒
AD
和
BD
重合
.
⌒
⌒
∴
AC
=
BC
,
⌒
⌒
AD
=
BD
,
平分弦
的
直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
推论1：
探究二：
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
②CD⊥AB于M,
①
CD
是直径
③
AM=BM
可推得
⌒
⌒
④
AC=BC,
⌒
⌒
⑤
AD=BD.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分
弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
找到本质：
●
O
C
M
A
B
┗
D
1、判断正误：
（
1
）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（
2
）平分弦的直线，必定过圆心。
（
3
）一条直线平分弦（这条弦不是直径
），
那么这条
直线垂直这条弦。
·
A
B
C
D
O
(1)
·
A
B
C
D
O
(2)
·
A
B
C
D
O
(3)
（
4
）弦
的垂直平分线一定是圆的直径。
（
5
）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（
6
）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
·
A
B
C
O
(4)
·
A
B
C
D
O
(5)
·
A
B
C
D
O
(6)
E
2.已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O
到BC
的距离
为
3
厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。
D
D
·
O
C
B
A
C
·
O
B
A
3.如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
·
O
G
F
E
D
C
B
A
OD=3
OB=5
BD=4
AD=8
AB=4
√5
AB=2
√5
M
解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，
则CM=MD∵CD=16，CM=8，
在Rt△OMC中，因OC=10∴OM=6
∵
AE⊥CD
，
BF⊥CD
，
OM⊥CD
，∴
AE∥OM∥BF
AE
OM
AG
OG
=
BF
OM
BG
OG
=
AE-BE
OM
AG-BG
OG
=
=
2OG
OG
=2
AE-BF=2OM=12
4 . 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米
，拱顶
高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部
为长方形
并高出水面2米的货船要经过这里，此货船
能顺利
通过这座拱桥吗？
N
M
B
A
O
D
C
F
E
H
r
如图，将问题转化为数学问题。
AB=7.2，CD=2.4
由垂径定理：AD=3.6
HN=1.5
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4
在Rt△OAD中，由勾股定理，得:
r
≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
：OH=
√ON
2
-NH
2
=
√3.9
2
-1.
5
2
=
3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2
∴此货船能顺利通过这座拱桥
.
1、判断：
(1)
垂直
于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
两条弧. （ ）
(2)
平分
弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧. （ ）
(3)
经过
弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)
圆
的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
(5)
弦
的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有
:
.
.
√
√
√
·
O
D
C
B
A
N
M
E
F
AE=EB
CF=FD
⌒
⌒
CN=ND.
⌒
⌒
AC=BD.
⌒
⌒
AM=BM.
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,
则过P点的弦中，
（1）最长的弦=
cm
（2）最短的弦=
cm
（3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条
B
、3条 C、4条 D、5条
·
O
P
B
A
D
C
C
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,
P为AB上的一个动点，那么OP长
的
取值范围
是
。
3cm≤OP≤5cm
5、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,
连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,
OF⊥BP于F
，EF
=
。
·
O
B
A
P
C
4
F
·
O
B
A
E
P
10
8
6、已知⊙O的半径为5cm，弦AB的
长为
8cm，求此弦的中点到这条弦所
对的
弧的中点的距离。
·
O
B
A
E
D
E
7、如图所示,⊙O的直径长4cm，
C是AB的中点，弦AB、CD交于点P，
CD=2
√3cm
，
求∠APC的度数。
·
O
E
B
A
C
D
P
F
8、如图，CD为圆O的直径，弦AB交
CD于E，∠ CEB=30°，DE=9㎝，
CE=3㎝，求弦AB的长。
·
O
E
D
C
B
A
F
DE=2cm
8cm
∠APC
=
∠
COF=60°
由条件：DC=12，OC=6，OE=OC
-
EC=3
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
2
3
√15
AF=
√OA
2
-
OF
2
=
√6
2
-
1.
5
2
=
3
√15
AB=2AF=
9.如图,圆O与矩形ABCD交
于E、F、G、H,EF=10
，
HG=6
，
AH=4
，
求BE的长.
·
O
D
C
B
A
F
H
G
E
N
M
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦
，
C
、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
E
·
O
B
A
D
C
11、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF
D
E
·
O
C
B
A
F
BE
=2
M
作OE⊥CD，AE=BE
∵
AC
＝
BD
∴CE=BE
∴△OCE≌△ODE.
