天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 八年级下册 / 第19章 矩形、菱形与正方形 / 华师版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形教学课件
资料简介
1.
矩形的性质
第
19
章 矩形、菱形与正方形
19.1
矩形
学习目标
1.
理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别
与
联系
.
（重点）
2.
会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题
.
（
重点、
难点）
观察下面图形
,
发现长方形
在
生活中无处不在
.
导入新课
情景引入
思考
长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
讲授新课
矩形的性质
一
活动
1
：
利用一个活动的平行四边形教具演示
,
使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察
.
长方形
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
.
定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形
.
归纳总结
平行四边形不一定是矩形
.
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑
.
活动
2
：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等
.
（
1
）请同学们以小组为单位
,
测量身边的矩形（如书本
,
课桌
,
铅笔盒等）四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数
,
并记录测量结果
.
A
B
C
D
O
AC
BD
∠
BAD
∠
ADC
∠
BCD
∠
ABC
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（
2
）
根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想
1
矩形的四个角都是直角
.
猜想
2
矩形的对角线相等
.
你能证明吗？
证明：由定义，矩形必有一个角是直角，
设
∠
A
= 90°
∵
AB∥DC
，
A
D
∥
B
C
，
∴∠
B
=∠
C
=∠
D
=90°.
（两直线平行，同旁内角互补）
即矩形
ABCD
的四个角都是直角
.
已知
,
矩形
ABCD
.
求证
：
∠
A
=
∠
B
=
∠
C
=
∠
D
=90°
.
A
B
C
D
证一证
证明：
∵
四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AB
=
DC
,∠
ABC
=∠
DCB
=90°
,
在△
ABC
和△
DCB
中
,
∵
AB
=
DC
,
∠
ABC
=∠
DCB
,
BC
=
CB
,
∴△
ABC
≌
△
DCB
.
∴
AC
=
DB
.
A
B
C
D
O
如图
,
四边形
ABCD
是矩形
,
∠
ABC
=90°,
对角线
AC
与
DB
相交于点
O
.
求证
：
AC
=
DB
.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有：
矩形的四个角都是直角
.
矩形的对角线相等
.
归纳总结
几何语言描述：
在矩形
ABCD
中，对角线
AC
与
DB
相交于点
O
.
∠
ABC
=∠
BCD
=∠
CDA
=∠
DAB
=90°
，
AC
=
DB
.
A
B
C
D
O
例
1
如图
,
在矩形
ABCD
中
,
两条对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
∠
AOB
=60°
,
AB
=4
,
求矩形对角线的长
.
解：∵四边形
ABCD
是矩形
.
∴
AC
=
BD
，
OA
=
OC
=
AC
,
OB
=
OD
=
BD
,
∴
OA
=
OB
.
又
∵
∠
AOB
=60°
,
∴
△
OAB
是等边三角形，
∴
OA
=
AB
=4
，
∴
AC
=
BD
=2
OA
=8.
A
B
C
D
O
典例精析
矩形的对角线相等且互相平分
例
2
如图
,
在矩形
ABCD
中
,
E
是
BC
上一点
,
AE
=
AD
,
DF
⊥
AE
,
垂足为
F
.
求证：
DF
=
DC
.
A
B
C
D
E
F
证明：连接
DE
.
∵
AD
=
AE
,∴∠
AED
=∠
ADE
.
∵
四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AD∥BC
,∠
C
=90°.
∴∠
ADE
=∠
DEC
,
∴∠
DEC
=∠
AED
.
又∵
DF
⊥
AE
, ∴∠
DFE
=∠
C
=90°.
∴
DF
=
DC
.
例
3
如图，将矩形
ABCD
沿着直线
BD
折叠，使点
C
落在
C
′
处，
BC
′
交
AD
于点
E
，
AD
＝
8
，
AB
＝
4
，求
△
BED
的面积．
解：
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
AD
∥
BC
，
∠
A
＝
90°
，
∴∠2
＝
∠3.
又由折叠知
∠1
＝
∠2
，
∴∠1
＝
∠3
，
∴
BE
＝
DE
.
设
BE
＝
DE
＝
x
，则
AE
＝
8
－
x
.
∵
在
Rt△
ABE
中，
AB
2
＋
AE
2
＝
BE
2
，
∴4
2
＋
(8
－
x
)
2
＝
x
2
，
解得
x
＝
5
，即
DE
＝
5.
∴
S
△
BED
＝
DE
·
AB
＝
×5×4
＝
10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考：
矩形是不是中心对称图形
?
如果是,那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此
O
做一做
请同学们拿出准备好的矩形纸片
,
折一折
,
观察并思考
.
矩形是不是轴对称图形
?
如果是,那么对称轴有几条
?
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴
.
练一练
1.
如图，在矩形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
交于点
O
，
下列说法错误的是 （ ）
A．
AB
∥
DC
B．
AC
=
BD
C．
AC
⊥
BD
D．
OA
=
OB
A
B
C
D
O
C
2.
如图，
EF
过矩形
ABCD
对角线的交点
O
，且分别交
AB
、
CD
于
E
、
F
，那么阴影部分的面积是矩形
ABCD
面积的
_________.
3.
如图，在矩形
ABCD
中，
AE
⊥
BD
于
E
，
∠
DAE
：
∠
BAE
＝
3
：
1
，求
∠
BAE
和
∠
EAO
的度数．
解：
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴∠
DAB
＝
90°
，
AO
＝
AC
，
BO
＝
BD
，
AC
＝
BD
，
∴∠
BAE
＋
∠
DAE
＝
90°
，
AO
＝
BO
.
又
∵∠
DAE
：
∠
BAE
＝
3
：
1
，
∴∠
BAE
＝
22.5°
，
∠
DAE
＝
67.5°.
∵
AE
⊥
BD
，
∴∠
ABE
＝
90°
－
∠
BAE
＝
90°
－
22.5°
＝
67.5°
，
∴∠
OAB
＝
∠
ABE
＝
67.5°
∴∠
EAO
＝
67.5°
－
22.5°
＝
45°.
当堂练习
1.
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
( )
A.
对角线相等
B.
对边相等
C.
对角相等
D.
对角线互相平分
2.
若矩形的一条对角线与一边的夹角为
40°,
则两条对角线相交的锐角是
( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
A
C
3.
如图，在矩形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，点
E
、
F
分别是
AO
、
AD
的中点，若
AB
=6cm，
BC
=8cm，则
EF
=
______
cm．
(
提示：三角形中，两边中点
所连线段的长是第三边长的
一半
)
2.5
4.
如图
,
四边形
ABCD
是矩形
,
对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
BE∥AC
交
DC
的延长线于点
E
.
（
1
）求证：
BD
=
BE
,
（
2
）若
∠
DBC
=30° ,
BO
=4 ,
求四边形
ABED
的面积
.
(
提示：直角三角形中，
30
°角所对边的长等于斜
边的一半
)
A
B
C
D
O
E
(1)
证明：∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AC
=
BD
,
AB∥CD
.
又∵
BE∥AC
,
∴
四边形
ABEC
是平行四边形
,
∴
AC
=
BE
,
∴
BD
=
BE
.
(2)
解：
∵
在矩形
ABCD
中
,
BO
=4
,
∴
BD
= 2
BO
=2×4=8.
∵∠
DBC
=30°
,
∴
CD
=
BD
= ×8=4
,
∴
AB
=
CD
=4
,
DE
=
CD
+
CE
=
CD
+
AB
=8.
在
Rt△
BCD
中
,
BC
=
∴四边形
ABED
的面积
= ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
5.
如图，在矩形
ABCD
中，
AB
=6，
AD
=8，
P
是
AD
上的动点，
PE
⊥
AC
，
PF
⊥
BD
于
F
，求
PE
+
PF
的值
.
解：连接
OP
.
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴∠
DAB
=90°，
OA
=
OD
=
OC
=
OB
，
∴
S
△
AOD
=
S
△
DOC
=
S
△
AOB
=
S
△
BOC
=
S
矩形
ABCD
= ×6×8=12
.
