天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 七年级下册 / 华师版七年级数学下册教案教学设计
资料简介
华师版七年级数学下册教案全套
第 6章 一元一次方程
6．1 从实际问题到方程
1．掌握如何设未知数．
2．掌握如何找等式来列方程．
3．了解尝试法、代入法寻找方程的解．
重点
1．确定所有的已知量和确定“谁”是未知数 x.
2．列方程．
难点
找出问题中的相等关系．
一、创设情境，问题引入
在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：
问题 1：某校初一年级有 328名师生乘车外出春游，已有 2辆校车乘坐了 64人，还需租用 44座的
客车多少辆？
这个问题用数学中的什么方法来解决呢？
二、探索问题，引入新知
1．在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？
含有未知数的等式叫方程．
2．讲解导入中的问题：
根据小学所学的列方程，按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数 x的方法来解决这个问题．
分析：设需租用客车 x辆，则客车可以乘坐 44x人，加上 2辆校车上的 64人，就是 328人．列方
程为 44x＋64＝328.
解：设还需租用 44座的客车 x辆，则共可乘坐 44x人．根据题意列方程得：44x＋64＝328.
设问：你们谁会解这个方程？请大家自己试一试．
问题 2：张老师发现同学们的年龄大多是 13岁，就问同学：“我今年 45岁，几年后你们的年龄是
我年龄的三分之一？”
方法一：我们可以按年龄的增长依次去试．
1年后，老师的年龄是 46岁，同学的年龄是 14岁，不是老师年龄的三分之一；
2年后，老师的年龄是 47岁，同学的年龄是 15岁，也不是老师年龄的三分之一；
3年后，老师的年龄是 48岁，同学的年龄是 16岁，恰好是老师年龄的三分之一．
方法二：也可以用列方程的办法来解．
解：设 x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x 年后同学的年龄是(13＋x)岁，老师年龄是(45
＋x)岁．根据题意，列出方程得 13＋x＝1
3
(45＋x)．
这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将 x＝1，2，3，4，…代入
方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为 x＝3.
结论：使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解．
要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等．如
果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解．
3．由上面的两个问题，你能总结出列方程解决实际问题的步骤吗？
结论：设未知数 x；找出相等关系；根据相等关系列方程．
【例】某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第
一次他们领来这批书的
2
3
，结果打了 16个包还多 40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次
打包剩下的书一起，刚好又打了 9个包，那么这批书共有多少本？(列方程不必求解)
分析：设这批书共有 3x本，根据每包书的数目相等，即可得出关于 x的方程，解之即可得出结论．
解：设这批书共有 3x本，根据题意列方程得：
2x－40
16
＝
x＋40
9
.
点评：本题考查了方程的应用，根据每包书的数目相等，列出关于 x的一元一次方程是解题的关键．
三、巩固练习
1．下列各式中，是方程的是( )
A．3＋5 B．x＋1＝0
C．4＋7＝11 D．x＋3＞0
2．下列方程中，解为 x＝－3的是( )
A.1
3
x＋1＝0 B．2x－1＝8－x
C．－3x＝1 D．x＋1
3
＝0
3．下列四个数中，方程 x＋2＝0的解为( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
4．已知甲数比乙数的 2倍大 1，如果设甲数为 x，那么乙数可表示为________；如果设乙数为 y，
那么甲数可表示为________．
5．一根细铁丝用去
2
3
后还剩 2 m，若设铁丝的原长为 x m，可列方程为________________．
6．检验下列各数是不是方程
3
x
＝x－2的解．
(1)x＝2; (2)x＝－1.
7．小明今年 12岁，他爸爸今年 36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的 2倍？(列方程并估计问题
的解)
四、小结与作业
小结
这节课主要讲了下面两个问题：
1．复习了用列方程的方法来解应用题；
2．检验一个数是否为方程的解的方法．
作业
1．教材第 4页“习题 6.1”中第 1，3题．
2．完成练习册中本课时练习．
现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从探究到应用都有意识地营造一个较
为自由的空间，让学生能积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法．整个教学过程突
出了三个注重： ①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣.②注重师生
间、同学间的互动协作、共同提高．③注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用．
6．2 解一元一次方程
6．2.1 等式的性质与方程的简单变形
第 1课时 等式的性质
1．借助天平的操作活动，发现并理解等式的性质．
2．应用等式的性质进行等式的变换．
3．经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力．
重点
等式的性质和运用．
难点
引导学生发现并概括出等式的性质．
一、创设情境，问题引入
同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．
小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物
体的重量．
最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．
我们来做这样一个实验，测一个物体的质量(设它的质量为 x)．首先把这个物体放在天平的左盘内，
然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的
物体的质量．
二、探索问题，引入新知
请同学来做这样一个实验：如下图，天平处于平衡状态，它表示左右两个盘内物体的质量 a，b是
相等的．
得到：a＝b.
1．若在平衡天平两边的盘内都添上(或都拿去)质量相等的物体，则天平仍然平衡．
得到：a＋c＝b＋c a－c＝b－c
2．若把平衡天平两边盘内物体的质量都扩大(或缩小)相同的倍数，则天平仍然平衡．
得到：ac＝bc(c≠0) a
c
＝
b
c
(c≠0)
观察上面的实验操作过程，回答下列问题：
(1)从这个变形过程，你发现了什么一般规律？
(2)这几个等式两边分别进行了什么变化？等式有何变化？
(3)通过上面的操作活动，你能说一说等式有什么性质吗？
结论：等式的基本性质：
性质 1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，等式仍然成立．如果 a＝b，那么 a＋c
＝b＋c，a－c＝b－c.
性质 2：等式两边都乘或除以同一个数(除数不为 0)，等式仍然成立．如果 a＝b，那么 ac＝bc，a
c
＝
b
c
(c≠0)．
【例 1】 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质，以及
怎样变形的：
(1)如果 2x＋7＝10，那么 2x＝10－________________________________________；
(2)如果
a
4
＝2，那么 a＝________________________________________；
(3)如果 2a＝1.5，那么 6a＝________________________________________；
(4)如果－5x＝5y，那么 x＝________________________________________．
分析：根据等式的基本性质进行填空．
解：(1)根据等式的性质 1，若 2x＋7＝10，则 2x＝10－7(等式的两边同时减去 7，等式仍成立)；故
填：7(等式的两边同时减去 7，等式仍成立)；
(2)根据等式性质 2，若
a
4
＝2，则 a＝8(等式的两边同时乘以 4，等式仍成立)；故填：8(等式的两边
同时乘以 4，等式仍成立)；
(3)根据等式性质 2，若 2a＝1.5，则 6a＝4.5(等式的两边同时乘以 3，等式仍成立)；故填：4.5(等式
的两边同时乘以 3，等式仍成立)；
(4)根据等式性质 2，若－5x＝5y，则 x＝－y(等式的两边同时除以－5，等式仍成立)；故填：－y(等
式的两边同时除以－5，等式仍成立)．
点评：等式性质：1.等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式仍成立；2.等式的两
边同时乘以或除以同一个不为 0数或整式，等式仍成立．
三、巩固练习
1．下列说法正确的是( )
A．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式
B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式
C．等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式
D．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式
2．对于数 x，y，c，下列结论正确的是( )
A．若 x＝y，则 x＋c＝y－c
B．若 x＝y，则 xc＝yc
C．若 x＝y，则
x
c
＝
y
c
D．若
x
2c
＝
y
3c
，则 2x＝3y
3．在方程的两边都加上 4，可得方程 x＋4＝5，那么原方程是________．
4．在方程 x－6＝－2的两边都加上________，可得 x＝________.
5．方程 5＋x＝－2的两边都减 5得 x＝______.
6．如果－7x＝6，那么 x＝________.
7．只列方程，不求解．
某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产 20套服装，就比订货
任务少 100套，如果每天平均生产 32套服装，就可以超过订货任务 20套，问原计划几天完成？
四、小结与作业
小结
通过及时的练习对所学新知进行巩固和深化，在练习中，要求学生说出计算的依据，帮助学生巩固
等式性质的同时，也提升了说理能力．
作业
1．教材第 5页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课教学中，充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、
创造的机会，使他成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力．通过两次实践活动，学
生亲自参与了等式的性质发现的过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能
力、动手操作能力都得到锻炼和提高．
第 2课时 方程的简单变形
1．理解并掌握方程的两个变形规则；
2．使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；
3．运用方程的两个变形规则解简单的方程．
重点
运用方程的两个变形规则解简单的方程．
难点
运用方程的两个变形规则解简单的方程．
一、创设情境、复习引入
1．等式有哪些性质？
2．在 4x－2＝1＋2x两边都减去________，得 2x－2＝1，两边再同时加上________，得 2x＝3，变
形依据是________．
3．在
1
4
x－1＝2中两边乘以________，得 x－4＝8，两边再同时加上 4，得 x＝12，变形依据分别
是________．
二、探索问题、引入新知
1．方程是不是等式？
2．你能根据等式的性质类比出方程的变形依据吗？
结论：方程的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以(或都
除以)同一个不为零的数，方程的解不变．
3．你能根据这些规则，对方程进行适当的变形吗？
【例 1】 解下列方程：
(1)x－5＝7； (2)4x＝3x－4.
