资料简介
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
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电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
h2 km，那么它们的传播半径之比是 .
2=r Rh
1
2
2
2
Rh
Rh
公式中 中的 表示什么意义？ 2Rh2=r Rh
式子 表示1
2
2
2
Rh
Rh
什么？
导入新知
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次
根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
素养目标
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形
的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它
的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t
（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关
系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．5
h
65
S
3
探究新知
知识点 1
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点
（1）这些式子分别表示什么意义？
5
h分别表示3，S，65， 的算术平方根．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
（2）这些式子有什么共同特征？
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． S3 5
h65
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？
我们知道，一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
探究新知
一般地，我们把形如 的式子叫做二
次根式. “ ”称为二次根号.
( 0)a a
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
探究新知
归纳总结
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二
次根号
被开方数是
不是非负数
二次
根式
不是二次根式
是 是
否
否
分析：
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3） ；（4）
（5） （6） ；（7）
14 8.0- -3 ( 0)x x
）异号，， 0(m nnmn
2 4x 3 15
1.下列各式是二次根式吗?
是
是 是
是 是
巩固练习
（1） （2） （3） （4）
（6）（5） （7）
（8） （9） （10）
32 12-
不是
3 8
不是
24 a
不是
)0(- mm 12 a
不是
2 2 3a a
1- 2 x
不是
24 3
1
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?2x
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.2x
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1） 1
1
x
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴x+3≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分
母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
（2）
1
3
x
x
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
2 2 1;x x 2 2 3.x x
解：(1)∵无论x为任何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义.
2 2 1x x
2 2 3x x
22 2 1 1 0x x x ≤ ，
探究新知
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项
进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
（1） （2）
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；A
(3)多个二次根式相加如 有意义的条件：...A B N
0
0
...
0
A
B
N
≥ ；
≥ ；
≥ ；
(2)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0；B
A
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
1A B
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
3x 2
1
x
巩固练习
xx 31 （1） （2）
x≥1 x≤0
（3）
1
x
（4）
x为全体实数
x>0
（5） （6）
x≥0 x≠0
x≥-1且x≠2
(7) 0)2(3
1
xx
x （9） 12 x
x>0 x为全体实数
(8)
x
x 2
24x
【新知思考】当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？2x
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性
【回顾思考】二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它
本身的取值范围又是什么？
a
因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ；当a=0时，
表示0的算术平方根，因此 .这就是说，当a≥0时， .0a＝
0a＞
0a
3x 呢？
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：a
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. a a
探究新知
二次根式的
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
归纳总结
解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,
解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
例3 若 ，求2a -b+3c的值.0)1(23 2 cba
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
3.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的
平方根．
2 4x y
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
巩固练习
探究新知
素养考点 2 二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
例4 已知实数x、y满足等式 ，
求x2-2xy+y2的值.
533 xxy
解： 由题意得
解得：x=3
把x=3,代入得y=-5
所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64
03
0-3
x
x
总结：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.y a a b
4. 已知y = ,求3x+2y的算术平方根.3 3 8x x
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
3 0
3 0
x
x
≥ ，
≥ ，
巩固练习
巩固练习
连 接 中 考
C1.（2018•扬州）使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3
3x
A
2.（2019•黄石）若式子 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
1
2
x
x
连 接 中 考
巩固练习
3.（2018•苏州）若 在实数范围内有意义，则x的取值
范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2x
D
A
D
-13.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
1x
0
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.下面的式子是二次根式的是( )
A. B. C. D. a12 a 3 33 1- 2
1
2.（2018•达州）二次根式 中的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
42 x
4.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
1
2
x
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
1
2 xx
x ≥1
x ≥0且x≠2
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．2
2
2
m
m m
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得 m≥2且m≠-1，m≠2，
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求
m的取值范围．
2 6x x m
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
课堂检测
基 础 巩 固 题
∴m＞2．
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足 ，
求此三角形的周长．
3 2 6 4b a a
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
3 0
2 6 0
a
a
≥ ，
≥ ，
能 力 提 升 题
课堂检测
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
1x x
0 0
1 0 1 0
x x
x x
≥ ， ≤ ，或≥ ， ≤ ，
1x x
课堂检测
拓 广 探 索 题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？2
2 1
x
x
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
2 02 1
x
x
≥ ，
2 0 2 0
2 1 0 2 1 0
x x
x x
≥ ， ≤ ，或＞ ， ＜ ，
1
2
1
2
2
2 1
x
x
课堂检测
拓 广 探 索 题
二次根式
定 义
带有二次根号
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
抓住被开方数必须为非
负数，从而建立不等式
或不等式组求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式
的双重非
负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
a
a
课堂小结
第二课时
返回
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
1
4
算术平方根之门 平方之门
0 -4 -1
a 2( )aa
a≥0
1
1
2
1
4
导入新知
我们都是非
负数哟！
【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇
门出来呢？
算术平方根之门 平方之门
1
40 -4 -1 1
16 4 1 1
1 6
1
4
2a 2aa
a为任意数
【想一想】 你发现了什么？
导入新知
我们都是非负数，
可出来之前我们有
正数，零和负数.
