资料简介
第十九章 一次函数
19.1.1 变量与函数
第1课时
行星在宇宙中的位置随时间而变化
气温随海拔而变化
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究
这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
在日常学习和生活中，我们常要研究一些数量关系：
小明到商店买练习薄，每本单价2元，购买的总数
x（本）与总金额 y（元）的关系式，可以表示为 .
其中y随x的变化而变化
y=2x
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里
程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
说说你是如何得到的： 路程 = 速度×时间
试用含t的 式子表示 s s = 60t
问题一
60 120 180 240 300
问题二
每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，
日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房
收入各多少元？
早场票房收入 ： 10×150 = 1500 （元）
日场票房收入 ：10×205 = 2050 （元）
晚场票房收入 ：10×310 = 3100 （元）
若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，
怎样用含 x 的式子表示 y ？ y = 10x
请说明道理：票房收入 = 售价×售票张数
问题三
圆的半径r分别为10cm、20cm、30cm时，
圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化
而变化吗？
圆的面积=π×半径的平方
10c
m2
?
10cm
20cm
?
r
s
S= πr2
在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，
观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如
果弹簧原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，
怎样用含重物质量x（单位：kg）的式子表示受力后的
弹簧长度 L(单位：cm)?
挂重2千克时弹簧长=10+0.5×2=11(cm)
挂重3千克时弹簧长=10+0.5×3=11.5(cm)
挂重x千克时弹簧长=10+0.5×x (cm)
L=10+0.5x
分析：挂重1千克时弹簧长=10+0.5×1=10.5(cm)
问题四
剖析
S = 60t y = 10x L=10+0.5x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
请指出上面各个变化过程中的常量、变量。
S= πr2
探究：
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 5x －6
(2) y= x
6
(3) y= 4x2＋5x－7
(4) S = πr2
解：（1）5和-6是常量，x和y是变量。
（2）6是常量，x、y是变量。
（3）4、5、-7是常量，x、y是变量。
（4）π是常量，s、r是变量。
填空：
n 1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个
）与单价 a（元）的关系式为 .
n 其中的变量是 ，常量是 .
n 2、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4
元，则总金额 y（元）与学生数n（个）的关系式
是 .其中的变量是 ，常量是 .
n、a 50
y=4n y、n 4
an 50
3．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存
有50元，从现在起每个月节存12元．设x个月后小张的存
款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间
的函数关系式 ，其中常量是 ，变量是
，自变量是 ， 是 的函数。
y=50+12x 50，12
x，y x y x
2、若矩形的宽为x cm，面 积为36 ，则这个矩
形的长y随x的变化而变化，其中常量是_____，变
量是______.
3、分别指出下列各式中的常量与变量.
(1)圆的面积公式 ；
(2)正方形的周 长 ；
(3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米
的数量 x(kg)与金额 y的关系为y=2.5x.
36
x, y
2S r 常量：π；变量：S、r
4l a 常量：4；变量：l、a
常量：2.5；变量：y、x
2cm
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的
量为______，数值始终不变的量是_____.
会把数学与实际联系起来，列出关系式。
变量 常量
第十九章 一次函数
19.1.1 变量与函数
第2课时
x
图1
2、如图2，正方体的棱长为a,表面积S= ，
体积V= .
a
图2
C= 4x
6a2
a3
1、如图1，正方形的周长与边长为x的关系式为
__________ 变量是: 常量是: ;C、v 4
n 学习目标：
1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；从典型实例中
抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．
2. 了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际
问题中的函数关系；
3. 能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围；
n 学习重点：
1.概括并理解函数概念中的单值对应关系．
2.用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自
变量取值范围．
两变量之间的关系
思考 下列式子S=60t，y=10x,S=πr2，C=5-x中存在几
个变量？在同一个式子中的变量之间有什么联系？
归纳 每个问题中的 变量互相联系，当其
中一个变量取定一个值时，另一个变量就有
_____确定的值 。
答：两个变量
两个
唯一 与其对应
思考
（1）在心电图中，对于横坐标表示时间x的
每一个确定的值，纵坐标表示心脏部位的生
物电流y都有唯一确定的值与其对应吗？
（2）在我国人口数统计表中，对于每一个确
定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
答：有
答：是
归纳 一些用 或 表达的问题中，也能看到
两个变量之间的联系.
图 表格
自变量和函数的概念
1、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x
和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 确
定的值与其对应，那么我们就说 是自变
量,____是 的函数.