在Rt△
BAD
中，由勾股定理得
BD
=10，
∴
AO
=
OD
=5，
∵
S
△
APO
+
S
△
DPO
=
S
△
AOD
，
∴
AO
·
PE
+
DO
·
PF
=12，即5
PE
+5
PF
=24，
∴
PE
+
PF
=
.
能力提升：
课堂小结
矩形的相关概念及性质
四个内角都是直角，对边相等
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
19.1
矩形
2.
矩形的判定
第
19
章 矩形、菱形与正方形
学习目标
1.
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，
理解并掌握
矩形的判定定理．（重点）
2.
能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题
.(
难点
)
复习引入
导入新课
问题
1
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
.
问题
2
矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
思考
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧
.
讲授新课
有三个角是直角的四边形是矩形
一
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法
.
问题
1
除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
矩形是特殊的平行四边
形
.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题
是否成立
.
问题
2
上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形
.
成立
问题
3
至少有几个角是直角的四边形是矩形
？
A
B
D
C
(
有一个角是直角
)
A
B
D
C
(
有二个角是直角
)
A
B
D
C
(
有三个角是直角
)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形
.
已知：如图
,
在四边形
ABCD
中
,∠
A
=∠
B
=∠
C
=90
°
.
求证：四边形
ABCD
是矩形
.
证明
:∵ ∠
A
=∠
B
=∠
C
=90
°
,
∴∠
A
+∠
B
=180
°
,
∠
B
+∠
C
=180
°
，
∴
AD∥BC
,
AB∥CD
.
∴
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理
1
：
有三个角是直角的四边形是矩形
.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形
ABCD
中，
∵
∠
A
=∠
B
=∠
C
=90
°
,
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
A
B
C
D
思考
一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形
.
例
1
如图，
□
ABCD
的四个内角的平分线分别相交于
E
、
F
、
G
、
H
，求证：四边形
EFGH
为矩形．
证明：在
□
ABCD
中，
AD∥BC
,
∴∠
DAB
+∠
ABC
=180
°
.
∵
AE
与
BG
分别为∠
DAB
、
∠
ABC
的平分线
,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形
EFGH
是矩形．
同理可证
∠
AED
=
∠
EHG
=90°,
∴∠
AFB
=90°
，
∴∠
GFE
=90°.
∴ ∠
BAE
+ ∠
ABF
=
∠
DAB
+
∠
ABC
=90
°
.
例
2
如图，在
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
⊥
BC
，垂足为
D
，
AN
是
△
ABC
外角
∠
CAM
的平分线，
CE
⊥
AN
，垂足为
E
，求证：四边形
ADCE
为矩形．
证明：在
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
⊥
BC
，
∴∠
BAD
＝
∠
DAC
，即
∠
DAC
＝
∠
BAC
.
又
∵
AN
是
△
ABC
外角
∠
CAM
的平分线，
∴∠
MAE
＝
∠
CAE
＝
∠
CAM
,
∴∠
DAE
＝
∠
DAC
＋
∠
CAE
＝
(∠
BAC
＋
∠
CAM
)
＝
90°.
又
∵
AD
⊥
BC
，
CE
⊥
AN
，
∴∠
ADC
＝
∠
CEA
＝
90°,
∴
四边形
ADCE
为矩形．
练一练
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
上节课我们已经知道
“
矩形的对角线相等
”
，反过来，
小明猜想
“
对角线相等的四边形是矩形
”
，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
.
不对，等腰梯形的对角线也相等
.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分
.
思考
你能证明这一猜想吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
二
已知：如图
,
在
□
ABCD
中
,
AC
,
DB
是它的两条对角线
,
AC
=
DB
.
求证：
□
ABCD
是矩形
.
证明：∵
AB
=
DC
,
BC
=
CB
,
AC
=
DB
,
∴ △
ABC
≌
△
DCB
,
∴∠
ABC
= ∠
DCB
.
∵
AB
∥
CD
,
∴∠
ABC
+ ∠
DCB
= 180°
,
∴ ∠
ABC
= 90°
,
∴
□
ABCD
是矩形（矩形的定义）
.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理
2
：
对角线相等的平行四边形是矩形
.
归纳总结
几何语言描述：
在平行四边形
ABCD
中，
∵
AC
=
BD
，
∴
平行
四边形
ABCD
是矩形
.
A
B
C
D
思考
数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验
两组对边相等
的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果
对角线长相等
，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
.
例
3
如图，在
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
OA
=
OD
，∠
OAD
=50°
．求∠
OAB
的度数．
A
B
C
D
O
解：
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
OA
=
OC
=
AC
，
OB
=
OD
=
BD
.
又
∵
OA
=
OD
，
∴
AC
=
BD
，
∴
四边形
ABCD
是矩形，
∴
∠
BAD=
90
°
.
又
∵
∠
OAD
=50°
，
∴
∠
OAB
=40°.
例
4
如图
,
矩形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AO
、
BO
、
CO
、
DO
上的一点
,
且
AE
=
BF
=
CG
=
DH
.
求证
:
四边形
EFGH
是矩形
.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
AC
=
BD
（矩形的对角线相等
)
，
AO
=
BO
=
CO
=
DO
（矩形的对角线互相平分），
∵
AE
=
BF
=
CG
=
DH
，
∴
OE
=
OF
=
OG
=
OH
，
∴
四边形
EFGH
是平行四边形，
∵
EO
+
OG
=
FO
+
OH
，
即
EG
=
FH
，
∴
四边形
EFGH
是矩形
.
练一练
1.
如图，在▱
ABCD
中，
AC
和
BD
相交于点
O
，则下面条件能判定▱
ABCD
是矩形的是 （ ）
A．
AC
=
BD
B．
AC
=
BC
C．
AD
=
BC
D．
AB
=
AD
A
2.
如图，在
ABCD
中
, ∠1= ∠2
中
.
此时四边形
ABCD
是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形
ABCD
是矩形
.
理由如下：
∵
四边形
ABCD
是平行四边形
∴
AO
=
CO
,
DO
=
BO
.
又
∵ ∠1= ∠2
，
∴
AO
=
BO
，
∴
AC
=
BD
，
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
当堂练习
1.
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（
1
）对角线相等的四边形是矩形；
（
2
）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（
3
）有一个角是直角的四边形是矩形；
（
5
）有三个角是直角的四边形是矩形；
（
6
）四个角都相等的四边形是矩形；
（
7
）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（
4
）有三个角都相等的四边形是矩形
;
×
×
×
×
√
√
√
√
（
8
）一组对角互补的平行四边形是矩形；
2.
如图
,
直线
EF∥MN
,
PQ
交
EF
、
MN
于
A
、
C
两点
,
AB
、
CB
、
CD
、
AD
分别是
∠
EAC
、
∠
MCA
、
∠
ACN
、
∠
CAF
的平分线
,
则四边形
ABCD
是
（ ）
A.
梯
形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
3.
如图，在四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，∠
BAD
=90°，
AB
=5，
BC
=12，
AC
=13．求证：四边形
ABCD
是矩形．
证明：四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，∠
BAD
=90°，
∴∠
ADC
=90°
.
又∵△
ABC
中，
AB
=5，
BC
=12，
AC
=13，
满足13
2
=5
2
+12
2
，
∴△
ABC
是直角三角形，且∠
B
=90°，
∴四边形
ABCD
是矩形．
A
B
C
D
4.
如图，平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，延长
OA
到
N
，使
ON
＝
OB
，再延长
OC
至
M
，使
CM
＝
AN
.
求证：四边形
NDMB
为矩形．
证明：
∵
四边形
ABCD
为平行四边形，
∴
AO
＝
OC
，
OD
＝
OB
.
∵
AN
＝
CM
，
ON
＝
OB
，
∴
ON
＝
OM
＝
OD
＝
OB
，
∴
四边形
NDMB
为平行四边形，
MN
＝
BD
，
∴
平行四边形
NDMB
为矩形．
5.
如图，
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
是
BC
边上的高，
AE
是
△
BAC
的外角平分线，
DE
∥
AB
交
AE
于点
E
，求证：四边形
ADCE
是矩形．
证明：
∵
AB
＝
AC
，
AD
⊥
BC
，
∴∠
B
＝
∠
ACB
，
BD
＝
DC
.
