资料简介
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
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行星在宇宙中的位置随时间而变化
万物皆变
导入新知
气温随海拔而变化
导入新知
汽车行驶里程随行驶时间而变化
导入新知
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，
我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同
见证事物变化的规律.
导入新知
1. 了解变量与常量的意义.
2. 体会运动变化过程中的数量变化.
素养目标
t /h 1 2 3 4 5
s /km
1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间
为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？
(1)请同学们根据题意填写上表：
(2)在以上这个过程中，变化的量是______________, 不变化的
量是_____.
(3)试用含t的式子表示s 是_______.
时间t，路程s
速度
s=60t
12060 180 240 300
探究新知
知识点 1
2.每张电影票的售价为10元，如果第一场售出150张票，第
二场售出205张票，第三场售出310 张票，
(1)第一场电影的票房收入 _____元；
第二场电影的票房收入 _____元；
第三场电影的票房收入 _____元.
(2) 在以上这个过程中,变化的量是_____________________
不变化的量是___________.
(3) 设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的
式子表示y？
（4）y的值随x的值的变化而变化吗？
1500
2050
3100
售出票数x，票房收入y
票价10元/张
y=10x
y的值随x的值的变化而变化
探究新知
3.你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当
圆的半径分别为10cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多
少？S的值随r的值的变化而变化吗？
当圆的半径为10cm时，面积为S=100π cm2 ;
当圆的半径为20cm时，面积为S=400π cm2 ;
当圆的半径为30cm时，面积为S=900π cm2 .
探究新知
圆面积S与圆的半径r之间的关系式是————————；
其中变化的量是—————；不变化的量是————————.
S= πr2
S， r π
注意：此处的
2是一种运算
这个问题反映了___________随________的变化过程．圆的面积S 半径r
4.用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m，
3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x
的值的变化而变化吗？
当x为3m时，y为2m;
当x为3.5m时，y为1.5m;
当x为4m时，y为1m;
当x为4.5m时，y为0.5m;
y的值随x的值的变化而变化.
矩形的周长10m与它的边长x，y之间的关系式是————————；
其中变化的量是—————；不变化的量是————————.
2(x+y)=10
x，y 10
探究新知
数值发生
变化的量 变量
数值始终
不变的量 常量
上述运动变化过程中出现的数量，你认为
可以怎样分类？
探究新知
s = 60t y = 10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
2（x+y)=10S=πr2
提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：
发生了变化和始终不变.
探究新知
例1 某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作量W与
时间t之间的关系中，下列说法正确的是( )
A. 数100和W，t都是变量
B. 数100和W都是常量
C. W和t是变量
D. 数100和t都是常量,
CC
素养考点 1 实际问题中常量与变量的识别
探究新知
1.一个长方形的面积是10 cm2，其长是a cm，宽是b cm，
下列判断错误的是( )
A. 10是常量 B. 10是变量
C. b是变量 D. a是变量
2.林老师发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示
“元/升”其数值是固定不变的，另外两个量分别表示
“数量” “金额”，数值一直在变化，在这三个量当中
_________是常量，______________是变量.
B
B
元/升 数量、金额
巩固练习
例2 指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 3x －4，
(2) y=x，
(3) y= x2＋2x－8，
(4) S = πr2．
解：（1）3和-4是常量，x和y是变量．
（2）1是常量，x、y是变量．
（3）1、2、-8是常量，x、y是变量．
（4）π是常量，s、r是变量．
探究新知
素养考点 2 关系式中常量与变量的识别
八年级 数学
3.指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 5x －6
(2) 6y x
(3) y= 4x2＋5x－7
(4) C = 2πr
解：（1）5和-6是常量，x和y是变量.
（2）6是常量，x、y是变量.
（3）4、5、-7是常量，x、y是变量.
（4）2,π是常量，C、r是变量.
巩固练习
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)?
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每
1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
解：由题意可知m每增加1，l增加0.5，所以l=10+0.5m.
