资料简介
第18章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
这些图片中，有你熟悉的图形吗？
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边
形．如图：四边形ABCD是平行四边形,
记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
2．平行四边形相对的边称为 对边, 相邻的边称为邻边；
相对的角称为对角.相邻的角称为邻角.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形
的对角线．
平行四边形的相关概念
A D
CB
平行四边形的性
质
性质１
A D
CB
在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AD∥BC。
性质２ A D
CB
已知：平行四边形ABCD.
求证：AB＝CD，AD＝BC。
证明：如图，连接AC。
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB∥CD，AD∥BC（性质１）,
∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD（两直线平行，内错
角相等）.
在△ABC和△ADC中
∵ ∠BAC＝∠DAC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD,
∴ △ABC≌ △ADC（ASA）
∴AB＝CD，AD＝BC（全等三角形的对应边相等）.
性质３ A D
CB
已知：平行四边形ABCD。
求证： ∠A＝ ∠C， ∠B＝ ∠D。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）,
∴AB∥CD，AD∥BC（性质１）,
∴∠A+∠D＝180°， ∠A+∠B＝180°（两直线平行，同
旁内角互补）,
∴ ∠B＝∠D（同角的补角相等）,
同理可证∠A＝ ∠C.
性质４
已知：平行四边形ABCD，对角
线AC和BD交于点Ｅ.
求证：AE＝EC，BE＝ED。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）,
∴AD＝BC（性质２），AD∥BC（性质１）,
∴∠ADB＝∠CBD，∠ACB＝∠CAD（两直线平行，内错角
相等）.
在△ADE和△CBE中，
∵ ∠ADB＝∠CBD，AD＝CB，∠CAD＝∠ACB，
∴ △ADE≌ △CBE（ASA）,
∴AE＝EC，BE＝ED（全等三角形的对应边相等）.
性质５
已知：平行四边形ABCD，
求证：平行四边形ABCD是中
心对称图形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）,
∴AE＝EC，BE＝ED（性质４）,
∴点Ａ与Ｃ关于点Ｅ成中心对称，点Ｂ与Ｄ关于点Ｅ成
中心对称（中心对称的性质）,
∴平行四边形ABCD关于点Ｅ成中心对称。
几何语言：
两组对边分别平行且相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD，AD∥BC．（平行四边形的对边平行）
AB=CD, AD=BC. （平行四边形的对边相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
AＥ= ＥC, BＥ= ＥD（平行四边形的对角线互相平分）
两组对角分别相等
A E
D
B
F C
例1、在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂
足分别是E和F，求证：AE=CF.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A= ∠C.
∵ DE⊥AB，BF⊥CD,
∴∠AED= ∠CFB.
在△ADE和△CBF中
∠A＝∠C,
∠AED=∠CFB,
AD=BC,
∴ △ADE≌ △CBF（AAS）,
∴ AE=CF.
１、如图，在 ABCD中
A 基础知识：
(1)若AB=1㎝，BC=2 ㎝,
则 ABCD的周长=______.
(2)若AB=4㎝， BC=______.ABCD的周长为 18，
B变式训练：
(2)若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD=——，
DA=——.
(1)若AB：BC=3：4，AB=6 ㎝，则BC=____，周长
=_____.
C
DA
B
6cm
5cm
3cm
4cm
8cm
28cm
A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm
A
B
D
C
２.如图, □ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,
则AC的长为( )D
3.已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A. 4 B. 12 C. 24 D. 28
【解析】选B.根据平行四边形的性质可以得出AB=CD，
BC=AD.又因为AB+CD+BC+AD=32，所以BC=12.
4.如图，在□ ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则□
ABCD的周长为（ ）
A.6 B.9
C.12 D.15
【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠DAB=
∠DCB，AB∥CD，AB=CD,AD∥BC，AD=BC.
又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.
∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.又∵AB=3,
∴□ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=4AB=12.
