资料简介
第
1
章 直角三角形
1.1
直角三角形的性质和判定（
Ⅰ
）
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段
.
1.直角三角形的定义
2.三角形内角和的性质
有一
个角是
直角的三角形叫
直角三角形
.
三角形的内角
和等于180
°
.
3.三角形中线的定义
这节课我们一起探索直角三角形的
判定和性质
.
知识回顾
说一说：
如
图，在
Rt△
ABC
中，∠
C
=90°
，两锐角的和等于多少
度呢
？
∠
A
+
∠
B
=
90°
C
A
B
自主预习
在
Rt△
ABC
中，因为∠
C
=90°
，由三角形内角和定理，可得：
由此得到：
直角三角形的两个锐角互
余
.
如
图，在
△
ABC
中，如果∠
A
+
∠
B
=
90°
，△
ABC
是直角三角形吗?
定理
：有两个角互余的三角形是
直角三角形
.
由∠
A
+
∠
B
=
90°和
∠
A
+
∠
B
+∠
C
=180°，解
得∠
C
=
90°，
因此△
ABC
是
直角三角形
.
C
A
B
议一议
画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一量比较各线段的
长度
.
你
能猜出什么结论？
我们发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半
.
自主探究
例
1
如
图，已知
CD
是△
ABC
的
AB
边上的中线，且
CD
=
AB
，求证：△
ABC
是
直角三角形
.
C
B
A
D
2
1
证明：∵
CD
=
AB
=
AD
=
BD
，
∴∠
1=
∠
A
，∠
2=
∠
B
.
∵∠
A
+
∠
B
+
∠
ACB
=180°
，∠
ACB
=
∠
1+
∠
2
，∴∠
A
+
∠
B
+
∠
1+
∠
2=180
°
，
∴
2
（∠
A
+
∠
B
）
=180
°
，
∴∠
A
+∠
B
=90°
，
∴△
ABC
是
直角三角形
.
A
B
C
D
O
1.如图，
AB
⊥
DB
,
CD
⊥
DB
,下列说法错误的是
（ ）
A.一定有∠
A
=∠
C
B.只要有一边相等就有△
ABO
≌△
CDO
C.只要再给一个条件就能得到△
ABO
≌△
CDO
D.有
OA
=
OC
或
OB
=
OD
,就有
AB
=
CD
2.若一个三角形的三个内角之比为2:1:1，则该三角形是（
等腰直角三角形
）
.
C
随
堂
练
习
3
.
在
Rt△
ABC
中，斜边上的中线
CD
=2.5 cm
，求斜边
AB
的长是
多少
.
直角三角形的性质 ：
1
.
直角三角形
的两锐角互
余
.
2
.
直角三角形
斜边上的中线等于斜边的
一半
.
知识梳理
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是
直角三角形
.
第
1
章 直角三角形
1.2
直角三角形的性质和判定（
Ⅱ
）
直角三角形的性质 和判定
（
Ⅱ
）
本课内容
本节内容
1.2
如图，
S
1
+
S
2
=
S
3
， 即
BC
2
+
AC
2
=
AB
2
，
那么
是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？
探究
如
图，
任作一个
Rt△
ABC
，∠
C
= 90
°
，若
BC=
a
，
AC
= b
，
AB
=
c
，那么
a
2
+
b
2
=
c
2
，
是
否
成立呢？
步骤
1
先剪出
4
个如图
1-11
的直角三角形， 由
于
每个直角三角形的两直角边长为
a
，
b
（其中
b > a
），因此它们全等（
SAS
），所以它们的
斜边
长相等
.
设斜边长为
c
.
图
1-11
我们来进行研究
.
步骤
2
再剪出
1
个边长为
c
的正方形，如图
1-12.
图
1-12
步骤
3
把步骤
1
和步骤
2
中剪出来的图形拼成
如图
1-13
的图形
.
图
1-13
∵
△
DHK
≌△
EIH
，
∴
∠
2
＝∠
4.