2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
素养目标
1. 经历探索性质 = a（a≥0）和 = a
（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、
猜想的思想方法.
2a（ ） 2a
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫
做a的平方根.
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术
平方根.
a的平方根是 a
用 (a≥0)表示.aa
知识点 1 2
a
探究新知
（1）填空：
（2）通过（1）的思考，你能确定( )²（a≥0）的
化简结果吗？说说你的理由.
a
2 2
2 2
2( 4) ( ), ( ) ( )
1( ) ( ), ( 0) ( )3
4
01
3
探究新知
2
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于4的非负数，因此有( )² =4. 4
同理， 分别是 的算术平方根.
因此 , ,
12 03
, , 12 03
, ,
( )²=22 ( )²=1
3
1
3 ( )²=00
探究新知
4
的性质：2( ) ( 0 )a a
一般地， ＝a (a ≥0).2( )a
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式
有意义的前提条件.
a
探究新知
归纳：
例1 计算：
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
探究新知
素养考点 1 利用 的性质进行计算 2( ) ( 0)a a
（1） （2）25.1 ）（ 252 ）（
（1） 2 ..5 51 1（ ）
（2） 2 2 222 5 5） （（ ）
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
4 5 20
解:
巩固练习
1.计算：
27）（ 263 ）（（1） （2）
27 7（ ）（1）
2 2 233 6 6） （（ ）（2）
54
9 6
解：
探究新知
素养考点 2 利用 的性质分解因式 2( ) ( 0)a a
2( ) 0a a a ≥总结：本题逆用了 在实数范围内
分解因式.
例2 在实数范围内分解因式：
（1）4x2-5 (2)m4-6m2+9
2 (2 )5 (2 5)4 5x xx （1）
4 2 22 226 9 ( 3) ( 3) ( 3)m m mm m （2）
巩固练习
2. 在实数范围内分解因式：
（1）x2-11 (2)x4-14x2+49
解：（1）x2-11
=(x+ )(x- )
1111
7
(2) x4-14x2+49
=(x2-7)2
=(x- )2(x+ )27
2 0.1
02
3
22 20 1.
22
3
（ ） 20
化简下列根式，想一想
知识点 2 的性质2 ( 0)a a
探究新知
化简后，你能确定 的化简结果吗？2 ( 0)a a
...
平方
运算
算术平
方根 2
0.1
0
...
4
4
9
a(a≥0) 2a 2a
2
...
2
3
观察两者有什么关系？
0.01 0.1
0
2
3
0
填一填： ＝a (a≥0).2a
探究新知
...
平方
运算
算术平
方根 -2
-0.1
...
4
4
9
2a 2a
2
...
2
3
观察两者有什么关系？
0.01 0.1
2
3
a(a＜0)
【猜一猜】当a＜0时， = 2a ？-a
探究新知
a (a≥0)
2a a
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的
绝对值.
探究新知
归纳：
的性质：2a
解：
2a a
探究新知
素养考点 1 利用 的性质进行计算 2 ( 0)a a
警示： 而3.14＜π，要注意a的正负性.
