天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 八年级下册 / 第十八章 平行四边形 / 人教版八年级数学下册第18章平行四边形
资料简介
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
(第1课时)
生活
中的
平行
四边
• 学习目标：
1．理解平行四边形的概念；
2．探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性
质；
3．初步体会几何研究的一般思路与方法．
• 学习重点：
平行四边形边、角性质的证明和应用．
1、如图，你能观察到图中有我们学过的
_______________________________________形.
2、举出生活中常见的平行四边形的一些其他例子，
有__________________________________________
平行四边形、长方形、三角形、梯形、正方
伸缩门、竹篱笆、防护栏等
观察这些图片，它们是否都有平行四边形的形象？
你还记得平行四边形的定义吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）．
反过来 ∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），
∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形；对
于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？
A B
C D
ABCD
对于平行四边形，从定义出发，你能得出它的性质吗？
你能证明这些结论吗？
给出图形定义→研究图形性质→探索图形判定条件
回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是
什么？
猜想：平行四边形对角相等，对边相等．
归纳：
（1）有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
（2）平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全
等的三角形；
A B
C D
归纳：
（3）平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，
平行四边形的对角相等．
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形的性质），
∠DAB=∠DCB，∠B=∠D（平行四边形的性质）．
A B
C D
B C
D A
问题1 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=40°，
求其余三个角的度数．
问题2 如图，在 ABCD中，AD=8，其周长为24，
求其余三条边的长度．
几何语言：
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
D
A
C
B∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等） ．
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC （平行四边形的对边相等） ．
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等） .
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）.
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD, AD=BC.
∵AB=8 m,
∴CD=8 m.
又AB+BC+CD+AD=36,
∴ AD=BC=10 m.
A D
B C
8 m
如图，小明用一根36 m长的绳子围成了一个平行四边形
的场地，其中一条边AB长为8 m，其他三条边各长多少?
DE=BF 吗？
例1 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂
足分别为E，F．求证：AE=CF．
A B
C D
E
F
例2 如图，直线a∥b，A，B为直线a上的任意两
点，点A 到直线b 的距离和点B 到直线b 的距离相等吗？
为什么？
A B
C D b
a
平行线间的距离
例3 △ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC
上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB
上．求证：PE+PF=AB．
A
B C
E
F
P
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）通过本节的学习和过去三角形的学习经历，你认
为对一个几何图形的研究通常是怎样进行的？
（3）对于平行四边形，你感兴趣的还有哪些方面？你
认为有必要进一步研究思考吗？
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
如图，四边形ABCD是平行四边形记
作： ABCD
平行四边形的相关概念
A D
CB
2．平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行
四边形的对角线．
3.平行四边形相对的边称为 对边, 相对的角称为对角.
线段AC、BD就是 ABCD的两条对角线.
对边：AB与CD, BC与DA.
对角: ∠ABC与∠CDA, ∠BAD与∠DCB.
n 学习目标：
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2．经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗
透转化思想，体会图形性质探究的一般思路．
n 学习重点：
平行四边形对角线性质的探究与应用．
平行四边形的性质：
AD∥BC，AB∥CD；
AB=CD，AD=BC；
∠A=∠C，∠B=∠D．
把平行四边形问题转化为三角形问题．
A
B C
D
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于
年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他
是这样分的：
老大
老二
老三
老四
如何判断如图的四个三角形
面积相等？
问题1 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素
的性质外，对角线有什么性质？
如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们交
于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A B
C
O
猜想：平行四边形的
对角线互相平分．
问题2 你能证明上述猜想吗？
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O．
OA与OC，OB与OD有什么关系？
求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵ 四边形
ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∴ △COD≌ △AOB，
∴ OA=OC，OB=OD．
D
A B
C
O
1
2
3
4
定理：平行四边形的对角线互相平分．
我们证明了平行四边形具有以下性质：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
前面问题中，老人分的土地面积相等吗？
A
C
D
B
O●
M
ABO BCO CDO DAO ABCD
1S S S S S
4
例 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥
BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
A
B C
D
O
E
F
图中还有哪些量相等？
变式 在上题中，EF过点O，且与AB，CD分别相
交于点E，F．求证：OE=OF．
A
B C
D
O
ABCD的对角线AC与BD相交于点O,直线EF过点 O与
AB 、CD分别相交于E 、F,试探究OE与OF的大小关系并
说明理由.
