资料简介
第六章 平行四边形
6.1平行四边形的性质
1知识点 平行四边形的定义
两组对边分别平行
四边形
平行四
边形
∠A与∠C，∠B与∠D叫做对角.
AB与CD，AD与BC叫做对边.
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A D
CB
A D
CB
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段
叫做它的对角线.
四边形ABCD是平行四边形，
记作 ABCD.
线段AC就是 ABCD 的一条对角线.
平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义
既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分
别平行；又是判定平行四边形的一种方法：两组对
边分别平行的四边形是平行四边形．即对于任何一
个几何定义，都具有两种功能，顺用是它的判定，
逆用是它的性质．
对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小
到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．
总 结
如图，在 ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平
行于AB，BC，那么图中共有平行四边形_____个．
例1
根据平行四边形的定义，知AB∥CD，
AD∥BC，由已知可知，EF∥AB，
GH∥BC，所以根据平行四边形的定义
可以判定四边形ABFE是平行四边形，
导引：
9
同理可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边
形GBCH、四边形AGPE、四边形EPHD、四边形
GBFP、四边形PFCH都是平行四边形，最后还要
加上 ABCD，即共有9个平行四边形．
2知识点 平行四边形的中心对称性
做一做
(1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你
能找出它的对称中心并验证你的结论吗？
平行四边形是中心对称图形，两条对角线
的交点是它的对称中心.
3知识点 平行四边形的性质——对边相等
做一做
(2)你还发现平行四边形有哪些性质？
我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等.
请你尝试证明这些结论.
边的性质：
平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
4知识点 平行四边形的性质——对角相等
1. 角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻
角互补．
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
如图，在 ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，
求平行四边形各角的度数．
例2
由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，结合
已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C
的度数；再根据平行线的性质，进而求出∠B，
∠D的度数．
导引：
在 ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵∠A＋∠C＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠B＝∠D＝120°.
解：
例3 如图，四边形ABCD是平行四边形. 求：
(1) ∠ADC和∠BCD的度数；
(2) AB和BC的长度.
(1)因为∠B＝56°，且平行四边形的对角相
等，邻角互补，
所以∠ADC＝56°，
∠BCD＝180°－56°＝124°.
(2)因为CD＝25，AD＝30，且平行四边形的
对边相等，
所以AB＝25，BC＝30.
解：
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.
2.平行四边形具有中心对称性.
3.平行四边形的对角相等.
4.平行四边形的对角相等.
平行四边形的性质：
对边相等；
对角相等
回顾旧知
1知识点 平行四边形的性质——对角线互相平分
在上一课的“做一做”中，我们还发现：平
行四边形的对角线互相平分. 请你尝试证明这一
结论.
例1 已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相
交于 点O.求证：OA＝OC, OB＝OD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(平行四边形的对边
相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO＝∠DCO, ∠ABO＝∠CDO.
∴△ABO≌ △CDO.
∴OA＝OC，OB＝OD.
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
证明：
定理 平行四边形的对角线互相平分.
总 结
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
例2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC(平行四边形的定义）.
∴∠ODE＝∠OBF.
∵∠DOE＝∠BOF,
∴△DOE≌ △BOF.
∴OE＝OF.
已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF.
已知▱ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB
的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以AC＝2OA＝6 ，BD＝2OB＝8 .
又因为OA2＋OB2＝32＋42＝52＝AB2，所以AC⊥BD.
由勾股定理，可得AD2＝OA2＋OD2，
而OD＝OB，所以AD2＝32＋42.
所以AD＝5. 同理，可得DC＝5，BC＝5.
解：
2知识点 平行四边形的面积
1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为
平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对
边间的距离)；
2.等底等高的平行四边形的面积相等．
例3 如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，
BE＝2，则 ABCD的周长是________．20
求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需
求出AD的邻边AB或CD的长即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC.
∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.
∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4.
∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.
