资料简介
第
4
章 平行四边形
4.1
多边形（
1
）
想一想
,
比一比
Ａ
Ｂ
Ｃ
△
ＡＢＣ
你能根据三角形的定义类比出多边形的定义吗？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫
三角形
在
同一平面内
，由
不在同一条直线上
的若干条线段（线段的条数不小于
3
）
首尾顺次相接
形成的图形，叫做
多边形
．组成多边形的各条线段叫做多边形的边
.
边数为
3
的多边形叫三角形，边数为
4
的多边形叫四边形
.
类似地，边数为
5
的多边形叫五边形
……
边数为
n
的多边形叫
n
边形
.
以四边形为例，了解构成多边形的元素
A
B
C
D
顶点
内角
边
对角线
外角
E
构成四边形的元素
不能记作：四边形
ACBD
记法：从任一顶点开始按顺时针或逆时针顺序记。如
四边形
ABCD
或
四边形
ADCB
等。
∠
A
和
∠
C
是对角
∠
B
和
∠
D
是对角
A
B
C
D
凸四边形
E
F
G
H
凹四边形
注：
本套教科书所说的多边形，都指凸多边形，即多边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧．
四边形的各条边都在任意 一条边所在直线的同一侧．
四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧．
拿起你手中的四边形剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），你发现了什么？其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题吗？
猜：四边形的四个内角和是多少？
四边形的内角
和等于
360 °
探索：四边形的内角和等于
360 °
已知：四边形
ABCD
（如图）。
求证：
∠
A
+∠
B
+ ∠
C
+ ∠
D
=360 °
。
证明：连结
AC
。
∵
∠
B
+∠
BAC
+ ∠
BCA
=180 °
，
∠
D
+∠
DCA
+ ∠
CAD
=180 °
(
三角形三个内角的和等于
180
°)
，
∴
∠
B
+∠
BAC
+ ∠
BCA
+ ∠
D
+∠
DCA
+ ∠
CAD
=
180°+
180°= 360°
，
即
∠
BAD
+∠
B
+∠
BCD
+∠
D
=360 °
。
你还有其他添辅助线方法求四边形的内角和吗？
A
B
C
D
·
P
探索： 四边形的内角和等于
360 °
证明思路：
四边形的内角和
=3
个三角形的内角和
-1
个平角
=3×180°
－
180° =360°
A
B
C
D
·
O
证明思路：
四边形的内角和
=4
个三角形的内角和
-1
个周角
=
4×180°
－
360° =360°
探索： 四边形的内角和等于
360 °
探索： 四边形的内角和等于
360 °
A
B
C
D
P
证明思路：
四边形的内角和
=3
个三角形的内角和
-1
个三角形的内角和
=
3×180°
－
180°=360°
探索： 四边形的内角和等于
360 °
A
B
C
D
证明思路：
四边形的内角和
=2
个三角形的内角和
+1
对同旁内角的和
-2
个直角
=
2×180°+ 180°
－
180
°
=360°
∟
∟
探索： 四边形的内角和等于
360 °
A
B
C
D
E
过点
D
作
DE
∥
BC
证明思路：
四边形的内角和
=1
个三角形的内角和
+2
对同旁内角的和
-1
个平角
=
180°+2× 180°
－
180° =360°
证明思路：
四边形的内角和
=2
个平角
+1
个三角形的内角和
-1
个三
角形的内角和
=
2×180°+ 180°
－
180° =360°
探索： 四边形的内角和等于
360 °
A
B
C
D
E
探索： 四边形的内角和等于
360 °
A
B
C
D
证明思路：
四边形的内角和
=4
个三角形的内角和
-1
个周角
=
4×180°-360° =360°
O
。
A
B
C
D
探索： 四边形的内角和等于
360 °
E
证明思路：
四边形的内角和
=1
个周角
=360°
A
B
C
D
探索： 四边形的内角和等于
360 °
E
F
证明思路：
四边形的内角和
=2
个三角形的内角和
=
2×180°=360°
A
B
C
D
探索： 四边形的内角和等于
360 °
探索： 四边形的内角和等于
360 °
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
∟
∟
A
B
C
D
四边形问题通常要转化为 来解决，而连结 是其常用辅助线之一
三角形
对角线
例
1
如图，四边形风筝的四个内角
∠
A
，
∠
B
，
∠
C
，
∠
D
的度数之比为
1∶1∶0.6∶1
，求它的四个内角的度数．
A
B
C
D
解：设
∠
A
为
x
°
.
由题意可得
,∠
B
，
∠
C
，
∠
D
分别为
x
°
，
0.6
x
°
，
x
°
.