A
B C
D
OE
F●
●
●
1
23
4
●
O
D
CB
A
E
F
O
D
CB
A
●
E
F
(1) (2)
在上述问题中，若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、
F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由。
●
●
●
●
练习 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知
AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD
的长为___________.2cm或8cm
A B
CD
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分．
（1）本节学习了平行四边形的哪些性质？
（2）结合本节的学习，谈谈研究平行四边形性质的思
想方法．
A
B C
D
O
研究平行四边形，常常把它转化为三角形问题．
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
(第3课时)
有两组对边分别平行的四边形 叫做 平行四边形.
A
B C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
B
D
ABCD
A
C B
DA
C
O
平行四边形的
性质：
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线互相平分
n 学习目标：
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体
会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条
件灵活选取适当的判定定理进行推理．
n 学习重点：
平行四边形三个判定定理的探究与应用．
有一块平行四边形的玻璃块，假如不小
心碰碎了一部分，聪明的技师拿着细绳
很快将原来的平行四边形画了出来，你
知道他用的是什么方法吗？
答：他是根据平行四边形的定义：
两组对边分别的四边形是平行四边形。
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线
互相平分．
判定性质
定义
D
A B
C
判定性质
定义
D
A B
C
问题 如何寻找平行四边形的判定方法？
当我们对前进的方向感到迷茫时，不妨回过头来看
看走过的路！
直角三角
形的性质
直角三角
形的判定
勾股定理
勾股定理
的逆定理
在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．
这些经验可以给我们怎样的启示？
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
平行四边形的性质 猜想
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：这些猜想正确吗？
证明：如图，连接BD．
∵ AB=CD，AD=BC，
BD是公共边，
∴ △ABD≌ △CDB．
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4．
∴ AB∥DC，AD∥BC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
D
A B
C 1
2
3
4
证明：∵ 多边形ABCD是四边形，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ ∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．判定定理2
猜想2
D
A B
C
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
判定定理3
D
A B
C
O
猜想3
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌ △COB．
∴∠OAD=∠OCB．
∴AD∥BC．
同理AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，DE=CF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF．
∴AB∥EF．
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：
AB∥EF．
A
B C
D
E
F
现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提
供了研究几何图形的一般思路．
在研究平行四边形判定的过程中，我们经历了两个
阶段，哪两个阶段呢？
性质
定义
判定 逆向猜想
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
(第4课时)
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
两组对边分别平行
平行四边形的判定方法共有几种？
一组对边平行且相等
四边形是平行四边形
边
角
对角线
例题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的
中点，求证DE∥BC且DE= BC2
1
B C
A
D E F
证明：如图，延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF.
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∵AE=EC，
CF∥DA，CF=DA，
∴CF∥BD，CF=BD，
DF∥BC，DF=BC.
又DE= DF,
2
1
∴DE∥BC且DE= BC.
2
1
n 学习目标：
1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定
理的内容；
2．经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过
程，进一步发展推理论证的能力．
n 学习重点：
探索并证明三角形中位线定理．
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角
形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于
第三边的一半.
中位线定理
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，
连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
DE与BC之间有什么位置关
系和数量关系？
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形
问题转化为三角形问题，能否用平行四边形研究三角形
呢？
A
B C
D E
A
B C
D E
你能对照图形写出已知、求证吗？
怎样分析证明思路？
请分别试一试，这些方案是否都可行．如可行，说
出辅助线的画法；如不可行，请说明原因．
请用适当的方法证明猜想．
请用自己的语言说出得到的结论，并比较证明方法
的异同．
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角
形的第三边，并且等于第三边的一半．
在△ABC中，
∵ D，E分别是边AB，AC的中点，
∴ DE∥BC，且DE= BC .
1
2
A
B C
D E
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，
E，F分别是BC，AC，AB的中点，则四边形AEDF的周
长为________；Rt△ABC的中位线分别是___________；
斜边上的中线是_______，其长为______.
