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天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 湘教版(2012) / 七年级下册 / 第6章 数据的分析 / 湘教版七年级数学下册第6章数据的分析

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第6章 数据的分析 6.1 平均数、中位数、众数 6.1.1 平均数 在小学阶段,我们对平均数有过一些了 解,知道平均数是对数据进行分析的一 个重要指标. 一个小组10名同学的身高(单位:cm)如下表所示: 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思考 (1) 计算10名同学身高的平均数. 平均数: = 155.6(cm). =(151+156+153+158+154+161+155+157 +154+157)÷10 x 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)在数轴上标出表示这些同学的身高 及其平均数的点. x 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)考察表示平均数的点与其他的点的 位置关系,你能得出什么结论? 这些点都位于 的两 侧,不会都在平均数 的一侧. x 可以作为这组同学的 身高的代表值,它反映 了这组同学的身高的平 均水平. x 编号 身高 151 156 153 158 154 161 155 157 154 157 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均数作为一组数据的一个代表值,它 刻画了这组数据的平均水平. 【例1】某农业技术员试种了三个品种的棉花各10 株. 秋收时他清点了这30株棉花的结桃数如下表: 棉花品种 结桃数(个) 甲 84,79,81,84,85,82,83,86,87, 81 乙 85,84,89,79,81,91,79,76,82, 84 丙 83,85,87,78,80,75,82,83,81, 86 哪个品种较好? 棉花品种 结桃数(个) 甲 84,79,81,84,85,82,83,86,87, 81 乙 85,84,89,79,81,91,79,76,82, 84 丙 83,85,87,78,80,75,82,83,81, 86 分析:平均数可以作为一组数据的代表值,它刻画了这组 数据的平均水平.当我们要比较棉花的品种时,可以计算出 这些棉花结桃数的平均数,再通过平均数来进行比较. 则 解:设甲、乙、丙三个品种的平均结 桃数分别 为 ,x x x甲 乙 丙, , 84+79+81+84+85+82+83+86+87+81 83.210x = = 甲 个 ( ), 85+84+89+79+81+91+79+76+82+84 83.010x = = 乙 个 ( ), 83+85+87+78+80+75+82+83+81+86 82.010x = = 丙 个 ( ), 由于甲种棉花的平均结桃数高于其他两个品种的平均 结桃数,所以我们可以认为甲种棉花较好. 计算器一般有统计功能,我们可以利用该 功能求一组数据的平均数. 不同型号的计算器其操作步骤(按键)可能不同, 操作时需参阅计算器的说明书. 通常先按统计键,使计算器进入统计运算模式,然 后依次输入数据x1 , ,x2, ,…,最后按求平 均数的功能键,即可得到该组数据的平均数. 在一次全校歌咏比赛中,7位评委给一个班级 的打分分别是: 9.00,8.00,9.10,9.10,9.15, 9.00,9.58. 怎样评分比较公正? 思考 我们可以计算该班级歌咏比赛的 平均分 9.00+8.00+9.10+9.10+9.15+9.00+9.58 8.997x= = . 但实际上评委的评判受主观因素影响比较大,评分 也比较悬殊,为了消除极端数对平均数的影响,一 般去掉一个最高分和一个最低分,最后得分取  9.00+9.10+9.10+9.15+9.00 9.075x = = . 这个分数才比较合理地反映了这个班级的 最后得分. 1. 七年级(1)班举行1 min 跳绳比赛,以小组为单 位参赛.