天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级下册 / 第27章 圆 / 华师版九年级数学下册第27章圆教学课件
资料简介
27.1 圆的认识
1.圆的基本元素
九年级数学·华师
第27章 圆
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有
关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）
3.掌握同圆中半径相等的性质并能运用.（难点）
学习目标
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形
对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
讲授新课
探究圆的概念一
合作探究
甲
丙乙
丁
为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
·
r
O
Au圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以
点O为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆O”.
u有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一
般用r表示．
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆 等圆
半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同
u确定一个圆的要素
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．
（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所
有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
O ·
A
C E
r
r
r
r r
D
定长r
同一个圆上
u圆的集合定义
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
要点归纳
o•
同圆半径相等.
典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
A
B C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
u弦:
· CO
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是
直径.
注意
圆的有关概念二
u弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一
条弧都叫做半圆．
Ø劣弧与优弧 ·
C
O
A
B
Ø半圆
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
(
u等圆:
· CO
A
能够重合的两个圆叫做等圆.
· CO1
A
容易看出：
等圆是两个半径相等的圆.
u等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫
做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
观察AD和BC是否相等？
例2 如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .
A
B
C
EF
D
O
劣弧：
优弧：
AF,
(
AD,
(
AC,
(
AE.
(
AFE,
(
AFC,
(
ADE,
(
ADC.
(
AF
(
要点归纳
1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2.直径是圆中最长的弦.
p附图解释：
· CO
A
B
连接OC,
在△AOC中，根据三角形三边关系有
AO+OC>AC,
而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B
、C在直径MN上，求证：OB=OC.
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ Ⅱ
10？
x
2x
2 2 210x+ =即(2x)
在Rt△ABO中， 2 2 2A B B O A O+ =
算一算：设在例3中，⊙ O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .
4 5
x
xx
x
变式：如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形
ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
= 4 5M O N °Ð
解：连结OA. ∵ABCD为正方形
∴DC=CO
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x
又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中, 2 2 2A B B O A O+ =
2 2 2(2 ) 10x+ =即(x) 2 5AB x\ = =
圆心角三
概念学习
O A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角 圆外角
圆周角（后面会
学到） 圆心角
练一练
1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径 半径
一 二
四
四
当堂练习
A B
C
D
O
F
E
2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
3． 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画
出羊的活动区域．
5m
5m
O4m
5m
O4m
参考答案：
圆
定 义
旋 转 定 义
要画一个确定的圆，关
键 是
确 定 圆 心 和 半 径
集 合 定 义 同 圆 半 径 相 等
有 关
概 念
弦（直径） 直径是圆中最长
的 弦
弧 半 圆 是 特 殊 的 弧
劣 弧
半 圆
优 弧
同心圆
等圆同圆
等弧
能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧
课堂小结
圆 心 角 顶点在圆心，并且两边都和圆
周相交的角
27.1 圆的认识
2.圆的对称性
第1课时 圆的对称性
第27章 圆
九年级数学·华师
1.理解掌握圆的对称性.（重点）
2.运用圆的对称性研究圆心角、弧、弦之间的关系.
（难点）
3.掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能加以应用.
（难点）
学习目标
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
导入新课
讲授新课
圆的对称性一
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多
少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一
条过圆心的直线.
用折叠的方法
●O
说一说
圆是中心对称图形
.
O
A B
180°
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你
得到什么结论呢？
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α·
u在同圆中探究
在⊙ O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有
怎样的数量关系？
⌒ ⌒
C
·
O A
B
D
圆心角、弧、弦之间的关系二
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙ O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
归纳
» »A B C D
·O
A B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依
然成立？为什么？
·O ′
C D
u在等圆中探究
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，
那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
归纳
⌒ ⌒
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的
弦相等．
①∠AOB=∠COD ②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
如果弧相等 那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等 那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等在
同
圆
或
等
圆
中
题设 结论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对
的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对
的弧相等．
关系结构图
×
×
√
抢答题
1.等弦所对的弧相等. （ ）
2.等弧所对的弦相等. （ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙ O 的直径， BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = ．
·A O B
C
DE75°
=35BOC COD DOE ，
7 5 .