例3 化简：
（1） （2）
（3） （4）
16 25- ）（
2-10 2-14.3 ）（
(1) 216 4 4 (2) 2 25-5 5 （ ）
(3) -1-2 2 -110 10 10 （ ） (4) 2 3.14-3.14- -3.14 （ ）
【讨论】（1）在 中，可否去掉“a≥0”？
如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？
（2）第二小题中的 能否直接使用性质
进行化简？
探究新知
)0(2 aaa
25- ）（ )0(a 2 aa
探究新知
方法点拨
计算 一般有两个步骤:2a
①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形
式,即 ;2a a
②去掉绝对值符号,即 ( 0 )
( 0 )
a aa a a
3.请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
×
×
√
√
2
2
2
2
(1) 2 2
(2) 2 2
(3) 2 2
(4) 2 2
巩固练习
（ ）
（ ）
（ ）
3
7
4
81
巩固练习
4.化简：
（1） = ; （2） = ;
（3） = ; （4） = ; 27 2
81
9 2( 4)
（5） =______ ; （6） =_______ .26.0 23-10 ）（0.6 10-3
【议一议】如何区别 与 ？2a2( )a
2( )a 2a
从运算
顺序看
从取值
范围看
从运算
结果看
先开方,后平方 先平方，后开方
a≥0 a取任何实数
a |a|
意义
表示一个非负
数a的算术平
方根的平方
表示一个实数
a的平方的算
术平方根
探究新知
22 2 .a b a b
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
请你化简:
a b
探究新知
素养考点 2 几何图形与 的性质相结合的题目2a
-1 0 1 2a
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是 .
22 ( 1)a a
1
巩固练习
6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简
的结果是( )
A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
2)( baa A
a b0
（1）含有数或表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
3 3sab x at
， ， ， ， （a≥0）
回顾我们学过的式子，如
，这些式子有哪些共同
特征？
知识点 3 代数式的定义
探究新知
5 2a a b， ， ，+
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方
和开方）把 或 连接起来的式子，我们
称这样的式子为代数式.
数 表示数的字母
【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
探究新知
归纳：
探究新知
素养考点 1 利用代数式的定义判断代数式
例5 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ;
(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
n
m 21 x
B
7.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
ab
.a cb
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
巩固练习
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是
km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
( 2.5)v
( 2.5)v
例5（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速
度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行
驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形
贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所
以它的长为
,15
Sx
5 .15
S
探究新知
素养考点 2 列代数式
探究新知
归纳总结
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间
的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、
分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用
代数式表示出钟的半径为__________.
S
π
巩固练习
1.（2019•黄冈）计算 的结果是____．
巩固练习
连 接 中 考
4
2.（2018•无锡）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33 2 ）（ 3-3- 2 ）（
333 3-3- 2 ）（
A
13 2 ）（
1.（2018•临安区）化简 的结果是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
C
2. 当10,且（ ）2=98, （ ）2=99,7 2 3 11(1)
27 113∴（ ）2 < （ ）2 ,又∵98
-3 5-2 11∴ > .
反过来，就得到：
（a≥0，b≥0）
abba （a≥0，b≥0）
一般地：
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算
术平方根的积.
探究新知
知识点 2 二次根式的乘法法则的逆用
例4 化简：
（1） ；（2） ． 16 81 2 34a b 0 0a b（ ≥ ， ≥ ）
(2)中4a2b3含有
像4，a2，b2，
这样开的尽方的
因数或因式，把
它们开方后移到
根号外.
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的乘法法则的逆用计算
22a b b=
16 81
解：（1） 16 81
= 4 ×9
=36
（2） 2 34a b
2 34 a b =
22 a b b =
2ab b=
6.化简:
提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数
（或平方式）从根号里开出来。
巩固练习
（1） 12 （2） 1527 （3） 34a
解: 24 3 2 312 2 3 （1）
2 59 95 9 3 515 327 （2）
aa22 234 2 aa a （3）
例5 计算：
（1） ；（2） ；（3） ． 3 5 2 10 13 3x xy
探究新知
素养考点 2 利用二次根式的乘法法则及逆用计算
解：（1） 14 7 14 7 27 2 272 27
（2）3 5 2 10 3 2 5 10 26 5 2 256 2
256 230
（3） 13 3x xy 13 3x xy yx2 2x y yx
14 7
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
a2a
巩固练习
7.计算：（1） 10156
解：原式= 6 15 10 900 =30
（2）
5
2
2
1
3