∵∠
A
+∠
B
+∠
C
+∠
D
=360
°
（四边形的内角和为
360
0
）
∴
x
+
x
+0.6
x
+
x
=360
解得
x
=100
∴∠
A
=∠
B
=∠
D
=100
°，
∠
C
=60
°
2
、在四边形
ABCD
中，
∠
A
与
∠
C
互补，
∠
B
＝
80°
， 求
∠
D
的度数。
A
D
B
C
85°
110°
1
2
71°
1
、如图，在四边形
ABCD
中，
∠
A
=85°,∠
D
＝
110°, ∠1
的外角是
71°
，则
∠1
＝
______
，
∠2
＝
______
。
109 °
56°
做一做
100 °
变式：
在
四边形
ABCD
中，
∠
A
与
∠
C
互补，
∠
B
比
∠
D
大
15°
，求
∠
D
的度数。
82.5°
1
．四边形最多有
_____
个
直角，最多
有
_____
个
钝角。
4
3
练一练
2
．在四边形
ABCD
中
,∠
A
＝
90°,∠
B
:∠
C
:∠
D
=1:2:3
，求
∠
B
的度数。
45
°
3.
如图，在四边形
ABCD
中，
∠
A
=∠
B
，
∠
D
= ∠
C
，求证
:
D
C
//
A
B
。
D
A
B
C
练一练
4
．如图，
在
四边形
ABCD
中
,∠
A
＝
∠
C
，
∠
B
=∠
D
。 （
1
）找出互相平行的边；
（
2
）若
∠
A
与
∠
B
的度数之比是
2
:
1
，求各内角的度数。
A
D
//
B
C
A
B
//
C
D
∴∠
A
=∠
C
=
120
°，
∠
B
=
∠
D
=60
°
A
1
D
E
C
F
B
2
在四边形
ABCD
中
, ∠
A
=∠
C
= 90°,
BE
平分
∠
ABC
,
交
CD
于点
E
,
DF
平分
∠
ADC
,
交
AB
于点
F
.
求证
:
BE
∥
DF
.
证明：
∵ ∠
A
=∠
C
= 90°
，
∴ ∠
ABC
+ ∠
ADC
=360°- ∠
A
-∠
C
=180°.
∵
BE
平分
∠
ABC
,
DF
平分
∠
ADC
,
∴ ∠ 2= ∠
ABC
, ∠ 1= ∠
ADC
.
∴ ∠ 2 +∠ 1= ∠
ABC
+ ∠
ADC
=90°.
∵ ∠
A
=90°,
∴∠
AFD
+∠1=90°.
∴ ∠ 2 =∠
AFD
,
∴
BE
∥
DF
.
提高题
如
图，有
一个四边形的建筑，围绕它的四个角分别是半径为
1
米的扇形花坛，则花坛的总面积是
( )
A.
米
2
B.
米
2
C.
米
2
D.
米
2
C
你能用全等的任意四边形纸片
既不重复、又不留空隙
地组成一幅镶嵌图吗？为什么？
镶嵌的秘密
理由：四边形的内角和为
360
0
（１）小彤每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？
（２）她每跑完一圈，
身体转过的角度之和
是多少？
3
4
1
2
∠1
，
∠2
，
∠3
，
∠4
∠1+∠2+∠3+∠4 =
？
小彤拿着风筝沿着一个四边形公园周围的小路，按逆时针方向跑了一圈．
D
A
B
C
5
四边形的外角和等于
360°
已知：如图，
∠
５
,∠
６
,∠
７
,∠
８
是四边形的四个外角。
求：
∠
５＋
∠
６
+ ∠
７
+∠
８
=
？
５
D
A
B
C
６
７
８
１
２
３
４
解
:
∵
∠ 1+
∠
５
=∠2+
∠
６
= ∠3+
∠
７
＝
∠ 4+
∠
８
=
180°
，
∴
∠ 1+
∠
５
+∠2+
∠
６
+ ∠3+
∠
７
+ ∠ 4+
∠
８
=4× 180°= 720°
，
即
(
∠ 1+∠2 +∠ 3 + ∠4)+
(∠
５
+∠
６
+ ∠
７
+∠
８
)
= 720°.
∵
∠
１
+∠
２
+ ∠
３
+∠
４
=360°(
四边形的内角和是
360°
), ∴
∠
５
+∠
６
+ ∠
７
+∠
８
= 720°
－
360°=
360°.
推论
:
四边形的外角和等于
360°.
第
4
章 平行四边形
4.1
多边形（
2
）
合作学习
仔细思考，并请填写下表：
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
３
0
1
1×180°
４
1
2
2×180°
５
６
…
…
…
…
…
n
2
3
3
4
3×180°
4×180°
n
-3
n
-2
（
n
－
2
）
×180°
连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线
.
