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天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版(2012) / 八年级下册 / 第18章 平行四边形 / 华东师大版八年级数学下册第18章平行四边形

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第18章 平行四边形 18.1 平行四边形的性质 这些图片中,有你熟悉的图形吗? 1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形.如图:四边形ABCD是平行四边形, 记作: ABCD 读作:平行四边形ABCD 2.平行四边形相对的边称为 对边, 相邻的边称为邻边; 相对的角称为对角.相邻的角称为邻角. 3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形 的对角线. 平行四边形的相关概念 A D CB 平行四边形的性 质 性质1 A D CB 在平行四边形ABCD中, AB∥CD,AD∥BC。 性质2 A D CB 已知:平行四边形ABCD. 求证:AB=CD,AD=BC。 证明:如图,连接AC。 ∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AB∥CD,AD∥BC(性质1), ∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD(两直线平行,内错 角相等). 在△ABC和△ADC中 ∵ ∠BAC=∠DAC,AC=CA,∠ACB=∠CAD, ∴ △ABC≌ △ADC(ASA) ∴AB=CD,AD=BC(全等三角形的对应边相等). 性质3 A D CB 已知:平行四边形ABCD。 求证: ∠A= ∠C, ∠B= ∠D。 证明:∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AB∥CD,AD∥BC(性质1), ∴∠A+∠D=180°, ∠A+∠B=180°(两直线平行,同 旁内角互补), ∴ ∠B=∠D(同角的补角相等), 同理可证∠A= ∠C. 性质4 已知:平行四边形ABCD,对角 线AC和BD交于点E. 求证:AE=EC,BE=ED。 证明:∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AD=BC(性质2),AD∥BC(性质1), ∴∠ADB=∠CBD,∠ACB=∠CAD(两直线平行,内错角 相等). 在△ADE和△CBE中, ∵ ∠ADB=∠CBD,AD=CB,∠CAD=∠ACB, ∴ △ADE≌ △CBE(ASA), ∴AE=EC,BE=ED(全等三角形的对应边相等). 性质5 已知:平行四边形ABCD, 求证:平行四边形ABCD是中 心对称图形。 证明:∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AE=EC,BE=ED(性质4), ∴点A与C关于点E成中心对称,点B与D关于点E成 中心对称(中心对称的性质), ∴平行四边形ABCD关于点E成中心对称。 几何语言: 两组对边分别平行且相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD,AD∥BC.(平行四边形的对边平行) AB=CD, AD=BC. (平行四边形的对边相等) ∠A= ∠C, ∠B= ∠D(平行四边形的对角相等) AE= EC, BE= ED(平行四边形的对角线互相平分) 两组对角分别相等 A E D B F C 例1、在平行四边形ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂 足分别是E和F,求证:AE=CF. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,∠A= ∠C. ∵ DE⊥AB,BF⊥CD, ∴∠AED= ∠CFB. 在△ADE和△CBF中 ∠A=∠C, ∠AED=∠CFB, AD=BC, ∴ △ADE≌ △CBF(AAS), ∴ AE=CF. 1、如图,在 ABCD中 A 基础知识: (1)若AB=1㎝,BC=2 ㎝, 则 ABCD的周长=______. (2)若AB=4㎝, BC=______.ABCD的周长为 18, B变式训练: (2)若AB:BC=3:4,周长为14㎝,则CD=——, DA=——. (1)若AB:BC=3:4,AB=6 ㎝,则BC=____,周长 =_____. C DA B 6cm 5cm 3cm 4cm 8cm 28cm A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm A B D C 2.如图, □ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为( )D 3.已知□ABCD的周长为32,AB=4,则BC=( ) A. 4 B. 12 C. 24 D. 28 【解析】选B.根据平行四边形的性质可以得出AB=CD, BC=AD.又因为AB+CD+BC+AD=32,所以BC=12. 4.如图,在□ ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则□ ABCD的周长为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠DAB= ∠DCB,AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC. 又∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC. ∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.又∵AB=3, ∴□ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=4AB=12. 5.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点.若 ∠ABE=∠EBC,AB=2,则平行四边形ABCD的周长是 ______. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD BC,AB DC. ∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE. 又∵E是AD边上的中点, ∴AD=2AE=4, ∴平行四边形ABCD的周长为 AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12. 答案:12 ∥ = ∥= 6.