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天天资源网 / 初中数学 / 中考模拟 / 2014年江西省中考数学试卷及答案解析

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江西省 2014 年中等学校招生考试数学试卷 (江西 毛庆云) 说明:1.本卷共有六个大题,24 个小题,全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卷,答案要求写在答题卷上,不得在试题卷上作答,否则不给分. 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分,每小题只有一个正确选项) 1.下列四个数中,最小的数是( ). A.-1 2 B.0 C.-2 D.2 【答案】 C. 【考点】 有理数大小比较. 【分析】 根据有理数大小比较的法则:①正数都大于 0;②负数都小于 0;③正数大于一切负数 进行比较即可. 【解答】 解:在-1 2 ,0,-2,2 这四个数中,大小顺序为:﹣2<-1 2 <0<2,所以最小的数 是-1 2 .故选 C. 【点评】 本题主要考查了有理数的大小的比较,解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的 法则, 属于基础题. 2.某市6月份某周气温(单位:℃)为 23,25,28,25,28,31,28,这给数据的众数和中位数 分别是( ). A.25,25 B.28,28 C.25,28 D.28,31 【答案】 B. 【考点】 众数和中位数. 【分析】 根据中位数的定义“将一组数据从小到大或从大到小排序,处于中间(数据个数为奇数 时)的数或中间两个数的平均数(数据为偶数个时)就是这组数据的中位数”;众数是指一组数据 中出现次数最多的那个数。 【解答】 这组数据中 28 出现 4 次,最多,所以众数为 28。由小到大排列为:23,25,25,28, 28,28,31,所以中位数为 28,选 B。 【点评】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数和众数,要知道什么是中位数、众数. 3.下列运算正确的是是( ). A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3=-6a5 C.(2a+1)(2a-1)=2a2-1 D.(2a3-a2)÷2a=2a-1 【答案】 D. 【考点】 代数式的运算。 【分析】 本题考查了代数式的有关运算,涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性 质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质,正确掌握相关运算性质、法则是解题的前 提.根据法则直接计算. 【解答】 A 选项中 3a 与 2a 不是同类项,不能相加(合并), 3a 与 2a 相乘才得 5a ;B 是幂的乘方, 幂的运算性质(积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,幂的乘方(底数 不变,指数相乘),结果应该-8 6a ;C 是平方差公式的应用,结果应该是 24a 1 ;D.是多项式除 以单项式,除以 2a 变成乘以它的倒数,约分后得 2a-1。故选 D。 4.直线 y=x+1 与 y=-2x+a 的交点在第一象限,则 a 的取值可以是( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 D. 【考点】 两条直线相交问题,一次函数图像和性质、一元一次不等式组的解法,考生的直觉判断 能力. 【分析】 解法一:一次函数 y=kx+b,当 k>0,b>0 时,直线经过一、三、二象限,截距在 y 的正 半轴上当;k>0,b0)对应的碟宽为____;抛物线 2( 2) 3( 0)y a x a= - + > 对应的碟宽____; (2)若抛物线 2 54 ( 0)3y ax ax a= - - > 对应的碟宽为 6,且在 x 轴上,求 a 的值; (3)将抛物线 2 ( 0)n n n n ny a x b x c a= + + > 的对应准蝶形记为 Fn(n=1,2,3,…),定义 F1, F2,…..Fn 为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比。