∵
AE
是
∠
BAC
的外角平分线，
∴∠
FAE
＝
∠
EAC
.
∵∠
B
＋
∠
ACB
＝
∠
FAE
＋
∠
EAC
，
∴∠
B
＝
∠
ACB
＝
∠
FAE
＝
∠
EAC
，
∴
AE
∥
CD
.
又
∵
DE
∥
AB
，
∴
四边形
AEDB
是平行四边形，
∴
AE
平行且相等于
BD
.
又
∵
BD
＝
DC
，
∴
AE
平行且等于
DC
，
故四边形
ADCE
是平行四边形
.
又
∵∠
ADC
＝
90°
，
∴
平行四边形
ADCE
是矩形．
6.
如图，在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
∠
B
＝
90°
，
AD
＝
24cm
，
BC
＝
26cm
，动点
P
从点
A
出发沿
AD
方向向点
D
以
1cm/s
的速度运动，动点
Q
从点
C
开始沿着
CB
方向向点
B
以
3cm/s
的速度运动．点
P
、
Q
分别从点
A
和点
C
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形
PQCD
是平行四边形？
解：设经过
x
s
，四边形
PQCD
为平行四边形，
即
PD
＝
CQ
，
所以
24
－
x
＝
3
x
，
解得
x
＝
6.
即经过
6s
，四边形
PQCD
是平行四边形；
能力提升：
(2)经过多长时间，四边形
PQBA
是矩形？
解：设经过
y
s
，四边形
PQBA
为矩形，
即
AP
＝
BQ
，
所以
y
＝
26
－
3
y
，
解得
y
＝
6.5
，
即经过
6.5s
，四边形
PQBA
是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
.
对角线相等的平行四边形是矩形
.
有三个角是直角的四边形是矩形
.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
19.2
菱形
第
19
章 矩形、菱形和正方形
1.
菱形的性质
第
1
课时 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系
.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
导入新课
情景引入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧
.
平行
四边形
矩形
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了
矩形是由平行四边形角的变化得到
，如果平行四边形
有一个角是直角
时
,
就成为了矩形
.
有一个角是直角
讲授新课
菱形的性质
一
思考
如果从边的角度
,
将平行四边形特殊化
,
内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等
,
这个特殊的平行四边形叫什么呢
?
平行四边形
定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
.
菱形
一组邻边相等
菱形是特殊的平行四边形
.
平行四边形不一定是菱形
.
知识要点
活动
1
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动
2
在自己剪出的菱形上画出两条折痕
,
折叠手中 的图形
(
如图），并回答以下问题
:
问题
1
菱形是轴对称图形吗
?
如果是
,
指出它的对称轴
.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴
.
问题
2
根据上面折叠过程，猜想
菱形的四边在数量上
有什么关系
?
菱形的两对角线有什么关系
?
猜想
1
菱形的四条边都相等
.
猜想
2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角
.
已知：如图，在菱形
ABCD
中
，
AB
=
AD
，对角线
AC
与
B
D
相交
于点
O
.
求证
:(1)
AB
=
BC
=
CD
=
AD
；
(2)
AC
⊥
BD
；
∠
DAC=
∠
BAC
，
∠
DCA=
∠
BCA
，
∠
ADB=
∠
CDB
，
∠
ABD=
∠
CBD
.
证明：（1）∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AB
=
CD
，
AD
=
BC
（菱形的对边相等）.
又∵
AB
=
AD
,
∴
AB
=
BC
=
CD
=
AD
.
A
B
C
O
D
证一证
（
2
）∵
AB
=
AD,
∴
△
ABD
是等腰三角形
.
又∵四边形
ABCD
是菱形
,
∴
OB
=
OD
（菱形的对角线互相平分）
.
在等腰三角形
ABD
中
,
∵
OB
=
OD
，
∴
AO
⊥
BD
，
AO
平分
∠
B
A
D
，
即
AC
⊥
BD
，
∠
DAC=
∠
BAC
.
同理可证
∠
DCA=
∠
BCA
，
∠
ADB=
∠
CDB
，
∠
ABD=
∠
CBD
.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质
.
对称性：是轴对称图形.
边：
四条边都相等
.
对角线：
互相垂直
，且每
条对角线平分一组对角
.
角：对角相等.
边：对边平行且相等
.
对角线：相互平分
.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
例
1
如图
,
在菱形
ABCD
中，∠
BAD
＝
2∠B
，试求出
∠B
的大小，并说明△
ABC
是等边三角形
.
解：在菱形
ABCD
中，
AB
＝
BC
∠B
＋∠
BAD
＝
180°
又已知∠
BAD
＝
2∠B
可得∠
B
＝
60°
所以△
ABC
是一个角为
60°
的等腰三角形，即为等边三角形
.
A
B
C
D
典例精析
例
2
如图，在菱形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
BD
＝
12cm
，
AC
＝
6cm
，求菱形的周长．
解：因为四边形
ABCD
是菱形，
所以
AC
⊥
BD
，
AO
＝
AC
，
BO
＝
BD
.
因为
AC
＝
6cm
，
BD
＝
12cm
，
所以
AO
＝
3cm
，
BO
＝
6cm.
在
Rt△
ABO
中，由勾股定理得
所以菱形的周长＝
4
AB
＝
4×3
＝
12 (cm)
．
例
3
如图，在菱形
ABCD
中，
CE
⊥
AB
于点
E
，
CF
⊥
AD
于点
F
，求证：
AE
＝
AF
.
证明：连接
AC
.
∵
四边形
ABCD
是菱形，
∴
AC
平分
∠
BAD
，
即
∠
BAC
＝
∠
DAC
.
∵
CE
⊥
AB
，
CF
⊥
AD
，
∴∠
AEC
＝
∠
AFC
＝
90°.
又
∵
AC
＝
AC
，
∴△
ACE
≌
△
ACF
.
∴
AE
＝
AF
.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
1.
如图，在菱形
ABCD
中，已知
∠
A
＝
60°
，
AB
＝
5
，则
△
ABD
的周长是
(
)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
练一练
2.
如图，菱形
ABCD
的周长为48cm，对角线
AC
、
BD
相交于
O
点，
E
是
AD
的中点，连接
OE
，则线段
OE
的长为
_______.(
提示：三角形中两边中点所连线段的长等于第三边的长
)
第
1
题图
第
2
题图
6
cm
思考：
菱
形是不是中心对称图形
?
如果是,那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于菱形是平行四边形，因此
O
做一做：
把图中的菱形
ABCD
沿直线
DB
对折（即作关于直线
DB
的轴对称），点
A
的像是
______
， 点
C
的像是
_____
， 点
D
的像是
_____
，点
B
的像是
_____
，边
AD
的像是
_____
，边
CD
的像是
_____
， 边
AB
的像是
_____
，边
CB
的像是
_____.
点
C
点
A
边
CD
点
B
点
D
边
AD
边
CB
边
AB
想一想：你能得到什么结论？
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴
.
菱形的面积
二
问题
1
菱形是特殊的平行四边形
,
那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形
ABCD
的面积
?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直
,
那么能否利用对角线来计算菱形
ABCD
的面积呢
?
能
.
过点
A
作
AE
⊥
BC
于点
E
,
则
S
菱形
ABCD
=
底×高
=
BC
·
AE
.
E
问题
2
如图，四边形
ABCD
是菱形，对角线
AC
，
BD
交于点
O
,
试用对角线表示出菱形
ABCD
的面积
.
A
B
C
D
O
解：
∵
四边形
ABCD
是菱形，
∴
AC
⊥
BD
,
∴
S
菱形
ABCD
=
S
△
ABC
+
S
△
ADC
=
AC
·
BO
+
AC
·
DO
=
AC
(
BO
+
DO
)
=
AC
·
BD
.
你有什么发现？
菱形的面积
=
底
×
高
=
对角线乘积的一半
例
4
如图，在菱形
ABCD
中，点
O
为对角线
AC
与
BD
的交点，且在
△
AOB
中，
OA
＝
5
，
OB
＝
12.