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程 x－5＝7的两边同时加上 5，即 x－5＋5＝7＋5，可求得方
程的解．
(2)利用方程的变形规律，在方程 4x＝3x－4的两边同时减去 3x，即 4x－3x＝3x－3x－4，可求得
方程的解．
像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．
点评：(1)上面两小题方程变形中，均把含未知数 x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方
程的右边．
(2)移项需变号．
【例 2】 解下列方程：
(1)－5x＝2； (2)3
2
x＝1
3
；
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x＝2的两边同除以－5，即－5x÷(－5)＝2÷(－5)(或－5x
－5
＝
2
－5
，也就是 x＝ 2
－5
) 可求得方程的解．
(2)利用方程的变形规律，在方程
3
2
x＝1
3
的两边同除以
3
2
或同乘以
2
3
，即
3
2
x÷3
2
＝
1
3
÷3
2
(或 3
2
x×2
3
＝
1
3
×
2
3
)，
可求得方程的解．
解： (1)方程两边都除以－5，得 x＝－
2
5
.
(2)①方程两边都除以
3
2
，得 x＝1
3
÷3
2
＝
1
3
×
2
3
，即 x＝2
9
.②方程两边同乘以
2
3
，得 x＝1
3
×
2
3
＝
2
9
，即 x＝2
9
.
结论：(1)上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为 1”．(2)上面两个解方程的过程，都是
对方程进行适当的变形，得到 x＝a的形式．根据上面的例题，你能总结出解一元一次方程的一般步骤
吗？
点评：解方程的一般步骤是：(1)移项；(2)合并同类项；(3)系数化为 1.
三、巩固练习
1．下面是方程 x＋3＝8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？
(1)x＋3＝8＝x＝8－3＝5；
(2)x＋3＝8，移项得 x＝8＋3，所以 x＝11；
(3)x＋3＝8，移项得 x＝8－3，所以 x＝5.
2．下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由 3＋x＝5，得 x＝5＋3.
(2)由 7x＝－4，得 x＝－
7
4
.
(3)由 1
2
y＝0，得 y＝2.
(4)由 3＝x－2，得 x＝－2－3.
3．解下列方程．
(1)4x－3＝2x－2；
(2)1.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x；
(3)3y－2＝y＋1＋6y.
4．方程 2x＋1＝3和方程 2x－a＝0 的解相同，求 a的值．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 9页“习题 6.2.1”中第 1 、2 、3题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课是在等式基本性质的基础上总结出方程的变形规则，再根据方程的变形规则，通过移项、系
数化为 1来解简单的方程．学生掌握的较好．
6．2.2 解一元一次方程
第 1课时 一元一次方程的解法(1)
1．一元一次方程的定义．
2．了解如何去括号解方程．
3．了解去分母解方程的方法．
重点
1．一元一次方程的定义；
2．解一元一次方程的步骤．
难点
灵活使用变形解方程．
一、创设情境、复习引入
上两堂课讨论了一些方程的解法，那么那些方程究竟是什么类型的方程呢？先看下面几个方程：每
一行的方程各有什么特征？(主要从方程中所含未知数的个数和次数两方面分析)
4＋x＝7；3x＋5＝7－2x；y－2
6
＝
y
3
＋1；
x＋y＝10；x＋y＋z＝6；x2－2x－3＝0；
x3－1＝0.
二、探索问题、引入新知
1．比较一下，第一行的方程(即前 3个方程)与其余方程有什么区别？(学生答)
可以看出，前一行方程的特点是：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是一次的．“元”是
指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数，根据这一命名方法，上面各方程是什
么方程呢？(学生答)
结论：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做
一元一次方程．
2．上两堂课我们探讨的方程都是一元一次方程，并且得出了解一元一次方程的一些步骤．下面我
们继续通过解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法．
【例 1】 解方程：3(x－2)＋1＝x－(2x－1)．
分析：方程中有括号，先去括号，转化成上节课所讲方程的特点，然后再解方程．
解：去括号 3x－6＋1＝x－2x＋1，合并同类项 3x－5＝－x＋1，移项 3x＋x＝1＋5，合并同类项
4x＝6，系数化为 1，x＝1.5.
【例 2】 解方程：
x－3
2
－
2x＋1
3
＝1.
分析：只要把分母去掉，就可将方程化为上节课的类型.x－3
2
和－
2x＋1
3
的分母为 2和 3，最小公倍
数是 6，方程两边都乘以 6，则可去分母．
解：去分母 3(x－3)－2(2x＋1)＝6，去括号 3x－9－4x－2＝6，合并同类项－x－11＝6，移项－x＝
17，系数化为 1，x＝－17.
回顾上面的解题过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤？
结论：解一元一次方程通常的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1.
三、巩固练习
1．下列方程为一元一次方程的是( )
A．y＋3＝0 B．x＋2y＝3
C．x2＝2x D.1
y
＋y＝2
2．若代数式 x＋2的值为 1，则 x等于________．
3．解下列一元一次方程．
(1)2－3x＝6－5x；
(2)2(x－2)－3(1－2x)＝0；
(3)4
3
(1
4
a－1)－2－a＝2；
(4)x－3
2
－
4x－1
5
＝1.
3．y取何值时，2(3y＋4)的值比 5(2y－7)的值大 3?
4．当 x为何值时，代数式
18＋x
3
与 x－1互为相反数？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 11页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
从学生的作业中反馈出：对去分母的第一步还存在较大的问题，是不是说明过程的叙述不太清楚，
部分学生模棱两可，自己做的时候就会暴露出不懂的，这也提醒我今后的教学中在关键的知识点上要下
“功夫”，切不可轻易的解决问题(想当然)．备课时应该多多思考学生的具体情况，然后再修改初备的
教案，尽量完善，尽量完美．
第 2课时 一元一次方程的解法(2)
1．掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法，灵活运用解方程的步骤解方程．
2．通过练习使学生灵活的解一元一次方程．
重点
使学生灵活的解一元一次方程．
难点
使学生灵活的解一元一次方程．
一、创设情境、复习引入
通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、
去括号、移项、合并同类项等步骤转化成 x＝a 的形式．因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先
考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程．
二、探索问题，引入新知
【例 1】 解方程：
0.09x＋0.02
0.07
－
3＋2x
3
－
0.3x＋1.4
0.2
＝1
分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解．
解：
0.09x＋0.02
0.07
－
3＋2x
3
－
0.3x＋1.4
0.2
＝1
利用分数的基本性质，将方程化为：
9x＋2
7
－
3＋2x
3
－
3x＋14
2
＝1
去分母，得 6(9x＋2)－14(3＋2x)－21(3x＋14)＝42，去括号，得 54x＋12－42－28x－63x－294＝42，
移项，得 54x－28x－63x＝42－12＋42＋294，合并同类项，得－37x＝366，系数化为 1，得 x＝－
366
37
.
点评：解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分
子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的 1不变．去分母是方程
的两边都乘以各分母的最小公倍数 42，所以等号右边的 1也要乘以 42，才能保证所得结果仍成立．
【例 2】 解下列方程：
(1)3(2x－1)＋4＝1－(2x－1)；
(2)4x＋3
6
＋
4x＋3
2
＋
4x＋3
3
＝1.
分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤．
第(1)小题中可以把(2x－1)看成一个整体，先求出(2x－1)的值，再求 x的值；
第(2)小题，应注意到分子都是 4x＋3，且
1
6
＋
1
2
＋
1
3
＝1，所以如果把 4x＋3看成一个整体，则无需去
分母．
解：(1)3(2x－1)＋4＝1－(2x－1) ，
3(2x－1)＋(2x－1)＝1－4，
4(2x－1)＝－3，
2x－1＝－
3
4
，
2x＝1
4
，
x＝1
8
(2)4x＋3
6
＋
4x＋3
2
＋
4x＋3
3
＝1，
(1
6
＋
1
2
＋
1
3
)(4x＋3)＝1，
4x＋3＝1，
4x＝－2，
x＝－
1
2
点评：解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，
这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力．
三、巩固练习
1．解方程
(1)5x＋3＝－7x＋9；
(2)5(x－1)－2(3x－1)＝4x－1；
(3)3x＋1
2
＝
7＋x
6
；
(4)x
2
－
5x＋11
6
＝1＋2x－4
3
；
(5)3＋0.2x
0.2
－
0.2＋0.03x
0.01
＝0.75.
2．m为何值时，代数式 2m－
5m－1
3
的值与代数式
7－m
2
的值的和等于 5?
3．如下是某同学解方程的过程，请你仔细阅读，然后回答问题．
解：
x＋1
2
－1＝2＋2－x
4
x＋1
2
－1×4＝2＋2－x
4
×4 ①
2x＋2－4＝8＋2－x ②
2x＋x＝8＋2＋2＋4 ③
3x＝16 ④
x＝16
3
⑤
(1)该同学有哪几步出现错误？
(2)请你解题中的方程．
4．马虎同学在解方程
1－3x
2
－m＝
1－m
3
时，不小心把等式左边 m前面的“－”当做“＋”进行求
解，得到的结果为 x＝1，求代数式 m2－2m＋1的值．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 14页“习题 6.2.2”中第 1，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法，具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活
选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度．对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中
的信息，应把它转化为方程来求解．
第 3课时 一元一次方程的实际应用
1．使学生掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；初步了解用列方程解实际问题(代数方法)
比用算术方法解的优越性．
2．通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程．
重点
掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
难点
通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程．
一、创设情境、复习引入
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否用一元
一次方程来解决，若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么
优越性？
某数的 3倍减 2等于它与 4的和，求某数．(用算术方法解由学生回答)
解：(4＋2)÷(3－1)＝3
答：某数为 3.