重物的
质量(kg)
1 2 3 4 5
弹簧长
度(cm) 10.5 11 11.5 12 12.5
探究新知
素养考点 3 确定两个量之间的关系式
4．写出下列各问题中的关系式：
(1)n（n＞2）边形的内角和的度数s与边数n的关系
式；
(2)等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式．
s=180° (n-2)．
y=180 ° -2x．
巩固练习
（2018•安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比
2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和
2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
巩固练习
连 接 中 考
B
1.某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常
量是 ,变量是 .
2.s米的路程，不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间
为t分，其中常量是 ,变量是 .
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结
论： . 在不同的条件下，常量与变量是相对的.
a t，s
s a，t
课堂检测
基 础 巩 固 题
x
图1
5.如图2，正方体的棱长为a,表面积S= ，体积V= .
a
图2
C= 4x
6a2 a3
4.如图1，正方形的周长C与边长x的关系式为：
变量是: 常量是: ;C、x 4
课堂检测
基 础 巩 固 题
表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x
（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高度x的
关系，据表可以写出的一个关系式是 ．y=0.5x
课堂检测
能 力 提 升 题
x 50 80 100 150
y 25 40 50 75
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y
与层数x之间的关系式.
1 2 3 … n
y …1 1+2 1+2+3 1+2+3+ …+n
完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式：
x
拓 广 探 索 题
课堂检测
常量与变量
常量与变量的概念
{列出变量之间的关系式
常量：数值始
终不变的量{变量：数值发
生变化的量
课堂小结
第二课时
返回
运动会开幕式上，火炬手以3
米／秒的速度跑步前进传递火
炬，传递路程为s米，传递时间
为t秒,怎样用含t的式子表示 s？
导入新知
2. 确定函数中自变量的取值范围，注意问题
的实际意义.
1. 理解函数的概念，能准确识别出函数关系
中的自变量和函数 .
素养目标
问题1：全运会火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，
传递路程为s米，传递时间为t秒，填写下表：
怎样用含t的式子表示 s？
________ 随着 的变化而变化，当 确定一
个值时， 就随之确定一个值.
s=3t
传递路程s 传递时间t 传递时间t
传递路程s
t(秒) 1 2 3 4
s(米)
【思考】1.每个问题中有几个变量？
2.同一个问题中的变量之间有什么联系？
探究新知
知识点 1
3 6 9 12
问题2：用10 m 长的绳子围成长方形，若改变长方形的长
度，长方形的面积会怎样变化.
一边长为x( m ) 4 3 2.5 2 …
另一边长为
( )（m）
…
长方形面积(m2) …
设长方形的面积为S(m2),一边长为x,怎样用含x的式子表示
长方形的面积S？
4
1 2 2.5 3
6 6.25 6
5-x
S=x(5-x)
探究新知
【讨论】上面的两个问题中，各变量之间有什么共
同特点？
①时间 t 、传递路程 s ；
②边长x 、面积S.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量
的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，
并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与
它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
探究新知
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时
的函数值.
（1） 2 3y x 1
1y x
2y x （2） （3）
1.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，
怎样改变，才能使y是x的函数？
2y x 2y x
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函
数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其
对应.将关系式改为 或 ，都能使y
是x的函数.
巩固练习
例1 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关
系的是 ．①
y x
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一
个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
探究新知
素养考点 1
② ③
2.变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的
函数，可以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的
值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的
函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改
为“＋”或“－”.
巩固练习
例2 已知函数 4 2.1
xy x
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代
入关系式中，即
可求出函数的值.
4 2-2 =22+1y
4 2 =01
x
x
， 1
2x
解：（1）当x=2时， ;
探究新知
素养考点 2
1
2x
5
2y 当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，y=0.
3.已知函数 .
(1)当x=3时,求函数y的值;
(2)当y=2时,求自变量x的值.
解:(1)当x=3时, .
(2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16,
解得x=±4.