222
330
解：原式= 3 1 8 2302 2 3 5
（ ）
324
3 244
3 23
巩固练习
连 接 中 考
B（2019•株洲） ＝（ ）
A． B．4 C． D．
82
24 10 22
1.下面计算结果正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4 5 2 5 8 5 5 3 4 2 20 5
4 3 3 2 7 5 5 3 4 2 20 6
D
基 础 巩 固 题
2.若 ，则（ ）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
6 6x x x x A
课堂检测
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”
“＜” 或“=”）：
＞ ＜
3. 计算：
3 5 6 2
2 6
（1） =______ （2） =______
（3） =______
153 126
223
（1） ___45 54 （2） ___24- 72-
基 础 巩 固 题
课堂检测
5. 计算：
解：
（1） ）（）（ 169-144- （2） 31 2 84 a a
（1） ）（）（ 169-144-
144 169
=12×13
=156
31 2 84 a a
41 164 a 21 44 a =a2
基 础 巩 固 题
课堂检测
（2） 31 2 84 a a
6.计算：
2 5 3 21
30 7
13 - 3 184
23 3 64
3 3 64
9 6.4
课堂检测
（1） 21532 （2） ）（
4
18-33
解：（1） 21532 （2） ）（
4
18-33
基 础 巩 固 题
210 3 7
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若
长为 ，宽为 ，求出它的面积.24 8
解：它的面积为
能 力 提 升 题
824 24 8 382 38
课堂检测
2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
(1)已知 , ，求S； 8a 1 2b
解： S = ab =
8 12
（2）已知 , ，求S. 2 50a 323b
2 50 3 32
课堂检测
能 力 提 升 题
8 12=
（1） S = ab = （2）
=240
24 2 3 =
4 6=
6 50 32 =
26 40=
（1） ；（2） ．
1. 化简：
2 253 28 3 2 26 9 0 0x x y xy x y,
解：（1）
25 81 45;
3x y x( ) .
拓 广 探 索 题
课堂检测
53 28 53 28( )( )
53 28 53 28
23x x y( )
2 253 28 （2） 3 2 26 9x x y xy
2.已知 试着用a, b表示 .7 , 70 ,a b 4.9
解： 7 70 490 4.9 100
14.9 .10 ab
7 , 70 ,a b
课堂检测
拓 广 探 索 题
4.9 100 10 4.9,
10 4.9,ab
又
二次根式
乘 法
法 则
性 质
拓展法则
( 0, 0)a b ab a b
= 0, 0)m a n b mn ab a b （
0, 0, 0)a b k a b k a b k （
课堂小结
第二课时
返回
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，
它们近似地符合公式为 .8 5
hd
解： 1 8 20 16 5.d
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到
的水平线的距离d1是多少？
205
h
导入新知
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到
的水平线的距离是原来的多少倍？
解： 2 8 40 16 10.d
2
1
16 10 .
16 5
d
d
解：
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
405
h
导入新知
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简
单运算.
1. 掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
素养目标
3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二
次根式化为最简二次根式.
(1) ___÷___=____; = _____;
4
9
计算下列各式:
16
25
36
49
4
9
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;36
49
= _____;
= _____.
16
25
2 3
4 5
6 7
观察两者有什么关系？
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
探究新知
知识点 1
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
4 4= 99
；
16 16
2525
= ；
36 36.4949
(1)
(2)
(3)
猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次
根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
a a
bb
特殊 一般
a
b
探究新知
在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有
限制呢？
a a
bb
a,b同号
就可以啦
探究新知
你们都错啦，a≥0，
b＞0,b=0时等式两
边的二次根式就没
有意义啦
不对，同乘法法
则一样，a,b都为
非负数.
二次根式的除法法则:
( 0, 0).a a a bbb
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除
以单项式法则，易得
( 0, 0, 0).m a m a a b nn bn b
探究新知
例1 计算：
解:
探究新知
素养考点 1
提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法
再进行运算.
（1） （2）3
24
18
1
2
3
（1）
3
24 24
3
8 22
（2）
18
1
2
3 3 1
2 18
3 182
93 33
32
2
1.计算：
解：
1 745 10
＝ 21 10
5 7
＝ 6＝
巩固练习
（1） （2） 10
7
5
14 （3）
32
2
32 16 4
2
（1）
5050 5
10 10
（2）
50
10
（3） 10
7
5
14
3 12 2 2 6
（ ） 34 62
解:
12.
探究新知
素养考点 2
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
65
423
3 42
5
3 4
6
2 3 755 6
6
1
2
1
2
112 例2 计算: （1） （2）
（1）
（2）
6
1
2
1
2
112 ）（）（
6
1
2
3
2
12
3 34 3 8a a
xyabyxba 205 32
a
bab 363
2.计算，看谁算的既对又快.
巩固练习
2
2
a
2
2
ax y
218 12 3 2xy xy
6 6y 2
a
（1） （2）
（3） （4）
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以
除式的算术平方根.