如果设某数为 x，根据题意，其数学表达式为 3x－2＝x＋4，
此式恰是关于 x的一元一次方程．解之得 x＝3.
上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得
应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系．对于任何一个应用题中所
提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后再将这个相等的关系表示成方程．
下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、探索问题，引入新知
【例 1】 如图，天平的两个盘内分别盛有 51 g，45 g盐，问应该从盘 A内拿出多少盐放到盘 B内，
才能使两者所盛盐的质量相等？
分析：设应从盘 A内拿出盐 x g，可列出下表．
盘 A 盘 B
原有盐(g) 51 45
现有盐(g) (51－x) (45＋x)
等量关系：盘 A中现有的盐＝盘 B中现有的盐．
解：设应从盘 A内拿出盐 x g，放到盘 B内，则根据题意，得 51－x＝45＋x，
解这个方程，得 x＝3.
经检验，符合题意．
答：应从盘 A内拿出盐 3 g放到盘 B内．
【例 2】 学校团委组织 65名团员为学校建花坛搬砖．女同学每人搬 6块，男同学每人搬 8块，每
人各搬 4次，总共搬了 1800块．问有多少名男同学？
分析：设男同学有 x人，可列出下表．(完成下表)
男同学 女同学 总数
参加人数(名) x 65
每人搬砖数(块) 6×4
共搬砖数(块) 1800
解：设男同学有 x人，根据题意，得 32x＋24(65－x)＝1800，
解这个方程得 x＝30.
经检验，符合题意．
答：这些团员中有 30名男同学．
3．根据上面两道例题的解答过程，你能总结出用一元一次方程解实际问题的过程吗？
结论：用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程．求得
方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答．
这一过程也可以简单地表述为：
问题――→
分析
抽象
方程――→
求解
检验
解答
其中分析和抽象的过程通常包括：
(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；
(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；
(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程．在设未知数和解
答时，应注意量的单位要统一．
三、巩固练习
1．某车间有 27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母 16个或螺栓
22个，若分配 x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所
列方程中正确的是( )
A．22x＝16(27－x)
B．16x＝22(27－x)
C．2×16x＝22(27－x)
D．2×22x＝16(27－x)
2．一球鞋厂，现打折促销卖出 330 双球鞋，比上个月多卖 10%，设上个月卖出 x 双，列出方程
( )
A．10%x＝330 B．(1－10%)x＝330
C．(1－10%)2x＝330 D．(1＋10%)x＝330
3．一台空调标价 2000元，若按 6折销售仍可获利 20%，则这台空调的进价是________元．
4．某种商品每件的进价为 80元，标价为 120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则
该商品每件销售利润为________元．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充．
作业
1．教材第 14页“习题 6.2.2”中第 4，5 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课我始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努
力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法．但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，经
常会出现一些意想不到的错误．如，数量之间的相等关系找得不清楚；列方程忽视了解设的步骤等．在
教学中我始终把分析题意与寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使
学生理解、掌握解题的基本思路和方法．针对学生在学习过程中不重视分析等量关系的现象，在教学过
程中我要求学生仔细审题，认真阅读例题的内容提要，弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的相等
关系．在课堂练习的安排上适当让学生通过模仿例题的思想方法，加强学生解应用题的能力，通过一元
一次方程应用题的教学，学生能够比较正确的理解和掌握解应用题的方法，初步养成正确思考问题的良
好习惯．
6．3 实践与探索
第 1课时 体积和面积问题
1．使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单
应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理．
2．能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．
重点
利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．
难点
找问题中的等量关系．
一、创设情境、复习引入
我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下，有哪些公式？
回忆一些图形的有关公式，为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助
作用．
二、探索问题，引入新知
问题：用一根长 60厘米的铁丝围成一个长方形：
(1)如果长方形的宽是长的
2
3
，求这个长方形的长和宽；
(2)如果长方形的宽比长少 4厘米，求这个长方形的面积；
(3)比较(1)，(2)所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的长方形吗？
解：(1)设长方形的长为 x厘米，则宽为
2
3
x厘米．根据题意，得 2(x＋2
3
x)＝60，解这个方程， 得
x＝18，所以长方形的长为 18厘米，宽为 12厘米．
(2)设长方形的长为 x厘米，则宽为(x－4)厘米，根据题意，得 2(x＋x－4)＝60，解这个方程， 得 x
＝17，所以 S＝13×17＝221(平方厘米)．
(3)在(1)的情况下 S＝12×18＝216(平方厘米)；在(2)的情况下 S＝13×17＝221(平方厘米)．还能围
出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大，此时其边长为 15厘
米，面积为 225平方厘米．
讨论：在第(2)小题中，能不能直接设面积为 x平方厘米？如不能，怎么办？
如果直接设长方形的面积为 x平方厘米，则如何才能找出相等关系列出方程呢？
诱导学生积极探索：不能直接设面积为未知数，则需要设谁为未知数呢？那么设未知数的原则又是
什么呢？
结论：在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形，
则圆的面积最大．
【例】 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300毫米，300毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水，
倒入一个内径为 200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到 0.1毫米，π≈3.14)．
分析：根据水的体积不变可得长方体铁盒和圆柱水桶的体积相等，根据长方体和圆柱的体积公式即
可列出关于水桶高的方程，求解即可．
解：设圆柱形水桶的高为 x毫米，依题意，得π·(200
2
)2x＝300×300×80，解得：x≈229.3.
答：圆柱形水桶的高约为 229.3毫米．
点评：解题的关键在于记熟圆柱和长方体的体积公式．
三、巩固练习
1．已知一个长方形的周长为 60 cm.
(1)若它的长比宽多 6 cm，这个长方形的宽是多少？面积是多少？
(2)若它的长与宽的比是 2∶1，这个长方形的长是多少？面积是多少？
2．药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体
盒子的长比宽多 4 cm，求这种药品包装盒的体积．
3．将棱长为 6 cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为 12 cm2，问量筒中水面升高了
多少 cm?
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 16页“练习”；
2．完成练习册中本课时练习．
现实生活中，蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用．解答应用题的过程就是
把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，列方程最
关键的是如何挖掘问题中的相等关系．等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积．一
般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程．
第 2课时 利润和储蓄问题
1．掌握商品利润等有关知识，会用方程解决实际问题．
2．通过分析商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是
刻画现实世界的有效数学模型．
重点
探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程．
难点
找出能表示整个题意的等量关系．
一、创设情境，问题引入
思考下面问题，小组讨论
问题 1：新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款
总数的
2
5
，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款 1946元，求其他两个年级的
捐款数．
问题 2：爸爸为小明存了一个 3年期的教育储蓄(3年期的年利率为 4.00%).3年后能取 5600元，他
开始存入了多少元？
二、探索问题，引入新知
问题 1分析：七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的
2
5
，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的
平均数，七年级和八年级的捐款数都与全校捐款总数有关，如果设全校捐款总数，那么三个年级的捐款
数就都知道了，这样就可以列出方程．
设全校捐款总数为 x，则七年级的捐款数为
2
5
x，八年级捐款数为
1
3
x，根据题意，可列方程得
2
5
x＋1
3
x
＋1964＝x，解得 x＝7365，
所以，七年级捐款数为：
2
5
×7365＝2946(元)
八年级捐款数为：
1
3
×7365＝2455(元)
还有没有其它的设未知数的方法？比较一下，哪种设未知数的方法比较容易列出方程？说说你的道
理．
问题 2分析：5600元是什么量？要求的是什么量？相等的关系是什么？
等量关系：本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×年利率×期数
解：设他开始存入 x元，根据题意，可列方程 x(1＋4.00%×3)＝5600，解得 x＝5000, 所以他开始
存入 5000元．
你还知道储蓄问题中有哪些计算公式？
利息的计算方法：利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
【例 1】 某校九年级社会实践小组去商店调查商品销售情况，了解到该商店以每条 80元的价格购
进了某品牌牛仔裤 50条，并以每条 120元的价格销售了 40条．商店准备采取促销措施，将剩下的牛仔
裤降价销售．请你帮商店计算一下，每条牛仔裤降价多少元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利 45%
的预期目标？
分析：设每条牛仔裤降价 x元，根据销售总价＝成本×(1＋45%)，即可得出关于 x的一元一次方程，
解之即可得出结论．
解：设每条牛仔裤降价 x 元，根据题意得：120×40＋(120－x)×10＝80×50×(1＋45%)，解得 x
＝20.