解： ∵
例1 如图，AB是⊙ O 的直径，
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·A O B
C
DE
关系定理及推论的运用三
» » »= =B C C D D E，
» » »= =BC CD DE，
典例精析
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图，在⊙ O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B C
O
⌒ ⌒
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
∵AB=CD，⌒ ⌒
填一填： 如图，AB、CD是⊙ O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，____________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
, ,
1 1, .2 2
.
, R t R t .
.
O E A B O F C D
A E A B C F C D
A B C D A E C F
O A O C A O E C O F
O E O F
又 ＝ , ＝
又 ＝
≌
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
解：OE=OF. 理由如下：
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
D
60 °
当堂练习
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）⌒ ⌒
A
A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. ABCD,即CD＜2AB.
⌒ ⌒
»C D
»A B »C E
»A B»C D»D E
A B
C
D
EO
圆心角
弦、弧、圆心角的关系
定 理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应 用 提 醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
课堂小结
27.2 圆的对称性
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
第27章 圆
九年级数学·华师
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的
计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为
37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径
吗？
导入新课
情境引入
问题：如图,AB是⊙ O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有
那些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重
合． ⌒ ⌒⌒ ⌒
·O
A B
D
E
C
讲授新课
垂径定理及其推论一
u垂径定理
·O
A B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所
对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD.
u推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才
能运用自如.
归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是 不是，因为没有
垂直
是 不是，因为CD没有
过圆心
A B
O
C
D
E
O
A B
C
A B
O
E
A B
D
C
O
E
Ø垂径定理的几个基本图形：
A B
O
C
D
E A B
O
E
D
A B
O
D
C
A B
O
C
归纳总结
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
D
O
A BE
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒
证明猜想
如图，AB是⊙ O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·O
A B
C
D
E
⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒ ⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不
能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对
的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
u垂径定理的推论
·OA
B
C
D
Ø特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙ O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·O
A BE解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
一 垂径定理及其推论的计算二
∴ 2 2
2 210 6 8
AE OA OE
cm.
典例精析
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，
求半径OC的长.
·O
A B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ 1 1 8 4 (cm)2 2AD AB
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理
，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例3：已知：⊙ O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒ ⌒
.
M
C D
A B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒ ⌒
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于
弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半
径的问题吗?
垂径定理的实际应用三
A B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB
交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
2 2 2OA AD OD Q ，
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，
则弓形的高为＿＿＿____＿.
64
C
D
C
B
O
A DO
A B
图a 图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距
离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心
距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下
关系：
弓形中重要数量关系
A B
C
D
O
h
r d
2
2 2
2
ar d d+h=r
O
A BC
·
归纳总结
1.已知⊙ O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的
半径为 . 5cm
2.⊙ O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
10 3 cm
3.（分类讨论题）已知⊙ O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
当堂练习
4.如图，在⊙ O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于
D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·O
A B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A C D B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是
一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段
弯路的半径.
解:连接OC.
● O
C
D
E
F
┗
1 1 6 0 0 3 0 0 ( m ).2 2C F C D
2 2 2 ,O C C F O F
22 23 0 0 9 0 .R R
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
拓展提升：
如图，⊙ O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的
取值范围 . 3cm≤OP≤5cm
BA
O
P
垂径定理
内 容
推 论
辅 助 线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直
径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中
两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 弦 ,
并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧
两 条 辅 助 线 ：
连 半 径 ， 作 弦 心 距
构造Rt△利用勾股定理计算或
建立方程.