18 DE，DF
CF 5
A
B C D
E F
①有一组对边平行的四边形是平行四边形。
②有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形
一定是平行四边形。
③对角线相等的四边形是平行四边形。
④一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边
形。
1.如图，点D、E、分别为△ABC的边AB、AC的中
点.求证：DE∥BC且DE= BC．
A
B C
D E F
1
2
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接
CF、CD和AF，∵AE= ，DE= ，
∴四边形ADCF是平行四边（对角线互相平分
的四边形是平行四边形）
∴CF ＝ DA ,又∵AD=BD,
∴CF＝ ,
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF = BC ,
又∵DE= DF，
∴ ∥ 且DE= BC.
1
2
1
2
AC EF
BD
DE BC
∥
∥
∥
2.如图，在△ABC中，D、E、F分别是
AB、BC、CA的中点.以这些点为顶点，
在图中，你能画出多少个平行四边形？为
什么？
A
CB
D F
E
答：3个
例1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、
CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多
少个平行四边形？
B
A
F
E
D
C
例2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，
连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根
据是什么？ A
BC
1、如下图，在△ABC中,D、E分别是AB、
AC的中点，BC=10 cm，则DE= .
A
CB
D E
5 cm
2、如上图， 在△ABC中,D、E分别是AB、
AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则
∠AED= 。60°
（1）本节课你学习了什么定理？
（2）定理的内容是什么？
（3）你是怎样得到定理的？
（4）你有什么新的体会？
三角形中位线定理：
连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于
第三边的一半．
我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，
又可以用平行四边形知识研究三角形的问题.
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
（第1课时）
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形有哪些性质？
A
B C
D
两组对边分别平行的四边
形叫做平行四边形 .
O
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半.
中位线定理：
如图，□ABCD是一个活动框架，改变这个平行
四边形的形状，你会发现什么?
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质
A
B C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等 ,邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
B
A D
C
自主探索
对称性: 矩形既是轴对称图形,也是中心对称形．
A
B C
D
探索矩形的对称性:
矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有平行四
边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
矩形是轴对称图形
平行四边形是
轴对称图形吗?
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° A
B C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
∵矩形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC ∠A=∠C ∠B=∠D
∴ ∠A +∠B =180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
说明：矩形的四个角都是直角
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，
又∵AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌ △DCB，
∴AC = BD。 说明：矩形的对角线相等
A
B C
O
得到：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言: ∵在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴ BO= AC
2
1
在Rt△ABC中, BO= AC2
1
在直角三角形ABC中，O是
AC中点，思考BO与AC的数
量关系
B
D
C
A
O
A
C
B
O
D
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩
形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样
的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
例 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于
点O，∠AOB=60° ,AB=4 cm,求矩形对角线的
长 .
D
CB
A
o
60°
方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°
或120°,那么其中必有等边三角形
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(cm)
解：∵ 四边形ABCD是矩形
D
CB
A
O
×
√
×
√
√
练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定
相框为矩形的下列方法中哪些正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩
形．（ ）
练习2 在“？”处填上恰当的条件：
四边形 平行四边形
矩形 ？ ？
？
练习3 已知:四边形ABCD是矩形
(1)若已知AB=8 cm，AD=6 cm，
则AC＝_______ cm，
OB=_______cm
(2)若已知 ∠DOC=120°，AC＝8 cm，则AD= _____cm，
AB= _____cm
O
D C
BA5
10
4
34
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等且互相平分
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
第18章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1 请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相
框是矩形吗？
除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法
呢？
证明 逆命题
（修正）
问题2 你还记得学习平行四边形的判定时，我们
是如何猜想并进行证明的吗？
性质 猜想 判定定理
1．掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选
取适当的定理进行推理计算；
2．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比
思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路．
同样，我们能否通过研究矩形性质的逆命题，得到
判定矩形的方法呢？
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．
猜想2 三个角是直角的四边形是矩形．
问题3 如何证明这两个猜想？
证明猜想
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．
在 ABCD中，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．
B C
D A
证明猜想
猜想2 有三个角是直角的四边形是矩形．
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
B C
D A
方法1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；
方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．
理一理
你能归纳矩形的判定方法吗？
练 习
×
√
×
√
√
练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定
相框为矩形的下列方法中哪些正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩
形．（ ）
探究点二 矩形判定的运用
例 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A B
C D
O
在“？”号处填上恰当的条件：
四边形 平行四边形
矩形 ？ ？
？
一种学习方法
两个猜想证明
三种判定方法
1.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB
是等边三角形，且AB=4.求口ABCD的面积.