答：每条牛仔裤降价 20元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利 45%的预期目标．
点评：利润问题中的等量关系式：商品利润＝商品售价－商品进价，商品售价＝商品标价×折扣数，
商品利润
商品进价
×100%＝商品利润率，商品售价＝商品进价×(1＋利润率)
【例 2】 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共 40万，每年需要付利息 5万元．甲种贷款利率为 12%，
乙种贷款年利率为 14%，该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少元．(列方程解答)
分析：设该厂甲种贷款的数额为 x万元，则乙种贷款的数额为(40－x)万元，根据等量关系：每年
需要付利息 5万元，列方程求解．
解：设该厂甲种贷款的数额为 x万元，则乙种贷款的数额为(40－x)万元，依题意有 12%x＋14%(40
－x)＝5，解得 x＝30，40－x＝40－30＝10.
答：该厂甲种贷款的数额为 30万元，乙种贷款的数额为 10万元．
点评：解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
三、巩固练习
1．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购 60套，每套 100元．店方表示：如果多购可以优惠．结
果校方购了 72套，每套减价 3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．
2．某商场将M品牌服装每套按进价的 2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提
高了 50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的
2
3
，该老板到底
给顾客优惠了吗？说出你的理由．
3．为了准备小敏 6年后上大学的学费 5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄.3年期的年利率为
2.7%，6年期的年利率为 2.88%，下面有两种储蓄方式：
(1)直接存一个 6年期；
(2)先存一个 3年期的，3年后将本息和自动转存一个 3年期．
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 18页“习题 6.3.1”中第 3题．
2．完成练习册中本课时练习．
数学源于生活、植根于生活．数学教学就是要从学生的生活经验出发，激发学生学习数学的兴趣，
让学生深刻体会到数学是解决生活问题的钥匙．本节课就以实际生活问题为主线，使学生亲身经历将实
际问题数学化的过程，充分体现学生的主体地位．经过本节课的教学，了解到学生对利润问题掌握的不
够好，公式之间不能灵活的转换，这方面有待加强练习．
第 3课时 行程和工程问题
1．使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律．
2．通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力．
重点
用一元一次方程解决行程问题、工程问题．
难点
如何找行程问题中的等量关系．
一、创设情境，问题引入
1．行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及问题
中含有怎样的相等关系呢？
2．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系？
二、探索问题，引入新知
【例 1】一辆客车和一辆卡车同时从 A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，
卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早 1 h经过 B地，A、B两地间的路程是多少？
分析：设 A，B两地间的路程为 x km，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两
车时间差为 1小时即可列出方程，求出 x的值．
解：设 A，B两地间的路程为 x km，根据题意得
x
60
－
x
70
＝1，解得 x＝420.
答：A，B两地间的路程为 420 km.
点评：解答本题的关键是根据两车所用时间之差为 1小时列出方程．
【例 2】 一队学生去校外进行军事野营训练．他们以 5千米/时的速度行进，走了 18分钟的时候，
学校要将一个紧急通知传给队长．通讯员从学校出发，骑自行车以 14千米/时的速度按原路追上去．通
讯员用多少时间可以追上学生队伍？
分析：(1)细审题意：学生队伍出发 18分钟后，通讯员才开始出发，并且与学生队伍同向而行．通
讯员追上队伍时，通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等，但是在同一时间里(从通讯员出发到
追上队伍)，他们所走的路程是不同的，通讯员比学生队伍多走了 5×18
60
千米，设通讯员用 x小时可以
追上学生队伍．
(2)找等量关系：追上学生队伍时，通讯员走的路程＝学生队伍走的路程．
解：设通讯员用 x小时可以追上学生队伍，根据题意，得 14x＝5×18
60
＋5x.
解这个方程，得 x＝1
6
(小时)＝10(分钟)．
答：通讯员用 10分钟可以追上学生队伍．
结论：1.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间；变形可得到：速度＝路程÷时间，时间
＝路程÷速度．
2．常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：相遇：相遇时间×速度
和＝路程和；追及：追及时间×速度差＝被追及距离．
【例 3】 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4小时，甲先
做 30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
分析：30分＝
1
2
小时，可设甲、乙一起做还需 x小时才能完成工作，等量关系为：甲
1
2
小时的工作
量＋甲乙合作 x小时的工作量＝1，把相关数值代入求解即可．
解：设甲、乙一起做还需 x小时才能完成工作．根据题意，得
1
6
×
1
2
＋(1
6
＋
1
4
)x＝1，解这个方程，得
x＝11
5
，
11
5
小时＝2小时 12分，答：甲、乙一起做还需 2小时 12分才能完成工作．
点评：用一元一次方程解决工程问题，得到工作量 1的等量关系是解决本题的关键．
结论：工程问题中的三个量，根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两个量，就可以表示第
三个量．两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和．
三、巩固练习
1．甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高 10米，并且先出发 30分钟，乙每分钟登高 15米，两人同
时登上山顶．甲用多少时间登山？这座山有多高？
2．一艘船由 A地开往 B地，顺水航行需 5小时，逆水航行要比顺水航行多用 50分钟．已知船在
静水中每小时走 12千米，求水流速度．
3．整理一批图书，由一个人做要 40小时完成．现计划由一部分人先做 4小时，再增加 2人和他们
一起做 8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
四、小结与作业
小结
本节课你学习了哪些知识，掌握了哪些方法？请相互交流．
作业
1．教材第 20页“习题 6.3.2”中第 3，4 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课的教学难点是行程问题，而行程问题又分几种类型，如：相遇、追及、同向、逆向、水流、
环行问题等．环行问题的基本特征是路径呈环状或为环线的一部分．事实上，这类问题也有“相遇”与
“追及”之分：
(1)若同地出发，反向而行，则每次相遇，两者的行程之和等于环形的周长．
(2)若同地出发，同向而行，则每次追及，两者的行程之差等于环行道的周长，或表示为快者的行
程＝慢者的行程＋环形周长．
此外，若是同时出发，则相遇(或追及)时，两者行走的时间相等．在水流问题中：船的顺水速度＝
船的静水速度＋水流速度，船的逆水速度＝船的静水速度－水流速度．
第 7章 一次方程组
7．1 二元一次方程组和它的解
1．理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义．
2．会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解．
3．能根据问题情境列二元一次方程组．
重点
二元一次方程组和它的解的概念．
难点
二元一次方程组的解的概念．
一、创设情境，问题引入
暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛 9场，得
17分. 比赛规定胜一场得 3分， 平一场得 1分， 负一场得 0分. 勇士队在这一轮中只负了 2场， 那
么这个队胜了几场？ 又平了几场呢？
二、探索问题，引入新知
1．能否用我们已经学过的知识来解决这个问题？
可以用一元一次方程来求解.
设勇士队胜了 x场， 因为它共赛了 9场， 并且负了 2场， 所以它平了(9－x－2) 场. 根据得分规
则和它的得分， 我们可以列出一元一次方程：3x＋(9－x－2)＝17. 解这个方程可得 x＝5.所以勇士队胜
了 5场， 平了 2场．
2．由上面解答可知， 这个问题可以用一元一次方程来求解， 而我们很自然地会提出这样一个问
题： 既然要求胜的场数和负的场数，而这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢？
师生共同探讨： 不妨就设勇士队胜了 x场， 负了 y场．在下表的空格中填入数字或式子．
胜 平 合计
场数 x y
根据填表的结果可知：
x＋y＝7 ①
3x＋y＝17 ②
观察这两个式子，和我们以前所学的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同点？
引导学生观察方程①，②的特点， 并与一元一次方程作比较， 可知： 这两个方程都含有两个未
知数， 并且未知数的次数都是 1.
结论： 含有两个未知数， 并且未知数的次数是 1的方程叫做二元一次方程．
把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起， 就组成了一个二元一次方程组．
3．什么是方程的解？
答： 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
由算术法我们已得到答案， 勇士队胜了 5场， 平了 2场， 即 x＝5，y＝2.x＝5与 y＝2既满足方
程①， 又满足方程②， 我们就说 x＝5与 y＝2是二元一次方程组
x＋y＝7，
3x＋y＝17
的解， 并记作
x＝5，
y＝2
.
结论： 一般地， 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值， 叫做二
元一次方程组的解．
注意： (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时， 才是方程组的解. 若取 x＝4, y＝3时， 它们能
满足方程①， 但不满足方程②， 所以它们不是方程组的解．
(2) 二元一次方程组的解是一对数， 而不是一个数， 所以必须把 x＝5与 y＝2 合起来， 才是方
程组的解．
【例 1】 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共 140件，
进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价(元) 零售价(元)
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利 1860元，求黑白两种文化衫各多少件？(只要求列出二元一次方程组)
分析：设黑色文化衫 x件，白色文化衫 y件，依据黑白两种颜色的文化衫共 140件，文化衫全部售
出共获利 1860元，列二元一次方程组．
解：设黑色文化衫 x件，白色文化衫 y件，依题意得{x＋y＝140，
点评：当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎
样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
【例 2】 某校现有校舍 20000 m2, 计划拆除部分旧校舍， 改建新校舍， 使校舍总面积增加 30%，
同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4倍. 若设应拆除旧校舍 x m2 , 建造新校舍 y m2, 请
你根据题意列一个方程组．
分析：由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4倍， 我们马上可得出方程 y＝4x.拆除部分
旧校舍， 改建新校舍后，校舍总面积增加 30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积
的差值， 所以我们可列出另一方程 y－x＝20000×30%.