第1小组有8名同学,他们初赛和复赛时的成 绩如下表(单位:次): 编 号 初 赛 90 85 85 78 101 105 97 96 复 赛 100 90 86 78 98 100 106 98 1 2 3 4 5 6 7 8 练习 (1)计算这组同学初赛和复赛的平均成 绩. 答:这组同学初赛的平均成绩为 92.125 ,复赛的平均成绩为94.5 . (2)你认为这组同学的初赛成绩好,还是复 赛成绩好? 答:复赛的成绩好. 2. 某跳水队计划招收一批新运动员.请6位评委给选拔赛 参加者打分,平均分数超过8.5分才能被选上.刘明在比 赛时的成绩为8.30,8.25,8.45,8.20,8.30,9.60,你 认为刘明选得上吗? 答:刘明的平均分数为8.52,所以 刘明能被选上. 3. 小明班上同学的平均身高是1.4m,小强班上 同学的平均身高是1.45m. 小明一定比小强矮吗? 答:不一定. 学校举行运动会,入场式中有七年级的一个队列. 已知这个队列共100人,排成10行,每行10人.其中 前两行同学的身高都是160cm,接着3行同学的身高 都是155cm,最后5行同学的身高都是150cm. 怎样求 这个队列的平均身高? 思考 100名同学的身高有 100个数,把它们加 起来再除以100,就 得到平均数. 这组数据中有许 多相同的数,相 同的数求和可用 乘法来计算. 用 表示平均身高, 则 x 160 20+155 30+150 50 100× × ×x= ÷( ) 20 30 50160 +155 +150100 100 100× × ×= 160 0.2+155 0.3+150 0.5× × ×= 1 5 3 . 5 c m = ( ) . 在上面的算式中,0.2,0.3,0.5分别表示160, 155,150这三个数在数据组中所占的比例,分别 称它们为这三个数的权数: 160的权数是0.2, 三个权数之和为0.2+0.3+0.5=1. 153.5是160,155,150分别以0.2,0.3,0.5为权的 加权平均数. 155的权数是0.3, 150的权数是0.5, 有一组数据如下: (1)计算这组数据的平均数. 1.60,1.60,1.60,1.64,1.64, 1.68,1.68,1.68. 这组数据的平均数为 1.60+1.60+1.60+1.64+1.64+1.68+1.68+1.68 1.64.8 = 思考 (2)这组数据中1.60,1.64,1.68的权数分别 是多少?求出这组数据的加权平均数. 有一组数据如下: 1.60,1.60,1.60, 1.64,1.64,1.68, 1.68,1.68. 31.60 8的权数为 , 11 .6 4 4的 权 数 为 , 31.68 8 的权数为 . 这组数据的加权平均数为 3 1 31.60 +1.64 +1.688 4 8× × × 0.6+0.41+0.63= = 1.64. (3)这组数据的平均数和加权平均数有什么 关系? 有一组数据如下: 1.60,1.60,1.60, 1.64,1.64,1.68, 1.68,1.68. 这组数据的平均数和加权平均数相等,都等于 1.64,意义也恰好完全相同. 但我们不能把求加权平均数看成是求平均数的简 便方法,在许多实际问题中,权数及相应的加权平均 数都有特殊的含义. 平均数可看做是权数相同的加权平均数. 【例2】某纺织厂订购一批棉花,棉花纤维长短不一, 主要有3cm,5cm,6cm三种长度. 随意地取出10g棉花 并测出三种长度的棉花纤维的含量,得到下面的结果: 纤维长度(cm) 3 5 6 含量(g) 2.5 4 3.5 问:这批棉花纤维的平均长度是 多少? 分析:在取出的10 g棉花中,长度为3cm,5cm, 6cm棉花的纤维各占25%,40%,35%,显然 含量多的棉花纤维的长度对平均长度的影响大, 所以要用求加权平均数的方法来求出这批棉花 纤维的平均长度. 解:这批棉花纤维的平均长 度是 答:这批棉花纤维的平均长度 是4.85cm. 2.5 4 3.53 +5 +6 =4.85 cm10 10 10× × × ( ). 1. 某棒球运动员近50场比赛的得分情况如 下表: 得分 0 1 2 3 4 次数 14 26 7 2 1 求该运动员50场比赛得分的平均数. 答:该运动员50场比赛得分的平均 数为 (14×0+26×1+7×2+2×3+1×4)÷50 =1. 2. 某出版社给一本书的作者发稿费,全书20 万字,其中正文占总字数的 ,每千字50元; 答案部分占总字数的 ,每千字30元.问全书 平均每千字多少元? 