巩固练习
236-2y x
236-2 3 18 3 2
22 36-2x
236-2y x
请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以70 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单
位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
知识点 2
探究新知
【思考】问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
s=70t
y=180° (n-2)．
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，
在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数
没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数
的自变量取值范围．
探究新知
根据刚才的思考问题，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
例3 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的
油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，
平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
探究新知
素养考点 1
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0
得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析
式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
探究新知
汽车行驶里程，油
箱中的油量均不能
为负数！
解:
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
探究新知
解:
y=2x+15
x≥1且为整数
x ≠ －1
5.函数 中，自变量x的取值范围是
_____________.
1
x
xy
4.某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今
后每年增加2万元，，年产值y（万元）与年数x的
函数关系式是________,其中自变量的取值范围是
_______________.
巩固练习
1. （2019•内江）在函数 中，自变量x的取值
范围是（ ）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3
C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
巩固练习
连 接 中 考
D
1 43y xx
巩固练习
连 接 中 考
D
2.（2019•柳州）已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平
均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余
下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝4x（x≥0） B．y＝4x﹣3（ ）
C．y＝3﹣4x（x≥0）D．y＝3﹣4x（ ）
3
4x
30 4x
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
23xy
xy 1
( 0)y x x xy 18
C
C
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.下列函数中自变量x的取值范围是什么？
5x
1 0x
2 0x
1
2
x
x
即
基 础 巩 固 题
课堂检测
3 1y x （1）
1
2y x
（2）
5y x （3）
2
1
xy x
（4）
解: x取全体实数（1）
（4）
（2） 由x+2≠0得 x≠-2
（3） 由x-5≥0得
所以x≥-2且x≠-1
4.填表并回答问题：
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？
答： .
（2）y是x的函数吗？为什么？
x 1 4 9 16
y=+2x 2和－2 8和－8 18和－18 32和－32
不是
答：不是，因为y的值不是唯一的.
基 础 巩 固 题
课堂检测
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，
请指出自变量.
（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y
（单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应
的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y不是x的函数.
能 力 提 升 题
课堂检测
我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，
一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8
元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收
费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的
关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
拓 广 探 索 题
课堂检测
当x=2时，y=8； x=6时，y=1.8×3＋8=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一
个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
课堂检测
拓 广 探 索 题
函数 函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
课堂小结
函数的
概念
在某个变化过程中，如果有两个变量x
与y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与它对应，那么x是
自变量，y是x的函数.
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
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下图是北京市某天24 小时内气温的变化图，气温 T 随时间
t 的变化而变化.
导入新知
心电图
记录的是心脏本身的生物电流在每一心
动周期中发生的电变化情况.
导入新知
1. 了解函数图象的意义.
2. 会观察函数图象获取信息，根据图象初
步分析函数的对应关系和变化规律.
素养目标
3. 经历画函数图象的过程，体会函数图象
建立数形联系的关键是分别用点的横、纵
坐标表示自变量和对应的函数值.
写出正方形的面积S与边长x的函数解析式，并确
定自变量x的取值范围.
S=x2 （x＞0）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
探究新知
知识点 1
在直角坐标系中，描出这些点，然后连接这些点.
表示x与
S的对应关系
的点有无数
个.但是实际
上我们只能
描出其中有
限个点，同
时想象出其
他点的位置.
探究新知
用空心
圈表示
不在曲
线的点
用平滑
的曲线
连接
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对
应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组
成的图形，就是这个函数的图象.
上图的曲线即函数S=x2 （x＞0）的图象.
通过图象，我们可以数形结合地研究函数.
探究新知
例1 画出下列函数的图象：
（1） ； （2） .
解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是 .
第一步：从x的取值范围中选取一些简洁的数值，算出y的
对应值，填写在表格里：
2 1y x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …-5 -3 -1 1 3 5 7
全体实数
探究新知
素养考点 1 画出已知函数的图象
6y x
O x
y
1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
y=2x+1
第二步：根据表中数值描点（x，y）；
第三步：用平滑曲线连接这些点.
当自变量的值越来越大时，
对应的函数值 .
画出的图象是一条 ，直线
越来越大
探究新知
-6
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y … … 6 -3 -2 -1.2-1.5 3 21.51.2
解：(2)①列表 ：取一些自变量的值，并求出对应的函数
值，填入表中.