2、在计算器中操作y=2x+5后填表：
x 1 2 -4 0 101 -5.2
y
显示的计算结果是输入数值的函数吗？为什么？
唯一
x
y
函数值
7 9 -3 5 207 -5.4
答：是.理由：因为对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应。
x
如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时
的 .
函数概念理解
n （1）在一个变化过程中
n （2）有两个变量x与y
n （3）对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的
值与其对应
n 思考： 1 . S=60t; 2. y=10x ; 3. 2rs
上面每个问题中，哪个量是自变量？哪个量是自变量
的函数？
下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时
间，纵坐标y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个
变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的对应值吗？
思考（1）
思考（2）
一.函数关系是用数学式子（形如S=60t; y=10x ）
给出的 (叫解析式法)
二. 前面像体检心电图函数关系是用图象给出的
（叫图象法）
三 .前面我国人口数统计表函数关系是用表格
给出的 （叫列表法）
函数的三种表示方法
对于x的每一个
值，y总有唯一
的值与它对应，
y才是x的函数.
下列各式，x是自变量，请判断y是不是x的函数？若是，
求出自变量x的取值范围。
3.y＝± 1
x4.y=
1.y＝2x 2.y＝
x
3x
解:1. y是x的函数,
2.y是x的函数,
∵ x -3 ≥0，∴x ≥3.
3.y不是x的函数.
4.y是x的函数. x≠0.
x为全体实数.
要考虑实
际意义哦！
例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么
油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的
增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及0.1x ≤ 50 得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)把x = 200代入 y =50 －0.1x，得
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L。
这样的式子叫做函数解析式.
y=50-0.1×200=30
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用
油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量，
于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅
内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一
次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就
可以确定该食用油的沸点温度．他是怎样计算的呢？
时间t/s 0 10 20 30
油温w/℃ 10 25 40 55
列表法、解析法
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的
函数？试写出函数的解析式.
（2）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单位：
m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化。
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积s随之
改变。
解：边长x是自变量 ，面积S是x的函数
函数解析式为 S=x2
解：时间x是自变量, 水量y是x的函数
函数解析式为 y=0.1x
（3）某村的耕地面积是106㎡，这个村人均占
有耕地面积y（单位：㎡）随这个村人数n的变
化而变化。
（4）水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，
水池中的水量V(单位：L)随时间t （单位：h）
的变化而变化。
函数解析式为 y=
函数解析式为 V=10-0.05 t
n
106
自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑
函数关系式有意义，而且还要注意问题的实
际意义。
函数的概念
第十九章 一次函数
19.1.2 函数的图像
第1课时
分别指出下列各关系式中的变量与常量：
（1）三角形的一边长5cm,它的面积s（cm )与
这边上的高h(cm)的关系式是s= h;
（2）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，那
么另一个锐角的度数β与α间的关系式是
β＝90-α;
（3）如果某种报纸的单价为8元，x表示购买这种
报纸的份数，那么购买报纸的总价y(元)与x
间的关系是y=8x.
5
2
2
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示
圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：
S＝____．
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、
2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
2.25ππ 4π 6.76π 10.24π
新课引入
在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对
来表示.即坐标平面内的 ___ 与有
序数对是一一________ 的.
有序数对 点
对应
探究新知
问题：写出正方形的面积S与边长x的函数解析式，并
确定自变量x的取值范围.
S=x2（x＞0）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
在直角坐标系中，描出这些点，然后连接这些点.
表示x与S的对应关系
的点有无数个.但是实
际上我们只能描出其
中有限个点，同 时想
象出其他点的位置.
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对
对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这
些点组成的图形，就是这个函数的图象.
上图的曲线即函数S=x2 （x＞0）的图象.
通过图象，我们可以数形结合地研究函数.
下图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段
时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12
巩固新知
例 如图(1)，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，
小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.
图(2)反映了这个过程中，小明离他家的距离 y与时间 x
之间的对应关系.
y/km
O 8 25 28 58 68 x/min
0.6
0.8
（1）
（2）
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少
时间？
食堂离小明家0.6km，小明走到食堂用了8min.
小明吃早餐用了17min.
食堂离图使馆0.2km，小明从食堂到图书馆用了3min.
(4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速
度是多少？
分析：小明离家的距离y是时间x的函数，从图象中有
两段是平行于x轴的线段可知，小明离家后又两段时间内
先后停留在食堂与图书馆.
小明读报用了30min.
图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家的平均速
度0.08km/min.
