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第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩 形 第1课时 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A B C D 四边形 ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C 平行四 边形的 性质: 边 平行四边形的对边平行; 平行四边形的对边相等. 角 平行四边形的对角相等; 平行四边形的邻角互补. 对角线 平行四边形的对角线互相平分. 平行四 边形的 判定 边 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 角 两组对角分别相等的四边形 对角线 对角线互相平分的四边形 一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的判定定理: 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形,因此平行 四边形除具有四边形的性质外,还有它的特殊性质, 同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四 边形,也就是这堂课我们就来研究一种特殊的平行四 边形—— .矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 平行四边形 矩形有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 探究点一 矩形的定义   具备平行四边形所有的性质 A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形的一般性质: 探究点二 矩形的性质 矩形是一个特殊的平行四边形,除了具有平行四边形 的所有性质外,还有哪些特殊的性质呢? 猜想1:矩形的四个角都是直角. 猜想2:矩形的对角线相等. A B C D 求证:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠A=90°. 又∵ 矩形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A=∠C ,∠B = ∠D ∠A +∠B = 180°. ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角 已知:如图,四边形ABCD是矩形, 求证:AC = BD. A B C D 证明:在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90°, AB = DC , BC = CB, ∴△ABC≌ △DCB. ∴AC = BD,即矩形的对角线相等. 求证:矩形的对角线相等 矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角. 矩形的两条对角线相等. 从角上看: 从对角线上看: 矩形的 两条对角线互 相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形 的两条对角线相等 边 对角线 角 数学语言 ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD = BC ,CD = AB, AD ∥BC ,CD ∥AB. AC= BD, A B C D O ∴ AO= CO ,OD = OB, ,090 DCBA 观察并思考 下面这些物体是什么形状,它们是轴对称图形吗?是中心 对称图形吗?有几条对称轴? 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 矩形 对边平行 且相等 对角相等, 邻角互补 对角线互 相平分 中心对 称图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线互 相平分且 相等 中心对称图 形,轴对称 图形 这是矩形所特有 的性质 O D CB A相等的线段: AB=CD,AD=BC,AC=BD, OA=OC=OB=OD= AC= BD.2 1 2 1 相等的角: ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∠AOB=∠DOC,∠AOD=∠BOC, ∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD , ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB. 已知四边形ABCD是矩形 O D CB A 等腰三角形有: △OAB △ OBC △OCD △OAD 直角三角形有: Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB 全等三角形有: Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB △OAB≌ △OCD △OAD≌ △OCB 已知四边形ABCD是矩形 例1: 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长? ∴AC与BD相等且互相平分, ∴ OA=OB. ∵ ∠AOB=60°, ∴ △AOB是等边三角形, ∴ OA=AB=4(㎝), ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝). 解:∵ 四边形ABCD是矩形, D CB A o 已知:在Rt△ABC中,∠ABC=900,BO是AC上的中线. 求证: BO = AC. O CB A D证明: 延长BO至点D,使OD=BO, 连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=900, ∴ ABCD是矩形, ∴AC=BD, 1 2 1 2∴BO= BD= AC. 2 1 探究点三 直角三角形的性质:斜边上的中线等于斜边的 一半.     直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.   矩形是轴对称图形,连接对边中点的直线是它的两条对 称轴. 矩形  矩形的对边平行且相等; 矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等且互相平分. 矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) B.对边相等 A.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 C • 已知:四边形ABCD是矩形 1.若已知AB=8㎝,AD=6㎝, 则AC=____㎝ , OB=____ ㎝. 