资料简介
第一章 三角形的证明
1.1等腰三角形
第1课时
1.能说出证明三角形全等的几种方法,学会证明的基本步
骤和书写格式.
2.会证明等腰三角形的有关性质定理及其推论.
3.灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明.
前面我们已经学习了如果两个三角形满足条件SSS,SAS,ASA,那么这两
个三角形全等;若满足条件AAS,SSA,AAA,这两个三角形还会全等吗?
1.如图,点A,D,C在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.
求证:BC=DE.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°，且
AD=AE, 求∠CDE的度数.
解:∵AB=AC,BD=CD,
∴AD平分∠BAC,AD⊥BC.
∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=70°.
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.
1.全等三角形的判定方法共有四种,分别是_______,
_______,_______,________.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_____,对应
角_____.
3.等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)“三线合一”.
SSS
SAS ASA AAS
相等
相等
第2课时
1.会证明等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特
征.
2.掌握等边三角形的性质定理.
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些
相等的线段吗?能证明你的结论吗?
1.如图,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠ADC=60°,求
∠C的度数.
解:设∠BAD=x°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD=x°,∠BAC=2∠BAD=2x°.
∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC=2x°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°,
∴2x+x=60,
∴x=20.
∴∠B=∠BAC=40°.
在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°.
2.如图,△ABC是等边三角形,△ADE是等腰三角形,AD=AE,
∠DAE=80°,当DE⊥AC时,求∠BAD和∠EDC的度数.
解:当DE⊥AC时,
∵AD=AE,∠DAE=80°,
∴∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF=
40°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∴∠BAD=60°-40°=20°.
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,
∴60°+20°=50°+∠EDC,
∴∠EDC=30°.
1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的
平分线分别_______.
2.等边三角形的三个内角______,并且每个角都等于
______.
相等
相等
60°
第3课时
1.学会证明等腰三角形的判定定理,并能运用它来判定一个三角形为
等腰三角形.
2.知道反证法的含义,能说出反证法的一般步骤,并能运用反证法进行
简单的证明.
等腰三角形的两个底角相等.反过来,有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
1.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的平分线
AD,BD相交于点D,试说明△ABD是等腰三角形.
解:∵AD平分∠MAC,
∴∠MAD=∠CAD.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠MAC=∠ABC+∠C,
即∠MAD+∠CAD=∠ABC+∠C,
∴∠CAD=∠C.
∴AD∥BC.
∴∠CBD=∠D.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD.
∴∠ABD=∠D.
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形.
2.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.
证明:假设三角形中的外角有两个角是锐角.
根据三角形的外角与相邻的内角互补,知与这两
个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这
两个角的度数和一定大于180°,与三角形的内角
和定理相矛盾.
因而假设错误.
故在一个三角形中,外角最多有一个锐角.
1.等腰三角形的判定定理:_________________________
.简述为:_____________.
2.用反证法证明命题的步骤:
(1)假设命题的结论_________;
(2)从这个假设出发,运用正确的推论方法,得出与定义、
基本事实、已有定理或已知条件_________的结果;
(3)由____________判定假设 从而肯定命题的结
论正确.
有两个角相等的三角形是
等角对等边
不成立
相矛盾
矛盾的结果 不成立
等腰三角形
第4课时
1.会证明等边三角形的判定定理,并会运用这个定理进
行相关的计算和证明.
2.会证明含30°角的直角三角形的性质定理,并会运用
这个定理进行相关的计算和证明.
当一个三角形满足什么条件时是等边三角形?等边三角形是特殊的等腰三
角形,当一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形呢?
1.如图,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等边三角形.
求证:△ABE和△ACF是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC =∠BAC= 60°.
∵EF∥BC,BE∥AC,
∴∠BAE=∠ABC=60°,
∠ABE=∠BAC=60°.
∴∠E=60°.
∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°.
∴△ABE是等边三角形.
同理可得,△ACF是等边三角形.
2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4 cm.