∴OC=OD
作OM⊥CD，∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴AE∥OM∥BF
∵OA=OB，∴EM=MF
∵CM=MD，∴EC=DF
1、垂径定理及推论：
对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（
4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
2、垂径定理及其推论和勾股定理
相结合，方程的思想
来解决问题。
·
O
d
r
h
2
a
对于一个圆中的弦长
a
、圆心到弦的距离
d
、圆半径
r
、弓形高
h
，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
（1）
r=d+h
2
a
（2）
r
2
=
d
2
+( )
2
第
2
章 圆
2.4
过不共线三点作圆
问题情境
·
a
b
c
d
小明不小心将妈妈的圆形化妆镜打碎
了（如图），他想“破镜重圆”，
应该拿哪一块去维修店修复？
过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？
A
A
B
1
、若
三点共线
，则过这三点只能作一条直线
.
B
C
A
B
A
C
2
、若
三点不共线
，则过这三点
不能
作直线，但过其中
任意两点
一共可作三条直线
.
直线公理:
：
两点确定一条直线
·
·
对于一个圆来说
,
过
几个点
能
作一
个圆
,
并且
只能作一个圆？
1、过一点能作几个圆？
·
·
·
A
经过一个已知点能作
无数个
圆
B
A
2、过两点能作几个圆？
·
·
·
·
经过两个已知点能作
无数个
圆
以平面上除
A
点外的
任意一点
为
圆心，任意长
为半径作圆。
以线段
AB
的
垂直平分线
上的
任意一点
为
圆心
，这点到
A
或
B
的
距离为半径
作圆
.
3、过三点能作几个圆？
（1）三点共线：
B
C
A
（不能作圆）
因为
DE
∥
FG
，所以没有交点，
即
没有过这三点的圆心
D
E
G
F
（
2
）三点不共线
B
A
C
已知：不在同一直线
上的三点
A
、
B
、
C
求
作：⊙
O
，
使它经过
A
、
B
、
C
如何确定圆心、半径？
O
·
∵
直线
DE
和
FG
只有一个交点
O,
并且点
O
到
A,B,C
三个点的距离相等
,
∴
经过点
A,B,C
三点可以作一个圆
,
并且只能作一个圆
.
∴
OA=OB=OC.
证明作图的合理性：
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆
D
E
F
G
·
O
A
C
B
1
.由定理可知：
经过三角形三个顶点可以作一个圆
.
并且
只能作一个圆
.
2
.经过三角形各顶点的圆叫做
三角形的外接圆
。
这个
三角形叫做
这个圆的内接三角形
。
3
.三角形外接圆的圆心叫做三角形的
外心
。
圆的内接
三角形
三角形的
外接圆
三角形的外心
三角形
外心就是三边
垂
直平分线
的交点。到
三角形三
个顶点距离相等。
三角形的外心是否一定在三角形的
内部
？
·
O
·
O
·
a
b
c
d
a
1、如何解决
“破镜重圆”
的问题：
O
·
2、为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树
(A
、
B
、
C
）
，
若不动花树，还要建一个最大的圆形喷水池，
请设计你的实施方案。
A
B
C
作三角形
的外接圆
想一想
：过不共线的
四点
能作一个圆吗？
1
．已知点
A
、
B
分别在∠
MON
的边
OM
、
ON
上，
则经过点
A
、
O
、
B
能作圆的个数是
．
1
个
2
．
下列说法正确的是（ ）
A
．
经过三点一定可以作圆。
B
．
任意一个圆一定有内接三角形，且只有一个内接三角形。
C
．
任意一个三角形一定有一个外接圆，且只有一个外接圆。
D
．
三角形外心到三角形三边的距离都相等。
C
3
．下列条件，可以确定一个圆的是（ ）
A
．已知圆心。
B
．已知半径长。
C．已知直径长。D．已知不在同一直线上的三点。
D
4
.
若三角形的三边长为
3
、
3
、
3
√2
，其外接圆的面积为
( )
A
．
B
．
C
．
D
．无法确定
2
9
π
12
π
9
π
A
练习
5
.