2.若已知 ∠DOC=120°,AC=8㎝,则AD= _____cm, AB= _____cm. O D C BA510 4 34 D CB A ┓ 3.已知△ABC是直角三角形,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. (1)若BD=3㎝ ,则AC= ㎝. (2) 若∠C=30°,AB=5㎝,则AC= ㎝, BD= ㎝. 6 5 10 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的 四个顶点处,目标物放在对角线的交点处,这样的队形对 每个人公平吗?为什么? O A B C D 公平,因为OA=OC=OB=OD 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 第2课时 小明利用周末的时间,为自己做了一个相框.   问题1 请你利用直尺和三角板帮他检验一下,相框 是矩形吗?   除了矩形的定义外,有没有其他判定矩形的方法呢? 证明 逆命题 (修正)   问题2 你还记得学习平行四边形的判定时,我们 是如何猜想并进行证明的吗? 性质  猜想  判定定理   1.掌握矩形的两个判定定理,能根据不同的条件,选  取适当的定理进行推理计算; 2.经历矩形判定定理的猜想与证明过程,渗透类比 思想,体会类比学习和图形判定探究的一般思路.   同样,我们能否通过研究矩形性质的逆命题,得到 判定矩形的方法呢?   猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形.   猜想2 三个角是直角的四边形是矩形.   问题3 如何证明这两个猜想? 证明猜想  猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形.   在 ABCD中,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.   B  C  D A  证明猜想  猜想2 有三个角是直角的四边形是矩形.   在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.   求证:四边形ABCD是矩形.   B  C  D A  方法1:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形; 方法2:对角线相等的平行四边形是矩形; 方法3:有三个角是直角的四边形是矩形. 理一理 你能归纳矩形的判定方法吗? × √ × √ √ 练习1 现在你能帮小明解决问题了吗?小明判定相框为 矩形的下列方法中哪些正确?为什么? (1)有一个角是直角的四边形是矩形;( ) (2)四个角都相等的四边形是矩形;( ) (3)对角线相等的四边形是矩形;( ) (4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;( ) (5)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩 形.( ) 探究点二 矩形判定的运用   例 如图,在  ABCD中,对角线AC,BD相交于点  O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数.   A  B  C D  O  在“?”号处填上恰当的条件: 四边形 平行四边形 矩形 ? ? ? 一种学习方法 两个猜想证明 三种判定方法 1.如图,口ABCD的对角线AC、BD相交于点O, △OAB是等边三角形,且AB=4.求口ABCD的面积. 解:∵△OAB是等边三角形且四边形ABCD的对角线 AC、BD互相平分 , ∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4. ∵∠AOB= ,∴∠AOD= 又∵AO=DO ,∴∠ADC= , ∴四边形ABCD是矩形,AC=8 ,DC=4, AD= , ∴平行四边形ABCD面积为 . 60 120 90 34 316 2、如图AC,BD是矩形ABCD的两条对角线, AE=CG=BF=DH.求证:四边形EFGH是矩形. H E G F C O B A D 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC, OB=OD ,OE=OA-AE,OG=OC-CG. ∵AE=CG ,∴OE=OG, OF=OB-BF,OH=OD-DH. ∵BF=DH , ∴OF=OH , ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD, EG=AC-AE-CG, FH=BD-BF-DH, ∴EG=FH , ∴平行四边形EFGH是矩形. 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 第1课时 1.理解菱形的概念,会用菱形的性质解决简单的问题; 2.经历类比矩形探究菱形性质的过程,通过观察、类比、 猜想、证明等活动,体会几何图形研究的一般步骤 和 方法. 四条相等的木条 ∵AB=CD,AD=BC, ∴ 四边形ABCD是平行四边形. (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 探究点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形; AB=BC 四边形ABCD是菱形 平行四边形ABCD A B C D 请同学们拿出准备好的矩形纸片按照下图对折、 再对折,然后沿图中的虚线剪下,打开即可得到一个 菱形。 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 81、图中有哪些相等的线段? 2、图中有哪些相等的角? 3、图中有哪些等腰三角形? 4、图中有哪些直角三角形? 5、菱形是轴对称图形吗?它有几条对称轴? 分别是什么?对称轴间有什么关系? 探究点二 菱形的性质 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 1、相等的线段: AB=CD=AD=BC OA=OC,OB=OD 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 2、相等的角: ∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 3、等腰三角形有: △ABC △ DBC △ACD △ABD 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 4、直角三角形有: Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA 已知四边形ABCD是菱形 A B C D O1 2 3 45 6 7 8 5、菱形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?