多边形
图形
多边形的外角和
三角形
四边形
五边形
六边形
n
边形
3×180
o
-1×180
o
=360
o
4×180
o
-2×180
o
=360
o
5×180
o
-3×180
o
=360
o
6×180
o
-4×180
o
=360
o
n
×180
o
-(
n
-2)×180
o
=360
o
多边形的外角和是
360
°
n
边形的内角和为
。
n
边形从一个顶点出发的对角线有
条。
n
边形共有对角线
条。
(
n
－
3
)(
n
≥3)
(
n
≥3)
(
n
－
2
)×
180°(
n
≥3)
归纳小结
任何多边形的外角和等于
。
360°
1
、求十边形的内角和与外角和。
2
、已知一个多边形的内角和为
900°
，这个多边形是几边形？
3
、已知一个多边形的每一个外角都是
72°
，求这个多边形的边数。
1440° 360°
七边形
五边形
练一练
4
、一个内角和为
1620°
的多边形有多少条对角线
?
44
条
变式：
已知一个多边形的每一个内角都是
108°
，则这个多边形的边数为
_____.
5
6
、已知六边形的各内角相等，问：各内角、外角分别是多少度？
5
、在五边形
ABCDE
中，若
∠
A
=∠
D
=90
o
,
且
∠
B
:∠
C
:∠
E
=3:2:4,
则
∠
C
的度数为
_______.
80
o
7
、已知多边形的内角和与外角和相等，那么它是几边形？
四边形
120
o
60
o
8
、一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为
1980
o
，那么原多边形是几边形？
十二边形
练一练
9
、如图，点
E
，
F
，
G
，
H
在长方形
ABCD
的四条边上，已知
∠1=∠2=30
°，
∠3=20
°。求五边形
FGCHE
各个内角的度数。
A
H
G
F
E
D
C
B
1
3
2
∠
EFG
=100
o
∠
FGC
=110
o
∠
C
=90
o
∠
CHE
=150
o
∠
HEF
=90
o
例
1
、
一个六边形如图，已知
AB
∥
DE
，
BC
∥
EF
，
CD
∥
AF
，求
∠
A
＋
∠
C
＋
∠
E
的度数。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
解：如图，连结
AD
.
∵
AB
∥
DE
，
CD
∥
AF
（已知）
,
∴∠1
＝
∠3
，
∠2
＝
∠4
（两直线平行，内错角相等）
,
∴∠1+∠2
＝
∠3+∠4
，
即
∠
FAB
＝
∠
CDE
，同理
∠
B
＝
∠
E
，
∠
C
＝
∠
F.
∴∠
FAB
＋
∠
C
＋
∠
E
= ×720°=360°.
∵∠
FAB
＋
∠
B
＋
∠
C
＋
∠
CDE
＋
∠
E
＋
∠
F
=
（
6
－
2
）
×180°= 720°,
思考：有没有
其他的
解法？
F
E
D
C
B
A
P
R
Q
3
2
1
A
B
C
D
E
F
∵∠
FAB
+∠
ABC
+∠
BCD
+∠
CDE
＋
∠
DEF
＋
∠
AFE
=
（
6-2
）
×180°=720°,
1
2
P
Q
R
如图：可向两个方向分别延长
AB
，
CD
，
EF
三条边，构成
△
PQR
。
∵
DE
∥
AB
，
∴∠1=∠
R
,
同理
∠2=∠
R
，
∴∠1
＝
∠2
，
∴∠
CDE
=∠
FAB
，
同理
∠
AFE
＝
∠
BCD
，
∠
ABC
=∠
DEF
.
∴∠
FAB
＋
∠
BCD
＋
∠
DEF
= ×720°=360°.
解法二：
变式
：六边形
ABCDEF
的每个内角的度数是
120
°
,
且
AF
=
AB
=3,
BC
=
CD
=2.
求
DE
，
EF
的长度．
DE
=4
3
3
2
2
EF
=1
1.
王大意在计算某多边形的内角和时，得到的答案是
2070°
，老师发现他把其中一个外角也加了进去。你知道王大意计算的是几边形的内角和吗？那个加进去的外角是多少度？
拓展提升
十一边形
加进去的外角是
90
°
2.
如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，
1
为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于
2
，则第
n
个多边形中，所有扇形的面积之和是
（结果保留
π
）
.
第
1
个
第
2
个
第
3
个
…
拓展提升
3.
如图，小林从
P
点向西直走
12
米后，向左转，转动的角度为
α
，再走
12
米，如此重复，小林共走了
108
米回到点
P
，则
α=
（ ）
A
、
30°
B
、
40°
C
、
80°
D
、不存在
B
拓展提升
四边形的内角和是多少度
?