如图，
OA=OB=OC
，且
∠
ACB=30°
，
则
∠
AOB
是
( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
6
.
如图，在平面直角坐标系中，点
A
，
B
，
C
的坐标分别为
(1
，
4)
，
(5
，
4)
，
(1
，
-2)
，则
△
ABC
外接圆的圆心坐标是
( )
A.(2
，
3) B.(3
，
2)
C
.(1
，
3)
D.(3
，
1)
C
B
A
O
7. 求边长为
a
的等边三角形的外接圆的半径.
C
D
·
O
C
B
A
D
BD
OB
cos 3
0
°
=
8
.
在
△
ABC
中，
AB=AC=13
，
BC=10
，
试求这个三角形的外接圆的半径
.
·
O
C
B
A
9
.
如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，∠
B=60°
，
OP⊥AC
于点
P
，
OP=2
，求⊙
O
的直径及AC边长。
D
作AD
⊥
BC，垂足为D，
连结OB
，AD
=12
设半径为R，有：R
2
=5
2
+(12-R)
2
∵
∠
B=60°
∴
∠
AOC
=
12
0°
，
∴
∠
AOP
=
6
0°
，
OP
OA
cos6
0°
=
∴OA
=
4
，
AP=2
√3
过两点可以作无数个圆
.
圆心
在以
已知
两
点
为
端点的
线段的垂直平分线上
.
实际问题
直线
公理
过一点可以作无数个圆
过三点
过在同一直线上的三点不能作圆
过不在同一条直线上的三点
确定一个圆。
外心、三角形外接圆、
圆的内接三角形
实际问题
作圆
引入
解决
类比
我学会了什么 ？
第
2
章 圆
2.5
直线与圆的位置关系
本节内容
2.5.1
直线与圆
的位置关系
3、点和圆的位置关系有几种？
A
B
C
O
d
d
设点到圆心的距离
d
，
⊙
O
的半径为
r
点
A
在圆内
点
B
在圆上
点
C
在圆外
OA < r OB = r OC >
r
三种位置关系
1
、如图，
O
是直线
l
外一点，
A
、
B
、
C
、
D
是直线
l
上的点，且
OD⊥
l
，
线段
的长度是点
O
到直线
l
的距离。
D
C
B
A
O
OD
2
、在下图画出点
P
到直线
AB
的垂线
段
P
问题：
直线与圆有几种位置关系？
r
d
回忆
抽象探究
从海上日出抽象出哪些基本的几何图形？
直线与圆的位置关系
可以分为哪几类？
l
(
地平线
)
●
O
●
O
●
O
你分类的依据是什么？
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
(1)
直线和圆有
两个
公共点
,
叫做直线和圆
相交,
这条直线叫
圆的割,
这两个公共点叫
交点。
(2)
直线和圆有
唯一
个公共点
,
叫做直线和圆
相切
,
这条直线叫
圆的切线
，
这个公共点叫
切点
。
(3)
直线和圆
没有
公共点时
,
叫做直线和圆
相离。
●
O
l
●
O
l
A
●
O
l
B
A
二、直线和圆的位置关系（用圆
O
到直线
l
的距离
d
与圆的半径
r
的关系来区分）
·
O
l
A
B
·
O
l
·
O
l
A
r
d
r
d
r
d
直线和圆相交
d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r
判定直线 与圆的位置关系的方法有
____
种：
（
1
）根据定义，由
________________
的个数来判断；
直线与圆的公共点
（
2
）根据性质，由
________________
_
的关系来判断。
圆心到直线的距离
d
与半径
r
两
1
、已知圆的直径为
13cm
，设直线和圆心的距离为
d
：
3)
若
d=8cm
，则直线与圆
____,
直线与圆有
__
个公共点
2)
若
d=6.5cm
，则直线与圆
_____,
直线与圆有
__
个公共点
.
1)
若
d=4.5cm
，则直线与圆
,
直线与圆有
__
个公共点
.