( 0, 0).a a a bb b
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平
方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
探究新知
知识点 2
解: 3
10
.
2
2
5 5 .33
5 3 5.33 3
补充解法：
探究新知
素养考点 1
例3 化简: （1） （2）
100
3
27
75
（1）
100
3 3
100
（2） 27
75 2
2
5 3
3 3
还有其它解
法吗?
7
75
27
75
2
解：
探究新知
提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算
术平方根性质.
（3） （4） （5）
9
72 2
81 ( 0)25 xx
19664.0
16909.0
（3） 9
72 25
9
9
25
3
5 （4）
225
81
x
2
2
9
5 )x
（ x5
9
（5）
19664.0
16909.0
2 2
2 2
0.3 13
0.8 14
148.0
133.0
112
39
C
巩固练习
3.能使等式 成立的条件是 ( )
A. x≥0 B. －3＜x≤0
C. x＞3 D. x＞3或x＜0
4.化简：
33
x
x
x
x
（1） =_____25
8 2 2
5
（2） =_____4
33 15
2
（3） =_____
316
49
a 4
7
a a
（4） =_____
2
4
0.25
169
x
y
226
x
y
解：（1） 2
3 3 5
5 5 5
3 15 15
555
；= = = =
（2） 2
3 23
3
2 6
327 3 3
2 ；= = =
问题1 计算： 3
5
；（1） （2） （3） 3
27
2 ；
2a
8 ．
（3）
32 4
2 2
2
2
2
2
a
a
a
aa
a
aa
8 = = =
．
探究新知
知识点 3
问题2 观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一
个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
15 6 2
5 3
a
a
， ，
探究新知
探究新知
归纳总结
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含____________；
(2)被开方数中不含____________的因数或因式.
注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，
然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，
若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简
二次根式.
二次根式
开得尽方
解: 3 5
5
3 15 .
5 5 5
3 2 23 2 6
33 3 327
3 .
3
2 2 28 2
2
2 .
2
a
a a
a
a a aa
n a a
探究新知
素养考点 1
总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使
分母不含根号.
例4 计算: (1) (2) (3)
5
3
27
23
a2
8
（2）
（3）
（1）
探究新知
方法点拨
化成最简二次根式的一般方法
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,
如 ;2224248
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,
再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如
;3
32
33
34
3
4
3
11
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 .10
30
100
30
10
33.0
5.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不
是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式；
巩固练习
（1） （2） （3） （4） （5） 45 3
1
2
5 5.0 5
41
45 3 5;(1)
1 1 2 2 ;22
.
2
10 5 2 2
(4)
1 3 3 ;33 3
1 1
3 3
(2)
9 9 9 5 3 5 .5 55
1
55 5
4
(5)
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
已知 ，求a的值.2 3, 10S b
解:∵ ,S ab
知识点 4
探究新知
2 3 10 30 .5
2 3
010 10 1
Sa b
∴
6. 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个
30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可
以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足
公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空
抛物到落地所需时间t1的多少倍？
2
10
ht
2
1
2 100
2010 2.102 50
10
t
t
解:由题意得
巩固练习
1.（2018•绵阳）等式 成立的x的取值范
围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
连 接 中 考
B
1
3
1
3
x
x
x
x
2.（2019•河池）下列式子中，为最简二次根式的
是（ ）
A． B． C． D．2
1
2 4 12
B
1.化简 的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
18 2
3 2 2 3
B
2.下列根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.18 24 30 36
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.能使等式 成立的x的取值范围是（ ）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2
2 2
x x
x x
C
4.化简：
解：
课堂检测
（1） （3）
64
5 （2）
25
71 25.1
（1） 64
5 5
64
8
5 （2） 25
71 32
25
32
25
24 2
25
5
24
（3） 25.1 5
4
5
4
2
5
基 础 巩 固 题
在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，
I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间
(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若
W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
WI Rt
解：当W=2400，R=100，t=15时，
课堂检测
能 力 提 升 题
tR
WI
15100
2400
8
5
2 2
5
2 10
5
（安培）
自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次
根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错
了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，
好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
3
a
a
3
a
a 3
a
a
按 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；3
a
a
课堂检测
拓 广 探 索 题
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
3
a
a 而按 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
二次根式
除 法
法 则
性 质
拓展法则
( 0, 0)a a a bbb
( 0, 0).a a a bb b
=
0, 0)
m a n b m n a b
a b
（ ）
（
相 关 概 念
分 母 有 理 化
最 简 二 次 根 式
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
返回
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能
根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2 3 22 3
3
22 5 52 7 4 7
导入新知
1. 理解二次根式可以合并的条件.