又∵ ∠
1 +∠2 = 90°
，
∴ ∠
1 +∠4 = 90°.
因此拼成的图形是正方形
DEFG
，
它
的边长为
(
a + b
)
，它
的面积
为
(
a + b
)
2
.
又
∵
∠
KHI
= 90°
，
∴ ∠
1 +∠
KHI
+∠4 = 180°
，
即点
D
，
H
，
E
在一条直线上
.
图
1-13
同理，点
E
，
I
，
F
在一条直线上
；点
F
，
J
，
G
在一条
直
线
上；
点
G
，
K
，
D
在一条直线上
.
又
∵
正方形
DEFG
的面积为
c
2
+
，
∴
即
a
2
+2
ab+ b
2
=
c
2
+2
ab
，
∴
a
2
+ b
2
=
c
2
.
图
1-13
结论
直角三角形的两直角边
a
，
b
的平方和，等于斜边
c
的平方
.
a
2
+ b
2
=
c
2
由此得到直角三角形的性质定理：
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三
角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角
边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为
弦（如图
1-14
），因此这一性质被称为
勾股定理
.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系
.
在
直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长
.
勾
股
弦
图
1-14
故
AD
的长为
12 cm
.
在
Rt△
ADB
中，由勾股定理，得
AD
2
+
BD
2
=AB
2
，
如
图
1-15
，在等腰三角形
ABC
中，已知
AB = AC
=
13 cm
，
BC
=
10 cm
，
AD
⊥
BC
于点
D.
你能算出
BC
边上的高
AD
的长吗？
例
1
图
1-15
举
例
解
：在
△
ABC
中，
∵
AB = AC
=
13
，
BC
= 10
，
AD
⊥
BC
，
∴
BD = =
5.
∴
在
Rt△
ABC
中，∠
C
= 90°.
（
1
） 已知
a
= 25
，
b
= 15
，求
c
；
（
2
） 已知
a
= 5
，
c
= 9
，求
b
；
（
3
） 已知
b
= 5
，
c
=15
，求
a
.
练习
答案：（
1
）
c
=
；（
2
） ；（
3
）
动脑筋
如图
1-16
，电工师傅把
4 m
长的梯子
AC
靠在
墙上，使梯脚
C
离墙脚
B
的距离为
1.5 m
，准备在
墙上安装电灯
.
当他爬上梯子后，发现高度不够，
于是将梯脚往墙脚移近
0.5 m
，即
移
动
到
C
′
处
.
那么梯子
顶端是否往
上
移动
0.5 m
呢？
图
1-16
在
Rt△
ABC
中，
AC
=4 m
，
BC
=1.5 m
，
图
1-17
由勾股定理，得 （
m
）
.
由图
1-16
抽象出示意图
1-17.
在
Rt△
ABC
中，计算出
AB
； 再在
Rt△
中， 计算出
，
则可得出梯子往上移动的距离为（
-AB
）
m.
即梯子顶端
A
点大约向上移动了
0.16 m
，而不是
向上
移动
0.5 m
.
因此
= 3.87 - 3.71 = 0.16
（
m
）
.
在
Rt△
中，
=
4 m
，
=
1 m
，
故
（“引葭赴岸” 问题） “今有方池一丈，葭生其
中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐
.
问水深，
葭长各几何？” 意思是：有一个边长为
10
尺的
正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水
部分为
1
尺
.
如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉
向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面
.
问：
水深
与芦苇
长分别为多少？
例
2
宋刻
《
九章算术
》
书影
在
Rt△
ACB
′
中， 根据勾股定理，得
x
2
+ 5
2
=
（
x
+ 1
）
2
，
答：水池的深度为
12
尺，芦苇长为
13
尺
.
如图
1-18
，设
水池的深度为
x
尺
，
则
AC
=
x
尺
，
AB
=
AB
′=
（
x
+ 1
）尺
.
解：
图
1-18
因为正方形
池塘的边长
为
10
尺， 所以
B
′
C
= 5
尺
.
解得
x
=12.
则
x
+ 1
=
13.