解：设应拆除旧校舍 x m2 , 建造新校舍 y m2，根据题意列出方程组：{y－x＝20000×30%，
三、巩固练习
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.{x＝0 B.{x＋y＝2
C.{xy＝2 D.{x2－1＝0
2．解为{x＝1，的方程组是( )
A.{x－y＝－1 B.{x－y＝1
C.{x－y＝3 D.{x－2y＝3
3．关于 m，n的两个方程 2m－n＝3与 3m＋2n＝1的公共解是( )
A.{m＝0 B.{m＝1
C.
m＝01
2 D.
m＝
1
2
4．由 x＋2y＝4，得到用 y表示 x的式子为 x＝________；得到用 x表示 y的式子为 y＝________.
5．若{x＝－3，是方程组{x＋y＝m，的解，则 m－n＝________.
6．已知{x＝2，是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．
7．根据题意列出方程组：
(1)将含铁 72%和含铁 58%的两种矿石，混合后配成含铁 64%的矿石 70吨，若设需含铁 72%的矿石
x吨，含铁 58%的矿石 y吨，列出方程组．
(2)某人从学校出发骑自行车去县城，中途因为道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城．他骑车
的平均速度是 15千米/时，步行的平均速度是 5千米/时，路程全长 20千米，他骑车与步行各用多少时
间？
(3)某企业去年国内、国外销售共 1000万元，因金融风暴，今年比去年降低 10%，其国内销售收入
下降了 5%，国外销售收入下降了 15%，求该企业去年国内、国外各销售多少万元？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 26页“习题 7.1”中第 1，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节从学生感兴趣的问题入手，意在让学生经历一个实际背景，激发学生自觉探究数学问题，体验
发现问题的乐趣．学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组，初步体会用二元一次方程组来刻
画实际问题中的数量关系．在本节课的学习中让学生运用自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、
总结归纳等方法．学生的角色从学会转变为会学，本节课，学生不是停留在学会课本知识的层面上，而
是与老师一起站在探究者的角度深入其境，体验探究的氛围与真谛．
7．2 二元一次方程组的解法
第 1课时 代入消元法
1．会用代入消元法解简单的二元一次方程组．
2．通过探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方
法．
重点
用代入消元法解二元一次方程组．
难点
探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想．
一、创设情境、复习引入
1．复习提问： 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解？
2．回顾上节课中的问题：设应拆除旧校舍 x m2 , 建造新校舍 y m2, 那么根据题意可列出方程组：
{y－x＝20000×30% ①
问：怎样求出这个二元一次方程组的解？
二、探索问题，引入新知
我们知道此题可以用一元一次方程来求解， 即设应拆除旧校舍 x m2, 则建造新校舍 4x m2, 根据题
意可得到 4x－x＝20000×30%. 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元
一次方程组转化为解一元一次方程， 我们的问题不就可以解决了吗？ 可是如何来转化呢？
引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系．
在方程组中的方程②y＝4x, 把它代入方程①中 y的位置， 我们就可以得到一元一次方程 4x－x＝
20000×30%.通过“代入”， 我们消去了未知数 y，得到了一元一次方程， 这样就可以求解了．
解方程得：x＝2000, 把 x＝2000代入②得 y＝8000. 所以{x＝2000，
答：应拆除旧校舍 2000 m2 , 建造新校舍 8000 m2.
【归纳结论】 由上面解法可看出， 我们是通过“代入”消去一个未知数， 方程转化为一元一次
方程来解的. 这种解法叫做代入消元法， 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”．
【例】 用代入消元法解方程组．
(1){y＝x－1 ①，
分析：方程组利用代入消元法求出解即可．
解：把①代入②得：3x＋2(x－1)＝8，解得：x＝2，把 x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为{x＝2，
(2){x－y＝3 ①，
分析：与(1)方程组不同， 这里的两个方程中， 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数
的形式， 这时怎么办呢？可以将方程①变形成为用 y来表示 x的形式， 即 x＝3＋y, 然后再将它代入
方程②， 就能消去 x, 得到一个关于 y的一元一次方程．
解：由①得：x＝3＋y③，把③代入②得：3(3＋y)－8y＝14，所以 y＝－1.把 y＝－1 代入③得：x
＝2，∴原方程组的解为{x＝2，
(3){2x－7y＝8 ①，
分析：观察分析此方程组与 2题中的方程组在形式上的差别. 易知 2题的方程组中有未知数系数的
绝对值是 1的方程， 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是 1, 这时怎么办呢？ 能不能将其中一
个方程适当变形， 用一个未知数来表示另一个未知数？显然， 这个变形是能够办到的. 我们有两个办
法， 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数， 使这个未知数的系数化 1, 化成 1题的形式；另
一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边， 其他各项移到另一边，再把这个未知数的系数化
1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的．
显然第二种方法更为直接， 因而考虑方程中各项的系数， 选择一个系数比较简单的方程. 易见方
程①中 x的系数比较简单， 所以将方程①中的 x用 y来表示．
解：由①，得 x＝4＋7
2
y③.将③代入②， 得：
3(4＋7
2
y)－8y－10＝0, 解得 y＝－0.8.将 y＝－0.8代入③， 得 x＝1.2，所以{x＝1.2，
【归纳结论】 代入法解二元一次方程组的方法：
1．将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示．
2．把得到的式子代入另一个方程，得到一元一次方程，并求解．
3.把求得的解代入方程，求另一未知数的解．
三、巩固练习
1．若{x＝3－m，则 y用只含 x的代数式表示为( )
A．y＝2x＋7 B．y＝7－2x
C．y＝－2x－5 D．y＝2x－5
2．用代入法解方程组{2x－1＝y，时，下列代入变形正确的是( )
A．3x－4x－1＝1 B．3x－4x＋1＝1
C．3x－4x－2＝－1 D．3x－4x＋2＝1
3．用代入法解方程组{2x＋3y＝8，有以下过程：
(1)由①得 x＝8－3y
2
③；
(2)把③代入②得 3×8－3y
2
－5y＝5；
(3)去分母得 24－9y－10y＝5；
(4)解之得 y＝1，再由③得 x＝2.5，其中错误的一步是( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
4．把下列方程写成用含 x的代数式表示 y的形式：
(1) 3x＋4y－1＝0; (2)5x－2y＋9＝0.
5．解下列方程组．
(1){y＝2x， (2){x＋y＝6，
(3){2x－4y＝6，
(4){3x－2（x＋2y）＝3，
6．在解方程组{ax＋by＝16 ①，时，小明把方程①抄错了，从而得到错解{x＝1，而小亮却把方
程②抄错了，得到错解{x＝－2，你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 30页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
本课按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的代入消
元法——典型例题——归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观
能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的
积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解
过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法，这种比较，可使学生在复
习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．
第 2课时 加减消元法
1．会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路．通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二
元一次方程组转化为一元一次方程来求解；
2．会用加减法解简单的二元一次方程组．
重点
学会用加减法解简单的二元一次方程组．
难点
准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组．
一、创设情境、复习引入
用代入法解下面这个程组{3x＋5y＝5 ①，说说用代入法解方程组的关键是什么？你还能用别的
方法解这个方程组吗？
二、探索问题，引入新知
观察方程组：{3x＋5y＝5 ①，
(1)未知数 x的系数有什么特点？
(2)怎么样才能把这个未知数 x消去？这样做的依据是什么？
(3)把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．你得到了什么结果？
9y＝－18，(消去了未知数 x，达到了消元的目的)，y＝－2.
把 y＝－2代入①，得 3x＋5×(－2)＝5，x＝5.所以{x＝5，
从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？
将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减
消元法，简称加减法．
【例 1】 解方程组：{3x＋7y＝9 ①，
分析：看一看 y的系数有什么特点？想一想先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知
数呢？
解：①＋②得，7x＝14，x＝2.把 x＝2代入①得，6＋7y＝9，7y＝3，y＝3
7
.所以
x＝2，3
7
.
讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？
当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系
数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的．
【例 2】 解方程组：{3x－4y＝10 ①，
分析：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？
解：方法一：利用加减消元法消去未知数 y.
①×3，②×2得，{9x－12y＝30 ③，
③＋④得，19x＝114，x＝6.
把 x＝6代入②得，30＋6y＝42，y＝2.
所以{x＝6，
思考：能否先消去 x再求解？
方法二：利用加减消元法消去未知数 x.
解：①×5，②×3，得{15x－20y＝50 ③，
④－③得 38y＝76，y＝2
把 y＝2代入②得，5x＋12＝42，x＝6，
所以{x＝6，
当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？
一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适
当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相
减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入
原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
三、巩固练习
1．若二元一次方程组{x＋y＝3，的解为{x＝a，则 a－b＝( )
A．1 B．3 C.1
4
D.7
4
2．已知关于 x，y的二元一次方程组{2ax＋by＝3，的解为{x＝1，则 a－2b的值是( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
3．解下列方程组：
(1){x－y＝4， (2){3x＋4y＝－3.4，
(3){7x－3y＝5， (4)
x
4
＋
y
3
＝7，x
3
＋
y
2
＝8.