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算.
素养目标
2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减
运算法则.
a a
a
a
a a a
a
aa
在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
由上图，易得2a+3a=5a.
当a= 时，分别代入左右得 ;
当a= 时，分别代入左右得 ;......
2 2 3 2=5 22
3 2 3 3 3=5 3
知识点 1
探究新知
你发现
了什么？
因为 ，由前面知两者可以合并.
当a= ,b= 时，得2a+3b= .
a
2a+3b
b
2
b
b
8
a
2 2 3 8
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被
开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
23 8 3 2 2 6 2
探究新知
这两个二次根
式可以合并吗？
你又有什么发现吗?
探究新知
归纳总结
将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，
则这样的二次根式可以合并.
注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化
为最简二次根式再判断.
2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)
相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.2 5 8 12
3 D
2.下列二次根式，不能与 合并的是________(填
序号）.
12
1 348 125 1 18.3 2
① ;②- ;③ ;④ ;⑤
②
巩固练习
⑤
例1 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值. 2 1 3 2n m n 3 mn
解：由题意得
即
2 1 2,
3 2 3,
n
m n
4 ,3
1 ,2
m
n
4 1 6 .3 2 3mn
探究新知
素养考点 1 利用二次根式可以合并的条件求字母的值
提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开
方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.
解得
1
（1） 与最简二次根式 能合并，则m =_____.8 1m 1
巩固练习
（2）若两个最简二次根式 与 可
以合并,则a=_____，b=_______.
3.完成下列各题：
ab ba 3 32 4a
1
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，
在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和?
S=8dm2 S=18dm2
8+ 18
知识点 2 二次根式的加减
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中
各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正
方形木板．
解：列式如下：
8+ 18
2 2+3 2
2+3 2（ ）
5 2 .
18 3 2 5,5 2 7.5
在有理数
范围内成立的
运算律，在实
数范围内仍然
成立.
探究新知
8 18 2 2 3 2 2 3 2 5 2+ = + = + =（ ）
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质 分配律 整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成
最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
加减法的运算步骤：
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
解：
8 ;a
5;
例2 计算:
21 2;10
53 3.9
素养考点 1 二次根式的加减计算
（3） （4）
（1） 45-80 aa 259
50
18 27
1-123
（1） 45-80 4 5-3 5
（2）
（2） aa 259 3 5a a
（3）
50
18 12 2
5 2
（4）
27
1-123 16 3-
3 3
探究新知
22 2 10
36 3 9
4.下列计算正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
2 2 2 3 2 3 2
12 3 3 3 2 5
C
5.已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其
周长为______.
48 12
12 3
巩固练习
例3 计算:
解：
14 3.
3 3 5.
探究新知
素养考点 2 二次根式的加减混合运算
（1） 4833
16-122 （2） ）（）（ 5-32012
（1） 4833
16-122 （2） ）（）（ 5-32012
4 3 2 3 12 3 12 20 3 5
2 3 2 5 3 5
计算时，有括
号，一定要先
去括号！
6.计算
(1) ；
279818
68
15.024
解：原式 3 2 7 2 3 3 解：原式 2 22 6 62 4
23 6 4
（2） .
巩固练习
33-210
例4 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.5 2,2 6
解：①当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
5 2
10 2 2 6+ ；
2 6
5 2 4 6+ .
素养考点 3 二次根式的综合性题目
探究新知
5 2 5 2 10 2 2 6 ＞ ，
2 6 2 6 4 6 5 2 ＞ ，
7. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，
求圆环的宽度d(两圆半径之差).
3 2 2 2 2
巩固练习
解：
818 sSrR
答：圆环的宽度d为 cm.
2
R-r
1.（2018•曲靖）下列二次根式中能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
连 接 中 考
B32
8 3
1
18 9
2.（2019•兰州）计算： ＝（ ）
A． B． C．3 D．
3-12
3 32 34
A
D
基 础 巩 固 题
12
27
162432
1. 与 能合并的二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.2 2 2 3 2 3 2 12 3 3 3 2 5
C
5
12
课堂检测
3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周
长为__________.