求:(1)∠DAC的度数;
(2)BC的长.
解:(1)∵AB=AC,∠C=30°,
∴∠B=30°.
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵AB⊥AD,
∴∠DAC=120°-90°=30°.
(2)∵AD=4 cm,∠B=30°,∠BAD=90°,
∴BD=8 cm.
∵∠DAC=30°=∠C,
∴DC=AD=4 cm.
∴BC=BD+DC=12（ cm）.
1.等边三角形的判定方法:
(1)_______相等的三角形是等边三角形;
(2)_______相等的三角形是等边三角形;
(3) 的等腰三角形是等边三角形.
2.有一个角为30°的直角三角形的性质定理:在直角三角
形中,如果有一个锐角等于____,那么它所对的_______是
______的一半.
三边
三角
有一个角是60°
30° 直角边
斜边
第一章 三角形的证明
1.2直角三角形
第1课时
1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理;并能应用性质进行计算
和证明.
2.能写出一个命题的逆命题,并会判断其真假,会识别两个互逆命题.
要判定一个三角形为直角三角形,按以前学过的知识,你有几种方法?
1.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,DB= .
(1)求AD的长.
(2)△ABC是直角三角形吗?为什么?
9
5
2.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假.
(1)如果实数a=b,那么 ;
(2)直角都相等.
1.直角三角形的判定:
(1)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这
个三角形是直角三角形.
2.直角三角形的性质:
(1)两个锐角互余;
(2)勾股定理;
(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它
所对的直角边等于斜边的一半.
3.如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题.
第2课时
1.会证明直角三角形的判定定理“HL”.
2.能灵活运用直角三角形的判定定理进行说理证
明.
有两条边和一个角相等的两个三角形全等吗?如果
这个角是直角,结论会有什么变化?
1.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,请添加一个条件,使
△ACB≌ △BDA.
解:(1)AC=BD;
(2)BC=AD;
(3)∠CAB=∠DBA;
(4)∠CBA=∠DAB.
2.如图,点C,E,B,F在同一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF
于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.
证明：∵AB⊥CF,DE⊥CF,
∴∠ABC=∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴ Rt△ABC≌ Rt△DEF(HL).
∴BC=EF.
∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.
,
,
AC DF
AB DE
3.如图,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上.求证:
CE=DE.
证明:∵∠ACB=∠ADB=90°,
在Rt△ABC和Rt△ABD中,
AC=AD,AB=AB,
∴Rt△ABC≌ Rt△ABD(HL).
∴∠ABC=∠ABD,BC=BD.
在△BEC和△BED中,
BC=BD,∠EBC=∠EBD,BE=BE,
∴△BEC≌ △BED(SAS). ∴CE=DE.
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且
AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.求证：△ABC≌ △DEF.
A
B CP
D
E FQ
A
B CP
D
E FQ
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝
EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路.
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为
AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请
说明思路.
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF
改为另一个适当条件，使△ABC与
△DEF仍能全等，并给出证明.
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论
吗?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距
离相等.
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C，且
AC=BC,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
A C B
P
M
N
A C B
P
M
N
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
又∵AC=BC,PC=PC，
∴△APC≌ △BPC(SAS).
∴PA=PB.
如果点P与点C重合，
那么结论显然成立.
几何语言描述
A C B
P
M
N
这个结论是经常用来证明两条
线段相等的根据之一.
如图，∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等).
思考：你能写出定理 “线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等”的逆命题吗?
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线
段的垂直平分线上.
它是真命题吗?如果是,请给出证明.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
A B
P
A C B
P证明： （方法一）
过点P作PC⊥AB,垂足为C.
∵ PC⊥AB，
∴ △APC和△BPC都是直角三角形 .
∵PC=PC,PA=PB，
∴ Rt△APC≌ Rt△BPC(HL)，
∴ AC=BC(全等三角形的对应边相等)，
∴点 P在线段AB的垂直平分线上.
A C B
P
.
（方法二）
把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC.