导引：
1. 平行四边形的对角线互相平分．
2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任
意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
课堂小结
第1课时
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是
平行四边形．
复习回顾
我们知道一个四边形如果是平行四边形,那么我们
可以得到它的边、角、对角线的关系.反过来,当一个四
边形边、角、对角线具备怎样的条件时,它是不是一个
平行四边形呢?
（1）根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平
行四边形.
所以定义既是性质也是判别．
将两根木条AC、BD的中点重合，并用钉子固定，
然后用木条AB、BC、CD、DA加固.
操作一
D
B
A
C
O
两条对角线互相平分的
四边形是平行四边形.
∵AO=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
将两根同样长的木条AB、CD平行放置，
再用木条AD、BC加固.
操作二
A
B
C
D
C
D
一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形.
∵AD∥BC ， AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
判别方法归纳：
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平
行四边形.（定义）
（2）两条对角线互相平分的四边形是平
行四边形.
（3）一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.
思考：判别和性质有何区别？
A
B C
D
O
如图，AB∥CD，点E在AB上，且AE=EB=DC .找出
图中的平行四边形，并说明理由.
A
C
BE
D
四边形AECD，四边形BCDE都是平
行四边形.
因为AE=DC， AB∥CD，
所以四边形AECD是平行四边形.
同理，因为EB=DC， AB∥CD，
所以四边形BCDE是平行四边形.
大
显
身
手
已知在平行四边形ABCD 中，点E、F在对角线AC
上，并且OE=OF.
D
B
O
A
C
E
F
(１)OA与OC、OB与OD相等吗？
(２)四边形BFDE是平行四边形吗？
课堂小结：
两条对角线互相平分的四边形
是平行四边形.
边
对角线
角
平
行
四
边
形
的
判
定
方
法
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行
四边形.（定义）
2、一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形.
第2课时
已知：在四边形ABCD中， AB∥CD， BC∥AD，那
么四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是什么？
A D
CB
根据平行四边形的定义，两组
对边互相平行的四边形是平行
四边形.
AB∥CD
BC∥AD
四边形ABCD
是平行四边形
已知：在四边形ABCD中， AO=OC，BO=OD，那么
四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是什么？
A D
CB
O 根据平行四边形的判别1，对角线互
相平分的四边形是平行四边形.
四边形ABCD
是平行四边形
AO=OC
BO=OD
已知：在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD，
那么四边形ABCD是平行四边形吗？你的根据是
什么？
A D
CB
根据平行四边形的判别2，一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形
四边形ABCD
是平行四边形
AB∥CD
AB=CD
A
B C
D
E
F
如图，AB ∥DC∥EF, 且AB=DC=EF,则图中的平
行四边形__________________.理由
是 .
□ABCD、□CDEF
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
用两根长40 cm的木条和两根长30 cm的木条作为四边
形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴交流．
根据图中的条件，你能证明四边形ABCD是平行
四边形吗？试试看.
（可用多种方法证明）
平行四边形的判别3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A D
CB
四边形ABCD
是平行四边形
AD=BC
AB=CD
说一说：
在下图中，AB=CD=EF=15，AD=BC=16，DE=CF=9，
图中有哪些互相平行的线段．
A
B C
D
E
F
一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是
平行四边形吗？
题目如何变化得到的四边形一定是平行四边形？
平行四边形的判别方法 ：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
第六章 平行四边形
6.3三角形的中位线
平行四边形的性质与判定
性质 判定
边
角
对角线
推论
平行四边形的①两组
对边分别平行②两组
对边分别相等
平行四边形的①对角
相等②邻角互补
平行四边形的对角线
互相平分
夹在两条平行线间的平行线段相等
①两组对边分别平行的四边形
②两组对边分别相等的四边形
③一组对边平行且相等的四边形
两组对角分别相等的四边形
对角线互相平分的四边形
回顾与思考
w你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
w连接每两边的中点,看看得到了
什么样的图形?
w四个全等的三角形.
w请你设法验证上面的结论,你敢
应战吗?
w连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
猜一猜,三角形中位线有什么性质?
