资料简介
第五章 生活中的轴对称
1
轴对称现象
1.
知道轴对称的概念
,
会识别简单的轴对称图形及其对称轴
.
2.
通过观察、折纸、图形欣赏感受对称的美感
.
3.
会设计简单的轴对称图形
,
深刻体会轴对称在生活中的广泛存在及应用价值
.
同
学们都知道故宫
,
一组规模如此宏大的建筑群
,
不但没有纷杂现象
,
反而给人以结构严谨和布局规整的感觉
,
最主要的原因在于建造中突出了一条极为明显的“中轴线”
.
这条“中轴线”和整座北京城有机地结合为一体
,
使宫内重要建筑都在这条中轴线上
,
其他建筑东西对称分布
.
在这幅故宫的图片中
,
我们可以发现它是对称的
.
那么在数学中它叫做什么现象呢
?
你能画出“中轴线”吗
?
“
中轴线”又有什么作用呢
?
1.
如图
,
从轴对称的角度来看
,
你觉得下面哪一个图形比较独特
?
简单说明你的理由
.
解
:
图
(3)
比较独特
.
理由
:
因为图
(3)
有无数条对称轴
,
而图
(1),(2),(4),(5)
的对称轴都是
2
条
.
2.
小慧学习了轴对称知识后
,
忽然想起了过去做过的一道题
:
有一组数排列成方阵
,
如图所示
,
试计算这组数的和
.
小慧想
,
方阵就像正方形
,
正方形是轴对称图形
,
能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢
?
小慧试了试
,
竟得到了非常巧妙的方法
,
你也来试试看吧
!
解
:
从方阵中的数看来
,
一条对角线上的数都是
5,
若把这条对角线当作轴
,
把正方形对折一下
,
对折位置的两数之和都是
10,
如右图
,
这样方阵中数的和为
10×10+5×5=125.
轴对称图形和成轴对称的图形的异同
:
第五章 生活中的轴对称
2
探索轴对称的性质
1.
知道轴对称图形的性质
.
2.
会按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形
.
3.
体验轴对称在现实生活中的应用
,
并能运用轴对称的性质设计图案
.
小
明经过上节课的学习
,
利用轴对称完成了一只漂亮的蝴蝶图案
,
但小华不小心把纸污损了一部分
,
如图所示
.
那么小华应该怎样把“蝴蝶”恢复原样呢
?
轴对称又有哪些性质呢
?
1.
完成
课本“做一做”
,
回答下列问题
.
过点
A
画对称轴
l
的垂线
,
设垂足为
B;
延长
AB
至
A',
使得
BA'=AB,
则点
A'
就是点
A
关于直线
l
的对称点
.
(1)
如图
,
如何画点
A
关于已知直线
l
对称的点
A'?
找
(
画
)
对应点的依据是什么
?
对应点所连线段被对称轴垂直平分
.
(2)
在完成图案的过程中
,
你采用了哪些方法步骤
?
找出半个图形的关键点
,
确定这些点关于对称轴的对应点
,
再顺次连接
.
2.
有两村庄在公路
l
的两旁
,
如下图
,
现在要在公路
l
上修一个停车点
C,
并从停车点
C
到
A,B
两村庄各修建一条公路
,
问停车点
C
建在何处能使
C
到
A
和
B
的路程和最小
?
在图中画出
C
的位置
,
并说明理由
.
解
:
连接
AB
交
l
于点
C,
则停车点修在
C
处就能使
A,B
到
C
的路程和最小
.
理由是
:
两点间的距离
,
线段最短
.
如图
,
假如不在
C,
在
C'
处
,
连
AC',BC',
则
AC'+BC'>AB.
3.
在上面的问题中
,
如果
A,B
村庄在
l
的同旁
,
如下图
,
停车点
C
建在何处能使
C
到
A
和
B
的路程和最小
?
在图中画出
C
的位置
,
并说明理由
.
解
:
作点
A
关于
l
的对称点
A1,
连接
A1B
交
l
于点
C,
车站建设在
C
处能使
C
到
A
和
B
的路程和最小
.
理由如下
:
根据轴对称的性质知道
,AC=A1C.
所以
AC+CB=A1C+CB.
而
A1,B
之间
,A1B
最短
.
因此
,A,B
到
C
的路程和最小
.
轴对称图形和成轴对称的两个图形都具有以下性质
:
(1)
对应点的连线被对称轴垂直平分
;
(2)
对应线段相等
,
对应角相等
.
第五章 生活中的轴对称
3
简单的轴对称图形
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（
对折
）
情境问题一
C
结论：
角
是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线
.