探究新知
为什么没有
“0”？
y
5
xO-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
6
-6
②描点：分别以表中对应的x、
y为横纵坐标,在坐标系中描
出对应的点.
③连线：用光滑的曲线把
这些点依次连接起来.
(1,-6)
探究新知
探究新知
归纳总结
描点法画函数图象的一般步骤：
第一步：列表：表中给出一些自变量的值及 ；
第二步：描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值
为 ，相应的函数值为 ，描出表格中数值对
应的各点；
第三步：连线：按照横坐标 的顺序，把所描出
的各点用 连接起来.
对应的函数值
横坐标 纵坐标
平滑曲线
由小到大
1.(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数 的图象.
（先填写下表，再描点、连线）
xy 2
1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …3
2
-1 1
2
0 1
2 1 3
2
O x
y
1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1
3
1
2
-2
-1
-3
不在(2)点P(5，2) 该函数的
图象上(填“在”或“不在”).
巩固练习
t/时
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天
气温 T如何随时间 t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信
息？
探究新知
知识点 2 实际问题中的函数图象
t/时
（1）从这个函数图象可知：这一天中 时气温最低
（ ）, 气温最高（ ）;
4
-3°C 14时 8°C
（2）从_ __至 气温呈下降状态，从4时至 14时
气温呈上升状态，从 至 气温又呈下降
状态.
0时 4时
14时 24时
探究新知
例2 下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆
读报，然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，
小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
8 25 28 58 68 x/min
0.8
0.6
y/km
O
探究新知
素养考点 1 从实际问题的图象中读取信息
（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？
8 25 28 58 68 x/min
0.8
0.6
y/km
O
解：（2）25-8=17，小明在食堂吃早餐用了17min.
探究新知
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
解：(1)食堂离小明家0.6km，小明从家到食堂用了8min.
8 25 28 58 68 x/min
0.8
0.6
y/km
O
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
解：（3）0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；28-25=3，小明
从食堂到图书馆用了3min.
探究新知
8 25 28 58 68 x/min
0.8
0.6
y/km
O
（4）小明读报用了多长时间？
解：（4）58-28=30，小明读报用了30min.
探究新知
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是
多少？
8 25 28 58 68 x/min
0.8
0.6
y/km
O
解：（5）图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家用了
68-58=10(min)，由此算出的平均速度是0.08km/min.
探究新知
探究新知
方法点拨
解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信
息为数字信息.
主要步骤如下:
(1)了解横、纵轴的意义；
(2)从 上判定函数与自变量的关系；
(3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义.
图象形状
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间
比北京气温低？
答：7时 和 12时.
答：在0时— 7时和12时— 24时比北京气温高；
在7时—12时比北京气温低.
2.如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
根据图像回答下列问题.
巩固练习
（2018•天门）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以
80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B
地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此
过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的
函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；
②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确
的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
巩固练习
连 接 中 考
A
1.最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天
水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙
述不正确的是（ ）
A．8时水位最高
B．P点表示12时水位为0.6米
C．8时到16时水位都在下降
D．这一天水位均高于警戒水位
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
2.柿子熟了，从树上落下来.下面的哪一幅图可以大致刻画出
柿子下落过程中的速度变化情况?（ ）
O
速度
时间
A
O
速度
时间
D
O
速度
时间
C
O
速度
时间
B
课堂检测
C
基 础 巩 固 题
3.小明同学骑自行车去郊外春游，
如图表示他离家的距离y(km)与所
用的时间x(h)之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离
家最远的地方需______h；
（2）小明出发2.5 h后离家_______km；
（3）小明出发__________h后离家12 km.
3
22.5
0.8或5.2
课堂检测
基 础 巩 固 题
（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？
答：体育场离张强家2.5千米.
张强从家到体育场用15分钟.
4.下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里
锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家，图中x表
示时间，y表示张强离家的距离.