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 34页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是
解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一
元”，可谓“异曲同工”．
第 3课时 选择恰当的方法解二元一次方程组
1．会根据方程组的具体情况选择适合的消元法．
2．理解二元一次方程组的解的三种情况．
重点
会根据方程组的具体情况选择合适的消元法．
难点
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．
一、创设情境、复习引入
回顾代入法解二元一次方程组的步骤是什么？加减法解二元一次方程组的步骤是什么？代入法、加
减法的基本思想是什么？
我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？
二、探索问题，引入新知
【例 1】 分别用代入法和加减消元法解下列方程组．
(1){2x－y＝8 ①，
(2)
x＋1
3
＝2y，
解：(1)方法一：由①得 y＝2x－8，代入②得：3x＋2(2x－8)＝5，解得 x＝3，把 x＝3代入①得：y
＝－2，则方程组的解为{x＝3，
方法二：①×2＋②得：7x＝21，即 x＝3，把 x＝3代入①得：y＝－2，则方程组的解为{x＝3，
(2)方法一：方程组整理得：{x－6y＝－1 ①，，由①得 x＝6y－1，代入②得：2(6y－1)－y＝9，
解得 y＝1，把 y＝1代入①得：x＝5，则方程组的解为{x＝5，
方法二：方程组整理得：{x－6y＝－1 ①，②－①×2得：11y＝11，即 y＝1，把 y＝1代入①得：
x＝5，则方程组的解为{x＝5，
点评：观察上面的解题过程，回答下列问题：
(1)代入法和加减法有什么共同点？
(2)什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？
①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消
元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”．
②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是 1时，用代入消元法较简单，其他的用
加减消元法较简单．
通过学生自学、对比、讨论、互帮互助，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在
此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法．
【例 2】 若关于 x，y的方程组{mx＋2ny＝4，与{x－y＝3，有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求 m，n的值．
分析：(1)联立两方程中不含 m，n的方程求出相同的解即可；
(2)把求出的解代入剩下的方程中求出 m与 n的值即可．
解：(1)联立得：{x＋y＝1，解得：{x＝2，
(2)把 x＝2，y＝－1代入得：{m－n＝2，解得：m＝6，n＝4.
【例 3】 甲、乙两人共同解方程组{ax＋5y＝15，由于甲看错了方程中的 a，得到方程组的解为
{x＝－3，乙看错了方程中的 b，得到方程组的解{x＝5，试计算 a2020＋(－ 1
10
b)2021的值．
分析：将 x＝－3，y＝－1代入方程组的第二个方程，x＝5，y＝4代入方程组的第一个方程，联立
求出 a与 b的值，即可求出所求式子的值．
解：将{x＝－3，代入方程组中的 4x－by＝－2得：－12＋b＝－2，即 b＝10；将{x＝5，代入方程
组中的 ax＋5y＝15得：5a＋20＝15，即 a＝－1，则原式＝1－1＝0.
三、巩固练习
1．用恰当方法解下列二元一次方程组：
(1){x－2y＝13，
(2){x－2y＝0，
(3)
x
4
＋
y
3
＝6，
2．已知方程组{2x＋3y＝7，的解能使等式 4x－6y＝2成立，求 m的值．
3．已知甲、乙二人解关于 x，y 的方程组{ax＋by＝2，甲正确地解出{x＝3，而乙把 c抄错了，结
果解得{x＝－2，求 a、b、c的值．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 36页“习题 7.2”中第 1题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课是让学生学会根据方程组的具体情况选择合适的消元法．在学习二元一次方程组的解法中，
关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想．因而在教学过程中教师应通过问
题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比
较、分析总结出在解二元一次方程组时，根据方程组的特点选择恰当的方法．
第 4课时 列二元一次方程组解决实际问题
1．通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际
问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；
2．能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义．
重点
把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立．
难点
在实践探索中寻找解题方案．
一、创设情境，问题引入
问题：某电脑公司有 A，B两种型号的电脑，其中 A型电脑每台 6000元，B型电脑每台 4000元．学
校计划花费 150000元从该公司购进这两种型号的电脑共 35台，问购买 A型、B型电脑各多少台？
学生讨论：可设购买 A型电脑 x台，B型电脑 35－x台，根据总价＝单价×数量，即可得出关于 x
的一元一次方程，解之即可得出结论．
设购买 A型电脑 x台，B型电脑(35－x)台，根据题意得：6000x＋4000(35－x)＝150000，解得 x＝
5，35－x＝30.即购买 A型电脑 5台，B型电脑 30台．
二、探索问题，引入新知
我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处
理这些问题．
对于上面的问题我们也可以用二元一次方程组来求解：设购买 A型电脑 x 台，B 型电脑 y台，根
据题意得：{x＋y＝35，解得：{x＝5，购买 A型电脑 5台，B型电脑 30台．
【例 1】 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天
可以精加工 6吨或者粗加工 16吨．现计划用 15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加
工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000元，精加工后为 2000元，那么该公司出
售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析：问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程
组的方法来解答．要列方程组就需要找出两个相等关系．第一个关系就是 15天完成加工任务；第二个
相等关系就是总加工 140吨蔬菜．
解：设应安排 x天精加工，y天粗加工，根据题意得{x＋y＝15，解这个方程组得{x＝10，出售这
些加工后的蔬菜一共可获得 2000×6×10＋1000×16×5＝200000(元)．答：应安排 10天精加工，5天
粗加工，加工后出售共可获利 200000元．
根据上面的例题， 用二元一次方程组解实际问题的步骤： (1)审题，分析题目中的已知量与未知
量； (2)找出数量关系； (3)设未知数列方程组； (4)求解方程组； (5)检验； (6)写出答案．
处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：
问题――→
分析
抽象
方程(组)――→
求解
检验
解答
【例 2】 甲乙两个施工队在城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设 100米钢轨，甲队铺设 5 天
的距离刚好等于乙队铺设 6天的距离．若设甲队每天铺设 x米，乙队每天铺设 y米．
(1)依题意列出二元一次方程组；
(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？
解：(1)∵甲队每天铺设 x米，乙队每天铺设 y米，每天甲队比乙队多铺设 100米钢轨，甲队铺设 5
天的距离刚好等于乙队铺设 6天的距离，∴{x－y＝100，
(2){x－y＝100，解得：{x＝600，答：甲队每天铺设 600米，乙队每天铺设 500米．
三、巩固练习
1．小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买 20只铅笔和 10本笔记本共需 110元，但购买
30支铅笔和 5本笔记本只需 85元，设每支铅笔 x元，每本笔记本 y元，则可列方程组( )
A.{20x＋30y＝110 B.{20x＋10y＝110
C.{20x＋5y＝110 D.{5x＋20y＝110
2．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧
三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100个和尚分 100个馒头，正好分完；
如果大和尚一人分 3个，小和尚 3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x，y人，则
可以列方程组为________________．
3．某专卖店有 A，B两种商品，已知在打折前，买 60件 A商品和 30件 B商品用了 1080元，买
50 件 A 商品和 10 件 B 商品用了 840 元，A，B 两种商品打相同折以后，某人买 500 件 A 商品和 450
件 B商品一共比不打折少花 1960元，计算打了多少折？
4．学校“百变魔方”社团准备购买 A，B两种魔方，已知购买 2个 A种魔方和 6个 B种魔方共需
130元，购买 3个 A种魔方和 4个 B种魔方所需款数相同．
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买 A，B两种魔方共 100个(其中 A种魔方不超过 50个)．某商
店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 36页“习题 7.2”中第 2、3、4题．
2．完成练习册中本课时练习．
列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示问题中的相
等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化
为数学问题．学习各类实际问题，不仅要熟悉各类问题的基本数量关系，而且还要弄清各类问题之间的
本质联系．
*7.3 三元一次方程组及其解法
1．了解三元一次方程组的概念．
2．会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决．
3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．
重点
三元一次方程组的解法及“消元”思想．
难点
根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元．
一、创设情境，问题引入
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有些有两个未知数的问题，可以列出二元一
次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题：
在足球比赛中，胜一场积 3分，平一场积 1分，负一场及 0分，勇士队参加了 10场比赛，共得 18
分．已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在比赛中胜、平、负的场次
各是多少？
对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决．这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未
知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？
二、探索问题，引入新知
对于上面的问题，设胜、负、平的场次分别为 x，y，z，分别将已知条件直接“翻译”出来，列出
方程，并将它们写成方程组的形式，得：{x＋y＋z＝10 ①
像这样的方程组称为三元一次方程组．
怎样解三元一次方程组呢？
回忆我们在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？
对于三元一次方程组，我们能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方
程求解．
将③代入①和②中得：
{2y＋2z＝10 ①，解得：{y＝3，
将{y＝3，代入方程③中，可得：x＝5.