怎样得到的？
四边形的外角和是多少度
?
四边形的内角和是
360
°，通过画对角线把四边形问题化归为三角形问题来解决。
温故知新
三角形
六边形
四边形
八边形
…
五边形
是解决多边形问题的常用辅助线
对角线
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）
第
4
章 平行四边形
4.2
平行四边形及其性质
任意画一个∆
ABC
，以其中一条边
AC
的中点
Ｏ
为旋转中心，按顺时针（或逆时针）方向旋转
180
°，所得的像∆
CDA
与原像∆
ABC
组成四边形
ＡＢＣＤ
.
A
B
C
D
（１）找出图中相等的角
.
（２）你认为四边形
ABCD
的两组对边
AD
与
BC
，
A
Ｂ
与
ＣＤ
有什么关系？请说出你的理由
.
（３）四边形
ABCD
是什么四边形？
合作学习
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
平行四边形用符号
“ ”
表示，
例如
:
平行四边形
ABCD
可记
做“ ”
.
ABCD
∠
A
与∠
C
，∠
B
与∠
D
叫做
对角
AB
与
CD
，
AD
与
BC
叫做
对边
.
∠
A
与∠
B
，∠
C
与∠
D
叫做
邻角
两组对边分别平行
的四边形叫做
平行四边形
.
A
D
C
B
∴
四边形
ABCD
是平行四边形
.
∴
AB
∥
CD
,
BC
∥
AD.
A
D
C
B
定义
：
∵
AB
∥
CD
,
BC
∥
AD,
性质
：
∵
四边形
ABCD
是平行四边形
,
（
即
平行四边形
的两组对边分别平行
）
拼图游戏
有两块形状和大小完全相同的三角板，把相等的两边叠放在一起，你能拼出平行四边形吗？若能，试说明每一种拼法的理由。
聪明的你拼出来了吗？
图（
1
）
图（
2
）
图（
3
）
请你来帮忙！
学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
例：
如图，已知四边形
ABCD
是平行四边形
.
求证：∠
A
=∠
C
，∠
B
=∠
D.
证明
:
∵四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
AB
//
CD
,
AD
//
BC
(
平行四边形的定义）
,
∴∠
A
+∠
D
=180
。
, ∠
C
＋∠
D
=180
。
(
两直线平行，同旁内角互补）
,
∴∠
A
=∠
C
.
同理
可得，∠
B
=∠
D
.
此题还有另外的解法吗？
由此可以得到平行四边形的性质定理
:
平行四边形的对角相等
.
证明
:
连结
AC
.
∵
四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
AB
//
CD
,
AD
//
BC
(
平行四边形的定义）
,
∴∠
3=∠4 ,∠1=∠2 (
两直线平行内错角相等）
.
又∵ ∠
DAB
= ∠ 1+ ∠ 3 ,∠
DCB
= ∠ 2+ ∠ 4,
∴ ∠
DAB
= ∠
DCB.
同理可得， ∠
D
＝ ∠
B
.
1
、在
ABCD
中，已知∠
B
=55°
，则∠
A
=______
，∠
C
=_______
，∠
D
=______
。
2
、已知平行四边形相邻两个角的度数之比为
3:2,
求平行四边形的各个内角的度数
.
125
o
55
o
125
o
108
o
、
72
o
、
108
o
、
72
o
3
、已知平行四边形的最大角比最小角大
100
o
,
求平行四边形的各个内角的度数
.
40
o
、
140
o
、
40
o
、
140
o
练一练：
讨 论
9
如图，
DC
∥
EF
∥
AB
，
DA
∥
GH
∥
CB
，图中的平行四边形有＿＿个
.
平行四边形的不稳定性在生活中的应用
游戏
1
2
3
4
5
如图，四边形
ABCD
是平行四边形，则：
1
）∠
ADC
=
, ∠
BCD
=
；
2
）边
AB
=
,
BC
=
.
D
C
B
A
58
°
28
32
58°
28
32
122°
叫你的好朋友回答
!
A
B
D
C
26°
47°
如图，四边形
ABCD
是平行四边形，
则
∠
BAC
＝
.
107°
请你回答
!
3 cm
A
B
D
C
5 cm
4 cm
求
ABCD
的
面积
.
请你和你的好朋友
(
或大家
)
一起回答
!
A
B
D
C
E
9 cm
5 cm
如图，四边形
ABCD
是平行四边形，若
BE
平分∠
ABC
，则
ED
＝
.
4 cm
1
2
3
5 cm
5 cm
4 cm
你可选择答
,
也可选择别人答
!