求菱形
ABCD
两对边的距离
h
.
解：在
Rt△
AOB
中，
OA
＝
5
，
OB
＝
12
，
所以
S
△
AOB
＝
OA
·
OB
＝
×5×12
＝
30
，
所以
S
菱形
ABCD
＝
4
S
△
AOB
＝
4×30
＝
120.
因为
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以
S
菱形
ABCD
＝
AB
·
h
＝
13
h
，
所以
13
h
＝
120
，得
h
＝
.
菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
归纳
练一练
如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高
DE
为（ ）
A
.
2.4cm B
.
4.8cm C
.
5cm D
.
9.6cm
B
1.
菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.
对角相等
B.
对边相等
C.
对角线互相垂直
D.
对角线相等
C
2.
如图，在菱形
ABCD
中，
AC
=8，
BD
=6，则△
ABD
的周长等于 （ ）
A
.
18 B
.
16 C
.
15 D
.
14
当堂练习
B
3.
根据下图填一填：
（1）已知菱形
ABCD
的周长是12cm，那么它的边长
是 ______.
（
2）
在
菱形
ABCD
中，
∠
ABC
＝120
°，则
∠
BAC
＝
_______.
（3）菱形
ABCD
的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
(4)
菱形的一个内角为
120°,
平分这个内角的对角
线长为
11
cm
，则菱形的周长为
______.
44
cm
(5)
菱形的面积为
64
平方厘米，两条对角线的长度比为
1∶2 ,
那么菱形最短的那条对角线长为
_______.
8
厘米
A
B
C
O
D
4.
如图
,
四边形
ABCD
是边长为
13cm
的菱形
,
其中对
角线
BD
长
10cm.
求
:(1)
对角线
AC
的长度
;
(2)
菱形
ABCD
的面积
.
解
:(1)
∵
四边形
ABCD
是菱形
,
∴∠
AED
=90
°
,
(2)
菱形
ABCD
的面积
∴
AC
=2
AE
=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
5.
如图，四边形
ABCD
是菱形，
F
是
AB
上一点，
DF
交
AC
于
E
． 求证：∠
AFD
=
∠
CBE
．
证明：∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
CB
=
CD
，
CA
平分∠
BCD
．
∴∠
BCE
=
∠
DCE
．
又
CE
=
CE
，
∴△
BCE
≌
△
DCE
（
SAS
）．
∴∠
CBE
=
∠
CDE
．
∵在菱形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
∴∠
AFD
=
∠
FDC
.
∴∠
AFD
=
∠
CBE
．
A
D
C
B
F
E
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.
周长
=
边长的四倍
2.
面积
=
底×高
=
两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.
两组对边平行且相等；
2.
四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.
两条对角线互相垂直平分
；
2.
每一条对角线平分一组对角
19.2
菱形
第
19
章 矩形、菱形和正方形
1.
菱形的性质
第2课时 菱形的性质与其他几何图形性质的综合
1.利用菱形特有的性质，计算面积等；
2.菱形的性质与其他几何图形的综合运用
.
（难点）
学习目标
问题
:
什么样的四边形是菱形？它有哪些性质呢？
导入新课
复习引入
菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴
菱形四条边都相等(
AB
=
BC
=
CD
=
AD
).
菱形的对角线互相垂直(
AC
⊥
BD
).
A
B
C
O
D
菱形的定义：
有一组邻边相等的
平行四边形
菱形的面积及其他相关计算
A
B
D
C
a
h
(1)
平行四边形的面积计算公式：
S = a
·
h
.
(2)
菱形的面积计算公式：
S = S
△
ABD
+
S
△
BCD
= AO
·
DB + CO
·
DB
= AC·DB
.
O
讲授新课
例
1
如图，已知菱形
ABCD
的边长为
2cm
，∠
BAD
＝
120°
，对角线
AC
、
BD
相交于点
O.
试求这个菱形的两条对角线
AC
与
BD
的长
.
解：在菱形
ABCD
中，
∵∠
ABC+∠BAD
＝
180°
，
∠
BAD
＝
120°
，∴ ∠
ABC
＝
60°
又∵
AB
＝
BC
，∴ △
ABC
是等边三角形
.
∴
AC
＝
AB
＝
2
在
Rt
△
ABO
中，
AB
＝２，
AO
＝
1,
典例精析
C
B
D
A
O
例
2
如图，菱形花坛
ABCD
的边长为
20m
，
∠
ABC
＝
60
°，沿着菱形的对角线修建了两条小路
AC
和
BD
，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到
0.01m
和
0.1m
2
）
(
提示：直角三角形中，
30
°角所对边的长等于斜边长的一半
).
A
B
C
D
O
解：
∵
花坛
ABCD
是菱形，
【变式题】
如图，在菱形
ABCD
中，∠
ABC
与∠
BAD
的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
(
提示：直角三角形中，
30
°
角所对边的长等于斜边长的一半
)
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AB
=
BC
，
AC
⊥
BD
，
AD
∥
BC
，
∴∠
ABC
+∠
BAD
=180°
.
∵∠
ABC
与∠
BAD
的度数比为1：2，
∴∠
ABC
= ×180°
=
60°，
∴∠
ABO
= ×∠
ABC
=
30°，△
ABC
是等边三角形
.
∴
OA
=
AB
=1cm，
AC
=
AB
=2cm，
∴
BD
=2
OB
= cm；
（2）
S
菱形
ABCD
=
AC
•
BD
= ×2× = （cm
2
）．
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是
60
°时，菱形被分为两个等边三角形
.
归纳
∵菱形
ABCD
的周长是8cm．
∴
AB
=2cm，
例
3
如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于
O
，
AE
垂直平分
CD
，垂足为点Ｅ
.
求∠
BCD
的大小
.
解：在菱形
ABCD
中，
AD
＝
DC
，
∵
AE
垂直平分
CD
，
∴
AC
＝
AD
，∴
AD
＝
CD
＝
AC
，
∴△
ACD
是等边三角形
.
∴∠
ACD
＝
60°
，
在菱形
ABCD
中，
∵∠
BCD
＝
2
∠
ACD
，
∴∠
BCD
＝
120°.
例
4
如图，
E
为菱形
ABCD
边
BC
上一点，且
AB
=
AE
，
AE
交
BD
于
O
，且
∠
DAE
=2∠
BAE
，求证：
OA
=
EB
.
A
B
C
D
O
E
证明：
∵
四边形
ABCD
为菱形，
∴
AD∥BC
，
AD
=
BA
，
∠
ABC
＝
∠
ADC
＝
2∠
ADB
，
∴∠
DAE
＝
∠
AEB
，
∵
AB
=
AE
,∴∠
ABC
＝
∠
AEB
，
∴∠
ABC
=∠
DAE
＝
2∠
ADB
，
∵∠
DAE
＝
2∠
BAE
，
∴∠
BAE
＝
∠
ADB
.
又
∵
AD
＝
BA
，
∴△
AOD
≌
△
BEA
，
∴
AO
＝
BE
.
1.
已知菱形的周长是
24cm
，那么它的边长是
______.
2.
如图，菱形
ABCD
中，∠
BAD
＝
120
°，
则∠
BAC
＝
_______.
6cm
60
°
3.
如图，菱形的两条对角线长分别为
10cm
和
24cm
，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm
A
B
C
D
O
当堂练习
4.
如图，在菱形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，
∠
BAD
=60°
，
BD =
6
，
求菱形的边长
AB
和对角线
AC
的长
.
解：∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AC
⊥
BD
(菱形的对角线互相垂直)
OB
=
OD
=
BD =
×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形
ABC
中，
∵∠
BAD
=60°，
∴△
ABD
是等边三角形.
∴
AB
=
BD
= 6.
A
B
C
O
D
在
Rt
Δ
AOB
中，由勾股定理，得
OA
=
= =
∴
AC
=2
OA
=
（菱形的对角线相互平分）
.
A
B
C
O
D
5.