如图,在平面直角坐标系中,□ OBCD的顶点O,B,D 的坐标如图所示,则顶点C的坐标为( ) x y C O (0,0) B(5,0) D(2,3) A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2) C 1、如图,在 若∠A=130°,则∠B=______ 、∠C=______ 、 ∠D=______. ABCD中, A:基础知识: B:变式训练: 若∠A+ ∠C= 200°,则∠A=______ 、∠B=______. C DA B 50° 130° 50° 100° 80° 2.如图,在□ ABCD中, ∠B=110°,延长AD至点F, 延长CD至点E,连结EF,则∠E+∠F的值为( ) A.110° B.30° C.50° D.70° 【解析】选D.在□ABCD中,∠B=110°, ∴∠ADC=∠B=110°,∴∠CDF=70°,由三角形外角的 性质得,∠E+∠F=70°. 3.已知□ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是 (  ) A.100°   B.160°   C.80°   D.60° 【解析】选C.∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C, ∴∠A=100°.又∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°, ∴∠B=80°. 4.如图,将□ABCD的一边BC延长至点E,若∠A=110°, 则∠1=    . 【解析】在□ABCD中,∠BCD=∠A=110°, ∴∠1=180°-∠BCD=70°. 答案:70° 1、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8, AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长以及□ ABCD的面 积. 8 10 B C DA ●O 解: ∴△ABC是直角三角形, 又∵AC⊥BC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=8,CD=AB=10. 2 2AC= AB -BC   2 210 8 6. 又∵OA=OC ,∴  1 3,2OA AC ∴ ∴S□ABCD= BC×AC=8×6=48。 与对角线相关的运算 2.若平行四边形的一边长为5,则它的两条对角线的长可 以是( ) A. 12和2  B. 3和4 C. 4和6  D. 4和8 D O D B A C 3.如图,在□ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,且 AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.5 4.如图,在□ ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=10, BD=8,则AD的取值范围是 . O D BA C ● 1<AD<9 5.如图,在□ ABCD中,AE⊥BD,∠EAD=60°, AE=2 cm,AC+BD=14 cm,则△OBC的周长是____cm. 【解析】在□ABCD中,BC=AD,OA=OC,OB=OD. ∵AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2 cm,∴AD=4 cm, BC=4cm. ∵AC+BD=14 cm, ∴OB+OC=7 (cm), ∴△OBC的周长为OB+OC+BC=11(cm). 答案:11 6.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA,OB, AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,求其他各边以及两条对角 线的长度. 【解】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD. 又∵OA=3 cm,OB=4 cm,AB=5 cm, ∴AC=6 cm,BD=8 cm,CD=5 cm. ∵△AOB中,32+42=52,即AO2+BO2=AB2, ∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD, ∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2, ∴AD=5 cm,BC=5 cm. 答:这个平行四边形的其他各边长都是5 cm,两条对角线 长分别为6 cm和8 cm. 1.如图,在□ ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6, BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( ) A.3 B.6 C.12 D.24 【解析】选C.观察图形会发现,每一小块阴影三角形都 与它相对的三角形全等,则阴影部分的面积等于平行四 边形面积的一半.故S阴影= = ×6×4=12.ABCD 1 S2  1 2 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定 第1课时 定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质: 边 对边平行 对边相等 角 对角相等 邻角互补 对角线互相平分对角线: 通过前面的学习,我们知道,平行四边 形对边相等、对角相等、对角线互相平分。 那么反过来,对边相等或对角相等或对角线 互相平分的四边形是不是平行四边形呢? 创设情境,引入新课 探究1: 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,试问:四 边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由。 解:是平行四边形。理由如下: 如图,连结AC. AB=CD (已知), AC=CA (公共边), BC=DA(已知), ∴△ABC≌ △CDA(SSS). 在△ABC和△CDA中, ∴ ∠1=∠3 , ∠ 2=∠4, ∴AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形。 A B C D12 3 4 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定: AB∥DC AD∥BC ABCD A B C D 探究2 已知:如图,四边形ABCD中,AB=CD, AB∥CD, 试问:四边 形ABCD是平行四边形吗?请说明理由。 B 解: 如图,连接AC. A C D 1 2 是平行四边形。理由如下: ∵AB∥CD, ∴ ∠BAC=∠ACD. 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知), ∠BAC=∠ACD (已证), AC=CA (公共边), ∴△ABC≌ △CDA (SAS). ∴ ∠1=∠2, ∴ AD∥ BC. 又∵ AB∥ CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定: A B C D ABCDAD BC “ ”读作“平行且相等”. 