若 Fn 与 Fn-1 的相似比为 1 2 ,且 Fn 的碟顶是 Fn-1 的碟宽的中点,现在将(2)中求得的抛物线记为 y1,其对应的准蝶形记为 F1. ①求抛物线 y2 的表达式 ② 若 F1 的碟高为 h1,F2 的碟高为 h2,…Fn 的碟高为 hn。则 hn=_______,Fn 的碟宽右端点横坐标为 _______;F1,F2,….Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出改直线的表达式;若不 是,请说明理由。 【答案】 (1)4、、2 a 、2 a ;(2)1 3 ;(3)① 2 2 2 8 8 3 3 3 y x x   ;② 1 1 3 3 22 2n n  、  、 5y x  . 【考点】 二次函数解析式与图像性质,等腰直角三角形性质,探索规律. 【分析】 (1)根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线 y=1 2 x2、抛物线 y=4x2 的碟宽,且都 利用第一象限端点 B 的横纵坐标的相等,类似推广至含字母的抛物线 y=ax2(a>0).而抛物线 y=a(x-2)2+3(a>0)为顶点式,可看成 y=ax2 向右、向上平移得到,因而发现碟宽的规律,只与 a 有关,碟宽= 2 a . 亦可先根据 2y ax= 画出二次函数的大致图像,根据题意并从图像分析可知,其准碟形碟宽两 端点 A、B 和抛物线的顶点 M 围成的△AMB 是等腰直角三角形,进而知道 A、B 两点的纵坐标和横坐 标绝对值相等,代入 2y ax= 即可求出二次项系数 a 与碟宽之间的关系式,而 y=a(x-2)2+3(a>0) 为顶点式,可看成 y=ax2 平移得到,只与 a 有关。 (2)根据(1)中的结论,根据碟宽为 6,列出方程2 a =6,求出 a 的值. (3)①把(2)中求出的 a 代入,得出 y1 的解析式,易推出 y2. ②结合画图,易知 1 2 3h h h, , ,…, 1hn , hn 都在直线 x=2 上,但证明需要有一般推广, 可以考虑 nh ∥ 1nh  ,且都过 Fn-1 的碟宽中点,进而可得.另外,画图时易知碟宽有规律递减,所以 推理也可得右端点的特点.对于 F1,F2,…,Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上,如果写出所有端 点规律不可能,找规律更难,所以可以考虑基础的几个图形关系,如果相邻 3 个点构成的两条线段 不共线,则结论不成立,反正结论成立.而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可. 【解答】 解:(1)4、1 2 、2 a 、2 a . ∵a>0,∴y=ax2 的图象大致如图 1,其必经过原点 O. 记线段 AB 为其准蝶形碟宽,AB 与 y 轴的交点为 C,连接 OA,OB. ∵△OAB 为等腰直角三角形,AB∥x 轴, ∴OC⊥AB, ∴∠AOC=∠BOC=1 2 ∠AOB=1 2 ×90°=45°, 即△AOC=△BOC 亦为等腰直角三角形,∴AC=OC=BC. ∴ A A B Bx y x y , ,即 A、B 两点 x 轴和 y 轴坐标绝对值相同. 代入 2y ax ,得方程 2x ax ,解得 1x a  . ∴由图像可知,A(- 1 a , 1 a ),B( 1 a , 1 a ),C(0, 1 a ), 即 AC=OC=BC= 1 a , ∴AB= 1 a ·2= 2 a , 即 2y ax 的碟宽为 AB= 2 a . ∴①抛物线 y=1 2 x2 对应的 1a 2  ,得碟宽 2 a =4; ②抛物线 y=4x2 对应的 a=4,得碟宽 2 a = 1 2 ; ③抛物线 2y ax= (a>0)的碟宽为 2 a ; ④抛物线 y=a(x-2)2+3(a>0)可看成 y=ax2 向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长 度后得到的图形, ∵平移不改变形状、大小、方向, ∴抛物线 y=a(x-2)2+3(a>0)的准碟形≌抛物线 y=ax2 的准碟, ∵抛物线 y=ax2(a>0),碟宽为 2 a , ∴抛物线 y=a(x-2)2+3(a>0),碟宽为 2 a . (2)解法一: ∵y=ax2―4ax-5 3 =a(x-2)2-(4a+5 3 ) ∴同(1)得其碟宽为2 a , ∵y=ax2―4ax-5 3 的碟宽为 6, ∴2 a =6,解得,a=1 3 . ∴y=1 3 (x-2)2-3. 