如图，
O
是菱形
ABCD
对角线
AC
与
BD
的交点，
CD
＝
5cm
，
OD
＝
3cm
；过点
C
作
CE
∥
DB
，过点
B
作
BE
∥
AC
，
CE
与
BE
相交于点
E
.
(1)
求
OC
的长；
(2)
求四边形
OBEC
的面积．
解：
(1)∵
四边形
ABCD
是菱形，
∴
AC
⊥
BD
.
在直角
△
OCD
中，由勾股定理得
OC
＝
4cm
；
(2)∵
CE
∥
DB
，
BE
∥
AC
，
∴
四边形
OBEC
为平行四边形
.
又
∵
AC
⊥
BD
，即
∠
COB
＝
90°
，
∴
平行四边形
OBEC
为矩形
.
∵
OB
＝
OD
＝
3cm
，
∴
S
矩形
OBEC
＝
OB
·
OC
＝
4×3
＝
12(cm
2
)
．
菱 形
课堂小结
性 质
有关计算
1.
四边相等
2.
对角线互相垂直平分
1.
周长：边长的四倍
2.
面积：两条对角线乘积的一半
19.2
菱形
第
19
章 矩形、菱形与正方形
2.
菱形的判定
第
1
课时 菱形的判定定理
1
学习目标
1.
运用菱形的定义来判定菱形；（重点）
2.
利用菱形的性质（四条边相等）来判定菱形
.
（难点）
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
复习引入
导入新课
问题
菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义
,
可得菱形的第一个判定的方法：
AB
=
AD
，
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
.
A
B
C
D
思考
还有其他的判定方法吗？
四条边都相等的四边形是菱形
一
小刚：
分别以
A
、
C
为圆心
,
以大于
AC
的长为半径作弧
,
两条 弧分别相交于点
B
,
D
,
依次连接
A
、
B
、
C
、
D
四点
.
已知线段
AC
,
你能用尺规作图的方法作一个菱形
ABCD
,
使
AC
为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：
根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：
四条边相等的四边形
是菱形
.
讲授新课
证明：
∵
AB
=
BC
=
CD
=
AD
;
∴
AB
=
CD
,
BC=AD
.
∴
四边形
ABCD
是平行四边形
.
又
∵
AB
=
BC
,
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
已知：如图，四边形
ABCD
中
,
AB
=
BC=CD=AD.
求证：四边形
ABCD
是菱形
.
证一证
四条边都相等
的四边形是
菱形
AB
=
BC=CD=AD
几何语言描述：
∵
在四边形
ABCD
中，
AB
=
BC=CD=AD
，
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
菱形
ABCD
菱形的判定定理：
要点归纳
四
边形
ABCD
A
B
C
D
下列命题中正确的是 （ ）
A.
一组邻边相等的四边形是菱形
B.
三条边相等的四边形是菱形
C.
四条边相等的四边形是菱形
D.
四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明： ∵ ∠
1=
∠
2,
又∵
AE
=
AC
,
AD
=
AD
,
∴ △
ACD
≌
△
AED
(SAS).
同理△
ACF
≌
△
AEF
(SAS) .
∴
CD
=
ED
,
CF
=
EF
.
又∵
EF
=
ED
,∴
CD
=
ED
=
CF
=
EF
,
∴
四边形
CDEF
是菱形
.
2
例
1
如图
,在△
ABC
中
,
AD
是角平分线
,
点
E
、
F
分别在
AB
、
AD
上
,
且
AE
=
AC
,
EF
=
ED
.
求证：四边形
CDEF
是菱形
.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例
2
如图，在
△
ABC
中，
∠
B
＝
90°
，
AB
＝
6cm
，
BC
＝
8cm.
将
△
ABC
沿射线
BC
方向平移
10cm
，得到
△
DEF
，
A
，
B
，
C
的对应点分别是
D
，
E
，
F
，连接
AD
.
求证：四边形
ACFD
是菱形．
证明：由平移变换的性质得
CF
＝
AD
＝
10cm
，
DF
＝
AC
.
∵∠
B
＝
90°
，
AB
＝
6cm
，
BC
＝
8cm
，
∴
AC
＝
DF
＝
AD
＝
CF
＝
10cm
，
∴
四边形
ACFD
是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
归纳
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
AB
=
CD
，
∠A=∠D=90
°
.
∵点
F
、
E
、
H
为
AB
、
AD
、
CD
的中点，
∴△
AEF
≌
△
DEH
，
∴EF=EH
，
同理可得
EF=EH=HG=FG.
例
3
如图，顺次连接矩形
ABCD
各边中点，得到四边形
EFGH
，求证：四边形
EFGH
是菱形
.
∴
四边形
EFGH
是菱形
.
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展
如图，顺次连接平行四边形
ABCD
各边中点，得到四边形
EFGH
是什么四边形？
解：
∵
四边形
ABCD
为平行四边形，
∴AD=BC
，
AB=CD
，
∠A=∠C
，
∴
四边形
EFGH
是平行四边形
.
∵点
E
、
F
、
G
、
H
为各边中点，
∴
△
AEF
≌
△
CGH
，
∴EF
=
GH
，
同理可得
FG=EH
，
思考
在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分
ABCD
的形状吗？
A
C
D
B
分析：
易知四边形
ABCD
是
平行四边形
，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可
.
由题意可知
BC
边上的高和
CD
边上的高相等，
然后通过证△
ABE
≌
△
ADF
，即得
AB
=
AD
.
请补充完整的证明过程
E
F
1.如图，将△
ABC
沿
BC
方向平移得到△
DCE
，连接
AD
，下列条件能够判定四边形
ACED
为菱形的是（
）
A．
AB
=
BC
B．
AC
=
BC
C．∠
B
=60° D．∠
ACB
=60°
B
解析：∵将△
ABC
沿
BC
方向平移得到△
DCE
，
∴
A
C
∥D
E
，
A
C
=
D
E
，
∴四边形
A
CE
D
为平行四边形
.
当
AC
=
BC
时，
AC=CE
，
平行四边形
ACED
是菱形．
故选B．
当堂练习
2.
如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，连接ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（ ）
A．AB=AD B．AB=ED
C．CD=AE D．EC=AD
B
3.
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD
.
又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°
.
∵在△AEO和△AFO中
∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF
,
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
AE=AF.
∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
.
又
∵AE=AF
，∴平行四边形AEDF为菱形．
（1）证明：由尺规作∠
BAF
的平分线的过程可得
AB
=
AF
，∠
BAE
=∠
FAE
，
∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
AD
∥
BC
，∴∠
FAE
=∠
AEB
，
∴∠
BAE
=∠
AEB
，∴
AB
=
BE
，
∴
BE
=
FA
，∴四边形
ABEF
为平行四边形，
∵
AB
=
AF
，
∴四边形
ABEF
为菱形；
4.
如图
,
在平行四边形
ABCD
中，用直尺和圆规作∠
BAD
的
平分线交
BC
于点
E
，连接
EF
．
（1）求证：四边形
ABEF
为菱形；
（2）
AE
，
BF
相交于点
O
，若
BF
=6，
AB
=5，求
AE
的长．
（2）
AE
，
BF
相交于点
O
，若
BF
=6，
AB
=5，求
AE
的长．
解：∵四边形
ABEF
为菱形，
∴
AE
⊥
BF
，
BO
=
FB
=3，
AE
=2
AO
，
在Rt△
AOB
中，由勾股定理得
AO
=4，
∴
AE
=2
AO
=8．
定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
.
判定定理
1
：
四边都相等的四边形是菱形
.
菱形的判定
课堂小结
19.2
菱形
第
19
章 矩形、菱形与正方形
第
2
课时
菱形的判定定理
2
2.
菱形的判定
学习目标
1.
利用菱形特有性质（对角线互相垂直）来判定平行四边形是否为菱形；（重点）
2.
菱形的性质与判定的综合运用
.
（难点）
问题：
上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？
导入新课
1.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
.
2.
定理：四边相等的四边形是菱形
.
复习引入
菱形的特有性质：对角线互相垂直平分
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
.