A
B
C
D
4
、在
ABCD
中，∠
ADC
=125°
， ∠
CAD
=21°
，求∠
ABC
，∠
CAB
的度数
.
本节课
你有什么收获？
课堂小结
1
、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
2
、平行四边形的对角相等。
3
、平行四边形的不稳定性在实际生活中的应用。
第
4
章 平行四边形
4.3
中心对称
请观察下面的图形是不是我们以前学过的轴对称图形
?
若是请画出它的对称轴
.
欣赏图片，寻找其共同点
在实际生活中，不仅有折叠、还有旋转，以上图形 旋转
180°
后，都能转到与它相对的位置上，并且与原来的图互相重合。
(1)
把其中一个图案绕点
O
旋转
180°,
你有什么发现
?
重合
重合
观察
(2)
线段
AC
,
BD
相交于点
O
,
OA
=
OC
,
OB
=
OD
.
把
△
OCD
绕点
O
旋转
180°,
你有什么发现
?
A
C
B
C
B
C
B
像这样把一个图形绕着某一点旋转
180
°
,
如果它能够和 另一个图形重合
,
那么
,
我们就说这两个图
关于这个点对称
或
中心对称
,
这个点就叫
对称中心
,
这两个图形中的
对应点
,
叫做
关于中心的对称点
.
观察
:
C
，
A
，
E
三点的位置关系怎样
?
线段
AC
，
AE
的大小关系呢
?
A
D
E
做一做：下列哪些图形是中心对称图形？
（１）
（２）
（３）
（４）
判断下列图形是不是中心对称图形
：
练一练
想一想
等边三角形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
平行四边形呢？
１、观察图形，并回答下面的问题：
（１）哪些只是轴对称图形？
（２）哪些只是中心对称图形？
（３）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
（１）
（３）
（２）
（４）
（５）
（６）
做一做
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（６）
２、下面图案是中心对称图形吗？若是请指出它们的对称中心，对于图（６），只要把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合。
3
、图中，不是中心对称图形的是（ ）
B
A
D
C
B
4
、已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①
关于中心对称的两个图形一定不全等；
②
关于中心对称的两个图形是全等图形；
③
两个全等的图形一定关于中心对称
.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
5
、下面的扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？
6
、请问以下三个图形中是轴对称图形的有
，是中心对称图形的有
。
一石激起千层浪
汽车方向盘
铜钱
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
1
）（
2
）（
3
）
（
1
）（
3
）
下图中
△
A′
B′C′
与
△
ABC
关于点
O
是成中心对称的
,
你能从图中找到哪些等量关系
?
探索
:
A'
B'
C'
A
B
C
O
(1)
OA
=
OA′
,
OB
=
OB′
,
OC
=
OC′.
（
2
）
△
ABC
≌△
A′B′C′.
A'
A
B
C
C'
B'
O
性质
1
：
关于中心对称的两个图形是全等形
。
∵ △
ABC
与
△
A'B'C'
关
于点
O
成中心对称
,
∴ △
ABC
≌ △
A'B'C'.
性质
2
：关于中心对称的两个图形，对称点的连线都
经过对称中心
，并且被对称中心
平分
。
∵△
ABC
与
△
A'B'C'
关于点
O
成中心对称，
∴
AA'
,
BB'
,
CC'
经过点
O
且
OA
=
OA'
，
OB
=
OB'
，
OC
=
OC'.
中心对称的性质：
A
O
A'
连结
OA
，并延长到
A
'
，使
OA
’
=
OA
，则
A'
是所求的点
例
1
、已知
A
点和
O
点，画出点
A
关于点
O
的对称点
A'
例
2
、已知线段
AB
和
O
点，画出线段
AB
关于点
O
的对称线段
A'B'
.
O
A'
B'
A
B
连结
AO
并延长到
A
’
，使
OA
’
＝
OA
，则得点
A
的对称点
A'.
连结
BO
并延长到
B
'
，使
OB
'
＝
OB
，则得点
B
的对称点
B'.
连结
A'B'
，则线段
A'B'
是所画线段
.
例
3
、如图
,
选择点
O
为对称中心
,
画出与
△
ABC
关于点
O
对称的
△
A′B′
C′
.
解
:
A
′
C′
B′
△
A′B′
C′
即为所求的三角形。
例
4
、已知四边形
ABCD
和点
O
，画四边形
A′B′C′D′
，使它与已知四边形关于这一点对称。
A
B
A'
C'
B'
D'
D
O
C
四边形
A
'
B
'
C
'
D
'
即为所求的图形。
A
B
C
A
'
B
'
C
'
做一做
1
、如图，已知
△
ABC
与
△
A'B'C'
中心对称，求出它们的对称中心
O
。
2
、你能很快地找到点
E
的对应点
F
吗？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｅ
Ｆ
OE
=
OF
成立吗？
EF
经过点
O
，分别交
BC
,
AD
于点
F
，
E
.