课堂检测
基 础 巩 固 题
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店停留了多少时间？
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
答：2.5-1.5=1（千米）
答：65-45=20（分）
71.5 12
课堂检测
基 础 巩 固 题
解:依题意可得
1.5÷[（100－65）÷60]
1 8
7
（ 千 米 / 时 ）
给出下列说法：①学校到景点的路程为55 km；②甲组在
途中停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙
组的速度小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的
有 ．
10 20 30 40 50 60 70
55
s/km
t/min O
乙
甲
课堂检测
能 力 提 升 题
① ②
某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一
天生产零件y(个)与生产时间t(h)的函数关系如图所示.
(1)根据图象填空：①_____先完成一
天的生产任务；在生产过程中，____因
机器故障停止生产____h；
②当t＝ ________ 时，甲、乙生产的零件个数相等.
课堂检测
拓 广 探 索 题
甲
甲
2
3或5.5
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每
小时生产零件的个数.
解： 甲在4至7h的生产速度最快，
课堂检测
拓 广 探 索 题
40-10 107-4
∵
∴他在这段时间内每小时生产零件10个.
函数的图象
图象的画法
图象表达的实际意义
描点
列表
连线
课堂小结
第二课时
返回
在计算器上按照下面的程序进行操作：
输入x（任意一个数）
按键 × =
显示y（计算结果）
x 1 3 －4 0 101
y 7 11 －3 5 207
显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么?
填表：
+ 5
如果是，写出它的解析式. y = 2x+5
导入新知
2
是
2. 能用适当的方式表示简单实际问题中的
变量之间的函数关系.
1. 了解函数的三种表示法及其优缺点 .
素养目标
3. 能对函数关系进行分析，对变量的变化情
况进行初步讨论.
问题1：有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5 cm，
设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信
息完成下表：
受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？
m/kg 0 1 2 3 3.5 …
l/cm
答：是, y=0.5x+10
11.7511.51110.510
这里是怎样
表示弹簧的
长度l与所挂
重物x之间的
函数关系的？
列表格来表示的
探究新知
知识点 1
问题2：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每超过1
公里收2元，有一位乘客坐了x（x＞3）公里，他付费y元.用
含x的式子表示y，y是x的函数吗？
答：是, y=8+2（x-3）
=2x+2
探究新知
这里是怎样表
示所付费用y与
所走路程x的
函数关系的？用函数解析
式来表示．
问题3：如图是某地某一天的气温变化图.
（1）指出其中的两个变量是 ， .
（2）其中 是 的函数，自变量是 .
气温T 时间t
气温T 时间t 时间t
探究新知
这里是怎样表示气温T与
时间t之间的函数关系的？
用平面直
角坐标系
中的一个
图象来表
示的．
函数的三种表示法：
y = 2.88x
图象法、列表法、 解析式法．
1 4 9 16 25 36 49
探究新知
探究新知
归纳总结
函数的三种表示方法:
(1)列表法：用_______列出自变量与函数的对应值，表
示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做
列表法.
(2)图象法：用_______表示两个变量之间的函数关系，
这种表示函数的方法叫做图象法.
(3)解析式法：用__________表示函数的方法叫做解析
式法.
表格
图象
数学式
请从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归
纳函数三种表示方法的优缺点，填写下表：
表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性
列表法
解析式法
图象法
提示：从所填表中可以清楚看到三种表示方法各有优缺点.
在遇到实际问题时，就要根据具体情况选择适当的方法，
有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用.
√
×
×
× ×
×
√
√√
√√
探究新知
×
例1 一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6
个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y表示水位高度．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否
在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
探究新知
素养考点 1
t/h
y/m
O 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
解：可以看出，这6个点 ，且每小时水位 .
由此猜想，在这个时间段中水位可能是以同一速度均匀上升的.
在同一直线上 上升0.3m
5
探究新知
3
O 5
（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个
符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函
数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近5小时内持续上涨，对于时间t的每一个确定
的值，水位高度y 都有 的值与其对应，所以，y t 的函
数.
函数解析式为： . 变量的取值范围是： .
它表示在这 小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个
函数可以近似地表示水位的变化规律.
唯一 是
y=0.3t+3 0≤t≤5
5 0.3m/h
探究新知
t/h
y/m
O 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
探究新知
3
O 5
其函数的图象如下：
5
A
B
（3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高
度将达到多少m．
解：如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续2小
时，水位的高度： .