探究3 已知:四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD,试问:四边 形ABCD是平行四边形吗?请说明理由。 A B C D O 解:是平行四边形。理由如下: 在△ABO和△CDO中, AO=CO(已知), ∠AOB=∠COD (对顶角相等), BO=DO(已知), ∴△ABO≌ △CDO (SAS), ∴ ∠ABO=∠ODC, ∠ BAO=∠OCD, ∴AB∥ CD , AD∥ BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定: AO=CO BO=DO ABCD 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理: A B C D O 探究4 已知:四边形ABCD中, ∠A=∠C ,∠B=∠D. 试问:四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由。 A B C D 解:是平行四边形。理由如下: ∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600, ∴2∠A+2∠B=3600, 即∠A+∠B=1800, ∴ AD∥ BC. 同理,得 AB∥ CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∠A=∠C,∠B=∠D, 由上述证明可以得到平行四边形的判定定理: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言描述判定: A B C D ∠A=∠C ∠B=∠D ABCD 三、应用练习 1、下面给出了四边形ABCD中 ∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的 是( ) A.1:2:3:4  C.2:3:2:3    B.2:2:3:3 需要两组对 角分别相等. D.2:3:3:2 C 2、在下列条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的 是(  ) A.AB=AD,CB=CD  B.AB∥CD,AD=BC D.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB∥CD,AB=CD A B C D 若一组对边平行,另一组对边 相等,这个四边形是平行四边 形吗? C 3、填空题: 如图,在四边形ABCD中, A B C D ①如果AD=8cm,AB=4cm,且BC=____cm, CD=____cm,那么四边形ABCD是平行四边形。 ②若∠A=1200,则∠B=____0,∠C=____0,∠D=____0,则 四边形ABCD是平行四边形。 ③如果AD//BC,AD=6cm,且BC=___cm,那么四边形 ABCD是平行四边形。 8 4 点评:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 60 120 60 点评:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6 点评:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点, 并且AE=CF。求证:四边形BFDE是平行四边形. O B A C E F D 证明:连接BD. 在平行四边形ABCD中,AO=CO,BO=DO, ∵AE=CF, ∴AO-AE=CO-CF, ∴EO=FO. 又 ∵BO=DO, ∴ 四边形BFDE是平行四边形. (对角线互相平分的四边形是平行四边形) 归纳小结 判定 1 定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 判定4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 判定5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 本节 课主要学习了平行四边形的判定定理: 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定 第2课时 1.回忆平行四边形的判定定理: 平 形 四 边 形 的 判 定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形    边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 角 对角线 温故知新 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行,只要 使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗? 贴上图片 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB =CD,EB //FD. 又∵EB = AB ,FD = CD, ∴EB =FD . ∴四边形EBFD是平行四边形. 1 2 1 2 例1 如图 ,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD 的中点. 求证:四边形EBFD是平行四边形. 1. 已知:如图,在四边形 ABCD中,对角线AC和BD 相交于点O,AO=OC,BA⊥AC,DC⊥AC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 练习 例2、已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两 点,并且AE=CF。 求证:四边形BFDE是平行四边形. O B A C E F D 证明:连接BD. 在平行四边形ABCD中,AO=CO,BO=DO, ∵AE=CF, ∴AO-AE=CO-CF, ∴EO=FO. 又 ∵BO=DO, ∴ 四边形BFDE是平行四边形. (对角线互相平分的四边形是平行四边形) 大 显 身 手 练习2 已知:E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点,并且 求证:四边形BFDE是平行四边形. DA B C E F BE∥DF. 练习3:已知:如图,在四边形ABCD中, ∠BAD=∠BCD, ∠B=∠D。求证:四边形ABCD 是平行四边形.     两组对边分别平行的四边形是平行四边形平 形 四 边 形 的 判 定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 边 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线 判定一个四边形是平行四边形的方法: 查看更多

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