解：
∵
平行四边形是中心对称图形，
O
是对称中心
,
∴
点
E
，
F
关于点
O
对称，
∴
OE
=
OF.
3
、画一个与已知四边形
ABCD
中心对称的图形。
（
1
）以顶点
A
为对称中心；
（
2
）以
BC
边的中点为对称中心。
D
A
B
C
E
F
G
M
D
A
B
C
O
．
N
做一做
A'
B'
C'
O
A
B
C
4
、如图，已知等边三角形
ABC
和点
O
，画
△
A'B'C'
,
使
△
A'B'C'
和
△
ABC
关于点
O
成中心对称
.
做一做
5
、今有正方形土地一块，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路宽度可忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案（在给出的图中的三个正方形上分别画图，并简述画图步骤
.
做一做
a
谈谈这节课的收获
中心对称与轴对称有什么区别
?
又有什么联系
?
轴对称
中心对称
有一条对称轴
---
直线
有一个对称中心
---
点
图形沿对称轴对折
(
翻折
180
°
)
后重合
图形绕对称中心旋转
180
°后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点连线经过对称中心
,
且被对称中心平分
具有数学美。
因为中心对称图形形状匀称美观。所以许多建筑、工艺品、商标常用这种图形作装饰图案。
平稳旋转。
具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳旋转。所以在生产中，有关旋转的零部件常设计成中心对称图形。
中心对称的特征与实际应用
名称
图形
中心对称图形
轴对称图形
对称中心，对称轴
线段
角
等腰三角形
平行四边形
是
是
是
是
不是
不是
不是
是
线段中点
线段的中垂线和线段本身所在的直线
角平分线所在的直线
底边的中垂线
对角线的交点
名称
图形
中心对称图形
轴对称图形
对称中心，对称轴
矩形
菱形
正方形
圆
等腰梯形
是
是
是
是
是
是
是
是
是
不是
圆心
边的中垂线
对角线交点
对角线交点
对角线所在直线
对角线交点
对角线所在直线
边的中垂线
直径所在直线
两底的中垂线
方法：
首先把棋子摆在对称中心，然后每次都根据对方棋子的位置找出中心对称的位置来摆放，一定能获胜
.
拓展提高
1
、两人玩摆放棋子游戏，每人轮流把一枚棋子摆放在圆形盘上，依次下去，最后棋子摆不下者为输方。问：要赢此盘棋，应采取什么绝招？
规律：过两个中心对称图形的中心画出一条直线即可
2
、你能画一条直线就把下列图形面积等分吗？
拓展提高
3
、移动
一块
正方形
（
1
）使得到的图形
只是
轴对称图形；
（
2
）使得到的图形
只是
中心对称图形；
（
3
）使得到的图形
既是
轴对称图形
又是
中心对称图形
.
拓展提高
4
、如图，是一个
6×6
的棋盘，两人各持若干张
1×2
的卡片轮流在棋盘上盖卡片，每人每次用一张卡片盖住相邻的两个空格，谁找不出相邻的两个空格放卡片就算谁输，你用什么办法战胜对手呢？
拓展提高
第
4
章 平行四边形
4.4
平行四边形的判定定理（
1
）
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线
互相平分．
判定
性质
定义
D
A
B
C
创设情景 明确目标
判定
性质
定义
D
A
B
C
问题 如何寻找平行四边形的判定方法？
直角三角
形的性质
直角三角
形的判定
勾股定理
勾股定理
的逆定理
在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．
这些经验可以给我们怎样的启示？
1
．经历平行四边形的判定定理的猜想与证明过程，体
会类比思想及探究图形判定的一般思路
.