4 5 1 5 答:全书平均每千字为46元. 4 120 10 50+20 10 30 20 10 =465 5× × × × × × ÷ ×( ) ( ) 通过本节课,你有什么收获? 你还存在哪些疑问,和同伴 交流。 我思 我进步 6.1.2 中位数 张某管理一家餐馆,下面是该餐馆所有工作人员在 2010年10月的工资情况: 张某:15 000元; 会计:1 800元; 厨师甲:2 500元;厨师乙:2 000元; 杂工甲:1 000元; 杂工乙:1 000元; 服务员甲:1 500元;服务员乙:1 200元;服务员丙:1 000元. 计算他们的平均工资,这个平均工资能反映该餐馆 员工在这个月收入的一般水平吗? 思考 解:设餐馆全体员工的平均工资为 , 则(可用 计算器计算) x    15000+1800+2500+2000+1000 1000 1500 1200 1000 9 3000 x  (元) 实际上,3000元不能代表餐馆员工在这个月收 入的一般水平,因为员工中除张某外工资最高 的厨师甲的月收入2500元都小于这个平均数. 若不计张某的工资,设8名员工的平均工资为 , 则(可用计算器计算) x     1800+2500+2000+1000 1000 1500 1200 1000= 8 = 1500 x 元( ) 不计张某的工资,餐馆员工的月平均工资为1500 元,这个数据能代表餐馆员工在这个月收入的一 般水平. 还有没有别的方法 呢? 我们可以把餐馆中人员的月收入按从小到大的顺序 排列: 位于中间的数据,即第5个数据为1 500, 1000,1 000,1000,1200,1500,1800,2000,2500,15000. 它能比较合理地反映该餐馆员工的月收入水平. 1000,1000,1000,1200,1500,1800,2000, 2500,15000 中位数 把一组数据从小到大的顺序 排列,如果数据的个数是奇 数,那么位于中间的数称为 这组数据的中位数. 中间两个数的平 均数 1000,1000,1000,1200,1500,1800, 2000,2500 如果数据的个数是偶数,那 么位于中间的两个数的平均 数称为这组数据的中位数. 【例】求下列两组数据的中位数: (1)14,11,13,10,17,16,28; (2)453,442,450,445,446,457,448,449, 451,450 解: 把这组数据从小到大排 列: 10,11,13,14,16,17,28 位于中间的数是14,因此这组数据的 中位数是14. 中位数 把这组数据从小到大排列: 442,445,446,448,449,450,450, 451,453,457 位于中间的两个数是449和450,这两个数的平 均数是 449.5,因此这组数据的中位数是449.5. 中间的两 个数 中位数把一组数据分成相同数目的两部分, 其中一部分都小于或等于中位数,而另一 部分都大于或等于中位数. 因此,中位数常用来描述“中间位置”或“中等 水平”,但中位数没有利用数据组中所有的信息. 1. 求下列各组数据的中位数: (1)100,75,80,73,50,60,70; 解:把这组数据从小到大排列: 50,60,70,73,75,80,100 位于中间的数是73,因此这组数据的中位数是 73. 练习 (2)120,100,130,200,80,140, 125,180. 解:把这组数据从小到大排列: 80,100,120,125,130,140,180, 200 位于中间的数是125和130,所以这两个 数的平均数是127.5,因此这组数据的中 位数是127.5 . 2. 求下面各组数据的中位数和平均数: (1)17,12,5,9,5,14; 解:把这组数据从小到大排列: 5,5,9,12,14,17 位于中间的数是9和12,这两个数的 平均数是10.5,因此这组数据的中位 数是10.5; 这组数据的平均数是: (17+12+5+9+5+14)÷6=10.3 (2)20,2,2,3,9,1,22,11,28, 2,0,8,3,29,8,1,5 解:把这组数据从小到大排列: 0,1,1,2,2,2,3,3,5,8,8,9,11,20, 22,28,29 位于中间的数是5,因此这组数据的中位数是5; 这组数据的平均数是: (20+2+2+3+9+1+22+11+28+2+0+8+3+29+8 +1+5)÷17=9.06 通过本节课,你有什么收获? 你还存在哪些疑问,和同伴 交流。 