分别 是什么?对称轴之间有什么位置关系? 是 两条 AC、BD所在的直线 互相垂直 命题: 菱形的四条边都相等。 A B C D 命题:菱形的对角线互相垂直平分, 并 且每一条对角线平分一组对角. A B C D O 命题: 菱形的四条边都相等。 已知:如图,四边ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=AD. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴ AB=CD,AD=BC (平行四边形的两组对边 分别相等), AB=AD (菱形的定义), ∴ AB=BC=CD=AD. A B C D 已知:菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如下图, 证明:∵四边形ABCD是菱形, A B C D O在△ABD中,又∵BO=DO, ∴AB=AD(菱形的四条边都相等). ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, 同理 AC平分∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC. 求证:AC⊥BD ; AC平分∠BAD和∠BCD ;BD平分 ∠ABC和∠ADC. 命题:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平 分一组对角. 【菱形的面积公式】  菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形的 面积公式计算菱形的面积吗? S菱形=BC× AE 想一想:已知菱形的两条对角线的长,能求出它的面积吗? 2 1= + = AC×BD 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 菱形 A B C D O E ABCDS菱形 ABDSV BCDSV 1、菱形的四条边相等 2、菱形的两条对角线互相垂直, 并且每一条对角线平分一组对角。 3、菱形是轴对称图形,对角线所在的直线是对称轴。 菱形 A B C D E O 4、菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 菱形的性质: 如图,菱形花坛ABCD的周长为80m, ∠ABC=60°, 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条 小路的长和花坛的面积(分别精确到0.01m和0.01m2 ) 解:∵ 花坛ABCD是菱形,∴AC⊥BD, ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°,2 1 2 1 AB = BC = CD = AD = ×80 = 20 (m).4 1 在Rt△OAB中,AO= AB= ×20=10(m), 2 1 2 1 BO= ≈17.32(m),2222 1020  AOAB ∴ 花坛的两条小路长 AC = 2AO = 20 (m), BD = 2BO ≈34.64(m). 花坛的面积S菱形ABCD = AC·BD≈346.4 ( m2 ), (1)什么样的图形叫做菱形?菱形与平行四边形有 什么关系? (2)菱形具有哪些性质?哪些是一般平行四边形所 具有的?哪些是一般平行四边形不具有的?菱 形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点? (3)结合本节课的学习,谈谈研究几何图形性质的 体会.   变式 若E是BD上任意一点,那么AE与CE 有怎样 的数量关系? A  B  C  D    1. 如图,在菱形ABCD中,若∠ABC=2∠BAD, 则∠BAD=    ,△ABD为   三角形. 2、已知 四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交 点,AB=5cm,AO=4cm,求两条对角线AC和BD 的长。 3、菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱 形的周长和面积。 4、把两张等宽的纸条交叉重叠在一起,你能判断 重叠部分ABCD的形状吗? A C D B D CB A E F 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 第2课时   我们学习了矩形的定义、性质和判定,如下表 .你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗? 矩形的 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形 矩形的 性质 具有平行四边形的所有性质 对角线相等 四个角都是直角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 C  D A  B  O  矩形的 判定   菱形的定义与性质如下表.你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件? 菱形的 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形  菱形的 性质 具有平行四边形的所有性质 对角线互相垂直且平分每一组对角  菱形的四条边都相等  菱形的 判定 C  D  A  B  O  ? 1.掌握菱形的三种判定方法,能根据不同的已知 条   件,选择适当的判定定理进行推理和计算; 2.经历菱形判定定理的探究过程,渗透类比思想, 体会研究图形判定的一般思路. 定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 探究点一 菱形的判定  求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.    如图, ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且    AC⊥BD.求证: ABCD是菱形. B  C  A   D  O  求证:四边都相等的四边形是菱 形.    如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. D  C  A   B    定理2:四边都相等的四边形是菱形. 菱形的 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形  菱形的 性质 具有平行四边形的所有性质 对角线互相垂直且平分每一组对角  菱形的四条边都相等  菱形的 判定 C  D  A  B  O  一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 A B C DO菱形 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO= . 