基本图形及变式
图 形
课堂小结
27.1 圆的认识
3. 圆周角
九年级数学·华师
第27章 圆
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问
题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
导入新课
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
复习引入
C
A E
D
B
思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处
的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员
应选择从哪一点的位置射门更有利？
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
讲授新课
圆周角的定义一
·
C O
AB
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）（1） （3）
（5） （6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交√
√√
想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，
∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·OA
C
B
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系
u圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
知识要点
典例精析
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
CA
B
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等
于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的
数量关系.
1
2BAC BOC
圆周角定理及其推论二
测量与猜测
圆心O 在∠BAC的 内
部
圆心O在∠BAC的一边
上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与论证
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
1
2BAC BOC
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B C
D
n圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
BAD BOD1
2
DAC DOC1
2
BAC
BAD DAC
BOD DOC BOC1 1( )2 2
DAC DOC1
2
O
A
B
D C
O
A
D C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
n圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理的推论三
问题1 如图，OB，OC都是⊙ O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接
AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
互动探究
Q BAC BOC1 ,2
1 ,2B D C B O C
∴∠BAC=∠BDC
相等
D
A B
O
C
E
F
问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ » ¼ ，C D E F
» ¼Q ，CD EF
相等
.C O D E O F
Q ， ，A COD B EOF1 1
2 2
.A B
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？» ¼C D E F
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
u圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所
对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理
A1
A2
A3
要点归纳
推论1：90°的圆周角所对的 弦是直
径.
试一试：
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧
，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º，理由
是 ;
(2)∠BDC= º，理由是 .
70
35 同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(1)完成下列填空：
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的
对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O1 (((
(
(
(
(
(
23 4 5
6
7 8
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
60° x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例3：如图，⊙ O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙ O于B, 求AB、
BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
2 2 2 21 0 6 8;D C A C A D
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
2 2 10 5 2 (cm ).2 2A B B C A C
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角
三角形来求解.
归纳
如图，BD是⊙ O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙ O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构
造直角三角形解题．
练一练
C
例4 如图,AB是⊙ O的直径,弦CD交AB于点P,
∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
. OA
D
C
P B
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边
形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形.
圆内接四边形三
如图，四边形ABCD为⊙ O的内接四边形，⊙ O为四边形
ABCD的外接圆.
u探究性质
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间
的关系为： ∠A+ ∠C=180º，
∠B+ ∠D=180º
想一想：
如何证明你的猜想呢？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
证明猜想
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
归纳总结
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它
的内对角.
C
O
D
B
A
E
1．四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则
∠C= ，∠D= .
2．⊙ O的内接四边形ABCD中，∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ，则
∠D= .
70º 100º
90º
练一练
例5：如图，AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，交⊙ O于D，AF交⊙ O于
G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙ O，∴∠FGD＝
∠ACD.
又∵AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直
平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
如图，在⊙ O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么
∠BCD是( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，
故选A.
练一练
A
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
例6 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.
求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
当堂训练
2.已知△ABC的三个顶点在⊙ O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
BA
C
O
166°
3.如图，已知BD是⊙ O的直径，⊙ O的弦AC⊥BD于点E，若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆
周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
AB
C
D
O
4.如图，四边形ABCD内接于⊙ O,如果
∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ）
A 115° B 130°
C 65° D 50°
5.如图，等边三角形ABC内接于⊙ O，P是AB上的
一点，则∠APB= .
A B
C
P
C
120°
6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ACB= ，∠ADB= . D
A
O
C
B
130° 50°
7.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙ O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙ O的半径是 .
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
8. 如图，OA，OB，OC都是⊙ O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
Q A C B A O B1 ,2
1 ,2BAC BOC
∠AOB=2∠BOC，
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B
表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一
点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区
域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于
暗礁区域外（即⊙ O外） ，与两个灯
塔的夹角∠α小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证： .» »B D D E
A
B CD
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，
∵AB=AC， ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
» »B D D E
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推
论
课堂小结
在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角相等，都等
于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦
是直径；
2.圆内接四边形的对角互
补.
1.顶点在圆上，2.