能否判定？
思考：还有其他的判定方法吗？
做一做：
先将一张长方形的纸对折
,
再对折
,
然后沿图中的虚线剪下
,
将纸展开
,
就得到了一个菱形
.
(1)
(2)
(3)
(4)
你能说说这样做的道理吗
?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一
前面我们用一长一短两根细木条
,
在它们的中点处固定一个小钉
,
做成一个可以转动的十字
,
四周围上一根橡皮筋
,
做成一个平行四边形
.
那么转动木条
,
这个平行四边形什么时候变成菱形
?
对此你有什么猜想？
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
.
你能证明这一猜想吗？
讲授新课
作一条两条对角线互相垂直的平行四边形
.
步骤
:
1.
作两条互相垂直的直线
m
、
n,
记交点为点
O;
2.
以点
O
为圆心、适当长为半径画弧，
在直线
m
，
n
上分别截取相等的
两组线段
OA
、
OC
和
OB
、
OD
；
3.
连接
A
、
B
、
C
、
D
四点 ，显然，
它是一个对角线互相垂直的平行四边形
.
n
m
D
C
B
A
画图探究
思考：所画平行四边形是菱形吗？
O
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形
ABCD
是平行四边形
,
对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，
AC
⊥
BD
.
求证：
□
ABCD
是菱形
.
证明：
∵四边形
ABCD
是平行四边形
.
∴
OA
=
OC
.
又
∵
AC
⊥
BD
,
∴
BD
是线段
AC
的垂直平分线
.
∴
BA
=
BC
.
∴四边形
ABCD
是菱形（菱形的定义）
.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形
是菱形
AC
⊥
BD
几何语言描述：
∵
在
□ABCD
中，
AC
⊥
BD
,
∴
□
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
菱形
ABCD
A
B
C
D
□ABCD
平行四边形的判定定理
2
：
归纳总结
思考与动手
:
1.
在一张纸上用尺规作图作出边长为
10cm
的菱形
;
2.
想办法用一张长方形纸剪出一个菱形
;
3.
利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？
请向同学们展示你的作品
,
全班交流
.
例
1
如图，
ABCD
的两条对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
AB
=5
，
AO
=4
，
BO
=3.
求证：四边形
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
O
∴
平行四边形
ABCD
是菱形
.
∵
OA
=4,
OB
=3,
AB
=5
，
证明：
即
AC
⊥
BD
，
∴
AB
2
=
OA
2
+
OB
2
，
∴
△
AOB
是直角三角形，
例
2
如图
,
矩形
ABCD
的对角线
AC
的垂直平分线与边
AD
、
BC
分别交于点
E
、
F
,
求证：四边形
AFCE
是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明
: ∵
四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AE∥FC
，
∴
∠
1=∠2
.
∵
EF
垂直平分
AC
，
∴
AO
=
OC
.
又
∠
AOE
=∠
COF
，
∴△
AOE
≌
△
COF
，∴
EO
=
FO
.
∴四边形
AFCE
是平行四边形
.
又∵
EF
⊥
AC
∴ 四边形
AFCE
是菱形
.
练一练
在四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
互相平分，若添加一个条件使得四边形
ABCD
是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠
ABC
=90°
B．
AC
⊥
BD
C．
AB
=
CD
D．
AB
∥
CD
B
例
3
如图，在△
ABC
中，
DE
∥
BC
，且2
DE
＝
BC
，
BE
＝2
DE
，延长
DE
到点
F
，使得
EF
＝
BE
，连接
CF
.
(1)求证：四边形
BCFE
是菱形；
(1)证明：
∵
DE
∥
BC
，且2
DE
＝
BC
，
又∵
BE
＝2
DE
，
EF
＝
BE
，
∴
EF
＝
BC
，
EF
∥
BC
，
∴四边形
BCFE
是平行四边形．
又∵
EF
＝
BE
，
∴四边形
BCFE
是菱形；
菱形的性质与判定的综合运用
二
(2)解：∵∠
BCF
＝120°，
∴∠
EBC
＝60°，
∴△
EBC
是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若
CE
＝4，∠
BCF
＝120°，求菱形
BCFE
的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
归纳
练一练
如图，在平行四边形
ABCD
中，
AC
平分∠
DAB
，
AB
=2，求平行四边形
ABCD
的周长
.
解：∵四边形
ABCD
为平行四边形，
∴∠
DAC
=∠
ACB
，∠
BAC
=∠
ACD
，
∵
AC
平分∠
DAB
，
∴∠
DAC
=∠
BAC
，
∴∠
DAC
=∠
ACD
，
∴
AD
=
DC
，
∴四边形
ABCD
为菱形，
∴四边形
ABCD
的周长=4×2=8．
当堂练习
1.
判断下列说法是否正确
(1)
对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)
对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4)
两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.
一边长为
5cm
的平行四边形的两条对角
线的长分别为
24cm
和
26cm
，那么平行四边形的面积是
.
312cm
2
A
B
C
D
O
E
3.
如图，矩形
ABCD
的对角线相交于点
O
，
DE∥AC
,
CE ∥BD
.
求证：四边形
OCED
是菱形
.
证明：
∵
DE∥AC
，
CE∥BD
，
∴
四边形
OCED
是平行四边形
.
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
OC
=
OD
，
∴
四边形
OCED
是菱形．
4.
如图，在
平行四边形
ABCD
中，
AC =
6，
BD
= 8，
AD
= 5. 求
AB
的长.
解
:
∵ 四边形
ABCD
为平行四边形，
∴ △
DAO
是直角三角形
.
∴ ∠
DOA
= 90°
，即
DB
⊥
AC.
∴ 平行四边形
ABCD
是菱形
.
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴
又∵
AD=
5
，满足
∴
AB=AD=
5
.
证明：
∵
MN
是
AC
的垂直平分线，
∴
AE
=
CE
，
AD
=
CD
，
OA
=
OC
，
∠
AOD
=∠
EOC
=90°.
∵
CE∥AB
，
∴∠
DAO
=∠
ECO
，
∴△
ADO
≌
△
CEO
（
ASA
）．
∴
AD
=
CE
，
OD
=
OE
，
∵
OD
=
OE
，
OA
=
OC
，
∴
四边形
ADCE
是平行四边形
又
∵∠
AOD
=90°
，
∴
四边形
ADCE
是菱形．
5.
如图，
△
ABC
中，
AC
的垂直平分线
MN
交
AB
于点
D
，交
AC
于点
O
，
CE∥AB
交
MN
于点
E
，连接
AE
、
CD
.
求证：四边形
ADCE
是菱形
.
B
C
A
D
O
E
M
N
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
课堂小结
见
《
学练优
》
本课时练习
课后作业
19.3
正方
形
第
19
章 矩形、菱形和正方形
学习目标
1.
探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；
(
重、难点
)
2.
探索并证明正方形的判定；
(
重、难点
)
3.
会运用正方形
的性质
及判定条件进行有关的论证
和计算
.
(
难点
)
导入新课
观察下面图形
,
正方形是我们熟悉的几何图形，
在
生活中无处不在
.
情景引入
你还能举出其他的例子吗？
讲授新课
矩 形
〃
〃
问题
1
：
矩形怎样变化后就成了正方形呢
?
你有什么
发现？
问题引入
正方形的性质
一
正方形
问题
2
菱形怎样变化后就成了正方形呢
?
你有什么
发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫
正方形
.
归纳总结
已知：如图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
求证：正方形
ABCD
四边相等
,
四个角都是直角
.
A
B
C
D
证明：∵四边形
ABCD
是正方形
.
∴∠
A
=90°
,
AB
=
AC
（正方形的定义）
.
又∵正方形是平行四边形
.
∴
正方形是矩形（矩形的定义）
,
正方形是菱形
(
菱形的定义
).
∴∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
= 90°
,
AB= BC
=
CD
=
AD
.
证一证
已知：如图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
对角线
AC
、
BD
相交于点
O
.
求证
：
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
AC
⊥
BD
.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形
ABCD
是矩形
,
∴
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
∵
正方形
ABCD
是菱形
.