解法二: ∵ 2 54 ( 0)3y ax ax a= - - > 可得, 2 5( 2) 4 3y a x a= - - - , 又已知碟宽在 x 轴上, ∴碟高= 54 3a- - =6 2 =3,解得 a=±1 3 , 又∵a>0,a=- 1 3 不合题意舍去,∴a1=1 3 . (3) ①解法一: ∵F1 的碟宽︰F2 的碟宽=2:1, ∴ 1 2 2 2 2:1a a : ∵ 1 1a ,3  ∴ 2 2a .3  ∵ 2 1 1y x 2 33   ( ) 的碟宽 AB 在 x 轴上(A 在 B 左边), ∴A(-1,0),B(5,0), ∴F2 的碟顶坐标为(2,0), ∴ 2 2 2y x 23  ( ) 解法二: ∵ 2 1 5( 2) 4 3y a x a= - - - ,a=1 3 , ∴ 2 1 1 ( 2) 33y x= - - , 即碟顶 1M 的坐标为(2,-3). ∵ 2F 的碟顶是的碟宽的中点,且 1F 的碟宽线段在 x 轴上, ∴ 2F 的碟顶 2M 的坐标为(2,0),设 2 2 2 ( 2)y a x  , ∵ 2F 与 1F 的相似比为 1 2 , 1F 的碟宽为 6, ∴ 2F 的碟宽为 6× 1 2 =3,即 2 2 a =3, 2a = 2 3 . ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8( 2) ( 2) ( 4 4)3 3 3 3 3y a x x x x x x          . ②∵ nF 的准碟形为等腰直角三角形, ∴ nF 的碟宽为 2 nh , ∵ n n 1 2h 1 2h 2  ∴ 2 3 1 n n 1 n 2 n 3 1 1 1 1 1h h ( ) h ( ) h ... ( ) h2 2 2 2 n        . ∵ 1h =3, ∴ n 1 n 1h 2 ( ) ·3. ∵ nh ∥ n 1h  ,且都过 n 1F  的碟宽中点, ∴ 1 2 3 n 1 nh h h h h, , , , , 都在同一条直线上, ∵ 1h 在直线 x=2 上, ∴ 1 2 3 n 1 nh h h h h, , , , , 都在直线 x=2 上, ∴ nF 的碟宽右端点横坐标为 2+ n 11 2 ( ) ·3. F1,F2,…,Fn 的的碟宽右端点在一条直线上,直线为 y=-x+5. 理由: 考虑 Fn-2,Fn-1,Fn 情形,关系如图 2, Fn-2,Fn-1,Fn 的碟宽分别为 AB,DE,GH; 且 C,F,I 分别为其碟宽的中点,都在直线 x=2 上, 连接右端点,BE,EH. ∵AB∥x 轴,DE∥x 轴,GH∥x 轴, ∴AB∥DE∥GH, ∴GH 平行相等于 FE,DE 平行相等于 CB, ∴四边形 GFEH、四边形 DCBE 都是平行四边形, ∴HE∥GF,EB∥DC, ∵∠GFI=1 2 •∠GFH= 1 2 •∠DCE=∠DCF, ∴GF∥DC, ∴HE∥EB, ∵HE,EB 都过 E 点, ∴HE,EB 在一条直线上, ∴ n 2 n 1 nF F F , , 的碟宽的右端点是在一条直线, ∴ 1 2 nF F F, , , 的碟宽的右端点是在一条直线. 根据②中得出的碟高和右边端点公式,可知 2 1 1= x 2 33  y ( ) 准碟形右端点坐标为(5,0), 2 2 2= x 23 y ( )准碟形右端点坐标为 2 1 2 11 12 ( ) 3,( ) 32 2        ,即(3.5,1.5) ∴待定系数可得过两点的直线为 y=-x+5, ∴F1,F2,…,Fn 的碟宽的右端点是在直线 y=-x+5 上. 【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力.题目中主要涉及特殊直角三 角形,二次函数解析式与图象性质,多点共线证明等知识,综合难度较高,学生对题意要清晰的理 解比较困难。 查看更多

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