我思 我进步 6.1.3 众数 下面是一家鞋店在一段时间内各种尺码的男鞋 的销售情况统计表: 鞋的尺码(cm) 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售量(双) 5 6 6 10 17 10 12 7 思考 这家店销售量最多的男鞋是哪种尺码的?店 主最关心的问题是什么? 这家店销售量最多的是25cm的鞋,店 主最关心的就是销售量,所以店主下 次进货时可以多进这个尺码的鞋. 在一组数据中,把出现次数最多的数叫做这 组数据的众数. 在上面的问题中,25是鞋的尺码中出现次数 最多的数,所以25是这组数据的众数. 当一组数据中某数据多次重复出现时,常可以用众 数作为这组数据的数值的一个代表值. 一组数据的众数可以不止一个. 【例】某公司全体职工的月工资如下: 试求出该公司工资数据中的众数、中位 数和平均数. 月工资 (元) 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1 (总经 理) 2 (副总 经理) 3 4 10 20 22 12 6 解: 在上述80个数据中,2000出现了22次,出 现的 次数最多,因此这组数据的众数是2000. 把这80个数据按从小到大的顺序 排列后,可以 发现位于中间的数是 2000,2500,因此这组数据的中位数 是 2000+2500 =2250.2 这组数据的平均数为 .                18000 12000 2 8000 3 6000 4 4000 10 2500 20 2000 22 1500 12 1200 6 80 249200 3115 80 x   我们把这组数据的众数、中位数、平均数 表示在图中: 在例4中,你认为用平均数、中位数或众数中的哪 一个更能反映该公司的工资水平? 工资的平均数3115 偏高,因为大多数员 工的工资都达不到这个平均数,用它来 作为该公司员工工资的代表值并不合适. 众数是2000,中位数是2250,它们代表 了大多数人的工资水平,不偏高也不偏 低,较能反映工资水平的实际情况. 讨论 平均数、中位数和众数都是一组数据的代表, 它们从不同侧面反映了数据的集中趋势. 平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数 据提供的信息,因此在现实生活中应用较广,但它容 易受极端值的影响; 中位数对极端值不敏感,但没有利用数据中所 有的信息; 众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据, 也没有利用数据中所有的信息. 1. 求下列各组数据的众数: (1)3,4,4,5,3,5,6,5, 6; 解:根据题意可知,5出现的次数最多,因此, 5是这组数据的众数. 练习 (2)1.0,1.1,1.0,0.9,0.8, 0.9,1.1,0.9 解:根据题意可知,0.9出现的次数最多, 因此,0.9是这组数据的众数. 2. 某班30人所穿运动服尺码的情况为:穿75号码 的有5人,穿80号码的有6人,穿85号码的有15 人,穿90号码的有3人,穿95号码的有1人. 穿 哪一种尺码衣服的人最多?这个数据称为什 么数? 解:根据题意可知,穿85号衣服的人最多. 因此85号是这组衣服尺码数据的众数. 通过本节课,你有什么收获? 你还存在哪些疑问,和同伴 交流。 我思 我进步 第6章 数据的分析 6.2 方差 有两个女声合唱队,各由5名队员组成,她们 的身高为(单位:厘米): 甲队:160,162,159,160,159 乙队:180,160,150,150,160. 如果单从队员的身高考虑,哪队的演出效果好? 不难算出每个队的平均身高都是160厘米,但甲 队身高波动小,乙队身高波动大,单从身高考 虑,甲队比较整齐,演出的效果会好一些. 思考 一组数据中的数与这组数据的平均数的偏离程度是数据 的一个重要特征,它反映了一组数据的分散程度.如何 反映一组数据与数据与其平均数的偏离程度?给定一组 数据:3,3,4,6,8,9,9,其平均数是  3 3 4 6 8 9 9 7 6        这组数据中的每个数与平均数6 的偏差是: 363  363  264  066  268  369  369  将各个数与平均数的偏差相加, 能否得到总偏差? ( -3 )+( -3 )+( - 2 )+0+2+3+3相加的结果 为0,不能反映总偏差, 这是因为偏差有正有负, 相加对正负相消,因而不 能反映总偏差. 你用什么方法可以反映总偏差的大小? 可以考虑先取绝对值再相加. 