∴
AC
⊥
BD
.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形
,
也是特殊的矩形
,
也是特殊的菱形
.
所以矩形、菱形有的性质
,
正方形都有
.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：
1.
正方形的四个角都是直角
,
四条边相等
.
2.
正方形的对角线相等且互相垂直平分
.
归纳总结
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴
.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
知识要点
A
B
C
D
例
1
求证
:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形
.
A
D
C
B
O
已知
:
如图
,
四边形
ABCD
是正方形
,
对角线
AC
、
BD
相
交于点
O
.
求证
: △
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
是全等的
等腰直角三角形
.
证明
: ∵
四边形
ABCD
是正方形
,
∴
AC
=
BD
,
AC
⊥
BD
,
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
∴ △
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
都
是等腰直角三角形
,
并且
△
ABO
≌
△
BCO
≌
△
CDO
≌
△
DAO
.
典例精析
例
2
如图，在正方形
ABCD
中，
Δ
BEC
是等边三角形，
求证： ∠
EAD
＝∠
EDA
＝
15°
.
证明：∵
Δ
BEC
是等边三角形，
∴
BE
=
CE
=
BC
,∠
EBC
=∠
ECB
=60
°，
∵ 四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB
=
BC
=
CD
,∠
ABC
=∠
DCB
=90
°，
∴
AB
=
BE
=
CE
=
CD
,
∠
ABE
=
∠
DCE
=30
°，
∴△
ABE
，△
DCE
是等腰三角形，
∴∠
BAE
=
∠
BEA
=
∠
CDE
=
∠
CED
=75
°，
∴∠
EAD
=
∠
EDA
=90
°
-75
°
=15
°
.
【变式题
1
】
四边形
ABCD
是正方形，以正方形
ABCD
的一边作等边
△
ADE
，求
∠
BEC
的大小．
解：当等边
△
ADE
在正方形
ABCD
外部时，如图
①
，
AB
＝
AE
，
∠
BAE
＝
90°
＋
60°
＝
150°.
∴∠
AEB
＝
15°.
同理可得
∠
DEC
＝
15°.
∴∠
BEC
＝
60°
－
15°
－
15°
＝
30°
；
当等边
△
ADE
在正方形
ABCD
内部时，如图
②
，
AB
＝
AE
，
∠
BAE
＝
90°
－
60°
＝
30°
，
∴∠
AEB
＝
75°.
同理可得
∠
DEC
＝
75°.
∴∠
BEC
＝
360°
－
75°
－
75°
－
60°
＝
150°.
综上所述，
∠
BEC
的大小为
30°
或
150°.
易错提醒：因为等边△
ADE
与正方形
ABCD
有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△
ADE
在正方形的外部或在正方形的内部．
【变式题
2
】
如图，在正方形
ABCD
内有一点
P
满足
AP
=
AB
，
PB
=
PC
，连接
AC
、
PD
．
（1）求证：△
APB
≌
△
DPC
；
解：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴∠
ABC
=∠
DCB
=90°
,
AB
=
DC
．
∵
PB
=
PC
，
∴∠
PBC
=∠
PCB
．
∴∠
ABC
-∠
PBC
=∠
DCB
-∠
PCB
，
即∠
ABP
=∠
DCP
．
又∵
AB
=
DC
，
PB
=
PC
，
∴△
APB
≌
△
DPC
．
证明：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴∠
BAC
=∠
DAC
=45°．
∵△
APB
≌
△
DPC
，
∴
AP
=
DP
．
又∵
AP
=
AB
=
AD
，
∴
DP
=
AP
=
AD
．
∴△
APD
是等边三角形．
∴∠
DAP
=60°．
∴∠
PAC
=∠
DAP
-∠
DAC
=15°．
∴∠
BAP
=∠
BAC
-∠
PAC
=30°．
∴∠
BAP
=2∠
PAC
．
（2）
求证：
∠BAP=2∠PAC．
例
3
如图，在正方形
ABCD
中，
P
为
BD
上一点，
PE⊥BC
于
E
，
PF
⊥
DC
于
F
.
试说明：
AP
=
EF
.
A
B
C
D
P
E
F
解
:
连接
PC
，
AC
.
又
∵
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
DC
,
∵
四边形
ABCD
是正方形
,
∴∠
FCE
=90°,
AC
垂直平分
BD
,
∴
四边形
PECF
是矩形
,
∴
PC
=
EF
.
∴
AP
=
PC
.
∴
AP
=
EF
.
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明
.
归纳
1.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是
( )
A.
四个角相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角互补
D.
对角线相等
2.
正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.
四条边相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角线平分一组对角
D.
对角线相等
B
D
练一练
2.
如图，四边形
ABCD
是正方形，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，
AO
＝
2
，求正方形的周长与面积．
解：
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AC
⊥
BD
，
OA
＝
OD
＝
2.
在
Rt△
AOD
中，由勾股定理，得
∴
正方形的周长为
4
AD
＝ ，
面积为
AD
2
＝
8.
正方形的判定
二
活动
1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠
,
然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证
.
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知：如图
,
在矩形
ABCD
中
,
AC
,
DB
是它的两条对角线
,
AC
⊥
DB
.
求证：四边形
ABCD
是正方形
.
证明：∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AO
=
CO
=
BO
=
DO
.
∵
AC
⊥
DB
,
∴
AD
=
AB
=
BC
=
CD
,
∴矩形
ABCD
是正方形
.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形
.
活动
2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状
.
量量看是不是正方形
.
正方形
菱形
猜想
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图
,
在菱形
ABCD
中
,
AC
,
DB
是它的两条对角线
,
AC
=
DB
.
求证：四边形
ABCD
是正方形
.
证明：∵
四边形
ABCD
是菱形
,
∴
AB
=
BC
=
CD
=
AD
,
AC
⊥
DB
.
∵
AC
=
DB
,
∴
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
∴△
AOD
,
△
AOB
,
△
COD
,
△
BOC
是等腰直角三角形，
∴∠
DAB
=∠
ABC
=∠
BCD
=∠
A
D
C
=90
°
,
∴菱形
ABCD
是正方形
.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形
.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
(
二选一
)
菱形条件
(
二选一
)
一个直角，
一组邻边相等，
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
在四边形
ABCD
中，
O
是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A
．
AC
=
BD
，
AB∥CD
，
AB
=
CD
B
．
AD∥BC
，∠
A
=∠
C
C
．
AO
=
BO
=
CO
=
DO
，
AC
⊥
BD
D
．
AO
=
CO
，
BO
=
DO
，
AB
=
BC
练一练
C
A
B
C
D
O
例
4
在正方形
ABCD
中，点
E
、
F
、
M
、
N
分别在各边上，且
AE
=
BF
=
CM
=
DN
．四边形
EFMN
是正方形吗
?
为什么
?
解：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB
=
BC
=
CD
=
DA
，
∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
=90
°
.
∵
AE
=
BF
=
CM
=
DN
，
∴
AN
=
BE
=
CF
=
DM
.
分析：由已知可证
△
AEN
≌
△
BFE
≌
△
CMF
≌
△
DNM
，得四边形
EFMN
是菱形，再证有一个角是直角即可
.
在△
AEN
、△
BFE
、△
CMF
、△
DNM
中，
AE
=
BF
=
CM
=
DN
,
∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
,
AN
=
BE
=
CF
=
DM
,
∴△
AEN
≌
△
BFE
≌
△
CMF
≌
△
DNM
,
∴
EN
=
FE
=
MF
=
NM
，
∠
ANE
=∠
BEF
,
∴
四边形
EFMN
是菱形，
∠
NEF
=180°
－（∠
AEN
+∠
BEF
）
=180°
－（∠
AEN
+∠
ANE
）
=180°
－
90°=90°.
∴
四边形
EFMN
是正方形
.
证明：
∵
DE
⊥
AC
，
DF
⊥
AB
，
∴∠
DEC
= ∠
DFC
=90°
.
又∵ ∠
C
=90 °
，
∴
四边形
EDFC
是矩形
.
过点
D
作
DG
⊥
AB
，垂足为
G
.