５.如图,在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点.若
∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是
______.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD BC，AB DC.
∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE.
又∵E是AD边上的中点,
∴AD=2AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为
AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12.
答案：12
∥ ＝
∥＝
６.如图，在平面直角坐标系中，□ OBCD的顶点O,B,D
的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ ）
x
y
C
O (0,0) B(5,0)
D(2,3)
A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2)
C
1、如图，在
若∠A=130°，则∠B=______ 、∠C=______ 、
∠D=______.
ABCD中，
A:基础知识：
B:变式训练：
若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ 、∠B=______.
C
DA
B
50° 130°
50°
100° 80°
２.如图，在□ ABCD中， ∠B=110°，延长AD至点F，
延长CD至点E，连结EF，则∠E+∠F的值为（ ）
A.110° B.30° C.50° D.70°
【解析】选D.在□ABCD中，∠B=110°，
∴∠ADC=∠B=110°，∴∠CDF=70°,由三角形外角的
性质得，∠E+∠F=70°.
３.已知□ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是
( )
A.100° B.160° C.80° D.60°
【解析】选C.∵∠A+∠C=200°，∠A=∠C，
∴∠A=100°.又∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=80°.
４.如图，将□ABCD的一边BC延长至点E，若∠A=110°，
则∠1= .
【解析】在□ABCD中，∠BCD=∠A=110°，
∴∠1=180°-∠BCD=70°.
答案：70°
１、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，
AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及□ ABCD的面
积.
8
10
B
C
DA
●O
解：
∴△ABC是直角三角形，
又∵AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
2 2AC= AB -BC 2 210 8 6.
又∵OA=OC ,∴ 1 3,2OA AC
∴
∴S□ABCD= BC×AC=8×6=48。
与对角线相关的运算
2.若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线的长可
以是( )
Ａ. 12和2 Ｂ. 3和4
Ｃ. 4和6 Ｄ. 4和8
D
O
D
B
A
C
３.如图,在□ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,且
AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.5
４.如图，在□ ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，
BD=8,则AD的取值范围是 .
O
D
BA
C
●
1＜AD＜9
５.如图，在□ ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，
AE=2 cm，AC+BD=14 cm，则△OBC的周长是____cm.
【解析】在□ABCD中，BC=AD,OA=OC,OB=OD.
∵AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2 cm，∴AD=4 cm，
BC=4cm.
∵AC+BD=14 cm，
∴OB+OC=7 （cm），
∴△OBC的周长为OB+OC+BC=11（cm）.
答案：11
６.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，OA，OB，
AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm，求其他各边以及两条对角
线的长度.
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD.
又∵OA=3 cm，OB=4 cm，AB=5 cm，
∴AC=6 cm，BD=8 cm，CD=5 cm.
∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD，
∴在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，
∴AD=5 cm，BC=5 cm.
答：这个平行四边形的其他各边长都是5 cm，两条对角线
长分别为6 cm和8 cm.
１.如图，在□ ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，
BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )
A.3 B.6
C.12 D.24
【解析】选C.观察图形会发现，每一小块阴影三角形都
与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四
边形面积的一半.故S阴影= = ×6×4=12.ABCD
1 S2
1
2
第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第1课时
定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质： 边
对边平行
对边相等
角
对角相等
邻角互补
对角线互相平分对角线：
通过前面的学习，我们知道，平行四边
形对边相等、对角相等、对角线互相平分。
那么反过来，对边相等或对角相等或对角线
互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
创设情境，引入新课
探究1：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，试问：四
边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
解：是平行四边形。理由如下：
如图，连结AC.
AB=CD (已知)，
AC=CA (公共边)，
BC=DA(已知)，
∴△ABC≌ △CDA(SSS).
在△ABC和△CDA中,
∴ ∠1=∠3 , ∠ 2=∠4，
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形。
A
B C
D12
3 4
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
几何语言描述判定：
AB∥DC
AD∥BC ABCD
A
B C
D
探究2
已知：如图，四边形ABCD中，AB=CD， AB∥CD，
试问：四边 形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
B
解：
如图，连接AC.