此时函数图象（线段AB）向 延伸到对应的位置，这
时水位高度约为 m.
5.1m
右
5.1
探究新知
1.已知火车站托运行李的费用C（元）和托运行李的重量P
（千克）（P为整数）的对应关系如表：
P 1 2 3 4 5 …
C 2 2.5 3 3.5 4 …
（1）已知小周的所要托运的行李重12千克，请问小周托运行
李的费用为多少元？
（2）写出C与P之间的函数解析式.
（3）小李托运行李花了15元钱，请问小李的行李重多少千克？
7.5元
C=0.5P+1.5
27千克
巩固练习
例2 如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为
x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值
范围；
（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
x
解：（1）y 是 x 的函数，自变量 x 的取
值范围是x＞0．
（2）y =2（x + ） 12
x
素养考点 2
探究新知
（3）当 x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量
之间的对应关系；
（4）能画出函数的图象吗？
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 26 16 14 14 14.8 16
40
35
30
25
20
15
10
5
5 10O x
y （3）
探究新知
解：
（4）
2.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数.
解：因为等边三角形的周长l是边长a的3倍，所以周长l
与边长a的函数关系可表示为：l=3a（a＞0）.
a … 1 2 3 4 …
l … 3 6 9 12 …
描点、连线：
用描点法画函数l=3a的图象.
O
2
x
y
1 2 3 4 5
8
6
4
10
12
巩固练习
巩固练习
连 接 中 考
1.（2018•宿迁）某种型号汽车油箱容量为40 L，每行驶100km耗
油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过
程中油箱内剩余油量为y（L）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内
剩余油量不低于油箱容量的 ，按此建议，求该辆汽车最多行驶
的路程．
4
1
解：（1）由题意可知： ，
∴y与x之间的函数表达式：y=﹣0.1x+40．
（2）∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的
∴当 ，则10=﹣0.1x+40．
∴x=300
故该辆汽车最多行驶的路程是300km．
1010040 xy
4
1
104
140 y
巩固练习
连 接 中 考
即y=﹣0.1x+40
2.（2019•上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下
降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队
员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温
是y℃，那么y关于x的函数解析式是____________．
巩固练习
y＝﹣6x+2
连 接 中 考
A. A比B先出发；
B. A、B两人的速度相同；
C. A先到达终点；
D. B比A跑的路程多.
C
1.如果A、B两人在一次百米赛跑中，路程（米）与赛跑的时间
t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
基 础 巩 固 题
课堂检测
2.一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的
时间，他们得到如下数据：
下列说法错误的是 ( )
A. 当h＝50 cm时，t＝1.89 s B. 随着h逐渐升高，t逐渐变小
C. h每增加10 cm，t减小1.23 s D. 随着h逐渐升高，小车的速度逐渐
加快
CC
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.已知等腰三角形的面积为30cm2，设它的底边长为xcm，底边
上的高为ycm
(1)求底边上的高y随底边长x变化的函数解析式．并求自变量的
取值范围．
(2)当底边长为10cm时,底边上的高是多少cm?
解： （x＞0）
(2)当x=10时，y=60÷10=6，
课堂检测
基 础 巩 固 题
即当底边长为10cm时,底边上的高是6cm.
(1) 60y x
4.测得一弹簧的长度L/cm与悬挂物的质量x/kg有下面一组对应
值：
试根据表中各对应值解答下列问题.
(1)用代数式表示悬挂质量为x kg的物体时的弹簧长度L；
(2)求所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度是多少？
(3)若测得弹簧长度为19 cm，判断所挂物体质量是多少千克？
课堂检测
基 础 巩 固 题
悬挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 …
弹簧长度L/cm 12 12.5 13 13.5 14 …
解：(1)L与x之间的关系式为L＝0.5x＋12；
(2)当x＝10时，L＝0.5×10＋12＝17.
∴当挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17厘米.
(3)当L＝19 cm，则19＝0.5x＋12，
∴所挂物体质量是14千克.
课堂检测
基 础 巩 固 题
解得：x＝14.