1.
如图，一艘渔船以
30
海里
/
时
的速度由西向东追赶 鱼群
.
在
A
处测得小岛
C
在船的北偏东
60°
方向；
40 min
后，渔船行至
B
处，此时测得小岛
C
在船的北偏东
30°
方向
.
已知以小岛
C
为中心，周围
10
海里以内有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
练习
解：
过点
C
作
CD
⊥
AB
，垂足为
D
，
D
CD
的距离
不在以点
C
为中心，周围10 海里范围内，
∴
轮船
不会触礁
.
由题意，得
AB=
30
×
（
海里
）
.
在
Rt△
CBD
中，∠
BCD
=30°
，
BC
=
AB=
20
海里，∴
BD
=10
海里
.
2.
如图，
AE
是位于公路边的电线杆，高为
12 m
，
为了使电线
CDE
不影响汽车的正常行驶，电力
部门在公路的另一边竖立了一根高为
6 m
的水泥
撑杆
BD
，用于撑起电线
.
已知两根杆子之间的距
离为
8 m
，电线
CD
与水平线
AC
的夹角为
60°.
求电线
CDE
的总长
L
（
A
，
B
，
C
三点
在
同一
直线上
，电线杆、水泥杆的
粗
细
忽略不计）
.
在下图中
，过点
D
作
DM
⊥
AE
，垂足为
M
.
解：
M
易知四边形
MABD
为矩形
，所以
MA=BD=
6 m
，
所以
ME=EA-MA=
12-6=6(m)
.
在
Rt△
EMD
中，由
勾股定理，得
所以
L= ED+CD=
10
+
（
m
）
.
M
在
Rt△
DBC
中
,
∠
CDB
=30°,
设
BC
=
x
,
则
DC
=2
x
.
由勾股定理，得
x
2
+6
2
=(
2
x
)
2
，
解
得
x
=
我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边
a
，
b
的平方和，等于斜边
c
的平方
.”
那么这个
定理的逆命题成立吗？
探究
如图
1-19
，在△
ABC
中，
AB = c
，
BC = a
，
AC = b
，
且
a
2
+ b
2
=
c
2
， 那么△
ABC
是直角三角形吗？
图
1-19
如果我们能构造一个直角三角形， 然后证明△
ABC
与所
构造的直角三角
形
全等， 即可得△
ABC
是直角三角形.
∵
a
2
+ b
2
=
c
2
，
图
1-20
∴
= c
.
如图
1-20
，作
Rt
，使∠
= 90°
，
=
a
，
= b
.
△
在
Rt
中， 根据
勾股定理，得
2
=
a
2
+ b
2
.
△
∴
2
=
c
2
.
∴ △
ABC
是直角三角形
.
先构造满足某些条件的
图形
，再根据
所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
完成证明，这也是常用的问
题解决策略
.
在△
ABC
和 中，
∵
BC =
=
a
，
AC =
= b
，
AB =
= c
，
△
∴ △
ABC
≌
△
∴ ∠
C =
∠
= 90°.
结论
如果
三角形的三条边长
a
，
b
，
c
满足关系
：
，那么这个三角形是直角三角形
.
由此得到直角三角形的判定定理：
上述定理被称为勾股定理的逆定理
.
分析
根据
勾股定理的逆定理， 判断一个三角形是不是直角三角形， 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方
.
例
3
判断
由线段
a
，
b
，
c
组成的三角形是不是直角三角形
.
（
1
）
a
= 6
，
b
= 8
，
c
= 10
；
（
2
）
a
= 12
，
b
= 15
，
c
= 20.
满足
a
2
+ b
2
=
c
2
的三个
正整数
称为勾
股数
.
（
2
） ∵
12
2
+ 15
2
= 369
，
20
2
= 400
，
∴
12
2
+ 15
2
≠20
2
.
∴ 这个三角形不是直角三角形
.
（
1
） ∵
6
2
+ 8
2
= 100
，
10
2
= 100
，
∴
6
2
+ 8
2
=
10
2
.