A
C
D
1
2
是平行四边形。理由如下：
∵AB∥CD,
∴ ∠BAC=∠ACD.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知），
∠BAC=∠ACD （已证），
AC=CA （公共边），
∴△ABC≌ △CDA (SAS).
∴ ∠1=∠2，
∴ AD∥ BC.
又∵ AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
几何语言描述判定： A
B C
D
ABCDAD BC
“ ”读作“平行且相等”.
探究3
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，试问：四边
形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
A
B C
D
O
解：是平行四边形。理由如下：
在△ABO和△CDO中,
AO=CO（已知），
∠AOB=∠COD （对顶角相等），
BO=DO（已知），
∴△ABO≌ △CDO (SAS)，
∴ ∠ABO=∠ODC, ∠ BAO=∠OCD，
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
几何语言描述判定：
AO=CO
BO=DO
ABCD
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：
A
B C
D
O
探究4
已知：四边形ABCD中, ∠A=∠C ，∠B=∠D.
试问：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
A
B C
D
解：是平行四边形。理由如下：
∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600，
∴2∠A+2∠B=3600，
即∠A+∠B=1800，
∴ AD∥ BC.
同理，得 AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∠A=∠C，∠B=∠D，
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
几何语言描述判定： A
B C
D
∠A=∠C
∠B=∠D
ABCD
三、应用练习
1、下面给出了四边形ABCD中 ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ
的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的
是（ ）
Ａ．１：２：３：４
Ｃ．２：３：２：３
Ｂ．２：２：３：３
需要两组对
角分别相等.
Ｄ．２：３：３：２
C
2、在下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的
是（ ）
Ａ．AB＝AD，CB＝CD
Ｂ．AB∥CD，AD＝BC
Ｄ．∠A＝∠B，∠C＝∠D
Ｃ．AB∥CD，AB＝CD
A
B C
D
若一组对边平行,另一组对边
相等，这个四边形是平行四边
形吗？
C
3、填空题： 如图，在四边形ABCD中， A
B C
D
①如果AD=8cm，AB=4cm，且BC=____cm，
CD=____cm，那么四边形ABCD是平行四边形。
②若∠A=1200,则∠B=____0,∠C=____0，∠D=____0，则
四边形ABCD是平行四边形。
③如果AD//BC，AD=6cm，且BC=___cm，那么四边形
ABCD是平行四边形。
8
4
点评：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
60 120 60
点评：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6
点评：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，
并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形.
O
B
A
C
E
F
D
证明：连接BD.
在平行四边形ABCD中，AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
∴EO=FO.
又 ∵BO=DO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形）
归纳小结
判定 1 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
判定4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
判定5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
本节 课主要学习了平行四边形的判定定理：
第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第2课时
1．回忆平行四边形的判定定理：
平
形
四
边
形
的
判
定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
角
对角线
温故知新
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要
使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.
你能说出其中的道理吗？
贴上图片
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =CD,EB //FD．
又∵EB = AB ,FD = CD，
∴EB =FD ．
∴四边形EBFD是平行四边形．
1
2
1
2
例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD
的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
1. 已知：如图，在四边形 ABCD中，对角线AC和BD
相交于点O，AO=OC，BA⊥AC，DC⊥AC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
练习
例2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两
点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形.
O
B
A
C
E
F
D
证明：连接BD.
在平行四边形ABCD中，AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
∴EO=FO.
又 ∵BO=DO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形）
大
显
身
手
练习2 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线
AC上的两点，并且
求证：四边形BFDE是平行四边形.
DA
B C
E F
BE∥DF.
练习3：已知：如图，在四边形ABCD中，
∠BAD=∠BCD， ∠B=∠D。求证：四边形ABCD
是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形平
形
四
边
形
的
判
定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线
判定一个四边形是平行四边形的方法：
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