2 0 4 0 4 5， ， ，
5 5+2 10
4.计算: 8 2
3 2
9 2
4 3-6 2
（1） =___
（2） =___
（3） =___
（4） =_________
5 2 18
29-184
）（ 27-83210
）（ 27283-125
基 础 巩 固 题
课堂检测
解：
5.计算:
(1) (2)18272-85 453
150-182
(1) 18272-85
10 2-6 3 3 2
36-213
(2) 453
150-182
6 2-5 2 5
52
基 础 巩 固 题
课堂检测
6.如果最简二次根式 与 可以合并，那么要
使式子 有意义，求x的取值范围.
3 8a 17 2a
4 2a x
x a
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
4 2 20 2 ,
5
a x x
x a x
基 础 巩 固 题
课堂检测
已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
2
8 5 3 2 0a b c
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：
课堂检测
能 力 提 升 题
8 2 2, 5, 3 2a b c
2 2 3 2 5＜ ＜ ，∵ 即a＜c＜b，
5 2,a c 又∵ ∴a+c＞b，
5 2 5.a b c ∴能够成三角形，周长为
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，
求（2*3）－（27*32）的值．
3a b
解：∵a*b= ，
∴（2*3）－（27*32）
=
=
=
3a b
2 3 3 3 3 12 2
11 2.
拓 广 探 索 题
课堂检测
2 3 3 27 3 32
二次根式
加 减
法 则
注 意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式加减时，
可以先将二次根式化成最简二次
根式，再将被开方数相同的二次
根式进行合并.
运算律仍然适用
与 实 数 的 运 算
顺 序 一 样
课堂小结
第二课时
返回
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
你能用字母表示这一结论吗？
思路： 单×多 转 化
分配律
单×单
m(a+b+c) = ma+mb+mc
导入新知
【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同
学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺
序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然
适用.
1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行
二次根式的混合运算.
素养目标
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体
现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
4 3+3 2 . 32 3.2
探究新知
知识点 1
素养考点 1
（1） 638 ）（ （2） 2263-24 ）（
（1） 638 ）（
8 6 3 6
（2） 2263-24 ）（
4 2 2 2-3 6 2 2
80 5 40 5 2 3 2 5
106 224
巩固练习
1.计算：（1） （2） 532 54080
(1)原式解： (2)原式
例2 计算：
解：（1）原式
【思考】（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式乘多项式法则；
第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数
相同的二次根式；
第三步的依据是：合并同类项．
2 3 2 5+ -（ ）（ ） ；（1）
探究新知
素养考点 2
22 3 2-5 2-15 （ ）
15-22-2 22-13-
2.计算：
2 2 2 += 2 2 2- -
2 2 2 2= + 2- -
.= 2 -
巩固练习
（1） ））（（ 323-6 （2） ））（（ 2-122
解：（1） ））（（ 323-6
6 2 6 3- 3 2- 3 3
2 3 3 2- 6-3
12 3 2- 6-3
（2） ））（（ 2-122
回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2.
回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
探究新知
知识点 2
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.
例3 计算：
解：
5 3 3 4 3+4
7 4 3 .
探究新知
素养考点 1 考查利用乘法公式计算二次根式的能力
（1） ））（（ 3-535 （2） 223 ）（
2 25 3（ ） （ ） 2 23 2 3 2+2 （ ）
（1） ））（（ 3-535
2
（2） 223 ）（
拓展计算：
解：(1)原式
1.=
(2)原式
7+4 3 3
7+3 3 .
探究新知
（1）
（2）
20182018 3223-22 ）（）（
2017 2019 32- 3 2 3 -2 - 2
（ ） （ ）
20182 2 3 2 2+3 [（ ）（ ）]=
20181（ ）=
2017 2 3[ 2- 3 2 3 ] 2 3 2 2
（ ）（ ） （ ）
20171 7+4 3 3 （ ）
3. 计算：
5 7 9 4 2.
5 7.
巩固练习
（1） 21-22 ）（
解：（1） 21-22 ）（
（2） ））（）（（ 32753-2
2 22 2 1 2 2 2 1 2- 3 2 3 5 7
（2） ））（）（（ 32753-2
例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1, 3 1,x y
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得3 1, 3 1,x y
原式=
12.
探究新知
有关代数式的二次根式运算素养考点 2
2
3+1 + 3 1 （ ）（ ）
22 3（ ）
解:∵ ，3 2, 3 2x y
2
1 2 3 2 1 10.