又∵PA=PB,PC=PC，
∴△APC≌ △BPC(SSS)，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴PC⊥AB，
即点P在线段AB的垂直平分线上.
逆定理：到一条线段两个端点距离相
等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线
经过某一点)的根据之一.
A B
P
例1 已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC，O 是
△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一
条线段两个端点距离相等的点, 在这条线
段的垂直平分线上），
同理，点O在线段BC的垂直平分线上,
∴直线 AO 是线段BC的垂直平分线（两
点确定一条直线）．
1.如图,已知AB是线段CD的
垂直平分线,E是AB上的一
点,如果EC=7 cm,那么ED=
cm;如果∠ECD=60°,那
么∠EDC= °.
E
D
A B
C
7
60
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点
D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
A
E
D
C
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BCE的周长等于50，
∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50.
∴AC+BC=50.
∵AC=27，∴BC=23.
比一比：你的写作过程完整吗？
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
P
B
D
C
A 证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴ AD所在的直线是线段BC的垂直平
分线.
∵P是AD上一点，
∴PB=PC.
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点
求证：PB=PC.
深入探索：你还有其他的证明方法吗？ P
B
D
C
A
1.线段垂直平分线的定理及证明
2.线段垂直平分线的逆定理及证明
3.两个定理之间的区别与联系
第一章 三角形的证明
1.4角平分线
第1课时
1.会证明角平分线的性质定理和判定定理.
2.能运用角平分线的性质定理解决问题.
如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在
∠AOB的内部有工厂C和D.现要修建一个货站P,使P到国
道OA和OB的距离相等,且到工厂C,D的距离也相等.如果
你是设计师,你会怎样解决这个问题呢?
1.如图,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分线,
DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB; (2)AB=AF+2EB.
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴ Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）.
∴ CF=EB.
,
,
DF FB
DC DE
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足
分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF是直角三角形.
∵BD=DC,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt △CDF（HL）.
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线.
1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这
个角的 相等.
2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,
且 的点,在这个角的
平分线上.
两边的距离
到角的两边距离相等
第2课时
1.会证明三角形三个内角的平分线的性质定理.
2.会运用三角形三条内角的平分线的性质解决实
际问题.
某市有一块由三条马路围成的三角形绿地(如
图),现准备在其中建一个亭子供人们休憩,要使亭子
中心到三条马路的距离相等.你能确定亭子中心的
位置吗?
1.如图,在△ABC中,E是∠BAC,∠CBD的平分线的交
点.求证:点E在外角∠BCF的平分线上.
证明:过点E作EG⊥AB，EH⊥BC，
EP⊥AC，垂足分别为G, H, P.
∵AE平分∠BAC,
EG⊥AB,EP⊥AC,
∴EG=EP.
∵BE平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC,
∴EG=EH.
∴EH=EP,
又∵EP⊥AC,EH⊥BC,
∴点E在∠BCF的平分线上.
2.在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥
AB于点E.
(1)求证:BD+DE=AC;
(2)已知AB=15 cm,求△DBE的周长;
(3)已知AC=4 cm,求CD的长.
(2)解:∵CD=DE,AD=AD,∠C= ∠AED=90°,
∴Rt△ACD≌ Rt△AED（HL）, ∴AC=AE.
∵AC=BD+DE,∴BD+DE=AE.
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15(cm).
(1)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE.
∵BC=BD+CD,
∴BC=BD+DE.
∵AC=BC,∴AC=BD+DE.
(3)解:∵AC=BC,∴∠B= ∠BAC.
∵∠C=90°, ∴∠B= 90°=45°.
∴∠BDE= 90°-45°=45°.
∴BE=DE.
在△ABC中，AB= .
∵AC=AE,∴BE= .
∵ CD=DE,BE=DE,
∴CD= (cm).
1
2
2 4 2AC
4 2 4
4 2 4
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分
线相交于一点,并且这一点到________的距离相等.
2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只
需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角
平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线的交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线
交点到三边距离的常用方法.
三条边
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