2
、已知⊙
O
的半径为
5cm
,
圆心
O
与直线
AB
的距离为
d,
根据条件填写
d
的范围
:
1)
若
AB
和
⊙
O
相离
,
则
;
2)
若
AB
和⊙
O
相切
,
则
;
3)
若
AB
和⊙
O
相交
,
则
。
相交
相切
相离
d >
5
cm
d =
5
cm
0
cm≤
d< 5 cm 2 1 0 3、直线 l 和⊙ O 有公共点，则直线 l 与⊙ O （ ） A 、 相离； B 、 相切； C 、 相交； D 、 相切或相交。 D 例1： 在 Rt△ABC 中 ，∠ C=90° ， AC=3cm ， BC=4cm ， 以 C 为圆心 ， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm ； (2)r=2.4cm (3)r=3cm ． B C A 4 3 D 分析： 要了解 AB 与 ⊙ C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r ，只需求出 C 到 AB 的距离 d 。 CD=2.4cm 当 r=2cm 时 ， ⊙ C 与 AB 相离 当 r=2 .4 cm 时 ， ⊙ C 与 AB 相切 当 r= 3 cm 时 ， ⊙ C 与 AB 相交 例 2 设 ⊙ O 的圆心 O 到直线的距离为 d , 半径为 r ， d 、 r 是方程 (m+9)x 2 - (m+6) x +1=0 的两根 , 且直线与⊙ O 相切时 , 求 m 的值 ? 分析 : 直线与⊙ O 相切 d=r b 2 - 4ac=0 解 : 由题意可得 b 2 - 4ac= [ - (m+6)] 2 - 4(m+9)=0 解得 m 1 = - 8 m 2 = 0 当 m= - 8 时原方程 为 x 2 + 2 x+ 1 = 0 x 1 =x 2 = - 1 ( 不符合题意舍去 ) 当 m=0 时原方程 为 9 x 2 - 6 x+ 1 = 0 x 1 =x 2 = 3 1 ∴ m =0 例3、 已知 ⊙ A 的直径为 6 ，点 A 的坐标为 （ -3 ， -4 ） ，则 x 轴与⊙ A 的位置关系是 _____, y 轴与⊙ A 的位置关系是 _____ 。 相离 相切 思考：若⊙ A 要与 x 轴 相切 ，则⊙ A 该向上移动多少个单位？ 向上平移1个单位。 若⊙ A 要与 x 轴相交呢？ 向上平移的距离 : 1< d< 7 。 或7个单位。 1 、已知：圆的直径为 13cm ，如果直线和圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？ (1) 4.5cm A 0 个； B 1 个； C 2 个； C 知识巩固 ( 2 ) 6 .5cm A 0 个； B 1 个； C 2 个； ( 3 ) 8 cm A 0 个； B 1 个； C 2 个； B A 2、如图 :AB=8 是大圆⊙ O 的弦 , 大圆半径为 R=5, 则以 O 为圆心 , 半径为 3 的小圆与 A B 的位置关系是 ( ) A 相离 B 相切 C 相交 D 都有可能 4 D 3 A B 5 · O · B 3 . 已知圆 O 的直径为 18cm , 圆心 O 到直线 l 的距离为 9cm, 直线 l 与圆 O 的位置关系是 . 相切 4 、 直线 l 与半径为 r 的 ⊙ O 相交 , 且点 O 到直线 l 的距离为 8 , 则 r 的取值范围是 . r >8
5
、
如图，已知
∠
BAC=30
°
，
M
为
AC
上一点，且
AM=5cm
，以
M
为圆心、
r
为半径的圆与直线
AB
有怎样的位置关系？
(1) r=2cm
(2) r=4cm
(3) r=2.5cm
D
A
B
C
M
2.5cm
相交
相切
相离
6
、
已知
⊙
O
的半径
r=7cm
，
直线
l
1
//
l
2
，
且
l
1
与
⊙
O
相切
,
圆心
O
到
l
2
的距离为
9cm.
求
l
1
与
l
2
的距离
.
l
1
l
2
·
O
l
2
A
B
C
讨论题：
在
Rt△ABC
中，
∠
C=90°
，
AC=5cm
，
BC=12cm
，
以
C
为圆心，
r
为半径作圆。
①当
r
满足
时
，
直线
AB
与⊙
C
相离。
②当
r
满足
时，直线
AB
与⊙
C
相切。
③当
r
满足
时，直线
AB
与⊙
C
相交。
④当
r
满足
时
,
线段AB与
⊙C只有一个公共点。
13
60
0
13
60
r=
或5
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