B C
A
D · · E
·
F
想一想
三角形中位线的性质
w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第
三边的一半.
w已知:如图,DE是△ABC的中位线.
w分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加
倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四
边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全
等三角形来证明相应的边相等.
D E
B C
A
.2
1 BCDE 求证:DE∥BC,
w证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ABC≌ △CDA(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
∴BD=CF.
D E
B C
A
F
∴四边形BCDF是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,
三角形中位线性质的运用
w利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三
边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.
求证:△ADE≌ △DBF≌ △EFC≌ △FED.
B C
A
D E
F
证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).
∴△ADE≌ △DBF≌ △EFC≌ △FED(SSS).
w分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明
三角形全等.
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况
下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外
选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由
此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?
C
M
B
A
N
测量两点之间不能到达的距离的方法——中位线法
其中的道理是:连结AB,∵MN是
△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
运用中位线的 “模型”
w如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形
EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD
都成立吗?
猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结
论对所有的四边形ABCD都成立.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
已知:如图,在四边形ABCD中,
E,F,G,H分别为各边的中点.
w分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线
可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
三角形中位线的性质
w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边
的一半.
w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系
的根据.
课堂小结
应用模型:连接任意四边形各边中点所成的
四边形是平行四边形.
要重视这个模型的证明过程
反映出来的规律:对角线的
关系是关键.改变四边形的
形状后,对角线具有的关系(
对角线相等,对角线垂直,对
角线相等且垂直)决定了各
中点所成四边形的形状.
A
B
C
H
D
E
F
G
第六章 平行四边形
6.4多边形的内角和与外角和
第1课时
1.掌握多边形的内角和定理.
2.能运用多边形的内角和定理解决简单的实际问题.
我们知道三角形的内角和是180°,四边形的内角和
是360°.那么五边形的五个内角的和是多少度?n边形的
内角和又是多少度呢?
1.将一张五边形纸片剪去一个角后,剩下的多边
形的内角和是多少度?
2.如果用一种正多边形地板砖无缝隙、不重叠地
铺地板,这种正多边形的边数可以是几?
解:要分类讨论.剩下的多边形的边数可能为四
或五或六,所以内角和可能为360°,540°,720°.
解:正三角形的每个内角是60°,能整除360°,能密铺;
正四边形的每个内角是90°,能整除360°,能密铺;
正六边形的每个内角是120°,能整除360°,能密铺.
故这种正多边形的地板砖可以是正三角形,正四边形或
正六边形.
1.多边形的内角和可通过把这个多边形分割成三角
形来求,也可根据定理—— n边形的内角和等于
___________来求.
2.正多边形的每个内角________.正多边形的每个内
角等于________度.
(n-2)·180°
相等
( 2) 180n
n
第2课时
1.掌握多边形的外角定义.
2.掌握多边形外角和定理,并会运用其解决实际问
题.
如 图 , ∠ D A B , ∠ A B C , ∠ B C D , ∠ C D A 都 是 四 边 形 A B C D 的 内 角 , 那 么 , 与 之 相 对 应 的 ∠ E A B , ∠ F B C , ∠ G C D ,
∠ H D A 又 是 四 边 形 A B C D 的 什 么 角 呢 ? 如 同 内 角 和 一 样 , 这 四 个 角 的 和 是 否 也 会 与 边 数 4 存 在 着 特 殊 的 对 应 关 系 呢 ?
1.在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角?最多
能有几个锐角?
2.如图,小亮从点A出发前进10 m,向右转15°,再前
进10 m,又向右转15°,照这样一直下去,他第一次回
到出发点A时,一共走了多少米?
解:最多能有3个钝角;最多能有3个锐角.
解：因为都是前进10 m，向右转都是15°，所以
路线组成的图形是正多边形，
边数 ，
周长为10×24=240（m），即一共走了240 m.
360 2415n
多边形的内角和是___________,
多边形的外角和是_____.
(n-2)·180°
360°
查看更多