解：∵△OAB是等边三角形且四边形
ABCD的对角线AC、BD互相平分
∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB=
∴∠AOD=
又AO=DO ∴∠ADC=
∴四边形ABCD是矩形
AC=8 ，DC=4， AD=
∴平行四边形ABCD面积为
60
120
90
34
316
2、如图AC，BD是矩形ABCD的两条对
角线，AE=CG=BF=DH.求证：四边形
EFGH是矩形.
H
E
G
F
C
O
BA
D
证明：∵ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD
OE=OA-AE，OG=OC-CG
∵AE=CG
∴OE=OG
OF=OB-OD，OH=OD-DH
∵BF=DH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵ABCD是矩形，
∴AC=BD
EG=AC-AE-CG
FH=BD-BF-DH
∴EG=FH
∴平行四边形EFGH是矩形
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
（第1课时）
n 学习目标：
1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题；
2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、
类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的
一般步骤和方法．
n 学习重点：
菱形性质的探索、证明和应用．
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒
气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，
便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑
色菱形暗花纹——越王勾践剑
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，
然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理
吗？从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准
确地剪出一个菱形的纸片？
1、菱形是_____的平行四边形，它具有
的一切性质.
2、菱形的特殊性质.
（1）边：菱形的四条边都 ；
（2）对角线：菱形的两条对角线 ，
并且每一条对角线 ；
（3）对称性：菱形是 对称图形， 它的对称轴
就是对角线所在的直线.
特殊 平行四边形
相等
互相垂直平分
平分一组对角
轴
3、如图，根据菱形的性质，在菱形ABCD中，
(1)AB= = = ；
(2)AC⊥ ,且AO= ,BO= ；
∠ABO= ，∠BCO= ，
∠CDO= ，∠DAO= .
O
思考 ： 如何证明菱形的性质？说一说你的证明思路.
BC CD DA
BD CO DO
∠CBO ∠DCO
∠ADO ∠BAO
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=AB(菱形的定义)，
OD=OB （平行四边形的
对角线互相平分），
∴ AC ⊥ DB ，
AC平分∠DAB(三线合一).
同理AC平分∠DCB .
DB平分∠ADC和∠ABC.
AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
例 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于
点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD, AC⊥BD.
∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2,
AB=5 cm，AO=4 cm,
∴OB=3cm.
∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm.
1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
(A)对角线互相平分
(B)对角线相等
(C)对角线互相垂直且相等
(D)对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角线
2、已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是
________.
D
3 cm
3 、如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC
=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积
（结果保留小数点后一位）．
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ，你
能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线相等
四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
C
DA
B
O
矩形的
判定
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度
思考菱形的判定条件？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
？
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且AC⊥BD.求证： ABCD是菱形．
B
C A
D
O
求证：四边都相等的四边形是菱形．
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
D
C A
B
定理2：四边都相等的四边形是菱形．
？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
例1 如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，
且AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
DO
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴
∴ 是____三角形（勾股定理的_______）
即AC BD,
∴四边形ABCD是菱形.（对角线 的
_____________是菱形.）
互相垂直
= +
直角 逆定理
平行四边形
2AB 2AO 2BO
⊥
AOB
理由：如图，四边形ABCD是平行四边
形，AB=9，BD=12，AC=
∵AO= AC= , BO= BD=6
∴ = +
∴ AOB是直角三角形
∴AC BD
∴四边形ABCD是菱形
答：是菱形.
例2 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的
长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？
为什么？求出它的面积.
56
A
B
C
DO56
1
2 53
1
2
2BO2AB 2AO
⊥
∴ S= AC×BD= ×12× =56 5362
1
2
1
如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮
筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候
变成菱形？请说明理由．
A B
C D
如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以
B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接
BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
1、判断题，对的画“√”错的画“×”
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．（ ）
×
√
×
×
√
2 如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，
DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
A
B C D
E
F
3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边
形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
证明：在矩形ABCD中，
AD=BC，AB=CD.