2
．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条
件灵活选取适当的判定定理进行推理．
学习目标
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
平行四边形的性质
猜想
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：这些猜想正确吗？
探究点一 平行四边形的判定定理
证明：
连结
BD
．
∵
AB
=
CD
，
AD
=
BC
，
BD
是公共边，
∴ △
ABD
≌△
CDB
．
∴ ∠
1=∠2
，∠
3=∠4
．
∴
AB
∥
DC
，
AD
∥
BC
．∴ 四边形
ABCD
是平行四边形．
如图，在四边形
ABCD
中，
AB
=
CD
，
AD
=
BC
．
求证：四边形
ABCD
是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
判定定理
1
猜想
1
D
A
B
C
1
2
3
4
证明：
∵ 多边形
ABCD
是四边形，
∴ ∠
A
+∠
B
+∠
C
+∠
D
=360°
．
又∵
∠
A
=∠
C
，
∠
B
=∠
D
，
∴
∠
A
+∠
B
=180°
，
∠
B
+∠
C
=180°
．
∴
AD
∥
BC
，
AB
∥
DC
．
∴ 四边形
ABCD
是平行四边形．
如图，在四边形
ABCD
中，∠
A
=∠
C
，∠
B
=∠
D
．
求证：四边形
ABCD
是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
判定定理
2
猜想
2
D
A
B
C
如图，在四边形
ABCD
中，
AC
，
BD
相交于点
O
，且
OA
=
OC
，
OB
=
OD
．求证：四边形
ABCD
是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
判定定理
3
D
A
B
C
O
猜想
3
证明：
∵
OA
=
OC
，
OB
=
OD
，∠
AOD
=∠
COB
，
∴
△
AOD
≌△
COB
．
∴
∠
OAD
=∠
OCB
．
∴
AD
∥
BC
．
同理
AB
∥
DC
．
∴
四边形
ABCD
是平行四边形．
现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？
定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
判定定理：
（
1
）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（
2
）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（
3
）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明：
∵
AB
=
DC
，
AD
=
BC
，
∴ 四边形
ABCD
是平行四边形．
∴
AB
∥
DC
．
∵
DC
=
EF
，
DE
=
CF
，
∴ 四边形
DCFE
是平行四边形．
∴
DC
∥
EF
．
∴
AB
∥
EF
．
探究点二 平行四边形的判定定理的运用
例
1
已知
AB
=
DC
=
EF
，
AD
=
BC
，
DE
=
CF
．求证：
AB
∥
EF
．
A
F
E
C
D
B
例
2
如图，在平行四边形
ABCD
中，
E
，
F
分别是对角线
AC
上的两点，并且
AE
=
CF
．
求证：四边形
BFDE
是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
O
还有其他证明方法吗？
你更喜欢哪一种证法．
启示：
条件
对角线
简便的证明方法
A
B
C
D
E
F
变式练习
O
在上题中，若点
E
，
F
分别在
AC
两侧的延长线上，
如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论．
知识的角度：
平行四边形的判定定理：
（
1
）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（
2
）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（
3
）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
总结梳理 内化目标
过程与方法的角度：
研究图形的一般思路．
解题策略的角度：
证明平行四边形有多种方法，应根据条件灵活选用．
性质
定义
判定
逆向猜想
1
、如图，在四边形
ABCD
中，
AC
，
BD
相交于点
O.
（
1
）若
AD
=8cm
，
AB
=4cm
，则当
BC
=___
cm
，
CD
=___
cm
时，四边形
ABCD
为平行四边形；
（
2
）若
AC
=10cm
，
BD
=8cm
，则当
AO
=__
_cm
，
DO
=__
_cm
时，四边形
ABCD
为平行四边形．
8
4
5
4
达标检测 反思目标
2、如图，
口
ABCD
的对角线
AC
,
BD
相交于点
O
，
E
,
F
分别是
OA
，
OC
的中点
.
求证：
BE
=
DF
.
A
B
C
D
E
F
O
第
4
章 平行四边形
4.4
平行四边形的判定定理（
2
）
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（
1
）∵
AB
∥
CD
，
，
∴ 四边形
ABCD
是平行四边形．
（
2
）∵
AB
=
CD
，
，
∴ 四边形
ABCD
是平行四边形．
如果只考虑一组对边，
当它们满足什么条件时，这
个四边形能成为平行四边形？
AD
∥
BC
AD
=
BC
A
B
C
D
创设情景 明确目标
1
．掌握平行四边形的第四个判定定理，会综合运用
平行四边形的性质和判定进行推理和计算。
2
．经历平行四边形的判定定理的发现与证明过程，进
一步加深对平行四边形的
认识。
学习目标
探究点一 平行四边形的判定
猜想：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
这个猜想正确吗？如何证明它？
定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
（
1
）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（
2
）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（
3
）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（
4
）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（
5
）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
.
A
B
C
D
E
F
在上题中，将“
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的中点”改为“
E
，
F
分别是
AB
，
CD
上的点，且
AE
=
CF
”，结论是否仍然成立？请说明理由．
练 习
例 如图，在
ABCD
中，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的
中点．求证：四边形
EBFD
是平行四边形．
1
、判断题：
⑴相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
. (
)
⑵
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
. (
)
⑶
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
.(
)
⑷
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
. (
)
⑸
对角线相等的四边形是平行四边形
. (
)
⑹
对角线互相平分的四边形是平行四边形
. ( )
√
√
×
√
×
√
达标检测 反思目标
2
、已知：如图，
AC
∥
ED
，点
B
在
AC
上，且
AB
=
ED
=
BC
， 找出图中的平行四边形，并说明理由 ．
解：图中的平行四边形有
EDBA
和
EDC
B
.