在下列式子中，对于x每一确定的值，y有唯一的对
应值，即y是x的函数，你能画出这些函数的图象吗？
（1）y=x+0.5;
6(2) ( 0).y xx
（1）解：1.列表.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x+0.5 … …
2.描点.
3.连线.
O
-1
1
x
y y=x+0.5
直线由左向右上升，即
当x由小变大时，y=x+5
随之增大.
-2.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5-1.5
1-1
（2）解：1.列表.
xy 6
x 1 2 3 4 6 …
…
2.描点.
3.连线.
曲线 从左向右下
降，即当x由小变大时,随
之减小.
6y x
6 3 2 1.5 1
（1）函数图象会使函数关系更为清晰，怎样画出函数
的图象呢？
（2）如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题？
（3）画函数图象的三个步骤分别是什么？
（4）如何从图象中了解函数的变化情况？
第十九章 一次函数
19.1.2 函数的图像
第2课时
1、下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个
变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请
写出它们的关系式。
（1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则 x
个同学共付 y 元。
（2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数 y（个）
与单价 x （元）的关系。
（3）一个铜球在0 ℃的体积为1000cm3，加热后温度每增
加1℃，体积增加0.051cm3，t ℃时球的体积为 V cm3 。
解: y 是 x 的函数.其关系式为y = 2x (x ≥0)
解: y 是 x 的函数.其关系式为y = x
50
(x>0)
解: v是 t 的函数,其关系式为V = 0.051t+1000
2、下图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？
在哪段时间比北京气温低？
答：7时 和 12时。
0时-7时和12时-24时；7时—12时。
• 学习目标：
1．了解函数的三种表示法及其优缺点；
2．能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间
的函数关系；
3．能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行
初步讨论．
• 学习重点：
综合运用三种表示法表示函数关系，研究运动变化
过程．
问题1：有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长
0.5 cm，设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，
根据上述信息完成下表：
受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？
m/kg 0 1 2 3 3.5 …
l/cm …
是
11.7511.51110.510
问题2：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每
超过1公里收2元，有一位乘客坐了t（t＞3）公里，他付
费y元.用含x的式子表示y，y是x的函数吗？
是 y=2x+2
问题3：下图是某地某一天的气温变化图.
（1）指出其中的两个变量是 ， .
（2）其中 是 的函数，自变量是 .
气温T 时间t
气温T 时间t
T/
时间t
问题4：从上面的三个问题中，可以发现表示函数
有哪三种方法，这三种表示函数的方法各有什么优缺
点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法
呢？
问题1：表示函数有哪三种方法？
列表法、解析式法和图象法.
问题2：这三种表示的方法各有什么优点？
列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量
之间的关系；
解析式法比较准确、全面地表示出函数中两个变量
之间的关系；
图象法比较形象、直观地表示出函数中两个变量之
间的关系.
问题3：这三种表示的方法各有什么不足之处呢？
问题4：请从全面性、直观性、准确性及形象性四个方
面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点，填写下表：
表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性
列表法
解析式法
图象法
从所填表中可以清楚看到三种表示方法各有优缺点.
在遇到实际问题时，就要要根据具体情况选择适当的方
法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用.
√
×
×
×
× ×
×
√
√√
√√
活动 函数的三种表示方法之间的转化
问题：一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表
记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，
y表示水温高度.
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是
否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？
(2)水位高度y是否为时间t的函数? 如果是，试写出一个符
合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数
能表示水位变化的规律吗？
(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高
度将为多少米.
y=0.3x+3
O
1
x
y
1 2 3 4 5
4
3
2
5 是
水位越来越高
是
1. 用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）
是边数n的函数.
解：因为n表示的是多边形的边数，所以n是大于等
于3的自然数，列表如下：
n 3 4 5 6 …
m …
所以m=（n-2）·180°（n≥3，且n为自然数）.
180 360 540 720
2. 用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长
a的函数.
解：因为等边三角形的周长l是边长a的3倍，所以周长l
与边长a的函数关系可表示为：l=3a（a＞0）.
a … 1 2 3 4 …
l … 3 6 9 12 …
描点、连线：
用描点法画函数l=3a的图象.
O
2
x
y
1 2 3 4 5
8
6
4
10
12
3.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低 0.6℃，已
知山脚下温度是23℃，则温度y（ ℃ ）与上升高度 x(m)之
间的函数关系式 ，若某种植物适宜
生长的度为17 ℃
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