∵点E、F、G 、H分别是四边的中点,
∴ AE=DE=BG=CG,
AF=BF=DH=CH.
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=
∴△EAF ≌ △FBG≌ △HCG≌ △HDE,
∴EF=FG=GH=GE,
∴四边形EFGH是菱形.
90°,
三个角是直角
四条边都相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线互相垂直
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
四边形 平行四边形
矩形
菱形
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
矩形 菱形
性
质
1.四个角都________ 1.四条边都_______
2.对角线__________
2.对角线互相_________
且平分每组________
判
定
1.有一个角是______的
___________
1.有一组邻边______的
__________
2.有三个角是_____的
_________
2.对角线互相______的
___________
3.对角线________的
__________
3.四条边_______的
________
相等
直角
相等
相等
平行四边形
直角
对角
互相平分
相等
互相平分
平行四边形
相等
平行四边形
垂直
四边形 平行四边形
四边形
问题提出
1.有一组邻边相等的矩形是一个什么样的图形？
2.有一个角是直角的菱形是一个什么样的图形？
有一个角为直角 有一组邻边相等
有一组邻边相等 有一个角是直角
1、四条边_______，四个角都是_______的四边
形叫做正方形.
2、正方形既是_____形，又是_____形.即
（1）有一组________相等的矩形是正方形.
（2）有一个角是________的菱形是正方形.
相等 直角
矩菱
直角
邻边
归纳：
1.正方形的定义：四个角都是直角，且四条
边相等的四边形是正方形.
3.正方形既是矩形，也是菱形，同时也是特
殊的平行四边形.
思考
正方形有什么样的性质，以及如何
去判定一个正方形呢？
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
例1 （1）把一张长方形纸片按如图方式折一
下，就可以裁出正方形纸片.为什么？
（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的
正方形木板呢？
解：由已知，对折后可得：
所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，
所以可以裁出正方形纸片，
故对折后，有三个直角，且一组邻边相等，所以就
可以裁出正方形纸片.
解：在长方形最长的两边，截取长度等于
“长方形的短边的长度”，这样就可以截出
面积最大的正方形
例2 （1）正方形具有_____的性质，同时又具有______的性质．
边：对边________，四边_________；
角：四个角都是________；
线：对角线相等，互相________，每条对角线
平分一组________．
形：是_______________对称图形.
（2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关
系有怎样的包含关系？请填入下图中.
菱形 矩形
直角
都相等相等
轴对称和中心
平分
对角
菱形 正方形 矩形
例3 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等
腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是_______，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO 、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是__________，
∴AC=_____，AC____BD，AO=_____=_____=_____.
∴△ABO、△______、△______、△______是等腰直角三
角形，且△ABO≌△BCO_____△CDO_____△DAO.
正方形
正方形
DOBOCOBD
CDO DAOBCO
≌ ≌
⊥
例4 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”
平行四边
形
矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√ √ √ √
√ √
√
√
√
√
√
√√√
√ √
√
作比较
请比较一般四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方形的对
角线的性质.
对角线互
相平分
四边形
无
平行四边形
矩形
菱形
对角线平分且相等
对角线平
分且垂直
正方形
对角线平分，
相等且垂直
对角线互相平分
对
角
线
相
等
对
角
线
垂
直
对角线相等且垂直
对角线平分，相等且垂直（对角线法）
1、如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边
上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地
的面积和对角线分别是多少？
解：根据勾股定理：
BC2=EC2-EB2
=302-102
=800
∴BC=
∴这块场地的面积为
=800
对角线为40
800 20 2
800 800
2、满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：(1)根据正方形的性质可知，是正方形
(2)根据正方形的性质可知，是正方形
(3)根据正方形的性质可知，是正方形
(4)根据正方形的性质可知，是正方形
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
解：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，
DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角，
它是矩形
又∵CD平分∠ACB
根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知
DE=DF，所以矩形CEDF有一组邻边相等
根据正方形的判定方法，知四边形CEDF是正方形
现在，你对正方形有哪些新的认识？
正方形既是矩形又是菱形．
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
一组邻边相
等
一个角是直角
正方形
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