所以这个三元一次方程组的解是：{x＝5，
试一试：上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中
的 y＋z？比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？
解三元一次方程组的步骤：
1．利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组．
2．解二元一次方程组．
3．将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数．
【例】 解三元一次方程组：{3a－b＋c＝7 ①，
分析：利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组．由①－
③得 2a－2b＝8 ④，④－②得 b＝－2，代入②求得 a＝2，再将 a，b的值代入③求得 c即可．
解：{3a－b＋c＝7 ①，①－③得：2a－2b＝8 ④，④－②得：－5b＝10，∴b＝－2，将 b＝－2
代入②得：a＝2，将 a＝2，b＝－2代入③得：c＝－1，∴该方程组的解为{a＝2
点评：熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
三、巩固练习
1．利用加减消元法解方程组{x＋2y＋z＝8 ①，下列做法正确的是( )
A．要消去 z，先将①＋②，再将①×2＋③
B．要消去 z，先将①＋②，再将①×3－③
C．要消去 y，先将①－③×2，再将②－③
D．要消去 y，先将①－②×2，再将②＋③
2．已知{x＋y＝27，则 x＋y＋z的值是( )
A．80 B．40
C．30 D．不能确定
3．把方程组{2x＋3y＝5，消去未知数 z，转化为只含 x，y的方程组为____________．
4．已知关于 x，y的方程组{x＋y＝5m，的解满足 2x－3y＝9，则 m＝________.
5．解下列方程组．
(1){x＋y＝7， (2){5x＋y＋z＝6，
(3){x－2y＋4z＝12，
6．一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的 7倍比个位，十位
上的数字的和大 2，个位，十位，百位上的数字的和是 14，求这个三位数．
四、小结与作业
小结
1．三元一次方程组的概念．
2．三元一次方程组的解法．注意选好要消的“元”，选好要消的“法”．
3．谈谈求解多元一次方程组的思路．
作业
1．教材第 41页“习题 7.3”中第 1 ，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
通过本节课的学习能让学生在本节课上了解到三元一次方程组的概念，掌握用“代入法”、“加减
法”对三元一次方程组进行消元，并逐步领会如何选择适合的方法，以提高解题效率．原来本环节的目
的是让学生熟练掌握三元一次方程组的解法和调动学生学习的积极性，但因为计算结果比较复杂，学生
不敢肯定自己动手计算结果，从而影响了效果．
7．4 实践与探索
1．通过对实际问题的探索与解决，逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力．
2．学会用二元一次方程组解决简单的实际问题．
重点
1．学生积极参与讨论和探究问题；
2．抽象出数学模型．
难点
用二元一次方程组解决简单的实际问题．
一、创设情境、复习引入
通过前面的学习，你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？其中什么是关键？
二、探索问题，引入新知
问题 1：要用 20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另
一部分做底面，已知每张白卡纸可以做 2个侧面，或者 3个底面，如果 1个侧面和 2个底面可以做成一
个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？
请同学们独立思考，1.本题有哪些已知量？
2．求什么？用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？
3．若设用 x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？(2x个
盒身，3y个盒底盖)
4．找出 2个等量关系．
(1)用做盒身的白卡纸张数＋用做盒底盖的白卡纸张数＝20；
(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的 2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套．
根据题意，得{x＋y＝20，
解这个方程组，得
x＝84
7
，
3
7
.
由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成 16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，
则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用 8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身 17
个，盒底盖 34个，正好配套成 17个包装盒，较充分地利用了材料．
问题 2：小明在拼图时，发现 8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形．小
红看见了，说：“我来试一试”，结果小红拼成如下图所示的正方形，但中间还留有一个边长刚好为 2
mm的小正方形，你能解释一下吗？你能求出这些长方形的长和宽吗？
1．观察小明的拼图你能发现小长方形的长 x mm与宽 y mm之间的数量关系吗？
2．再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长 x mm与宽 y mm之间的另一个关系式吗？
这样得到方程{3x＝5y，解之得{x＝10，
8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6＝480(mm2)；
大正方形的面积＝(x＋2y)2＝(10＋2×6)2＝484(mm2)；
484－480＝4(mm2)＝2×2(mm2)
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为 2 mm的小正方形．
【例】 某地新建的一个企业，每月将生产 1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，
并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力(吨/月) 240 180
已知商家售出的 2台 A型、3台 B型污水处理器的总价为 44万元，售出的 1台 A型、4台 B
型污水处理器的总价为 42万元．
(1)求每台 A型、B型污水处理器的价格；
(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支
付多少钱？
分析：(1)可设每台 A型污水处理器的价格是 x万元，每台 B型污水处理器的价格是 y万元，根据
等量关系：①2 台 A型、3台 B型污水处理器的总价为 44万元，②1台 A型、4 台 B型污水处理器的
总价为 42万元，列出方程组求解即可；(2)由于求至少要支付的钱数，可知购买 6台 A型污水处理器、
3台 B型污水处理器，费用最少，进而求解即可．
解：(1)可设每台 A型污水处理器的价格是 x万元，每台 B型污水处理器的价格是 y万元，依题意
有{2x＋3y＝44，解得{x＝10，答：每台 A型污水处理器的价格是 10万元，每台 B型污水处理器的价
格是 8 万元；(2)购买 6 台 A型污水处理器、3 台 B 型污水处理器，费用最少，10×6＋8×3＝60＋24
＝84(万元)．答：他们至少要支付 84万元钱．
点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系．
三、巩固练习
1．有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为 5∶4，第二个长方形的长与宽之比为 3∶2，第一
个长方形的周长比第二个长方形的周长大 112 cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的 2倍还大 6
cm，求这两个长方形的面积．
2．甲、乙两家公司组织员工游览某景点门票售价如下：
人数 1～50人 50～100人 100人以上
票价 120元/人 100元/人 80元/人
(1)若甲公司有 50人游览，则共付门票费________元；若乙公司共付门票费 12000元，则乙公
司有________人游览；
(2)若甲、乙两家公司共有 120人游览，其中甲公司不超过 50人，两家公司先后共付门票费 12800
元，求甲、乙两家公司游览的人数．
3．如图：用 8块相同的长方形拼成一个宽为 48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多
少？
4.用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现
在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 43页“习题 7.4”中第 1，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来
解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程，什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较
方便．再通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型．教学效果较好．
第 8章 一元一次不等式
8．1 认识不等式
1．能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式．
2．正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语．
3．理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否是某个不等式的解．
重点
理解并会用不等式表达数学量之间的关系，知道不等式的解的意义．
难点
不等号的准确应用；不等式的解．
一、创设情境，问题引入
问题：世纪公园的票价是：每人 5元；一次购票满 30张，每张可少收 1元．某班有 27名少先队员
去世纪公园进行活动．当领队王小华准备好了零钱到售票处买 27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了
王小华，提议买 30张票．但有的同学不明白，明明我们只有 27个人，买 30张票，岂不是“浪费”吗？
那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？
二、探索问题，引入新知
同学们的探索过程如下：
买 27张票，付款：5×27＝135(元)；
买 30张票，付款：4×30＝120(元)．
显然 1205的解集，可以表示成 x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示．
同样，如果某个不等式的解集为 x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示．
观察讨论：这两条折线所指的方向为什么不同？它们有什么规律吗？数轴上空心的圆点和实心的圆
点是什么意义？
结论：不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右
边．当不等号为“>”“b＋c)．
结论：不等式的性质 1：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c，a－c>b－c.
这就是说，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等式的方向不变．
思考：不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
试一试：将不等式 7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“”或“＝”填空：
7×3________4×3，
7×2________4×2，
7×1________4×1，
7×0________4×0，
7×(－1)________4×(－1)，
7×(－2)________4×(－2)，
7×(－3)________4×(－3)，
……
从中你能发现什么？
结论：不等式的性质 2：如果 a>b，并且 c>0，那么 ac>bc.
不等式的性质 3：如果 a>b，并且 c1－x；
(2)6x－7a，
x>b；
(2)
xx－1.
分析：先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
解：(1)
1－3x≤5－x ①，
4－5x>－x ②，
由①得：x≥－2，由②得：x＜1，∴不等式组的解集为：－2≤x＜1.如图，在数轴上表示为：
(2)∵解不等式 3(x－2)≥x－4 得：x≥1，解不等式
2x＋1
3
＞x－1 得：x＜4，∴不等式组的解集是 1
≤x＜4，在数轴上表示不等式组的解集是：
.
【例 3】 若关于 x的一元一次不等式组
x－a>0，
1－x>x－1
无解，求 a的取值范围．
分析：先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出 a的取值范围．
解：由 x－a＞0得，x＞a；由 1－x＞x－1得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1.故答案
为：a≥1.
点评：熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、巩固练习
1．将不等式组
2x－6≤0，
x＋4>0
的解集表示在数轴上，下面表示正确的是( )
2．解集如图所示的不等式组为( )
A.
x>－1
x≤2
B.
x≥－1
x>2
C.
x≤－1
x－1
x3（x－2），
xa，
2x－4≤0
有解，则 a的取值范围是________．
5．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
(1)
x－2
3
＋30，
3x－216×4，
x2530，
110（x－2）≤2200.