两边都与圆相交的
角（二者必须同时
具备）
圆周角与直
线的关系
半圆或直径所对的
圆周角都相等，都
等于90°（直角）.
27.2 与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
九年级数学·华师
第27章 圆
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
学习目标
导入新课
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上
不同位置的成绩是如何计算的吗？
情境引入
想一想
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.o.
C
. ... B . .A.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系一
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位
置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙ O内
点P在⊙ O上
点P在⊙ O外
d
d
d
r
P
d
Pr
d P
r
d
＜ r
r =
＞ r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、
12cm，则点A、B、C与⊙ O的位置关系是：点A在 ；点B
在 ；点C在 .
练一练：
圆内 圆上
圆外
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点
P在（ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
3
o
D
要点归纳
r
P
d
Pr
d P
r
d
R
r
P
点P在⊙ O内 dr 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合： 位置关系 数量关系
例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙ A，则点B、C、D与⊙ A的位置关系如何
？
解：AD=4=r，故D点在⊙ A上
AB=3r，故C点在⊙ A外
（2）若以A点为圆心作⊙ A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至
少有一点在圆外，求⊙ A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
3 r
rd
∟
rd
∟
r
d
数形结合： 位置关系 数量关系
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o o o
公共点个
数
要点归纳
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：
（3）若d=8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
（2）若d=6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
（1）若d=4cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____个公共点.
(3)若AB和⊙ O相交,则 .
2.已知⊙ O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件
填写d的范围:
(1)若AB和⊙ O相离, 则 ;
(2)若AB和⊙ O相切, 则 ;
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
0cm≤d < 5cm 2 1 0 练一练： B C A 4 3 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为 半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm． 分析：要了解AB与⊙ C的位置关系，只要知道圆心C到AB 的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d. D 典例精析 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在△ABC中， AB= 2 2A C B C 2 23 4 5. 根据三角形的面积公式有 1 1 .2 2C D A B A C B C ∴ 3 4 2 .4 ( c m ) ,5 A C B CC D A B 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以 (1)当r=2cm时, 有d >r,
因此⊙ C和AB相离.
B
C A
4
3
Dd
记住：斜边上的高等于
两直角边的乘积除以斜
边.
（2）当r=2.4cm时,有d=r.
因此⊙ C和AB相切.
B
C A
4
3
D
d
（3）当r=3cm时，有d r
相 切 : d = r
相 交 : d < r 0 个 ： 相 离 ； 1 个 ： 相 切 ； 2 个 ： 相 交 d > r ： 相 离
d = r : 相 切
d < r ： 相 交 见《学练优》本课时练习 课后作业 27.2 与圆有关的位置关系 第1课时 切线的性质与判定 3. 切线 九年级数学·华师 第27章 圆 学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点） 导入新课 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方 向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学 完这节课，你就都会明白. Ｏ A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径 有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 切线的判定定理一 O 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 要点归纳 判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. l A O. l A B A O l (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂 直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条 件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说 这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半 径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. l A l O l rd 要点归纳 例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的 直径，点A,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 例2 已知：直线AB经过⊙ O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直 线AB是⊙ O的切线. 分析：由于AB过⊙ O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙ O的半径, ∴ AB是⊙ O的切线. 例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙ O 与AB 相切 于E.求证：AC 是⊙ O 的切线． B O C E A分析：根据切线的判定定理，要证明AC 是⊙ O的切线，只要证明由点O向AC所作 的垂线段OF是⊙ O的半径就可以了，而 OE是⊙ O的半径，因此只需要证明 OF=OE. F 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙ O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙ O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙ O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 如图，已知直线AB经过⊙ O上的点C，并且 OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙ O的切线. C BA O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙ O的直径 为6. 求证：直线AB是⊙ O的切线. C BA O 对比思考 作垂直连接 方法归纳 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 思考：如图，如果直线l是⊙ O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙ O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理二 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. （1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂 足为M, （2）则OM
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