理由如下
:
同理可
证
,
四边形
EDCB
是平行四边形
.
∵
AC
∥
ED
(
) ,
∴
ED
∥ ______.
又
∵
ED
= ______ (
),
∴
四边形
EDBA
是平行四边形
(
).
已知
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
AB
AB
已知
3、如
图，四边形
AEFD
和四边形
EBCF
都是平行四边形．
求证：四边形
ABCD
是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
4、如
图，分别以
Rt△
ABC
的直角边
AC
及斜边
AB
向外作
等边△
ACD
、等边△
ABE
,
且∠
BAC
=30°
，
EF
⊥
AB
，垂足为
F
，
连结
DF
．
（
1
）试说明
AC
=
EF
.
（
2
）求证：四边形
ADFE
是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
5、在
四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是
AB
，
BC
，
CD
，
DA
的中点．求证：四边形
EFGH
是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
H
G
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
从角考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
从对角线考虑
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
从边
考虑
判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？
具体有哪些方法？
总结梳理
内化
目标
第
4
章 平行四边形
4.5
三角形的中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
C
B
A
F
E
D
定义：连结三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线
.
注意
AF
是△
ABC
的中线
我们把
DE
叫△
ABC
的中位线
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
.
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
区分三角形的中位线和中线：
理解三角形的中位线的定义的两层含义
:
② ∵
DE
为△
ABC
的中位线
,
① ∵
D
，
E
分别为
AB
，
AC
的中点，
∴
DE
为△
ABC
的中位线
.
∴
D
,
E
分别为
AB
,
AC
的中点
.
一个三角形共有三条中位线
。
。
F
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
.
已知：在△
ABC
中，
DE
是△
ABC
的
中位线
.
求证：
DE
∥
BC
，且
DE
=
BC
.
三角形的中位线
定理
三角形的中位线
平行
且
等于
第三边的一半
.
几何语言
：
∵
DE
是△
ABC
的中位线（或
AD
=
BD
,
AE
=
CE
)
，
∴
DE= BC
,
DE//BC.
C
E
D
B
A
用 途
①
证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的
2
倍或一半
学以致用
已知：如图 ，在
Δ
ABC
中，
D
，
E
，
F
分别是
AB
，
AC
，
BC
的中点
.
（
1
）指出图中有几个平行四边形？
（
2
）图中与
Δ
DEF
全等的三角形有哪几个？
（
3
）若
Δ
ABC
的周长为
6cm,
面积为
12cm
2
,
则
Δ
DEF
的周长是
_____cm,
面积是
_____cm
2
.
你还能得到什么结论吗？
试一试你们的眼力，比一比你们的猜想，看下面的一段文字
.
（
1
）请每一个同学任意画一个四边形
ABCD
，取各边中点
E
，
F
，
G
，
H
，再连结
EF
，
FG
，
GH
，
HE
，试判断四边形的形状
.
（
2
）同组伙伴的猜想与你一致吗？
C
B
A
D
H
G
F
E
例 已知：如图，在四边形
ABCD
中，
E
,
F
,
G
,
H
分别是
AB
,
BC
,
CD
,
DA
的中点
.
求证：四边形
EFGH
是平行四边形
.
A
B
C
D
E
F
G
H
本题的证明和推出的结论你有何感想？
本节课你学到什么
？
小 结
三角形的
中位线的定义
三角形的中位线
定理
三角形中位线
定理的运用
第
4
章 平行四边形
4.6
反证法
小故事
:
中国古代有一个
《
路边苦李
》
的故事
:
王戎
7
岁时
,
与小伙伴们外出游玩
,
看到路边的李树上结满了果子
.
小伙伴们纷纷去摘取果子
,
只有王戎站在原地不动
.
有人问王戎为什么
?
王戎回答说
:“
树在道边而多子
,
此必苦李
.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李
.
王戎是怎样知道李子是苦的呢
?
他运用了怎样的推理方法
?
假设
“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件
“树在道边而多子”
产生矛盾
假设
“李子甜”
不成立
所以
“树在道边而多子，此必为苦李
”
是
正确的
王戎的推理方法是
:
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
例
:
小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
先
假设
命题不成立，
从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾
.
从而得出
假设命题不成立是错误的，
即所求证的命题正确
.
证明一个命题时，人们有时
反证法的定义
:
这种证明方法叫做
反证法
.
[
能力测试
]
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