∴这个三角形是直角三角形
.
解
例
4
如图
1-21
，在△
ABC
中，已知
AB
= 10
，
BD
= 6
，
AD
= 8
，
AC
= 17.
求
DC
的长
.
在△
ABD
中，
AB
= 10
，
BD
= 6
，
AD
= 8
，
∵
6
2
+ 8
2
= 10
2
，
解
即
AD
2
+
BD
2
=
AB
2
，
∴ △
ADB
为直角三角形
.
∴
∠
ADB
= 90°.
∴
∠
ADC
= 180°-∠
ADB
= 90°.
在
Rt△
ADC
中，
DC
2
=
AC
2
-
AD
2
，
∴
图
1-21
练习
1.
判断由线段
a
，
b
，
c
组成的三角形是不是直角三角形
.
（
1
）
a
= 8
，
b
= 15
，
c
= 17
；
（
2
）
a
= 10
，
b
= 24
，
c
= 25
；
（
3
）
a
= 4
，
b
= 5
，
c
= .
答：（
1
）是
； （
2
）不是； （
3
）是
.
2.
如图，在边长为
4
的正方形
ABCD
中，
F
为
CD
的中点，
E
是
BC
上一点， 且
EC= BC
.
求证： △
AEF
是直角三角形
.
证明：由已知可得
DF=CF
=2
，
EC
=1
，
BE
=3.
在
Rt△
ADF
中，由
勾股定理，得
AF
2
=
DF
2
+
AD
2
=2
2
+4
2
=20.
同理可得
AE
2
=25
，
EF
2
=5.
在
△
AEF
中，
因为
AE
2
=
AF
2
+
EF
2
，
所以
△
AEF
是直角三角形
.
例
如图，在Rt△
ABD
中，∠
D
=90
°
，
C
为
AD
上一点
， 则
x
可能是（ ）.
A.10
°
B.20
°
C.30
°
D.40
°
B
因为
6
x
>90
，所以
x
>15.
又
6
x
PB
.
如图，你能在△
ABC
中找到一点
P
，使其到三边的距离相等吗？
A
B
C
因为角平分线上的点到
角的两边
的距离相等，所以只要作△
ABC
任意两角
（例如
∠
A
与
∠
B
）的平分线，其交点
P
即为所求作的点
.
点
P
也在
∠
C
的平分线上，如图
.
P
思考
3.
E
是
∠
AOB
的平分线上一点，
EC
⊥
OA
于点
C
，
ED
⊥
OB
于点
D
，求证：（
1
）
∠
ECD
=∠
EDC
；
（
2
）
OC
=
OD
.
A
B
O
C
D
E
证明：
（
1
）
∵
E
是
∠
AOB
的平分线上一点，
EC
⊥
OA
于点
C
，
ED
⊥
OB
于点
D
，
∴
CE
=
DE
.∴∠
ECD
=∠
EDC
.
（
2
）在
Rt△
COE
和
Rt△
DOE
中，
CE
=
DE
，
OE
=
OE
.
∴Rt△
COE
≌Rt△
DOE
(HL).
∴
OC
=
OD
.
练习
4.
如图，在
△
ABC
中，
AD
⊥
DE
，
BE
⊥
DE
，
AC
，
BC
分别平分
∠
BAD
，
∠
ABE
，点
C
在线段
DE
上
.
求证：
AB
=
AD
+
BE
.
A
B
C
D
E
证明
：过点
C
作
CF
⊥
AB
于点
F
.
∵
AC
，
BC
分别平分
∠
BAD
，
∠
ABE
，
且
AD
⊥
DE
，
BE
⊥
DE
，
∴
DC
=
CF
，
CE
=
CF
.
∴Rt△
ACD
≌Rt△
ACF
(HL)
，
Rt
△
BCE
≌Rt△
BCF
(HL).
∴
AD
=
AF
，
BE
=
BF
.
∴
AB
=
AF
+
BF
=
AD
+
BE
.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流
.
我思
我
进步
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