某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过
20吨，则按每吨1.9元收费，如果超过20吨，未超过的部分按每
吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为
x吨，应收水费为y元.
(1)某户3月份用水18吨，应收水费________元.某户4月份用水25
吨，应收水费_______元.(2)分别写出每月所收水费y元与用水量
x的关系式.(3)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该
户5月份用水多少吨？
52
34.2
能 力 提 升 题
课堂检测
解：(2)当0≤x≤20时，y＝1.9x；
当x＞20时，y＝1.9×20＋(x－20)×2.8＝2.8x－18.
(3)∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，
按每吨1.9元收费.∴用水量超过了20吨.
1.9×20＋(x－20)×2.8＝2.2x，
2.8x－18＝2.2x，
解得x＝30.
答：该户5月份用水30吨.
课堂检测
能 力 提 升 题
一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min ，2min，4min，
6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，150m，100m，
50m.
（1）小船与码头的距离s是时间t的函数吗？
是
拓 广 探 索 题
课堂检测
（2）如果是，写出函数的解析式，并画出函数图象.
函数解析式为： .
列表：
t/min 0 2 4 6 …
…
s/m 200 150 100 50 …
…
s = 200-25t
课堂检测
拓 广 探 索 题
船速度为
（200-150）÷2=25m/min，
t/min
s/m
O
1 2 3 4 5 6 7
50
100
150
200
画图：
课堂检测
拓 广 探 索 题
0
200
50
1 62 3 4 5
100
150
函数的表示
方法
解析式法：反映了函数与
自变量之间的数量关系
列表法：反映了函数与自
变量的数值对应关系
图象法：反映了函数随自
变量的变化而变化的规律
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
返回
2006年7月12日，我国著名运动员刘
翔在瑞士洛桑的田经大奖赛110米栏的决
赛中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年
的世界纪录,为我们中华民族争得了荣誉。
在这次决赛中刘翔平均每秒约跑8.54米.
假定刘翔在这次110米栏决赛中奔跑
速度是8.54米/秒，那么他奔跑的路程y
（单位：米）与奔跑时间x（单位：秒）
之间有什么关系？
y= 8.54x (0≤x ≤12.88)
导入新知
1. 理解正比例函数的概念.
2. 会求正比例函数的解析式，能利用正
比例函数解决简单的实际问题.
素养目标
写出下列问题中的函数关系式
(2)铁的密度为7.8g/cm3 ,铁块的质量m（单位：g）随它的体
积v（单位：cm3)大小变化而变化；
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度
h随这些练习本的本数n的变化而变化；
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：
℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化.
(2)m=7.8v
(3)h=0.5n
(4)T=-2t
(1)圆的周长l 随半径r的大小变化而变化；（1）l=2πr
探究新知
知识点 1
这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式.
（2）m = 7.8 v
（3）h = 0.5 n
（4）T = -2 t
（1）l = 2π r
y K(常数) x=
探究新知
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，
叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
y = k x (k≠0的常数)
比例系数
自变量
正比例函数一
般形式
注: 正比例函数y=kx(k≠0)
的结构特征
①k≠0 ②x的次数是1
探究新知
为什么强调k是
常数， k≠0呢？
1.下列函数中哪些是正比例函数？
（2）y = x+2（1）y =2x
（5）y=x2+1
3
xy （3）
xy 3（4）
12
1
xy（6）
是
是
不是
不是
不是
不是
巩固练习
例1 已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值.
解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，
解得：k＝1.
提示：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k ≠0）
的形式.
探究新知
素养考点 1 利用正比例函数的概念求字母的值
（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k
满足________.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则
k=_______.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则
k=________.
k≠1
2
4
巩固练习
2.求出下列各题中字母的值.
解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，
把 x =-4, y =2 代入上式，得 2 = -4k，
（2）当 x=6 时, y = -3.
例2 若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求当x=6时，函数y的值.
设
代
求
写
解得 ，2
1k
∴所求的正比例函数解析式是 ；1
2y x
探究新知
素养考点 2 利用待定系数法求正比例函数的解析式
待定系数法
3.若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=9时，求出对应的函数值y.
