资料简介
第三章 变量之间的关系
1 用表格表示的变量间关系
1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与
变量；了解自变量与因变量的意义;（重点）
2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格
表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步
的预测．（难点）
学习目标
我们生活在一个变化的世界中,很多东西都在悄
悄地发生变化.
你能从生活中举出一些发生变化的例子吗？
情境导入
变量与函数 讲授新课
1.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约
是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁
时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.
自主探究
年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重
/千
克
（ 1 ）上述的哪些量在发生变化？
（ 2 ）某婴儿在出生时的体重是 3 . 5 千克，请把他在发
育过程中的体重情况填入下表：
（ 3 ）根据表中的数据，说一说儿童从出生到 1 0 周岁之
间体重是怎样随着年龄的增长而变化的 .
3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5
体重
2.王波学习小组做了一个实验:小车下滑的时间.
这个小组利用同一块木板，测量小车从不同的高度
下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：
支撑物
高度
(厘米)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下
滑
时间(秒)
2
0
40
60
80
100 单位:cm
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时
间 /秒
h
t
演示
1.23 0.55 0.32 0.24 0.18 0.12 0.09 0.09 0.06
1.59秒
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑时
间 /秒
h
t
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时
间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
变小
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑
时间 /秒
h
t
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
不同
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/厘米
小车下滑
时间 /秒
h
t
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎
样估计的？
估计是1.30秒,因为时间越来越少.
下面是王波学习小组得到的数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.23 1.351.411.501.591.711.892.132.453.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
/ 厘米
小车下滑
时间 /秒
h
t
（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？
哪些量始终不发生变化？
时间发生了变化，木板的长度没变化.
在《小车下滑的时间》 中：
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都
是变量(variable).
支撑物的高度h是自变量 (independent variable).
小车下滑的时间t是因变量 (dependent variable)。
借助表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况。
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。
小车下滑的距离（木板长度)一直没有变化.在变化过程
中始终不变的量叫常量
变 量
1.自变量是在一定范围内主动变化的量。
2.因变量是随自变量变化而变化的量。
自变量
因变量
主动变化的量
被动变化的量
在变化过程中，若有两个变量x和y, 其中y随着x 的变化
而发生变化，我们就把x叫自变量，y叫因变量。
3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，
还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测。
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精
确到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着
x的变化，y的变化趋势是什么？
增大
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确
到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(2)x和y哪个是自变量?哪个是因变量?
x是自变量，y是因变量.
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确
到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样
变化的？
越来越多
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确
到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
议一议
(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？
超过13亿
例 父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”，
并且出示了下面的表格：
父亲给小明出了下面几个问题，请你和小明一起
回答：
典例精析
根据规律，高度每升高1千米，温度降低6℃，
所以距离地面6千米时的温度是－10－6=－16(℃).
(1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么
随着h的变化，t如何变化？
随着h的升高，t在降低.
(2)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？－10℃.
(3)你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变
化而变化.在这一问题中，自变量是( )
A.沙漠 B.体温 C.时间 D.骆驼
当堂练习
【解析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，
所以自变量是时间.
C
2.对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是( )
A.π，R是变量，2是常量
B.R是变量，π是常量
C.C是变量，π，R是常量
D.C，R是变量，2，π是常量
【解析】选D.因为常量就是在变化过程中不变的量，变
量是指在变化过程中发生变化的量.所以C，R是变量，2，
π是常量.
D
3.某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表:
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？自变量和
因变量各是什么？
（2）12小时，水位是多少？
（3）哪一时段水位上升最快？
6 5 4 32.52水位/米
20 16 12 840时间/小时
8
24
时间与水位的关系，自变量是时间，因变量是水位.
4米.
20到24小时.
4.下表所列为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560
元，随着不同幅度的降价，日销量(单位：件)发生相应
的变化(如表)：
这个表反映了____个变量之间的关系，______是自变
量，________是因变量.从表中可以看出每降价5元，日
销量增加____件，从而可以估计降价之前的日销量为
____件.
两 降价
日销量
30
750
5.研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆
的产量与氮肥的施用量有如下关系：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变
量？哪个是因变量？
氮肥施用量(自变量)
土豆产量(因变量)
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多
少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时
比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
32.29吨 不施氮肥，土豆产量减少.
氮肥产量是336吨时比较适宜，因为此时土豆产量
最高
随着氮肥的增多土豆产量先增多，后减少，所以
氮肥要适量.
排数 1 2 3 4
座位数 60 64 68 72
(1)上述哪些量在变化？自变量和因变量分别是什么？
(2)第5排、第6排各有多少个座位？
(3)第n排有多少个座位？请说明你的理由.
某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：
思考：
1.自变量是在一定范围内主动变化的量.
2.因变量是随自变量变化而变化的量.
自变量
因变量 被动变化的量
变量
主动变化的量
3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情
况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测.
课堂小结
第三章 变量之间的关系
2 用关系式表示的变量间关系
回顾与思考• 在“小车下滑的时间”中
• 支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，
它们都是变量.