又∵AC⊥BD, ∴AB=BC,(线段垂直平分线上的点_________ ______________) ∴ ABCD是菱形.(菱形的定义) ⊥ CO 到线段两个端 点的距离相等 已知:如图,在 ABCD中,AC BD, 求证: ABCD是 . 探究点二 菱形的判定的运用    如图,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥ AB交AC于点F.求证:四边形AEDF是菱形. A  B  C D  E  F  三个角是直角  四条边都相等   一个角是直角  对角线相等  一组邻边相等   对角线互相垂直    两组对边分别平行  一组对边平行且相等 两组对边分别相等  两组对角分别相等 对角线互相平分  四边形   平行四边形   矩形   菱形   1、一边长为5cm的平行四边形,两条对角线的长分别 为6cm和8cm,那么平行四边形的面积是 . 2、菱形的两条对角线的长分别是3和4,则周长和面积 分别是 , . 3、已知菱形的周长为80,其中一条对角线的长为20, 则较小的角的度数为____ ,面积为_____ . 24 10cm 6 60° 3200 c㎡ c㎡   4、如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固 定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡 皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候 变成菱形?请说明理由. A  B  C D    5、如图,先画两条等长的线段AB,AD,然后分别 以B,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交点为C,连接 BC,CD.得到的四边形ABCD是菱形吗?请说明理由. F  A  B  C  D E  O     6. 如图, ABCD的对角线AC的垂直平分线与 AD,BC分别交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱形.  第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 矩形的对角线相等。 矩形的性质 矩形的四个角都是直角。 矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直。 你能从这个变化过程中给正方形下定义吗? 有一个角是直角的菱形叫做正方形。 有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 是直角 有一个角 边相等 有一组邻 边相等 有一组邻 是直角 有一个角 (1)正方形是菱形吗?正方形具有哪些性质? 正方形是特殊的菱形,它具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。 边:对边平行,四边都相等。 角:四个角都是直角 对角线:对角线相等且互相垂直平分 A B C D O 想一想 (2)正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? 正方形是轴对称图形,它有四条对称轴.即两条对角线, 两组对边的中垂线. A B C D O 本题还有其他解法吗? 解: ∵正方形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴ ∠AOB=90°. 又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形, ∴ ∠BAD=90°, 且AC平分∠BAD, ∴ ∠OAB=45° 例1:如图,四边形ABCD是正方形,两条对角线相 交于点O,求∠AOB,∠OAB的度数。 例2:已知如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上. 求证:BE=DE. 证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中 AB=AD, ∠BAC=∠DAC, AE=AE, ∴△ABC≌ △ADC (SAS), ∴BE=DE (全等三角形的对应边相等). A B C D E 例3 在正方形ABCD中,E是BC延长线上一点,且 CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数. 解:∵四边形ABCD为正方形, 0 01 1 90 452 2ACB BCD      ∵CE=AC, ∴∠E=∠CAE. ∵∠ACB是△ACE的一个外角, ∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E, 0 01 1 45 22.52 2E ACB      ∵∠AFC是△CEF的一个外角, ∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5° ∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5° 1.(1)边长为2cm 的正方形,对角线的长是______cm. (2)正方形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,则 有____个等腰直角三角形. 解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有4个等腰直角 三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角 三角形也有4个,因而共有8个等腰直角三角形. 8 22 3.如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个 角,打开,怎样才能剪出一个正方形? 只要保证剪口线与折痕成45°即可 正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什 么关系? 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角平行四边形 有一个角是直角有一组邻边相等 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等. 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都 是直角 对角线互相平分且 相等 菱形 对边平行, 四条边相等 对角相等 对角线互相垂直、 平分 正方形 对边平行, 四条边相等 四个角都 是直角 对角线互相垂直、 平分且相等 查看更多

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