解：（1）设该正比例函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式得：-6=2k
解得k=-3
所以，y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x
（2）把x=9代入解析式得：y=-3×9=-27
巩固练习
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均
速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时
（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间
有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米
的南京南站？
探究新知
知识点 2 利用正比例函数解决实际问题
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点
站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数
点后一位)？
解：1318÷300≈4.4（小时）
探究新知
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与
运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
探究新知
解： y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，
是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？
解：y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未
到达距始发站1100千米的南京南站.
探究新知
例3 2016年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志
环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之
间有什么关系？
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约
是多少千米？
探究新知
素养考点 1 利用正比例函数解答实际问题
解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为
25600÷128=200（千米）
答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.
(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的
行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的
函数，函数解析式为
y =200x (0≤x≤128)
(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程，即 ：x=45，
所以y=200×45=9000（千米）
答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米.
探究新知
4.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比
例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
解：y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的
总收入为y元．
解：y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积
为ycm3.
解：y=3x 是正比例函数
巩固练习
（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．
C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
巩固练习
连 接 中 考
A
8y x
1.下列各函数是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.若 是正比例函数，则m=_______.
3.已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=6，则与之间的函数关系
为 .
2 1y x 2y x y x 3y x
235 mxy
C
1
y=-6x
基 础 巩 固 题
课堂检测
4.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ）
（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（ ）
×
×
√
注意：（1）中k可能为0；
√
课堂检测
基 础 巩 固 题
（4）中2+k2＞0，故y是x的正比例函数.
(1)若 是正比例函数，则m= ；| | 1( - 2) my m x -=
(2)若 是正比例函数，则m= ；2( -1) -1y m x m= +
-2
-1
m-2≠0，
|m|-
1=1，
∴ m=-2.
m-1≠0，
m2-1=0， ∴ m=-1.
5.求下列字母的值
课堂检测
基 础 巩 固 题
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽
油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行
程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
即 . 解： （1）y=5×15x÷100，
（2）当x=220 时，
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
.
y是x的正比例函数.
能 力 提 升 题
课堂检测
已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求
y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵x=4时，y=7，
∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
拓 广 探 索 题
课堂检测
正比例函数
的概念
形式：y=kx
（k≠0）
求正比例函数的解
析式
利用正比例函数解
决简单的实际问题
1.设
2.代
3.求
4.写
课堂小结
第二课时
返回
4
2
-2
-4 4 x
y
O
y =2 x
-4
-2 2
①确定函数自变量的取值范围.
②列表
③画图象
用描点法画函数图象有哪几个步骤？
导入新知
2.能根据正比例函数的图象和表达式 y =kx（
k≠0）理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征
与增减性.
1. 会画正比例函数的图象 .
素养目标
3. 掌握正比例函数的性质，并能灵活运用
解答有关问题.
画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x， ；（2）y=-1.5x，y=-4x.1
3y x
x
y
10
0
-1 2-2… …
… …2 4-2-4
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
探究新知
知识点 1
y=2x②描点；
③连线.
同样可以画出
函数 的图
象.
1
3y x
1
3y x
看图发现：这两个图象都是经过原点的 ．
而且都经过第 象限；一、三
直线
探究新知
解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x y=-1.5x
看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限
的直线.
二、四
探究新知
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一
条经过原点的直线
y=kx(k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
探究新知
提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx
1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x； （2） 3 .2y x
怎样画正比例函数的图象
最简单？为什么？
两点
作图法
提示：由于两点确定一条直
线，画正比例函数图象时我
们只需描点(0，0)和点 (1，
k)，连线即可.
巩固练习
O
x 0 1
y=-3x
xy 2
3
0 -3
0 3
2
y=-3x
3
2y x
函数y=-3x， 的图象如下：3
2y x解：列表如下：
巩固练习
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围
是________.
例2 已知正比例函数y=(k-3)x.
k＞3
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-3>0，
解得k>3.
探究新知
素养考点 1
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得
4=(k-3)·2，解得k=5.
=5
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.
2.已知正比例函数y=(k+5)x.
k
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