A
B
O
有
一个简易平分角的仪器（如图），其中
AB=AD,BC=DC
,
将
A
点放角的顶点，
AB
和
AD
沿
AC
画一条射线
AE,AE
就是∠
BAD
的平分线，为什么？
对
这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
情境问题二
证明：
在△
ACD
和△
ACB
中
AD=AB
（已知）
DC=BC
（已知）
CA=CA
（公共边）
∴ △
ACD≌ △ACB
（
SSS
）
∴∠
CAD=∠CAB
（全等三角形的对应边相等）
∴
AC
平分∠
DAB
（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
２
．
分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠
AOB
的内部交
于点Ｃ
．
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１
．
以点Ｏ
为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３
．
作射线
OC
．
则射线ＯＣ即为所求．
将∠
AOB
对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
情境问题三
(2)
猜想
:
可
以看一看
,
第一条折痕是∠
AOB
的平分线
OC,
第二次折叠形成的两条折痕
PD,PE
是角的平分线上一点到∠
AOB
两边的距离
,
这两个距离相等
.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
探究角平分线的性质
已知：如图，
OC
是∠
AOB
的平分线，点
P
在
OC
上，
PD⊥OA
，
PE⊥OB
，垂足分别是
D
，
E
。
求证：
PD=PE
证明：∵
PD⊥OA
，
PE⊥OB
（已知）
∴∠
PDO=∠PEO=90
（垂直的定义）
在△
PDO
和△
PEO
中
∴
PD=PE
（全等三角形的对应边相等）
∠
PDO= ∠ PEO
∠
AOC= ∠ BOC
OP=OP
∴ △
PDO≌ △ PEO
（
AAS
）
D
P
E
A
O
B
C
(3)
验证猜想
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
.
角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)
得到角平分线的性质：
利用此性质怎样书写推理过程
?
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠
1= ∠
2
，
PD
⊥OA
，
PE ⊥
OB
，
∴
PD=PE.(
角
的
平分线上的点到角的两边的距离相等
)
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（
1
）角的平分线；
（
2
）点在该平分线上；
（
3
）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
O
A
B
C
E
D
P
辨一辨
如图，
OC
平分∠
AOB
，
PD
与
PE
相等吗？
（
1
）∵ 如图，
AD
平分∠
BAC
（已知）
∴
=
，
(
)
在角的平分线上的点到这个
角 的
两边的距离相等。
BD
CD
（
×
）
判断：
（
2
）∵ 如图，
DC⊥AC
，
DB⊥AB
（已知）
∴
=
，
(
)
在角的平分线上的点到这个角
的两 边
的距离相等。
BD CD
（
×
）
（
3
）∵
AD
平分∠
BAC, DC⊥AC
，
DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在
角的平分线上的点到这个角的两边的
距离
相等。
不必再证全等
1
、
在
Rt△ABC
中，
BD
是角平分线，
DE⊥AB
，垂足为
E
，
DE
与
DC
相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
2
、
如图
,OC
是∠
AOB
的平分线
,
点
P
在
OC
上
,PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别是
D
、
E,PD=4cm
,
则
PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
3
、
已知△
ABC
中
, ∠C=90
0
,AD
平分∠
CAB,
且
BC=8,
BD=5
,
求点
D
到
AB
的距离是多少？
A
B
C
D
E
你会吗？
思考：
第五章 生活中的轴对称
4
利用轴对称进行设计
“
对称是一种思想
，通过它，人们毕生追求，并创造次序
、
美丽和完善
…”
在我们生活的世界中，许多美丽的事物都是利用轴对称设计的，它们不仅装点了我们的生活，更让我们感受到了自然界的美与和谐。下面就让我们动脑动手发现美
、
感受美
、
创造美。
京剧脸谱
民间剪纸艺术
教你学剪纸
取
一张长
30
厘米、宽
6
厘米的纸条，将它每
3
厘米一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画出字母
E
。用小刀把画出的字母
E
挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母
E
为图案的花边。
做一做
在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？
如
图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，将得到的角形纸沿图中的黑色线剪开，去掉含
90°
角的部分，打开折叠的纸，并将其铺平。
如果将正方形纸按上面方式对折
3
次（如图所示），然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？你能画出展开后的图形吗？
实践升华
轴对称的性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。
D
/
C
/
A
/
B
/
A
B
C
D
∟
∟
．
A
∟
O
l
过点
A
作对称轴
l
的垂线，垂足为
O,
延长
AO
至
B
，使得
AO=BO.
点
B
就是点
A
关于直线
l
的对应点。
B
．
如
果将正方形纸按上面方式对折
3
次（如图所示），然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？你能画出展开后的图形吗？
总结：当纸对折
2
次后，剪出的图案至少有几条对称轴？
3
次呢？
观
察图案分析：
（
1
）它们是轴对称图形吗？
（
2
）生活中这些图案可以代表什么含义？
走进生活，动手创作
A
B
C
A
B
C
A
B
C
已知△
ABC
和直线
l
，请以直线
l
为对称轴，做出△
ABC
的轴对称图形。
能力挑战
1
．
利用两个圆
、
两条线段
、
两个三角形设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图和要表达的含义。
动手动脑 创新设计
动手动脑 创新设计
2
、自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图。
作品展示
查看更多