巩固练习
3 2 3 2 3 2 1,xy
3 2 3 2 2 3,x y ∴
4. 已知 ，求x3y+xy3.3 2, 3 2x y
x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]∴
在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉
分母的二次根式的方法，比如:
5
7
5 7
7 7
35
7
【思考】 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式
子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？2 1, 3 2
知识点 3 分母有理化
探究新知
根据整式的乘法公式在
二次根式中也适用，你
能想到什么好方法吗？
例4 计算:
解:
m a n b m a n b
探究新知
素养考点 1 分母有理化的应用
提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以
的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
（1）
2-3
1 （2）
15
4
（1） 2-3
1 1 3 2
3- 2 3 2
（ ）
（ ）（ ） 23
（2）
15
4
4 5-1
5 1 5-1
（ ）
（ ）（ ） 4
1-54 ）（ 1-5
5. 已知 ,求 .1 1,
5 2 5 2
a b
2 2 2a b
解:∵
1 5 2 5 2,
5 2 5 2 5 2
a
1 5 2 5 2,
5 2 5 2 5 2
b
20 2 2 2 5.
巩固练习
2
5 2 5 2 2 5 2 5 2 2
22 2 2 2 2a aa bb b
巩固练习
连 接 中 考
3
1.（2018•天津）计算 的结果
等于______．
））（（ 3-636
2.（2019•常州）下列各数中与 的积是有理数
的是（ ）
A． B．2 C． D．
32
32 3 3-2
D
1.下列计算中正确的是（ ）
1A. 3( 3 ) 3
3
B.( 12- 27) 3 1
1C. 32 2 22
D. 3( 2 3) 6 2 3
B
2.计算： 22+ 3 24 . （ ） 5
3.设 则a b(填“>”“ < ”或 “= ”）. ,1 10 3 10 3 a b ， = 基 础 巩 固 题 课堂检测 4.计算： 解： 5 2 2 5. 22 4 4. 2 - 3 （1） 2232 ）（ （2） 3-2 1 32 1 基 础 巩 固 题 课堂检测 （1） 2232 ）（ （2） 3-2 1 32 1 4 2 2 2 2- 3 2 3 2 3 2- 3 2 3 2- 3 4 2 3 2- 3 6+2 2 . （4）（3） ））（（ 3-333 ））（（ 5-2103 解：原式= 2 23 - 3（ ） =9-3 =6 解：原式= 3 2-3 5 2 5-5 2 5-22- （5） 82-3 1--131-3 02- ）（）（））（（ 基 础 巩 固 题 课堂检测 解：原式 2 9+1+2 2 解：(1)原式 3 3 . (2)原式 3 2 . 5.计算： （1） 3-627-3-23 ）（ （2） 2 6-12-33-2016 0 ）（ 基 础 巩 固 题 课堂检测 6 3 3 3 3 6 1+2 3 3 3 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路 基的横断面设计为上底宽 m ，下底宽 m，高 m 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基 的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少 立方米呢？ 6 24 2 6 4 2m 6m 6 2m 能 力 提 升 题 课堂检测 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以 路基的长度，所以这段路基的土石方为： 5 2 6 500 35000 3 m . 答：这段路基的土石方为 35000 3m . 能 力 提 升 题 课堂检测 1 4 2 6 2 6 500 2 2 3 2 6 5002 1.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10 解： 3 10 4 3, 10 3.a b 2 2a b 6 10 10. 10 6 10 拓 广 探 索 题 课堂检测 2 23 ( 10 3) 3 10 3 3 10 3 2.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方 法将其进一步化简： 2 3 1 方法一： 2 2 3 1 2 3 12 3 1; 3 1 3 1 3 1 3 1 方法二： 3 1 3 12 3 1 3 1. 3 1 3 1 3 1 拓 广 探 索 题 课堂检测 解：(1) (1)请用两种不同的方法化简： (2)化简： 2 ; 5 3 1 1 1 1 . 4 2 6 4 8 6 2018 2016 1 2018 2 .2 课堂检测 拓 广 探 索 题 1 1 1 1 4 2 6 4 8 6 2018 2016 (2) 1 4 2 6 4 8 6 2018 20162 2 2 2 5 3 2 5 3 5 3 2 5 3; 5 3 5 3 5 3 5 3 5 35 3 5 3 5 3 2 5 3. 5 3 二 次 根 式 混 合 运 算 乘 法 公 式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
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