但在今后的计算中,绝对值用起来不方便.其 实,一个数的绝对值是非负的,一个数的平方 也是非负的;并且绝对值较大的数,它的平方 也较大,因此这组数据的每一个数与平均数的 差的平方也能反映这个数与平均数的偏离程 度. 不如先将基数与平均数之差平方,然后再相加,就不会出现 正负相消的情况. 思考 一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均 值,称为这组数据的方差. 例如,上面所给的一组数据的方差是 7 44 我们将上面计算方差的过程用下面的表格来表示: 数据编号 1 2 3 4 5 6 7 数据 3 3 4 6 8 9 9 平均数 (3+3+4+6+8+9+9) ÷7=6 偏差 -3 -3 -2 0 2 3 3 偏差的平 方 9 9 4 0 4 9 9 偏差平方 和 9+9+4+0+4+9+9=44 方差 4444 7 7   计算前面的实例中甲、乙两个女声合唱队各队队 员身高的方差,并说明计算结果的实际意义.          2 2 2 2 2160 160 162 160 159 160 160 160 159 160 5               2 22 2 220 0 10 10 0 5 120              2 22 2 20 2 1 0 1 5 1.2           乙队队员身高的方差是:          2 2 2 2 2180 160 160 160 150 160 150 160 160 160 5            解:甲、乙两队中,每队队员的平均身高都是160 厘米,甲队队员身高的方差是: 计算的结果表明:乙队队员身高的方差(120厘 米2)比甲队队员身高的方差(1.2厘米2)大得多, 即乙队中各队员的身高与她们的平均身高的偏差 大,而甲队中各队员的身高与她们的平均身高的 偏差小,这说明乙队的队员高的高,矮的矮而甲 队队员的身高比较整齐. 方差反映的是一组数据哪个方面的特征? 方差反映的是一组数据与其平均数 的偏离程度,方差越小,数据越集 中;方差越大,数据越分散. 【例】5名篮球队员的身高分别为(单位:厘米)193 , 182, 187 , 174 , 189,试求出这组数据的极差、方 差、并比较其具体涵义.    193 182 187 174 189 5 185      厘米          2 2 2 2 2193 185 182 185 187 185 174 185 189 185 5             42.8 厘米 极差是最高的队员和最矮的队员身高之差,它只与数据的最 大值和最小值有关而与其他的数据无关,所以没有充分利用 数据提供的信息;但极差很容易计算,用起来特别方便,直 接反映一组数据的所在的范围的跨度,方差是每个队员的身 高与她们的平均身高的偏差的平方的平均值,它涉及数据组 中的每个数据,反映了数据组与其平均数的偏离程度. 解:极差: 193-174=19(厘米) 平均身高: 方差: 1.一个小组有8名同学,分别测量同一根绳子的长度, 测得的数据如下(单位:厘米) 108.5, 110,109.3,108.9 110.8 ,110.5 ,109.4 ,109.2 (1)如何确定这根绳子的长度的近似值? (2)如何评价测量结果的准确程度? 练习 这根绳子的长度的近似值是109.6厘米 计算其方差,方差越小准确程度越高 解:                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 105.5 109.6 110 109.6 109.3 109.6 108.9 109.61 2.5 8 110.8 109.6 110.5 109.6 109.4 109.6 109.2 109.6 S                       1 108.5 110 109.3 108.9 110.8 110.5 109.4 109.2 109.6 8 x          2.一组数据的方差为0,这组数据有什么特点?方差 可以是负数吗?为什么? 每个数据都等于这组数据的平均数 不可以      2 2 22 1 2 1 ... 0nS x x x x x x n           因为 通过本节课,你有什么收获? 你还存在哪些疑问,和同伴 交流。 我思 我进步 查看更多

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