• 其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化
而变化,
• 支撑物的高度h是自变量
• 小车下滑的时间t是因变量
观察思考
• 确定一个三角形面积的量有哪些？
• 三角形的底和高
• 请同学们欣赏“变化中的三角形”
DB C
A
诱导探究
• 如图，△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形
的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的
面积发生了怎样的变化？
• （1）在这个变化过程中自
变量和因变量分别是什么？
• 三角形的底边长度是自变量
• 三角形的面积是因变量
诱导探究
• 如图，△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形
的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形
的面积发生了怎样的变化？
• （2）如果三角形的底边长
为x（厘米），那么三角形
的面积y（厘米2）可以表示
为_____________。y=3x
诱导探究• 如图，△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形
的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的
面积发生了怎样的变化？
• （3）当底边长从12厘米变
化到3厘米时，三角形的面
积从________厘米2变化到
_________厘米2.
36
9
学习新知
• y=3x表示了 和
之间的关系，它是变量ｙ随ｘ变化的关系式。
• 注意：关系式是我们表示变量
之间关系的另一种方法，利用
关系式，如y=3x，我们可以根
据任何一个自变量值求出相应
的因变量的值。
三角形底边长三角形面积
巩固提高
你还记得圆锥的体积公式是什么吗？
其中的字母表示什么？
hrV 2
3
1
巩固提高• 圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大
变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
• （1）在这个变化过程中，
自变量、因变量各是什么？
• 圆锥的底面半径的长度是自变量
• 圆锥的体积是因变量
巩固提高
• 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半
径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了
变化。
• （2）如果圆锥底面半径为 r（厘米），那么
圆锥的体积v（厘米3）与r的关系式为
______________.
2
3
4 rV
巩固提高
• 如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半
径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了
变化。
• （3）当底面半径由1厘米变 化到10厘米时，
圆锥的体积由 厘米3 变化到
厘米3 。
3
4
3
400
合作交流
议一议：
• 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是
指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、
特别是二氧化碳的排放量的一种方式。
合作交流
议一议：
• （1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表
示为_________，其中的字母表示
________________。
合作交流议一议：
• （2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h，
二氧化碳排放量增加___________。当耗电量 从1
KW·h增加到100 KW·h时，二氧化碳排放量从
_______增加
到_____________。
合作交流
议一议：
• （3）小明家本月用电大约110 KW·h、天然气20m3、
自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的
二氧
化碳排放量。
随堂练习
• 1、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关
系可以近似地用 来表示，根据这个关系式，当d的
值分别是200，400，600， 800，1000时，计算相
应的T值，
并用表格表示所得结果。
随堂练习
• 2、仿照“议一议”中的（2），你能说一说家用自
来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变
化的情况吗？
反思升华
• 同学们经过本节课的学习你有哪些收获？
1.会用关系式表示两个变量之间的关系；
2.能利用关系式求值。
第三章 变量之间的关系
3 用图象表示的变量间关系（第1课时）
1.能结合具体情境,说出图象上的点所表示的意义.
2.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言
进行描述.
夏天的时候,一杯开水放在桌面上,其水温T与放置
时间t的关系如何用图象大致表示?在这个未知的图象
里,究竟哪个量是自变量?哪个量是因变量?
带着这样的问题,开始我们今天的学习吧!
1.如何理解图象上某点的意义?
一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量;二要看该点所
在的水平方向、竖直方向的位置,这样才能得到该点
的正确意义.
2.用图象法表示变量之间的关系,有何优缺点?
优点:直观形象,可以形象地反映出事物变化的全过程、
变化的趋势和某些性质(如因变量的增减变化、最大或
最小值等),比如在温度与时间图象中,一眼就可看出什
么时间,一天温度达到最高;什么时间,一天温度达到最
低.同时,还能观察出在什么时段内温度在上升,什么时段
内温度在下降.直观、形象、生动.
缺点:图象是近似的、局部的,由观察图象确定的因变量
的值往往不够准确.
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的
特点是非常直观.用图象表示变量之间的关系时,通常用
水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用竖直方
向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
第三章 变量之间的关系
3 用图象表示的变量间关系
第2课时
1.能通过速度随时间变化的实际情境,分析变量之间的关
系.
2.能结合从图象中所获得的信息,应用所学知识进行简单
的计算分析.
每一辆汽车上都有一个时速表,用来指示汽车当时的速
度,但是如果要想知道汽车速度的变化,我们就需要借助图象表
示.那么如何用图象表示呢?在一个有关速度的图象中,怎样来
刻画速度的变化及其变化的趋势?带着这些问题,开始我们今
天的学习吧!
1.如何分析路程、速度、时间等的折线图象?
第一步看图象表示的是速度、时间之间的关系还是路
程、时间之间的关系;第二步根据图象的特征以拐点为
分界点,弄清第一段图象的变化趋势,然后再分段弄清每
一段图象的意义,明确所要解决的问题,再根据问题,提取
对解决问题有用的信息.
2.已知小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家
去食堂吃早餐,接着去图书馆读书,然后回家.下图反映了
这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.
根据图象回答下面的问题.
(1)上图是由5条线段组成的折线,其中每条线段的左、右
端点的横坐标之差表示什么?纵坐标之差表示什么?
每条线段的左、右端点的横坐标之差表示每个活动所
用时间,纵坐标之差表示不同活动地点之间的距离.
(2)上图中有两条与横轴平行的线段,表明了什么?它们分
别对应什么活动?
说明时间在改变,但是离出发点的距离没变.第一段对应
小明在食堂吃早餐,第二段对应小明在图书馆读书.
1.表示两个变量之间关系的方法有三种:用表格表示、用
关系式表示、用图象表示.
2.在速度随时间变化的图象中,“水平线”表示不变,“上升
的线”表示增大,“下降的线” 表示减小.
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