∵
AD
是∠
CAB
的平分线
DE
⊥
AC
，
DG
⊥
AB
，
∴
DE
=
DG
.
同理得
DG
=
DF
，
∴
ED
=
DF
，
∴矩形
EDFC
是正方形
.
例
5
如图，在直角三角形中，∠
C
=90°
，∠
A
、∠
B
的平分线交于点
D
.
DE
⊥
AC
，
DF
⊥
AB
.
求证
:
四边形
CEDF
为正方形
.
A
B
C
D
E
F
G
例
6
如图，
EG
,
FH
过正方形
ABCD
的对角线的交点
O
,
且
EG
⊥
FH
.
求证：四边形
EFGH
是正方形
.
证明：∵四边形
ABCD
为正方形
,
∴
OB
=
OC
,
∠
ABO=
∠
BCO
=45°
,
∠
BOC
=90°=∠
COH
+∠
BOH
.
∵
EG
⊥
FH
,
∴∠
BOE
+∠
BOH
=90°
,
∴∠
COH=
∠
BOE
,
∴
△
CHO
≌
△
BEO
,
∴
OE
=
OH
.
同理可证：
OE
=
OF
=
OG
,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴
OE=OF=OG=OH
.
又∵
EG
⊥
FH
,
∴四边形
EFGH
为菱形
.
∵
EO
+
GO
=
FO
+
HO
,
即
EG
=
HF
,
∴菱形
EFGH
为正方形
.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
例
7
如图，正方形
ABCD
，动点
E
在
AC
上，
AF
⊥
AC
，垂足为
A
，
AF
=
AE
．
（1）求证：
BF
=
DE
；
（2）当点
E
运动到
AC
中点时
(
其他条件都保持不变
)
，
问四边形
AFBE
是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形
ABCD
，
∴
AB
=
AD
，∠
BAD
=90°，
∵
AF
⊥
AC
，∴∠
EAF
=90°，
∴∠
BAF
=∠
EAD
，
在△
ADE
和△
ABF
中，
AD
＝
AB
，∠
DAE
＝∠
BAF
，
AE
＝
AF
,
∴△
ADE
≌
△
ABF
（SAS），∴
BF
=
DE
；
（2）解：当点E运动到
AC
的中点时四边形
AFBE
是正方形，
理由：∵点
E
运动到
AC
的中点，
AB
=
BC
，
∴
BE
⊥
AC
，
BE
=
AE
=
AC
，
∵
AF
=
AE
，
∴
BE
=
AF
=
AE
.
又∵
BE
⊥
AC
，∠
FAE
=∠
BEC
=90°，
∴
BE
∥
AF
，
∵
BE
=
AF
，
∴四边形
AFBE
为平行四边形，
∵∠
FAE
=90°，
AF
=
AE
，
∴平行四边形
AFBE
是正方形．
思考
前面学菱形时我们探究了
顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
.
顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
平行
四边形
2.
一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ ）
A
.
2cm
2
B
.
4cm
2
C
.
6cm
2
D
.
8cm
2
A
1.
平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
3
．在正方形
ABCD
中
,
∠
ADB
=
,
∠
DAC
=
,
∠
BOC
=
.
4.
在正方形
ABCD
中，
E
是对角线
AC
上一点，且
AE=AB
，则∠
EBC
的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第
3
题图
第
4
题图
45°
5.
如图，四边形
ABCD
中，∠
ABC
=∠
BCD
=∠
CDA
=90°，请添加一个条件
____________________
，可得出该四边形是正方形．
AB
=
BC
(
答案不唯一
)
A
B
C
D
O
6.
已知四边形
ABCD
是平行四边形，再从①
AB
=
BC
，②∠
ABC
=90°，③
AC
=
BD
，④
AC
⊥
BD
四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形
ABCD
是正方形，其中错误的是
_________________
（只填写序号）．
②③或①④
7.
如图，正方形
ABCD
的边长为
1cm
，
AC
为对角线，
AE
平分
∠
BAC
，
EF
⊥
AC
，求
BE
的长．
解：
∵
四边形
ABCD
为正方形，
∴∠
B
＝
90°
，
∠
ACB
＝
45°
，
AB
＝
BC
＝
1cm.
∵
EF
⊥
AC
，
∴∠
EFA
＝
∠
EFC
＝
90°.
又
∵∠
ECF
＝
45°
，
∴△
EFC
是等腰直角三角形，
∴
EF
＝
FC
.
∵∠
BAE
＝
∠
FAE
，
∠
B
＝
∠
EFA
＝
90°
，
AE
＝
AE
，
∴△
ABE
≌
△
AFE
，
∴
AB
＝
AF
＝
1cm
，
BE
＝
EF
.
∴
FC
＝
BE
.
在
Rt△
ABC
中，
∴
FC
＝
AC
－
AF
＝
(
－
1)cm
，
∴
BE
＝
(
－
1)cm
．
8.
如图，在正方形
ABCD
中
,
E
为
CD
上一点，
F
为
BC
边延长线上一点
,
且
CE
=
CF
.
BE
与
DF
之间有怎样的关系？请说明理由
.
解：
BE
=
DF
,且
BE
⊥
DF
.理由如下：
∵四边形
ABCD
是正方形.
∴
BC
=
DC
,∠
BCE
=90° .
∴∠
DCF
=180°
-
∠
BCE
=90°.
∴∠
BCE
=∠
DCF
.
又∵
CE
=
CF
.
∴△
BCE
≌
△
DCF
.
∴
BE=DF
.
A
B
D
C
F
E
延长
BE
交
D
F
于点
M
,
∵
△
BCE
≌
△
DCF
,
∴∠
CBE =
∠
CDF
.
∵∠
DCF
=90°
,
∴∠
CDF
+∠
F
=90°
,
∴∠
CBE
+∠
F
=90°
,
∴∠
BMF
=90°.
∴
BE
⊥
DF
.
A
B
D
F
E
C
M
9.
如图，在四边形
ABCD
中
,
AB
=
BC
,
对角线
BD
平分
ABC
,
P
是
BD
上一点
,
过点
P
作
PM
AD
,
PN
CD
,
垂足分别为
M
、
N
.
(1)
求证：
ADB
=
CDB
;
(2)
若
ADC
=90
,
求证：四边形
MPND
是正方形
.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（
1
）∵
AB = BC
,
BD
平分∠
ABC
.
∴∠1=∠2.∵BD=BD
∴△
ABD
≌
△
CBD
(SAS).
∴∠
ADB=
∠
CDB
.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（
2
）∵∠
ADC
=90°;
又∵
PM
⊥
AD
,
PN
⊥
CD
;
∴∠
PMD
=∠
PND
=90°.
∴四边形
NPMD
是矩形
.
∵∠
ADB
=∠
CDB
;
∴∠
ADB
=∠
CDB
=45°.
∴∠
MPD
=∠
NPD
=45°.
∴
DM
=
PM,DN
=
PN
.
∴
矩形
NPMD
是正方形
.
10.
如图，△
ABC
中，
D
是
BC
上任意一点，
DE
∥
AC
，
DF
∥
AB
．
①试说明四边形
AEDF
的形状，并说明理由．
②连接
AD
，当
AD
满足什么条件时，四边形
AEDF
为菱形，为什么？
解：①∵
DE
∥
AC
，
DF
∥
AB
，
∴四边形
AEDF
为平行四边形；
②
AD
平分∠
BAC
时，四边形
AEDF
为菱形；∵
AD
平分∠
BAC
，
∴
∠
E
AD
=
∠
FAD
，
∵
四边形
AEDF
为平行四边形，
∴AE
∥
DF
，
∴∠EAD=∠FDA
，
∴∠FAD=
∠FDA
，
∴AF=DF
，
∴
平行四边形
AEDF
为菱形
.
③在②的条件下，当△
ABC
满足什么条件时，四边形
AEDF
为正方形，不说明理由．
解：当∠
BAC
=90°时，四边形
AEDF
为正方形
.
课堂小结
1.
四个角都是直角
2.
四条边都相等
3.
对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
.
课堂小结
5
种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或
对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
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