解不等式①得 x＋2＞23，即 x
＞21，解不等式②得 x－2≤20，即 x≤22，∴不等式组的解集 21＜x≤22.答：学校的每天用电度数应控
制在 21～22度．
【例 3】 某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共 30个．计划
养殖类图书不超过 2160本，种植类图书不超过 1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书 80本，
种植类图书 50本；组建一个小型图书室需养殖类图书 50本，种植类图书 60本．
(1)符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
(2)若组建一个中型图书室的费用是 2000元，组建一个小型图书室的费用是 1500 元，哪种方案费
用最低，最低费用是多少元？
分析：(1)设组建中型两类图书室 x个、小型两类图书室(30－x)个，由于组建中、小型两类图书室
共 30个，已知组建一个中型图书室需养殖类图书 80本，种植类图书 50本；组建一个小型图书室需养
殖类图书 50本，种植类图书 60本，因此可以列出不等式组
80x＋50（30－x）≤2160，
50x＋60（30－x）≤1600，
解不等式组然
后去整数即可求解．
(2)根据(1)求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
解 ： (1) 设 组 建 中 型 两 类 图 书 室 x 个 ， 小 型 两 类 图 书 室 (30 － x) 个 ． 由 题 意 ， 得
80x＋50（30－x）≤2160，
50x＋60（30－x）≤1600，
化简得
30x≤660，
x≥20，
解这个不等式组，得 20≤x≤22.由于 x只能取整数，∴
x的取值是 20，21，22.当 x＝20时，30－x＝10；当 x＝21时，30－x＝9；当 x＝22时，30－x＝8.故有
三种组建方案：方案一，中型图书室 20个，小型图书室 10个；方案二，中型图书室 21个，小型图书
室 9个；方案三，中型图书室 22个，小型图书室 8个．
(2)方案一的费用是：2000×20＋1500×10＝55000(元)；方案二的费用是：2000×21＋1500×9＝
55500(元)；方案三的费用是：2000×22＋1500×8＝56000(元)；故方案一费用最低，最低费用是 55000
元
点评：解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题．
结论：列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
(1)审：审题，分析题目中已知是什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2)设：设适当的未知数．
(3)代：用代数式表示题中的直接量和间接量．
(4)列：依据不等关系列不等式(组).
(5)解：求出不等式(组)的解集.
(6)答：写出符合题意的答案．
三、巩固练习
1．一件商品的成本价是 30 元，若按原价的八八折销售，至少可获得 10%的利润；若按原价的九
折销售，可获得不足 20%的利润，此商品原价在什么范围内？
2．为积极响应政府提出的“绿色发展，低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场
调查得知，购买 3辆男式单车与 4辆女式单车费用相同，购买 5辆男式单车与 4辆女式单车共需 16000
元．
(1)求男式单车和女式单车的单价；
(2)该社区要求男式单车比女式单车多 4辆，两种单车至少需要 22辆，购置两种单车的费用不超过
50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
3．某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐赠一批饮用水和
蔬菜共 320件，其中饮用水比蔬菜多 80件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每
辆甲种货车最多可装饮用水 40件和蔬菜 10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各 20件，有哪几
种方案可供选择？
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费 400元，乙种货车每辆需付运费 360元．运输部门
应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
4．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购
买甲种书柜 3个、乙种书柜 2个，共需资金 1020元；若购买甲种书柜 4个，乙种书柜 3个，共需资金
1440元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共 20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校
至多能够提供资金 4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
完成练习册中本课时练习．
本节课以生活实际中的问题为导引，让学生自主探究，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释
与应用的过程——这种过程和体验正是“新课标”所倡导的基本理念之一．通过本课时的学习，学生能
够对不等式组的解法和不等式组的运用有一定的理解和掌握，能够体会数学知识在现实生活中的运用．
第 9章 多边形
9．1 三角形
9．1.1 认识三角形
第 1课时 三角形的概念
1．了解三角形的基本元素与主要线段．
2．能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法．
3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．
重点
三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念．
难点
三角形的外角．
一、创设情境，问题引入
在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或
墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙．
这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？
为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，三角形可以帮
助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．让我们从三角形开始，探究其中的道理．
二、探索问题，引入新知
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边．
如图三角形的顶点采用大写字母 A、B、C……等表示，整个三角形表示为△ABC.
如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与
另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角．
思考：(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角？多少个外角？
答：三个内角，表示为∠ABC，∠ACB，∠BAC六个外角(三对)．
(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？
答：两个，是一对对顶角．
试一试：如图，三个三角形的内角各有什么特点？
(1)中：三个内角均为锐角；
(2)中：有一个内角是直角；
(3)中：有一个内角是钝角．
那么三角形按角来分，应如何分类？
结论：三角形按角可以分为：
所有内角都是锐角——锐角三角形；
有一个内角是直角——直角三角形；
有一个内角是钝角——钝角三角形．
试一试：如图，三个三角形的边各有什么特点？
(1)中：三角形的三边互不相等；
(2)中：三角形有两条边相等；
(3)中：三角形的三边都相等．
结论：我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都
相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)．
【例 1】 如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以 E为顶点的角．
分析：分别找出图中的三角形即可．
解：图中共有 7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以 E为顶点的
角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.
【例 2】 如图，过 A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以 AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
分析：(1)利用以 AB为边画三角形，结合 E，D，C的位置得出符合题意三角形；(2)利用网格中线
段长得出等腰三角形和钝角三角形．
解：
(1)如图所示：以 AB为边的三角形能画 3个有：△EAB，△DAB，△CAB；(2)△ABD是等腰三角
形，△EAB，△CAB是钝角三角形．
三、巩固练习
1．下列说法正确的有( )
①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③
等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④
C．③④ D．①②④
2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角
形”有________对．
3．如图，以 BC为边的三角形有几个？以 A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．
4．如图，直线 a上有 5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？
5．如图，BD是长方形 ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点 E.
(1)写出图中所有的直角三角形；
(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 82页“习题 9.1”中第 1题．
2．完成练习册中本课时练习．
教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实
际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步．而每一道题都运用了本节课的知识，
每一道题目的呈现方式又都不同．这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共
同进步．从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题．所以在以后审题教学中
重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率．
第 2课时 三角形的高、角平分线和中线
1．掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示．
2．掌握三角形的角平分线、中线和高的画法．
重点
认识三角形的中线、角平分线、高．
难点
三角形的中线、角平分线、高的应用．
一、创设情境，问题引入
如图，有三个车站 A、B、C成三角形，一辆公共汽车从 B站前往到 C站．
(1)当汽车运动到点 D点时，刚好 BD＝CD，连结线段 AD，则 AD这条线段是什么线段？这样的
线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
(2)汽车继续向前运动，当运动到点 E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么 AE这条线段是什么线段呢？
在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
(3)汽车继续向前运动，当运动到点 F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则 AF这条线段是什么线段？
这样的线段在△ABC中有几条？
二、探索问题，引入新知
分析上述问题并给出结论：
(1)AD是△ABC中 BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
(2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．
(3)AF是△ABC中 BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、
三条高．
(1)把锐角三角形换成直角三角形后，再试一试．
(2)把锐角三角形换成钝角三角形后，再试一试．
结论：
1．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相
交于三角形内一点；
2．锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形
的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点．
例 1.画出△ABC中 AB边上的高，下列画法中正确的是( )
分析：作哪一条边上的高，即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．
解：过点 C作 AB边的垂线，正确的是 C.
【例 2】 如图，已知△ABC的周长为 24 cm，AD是 BC边上的中线，AD＝5
8
AB，AD＝5 cm，△
ABD的周
长是 18 cm，求 AC的长．
分析：由 AD＝5
8
AB，AD＝5 cm，可求出 AB的长度，结合△ABD的周长是 18 cm，可求出 BD的
长度，进而可求出 BC的长度，再根据△ABC的周长为 24 cm，即可求出 AC的长．
解：∵AD＝5
8
AB，AD＝5 cm，∴AB＝8 cm.又∵△ABD 的周长是 18 cm，∴BD＝5 cm.又∵D 是
BC的中点，∴BC＝2BD＝10 cm.又∵△ABC的周长为 24 cm，∴AC＝24－8－10＝6(cm)．
三、巩固练习
1．一定在三角形内部的线段是( )
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
2．如图，AD⊥BC于点 D，GC⊥BC于点 C，CF⊥AB于点 F，下列关于高的说法中错误的是( )
A．△ABC中，AD是 BC边上的高
B．△GBC中，CF是 BG边上的高
C．△ABC中，GC是 BC边上的高
D．△GBC中，GC是 BC边上的高
错误! ,第 3题图)
3．如图，在△ABC 中，AD⊥BC于点 D，点 E在 CD上，则图中以 AD为高的三角形有________
个．
4．如图，已知△ABC的周长为 27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线 AD＝6 cm，△ABD周长为 19 cm，
则 AB＝________.
,第 4题图) ,第 5题图)
5．在△ABC中，AD为 BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为 3，AB＝8，则 AC＝________.
四、小结与作业
小结
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流在学习过程中的体验与感受，以及可能存在
的困惑，师生合作共同完成课堂小结．
作业
1．教材第 76页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
让学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生
动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得
不是教师传授的，而是学生自己探索得到的．
9．1.2 三角形的内角和与外角和
1．掌握三角形的内角和与外角和．
2．理解三角形的外角的两条性质．
3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．
重点
掌握三角形内角和及其外角和．
难点
三角形角的有关计算．
一、创设情境，问题引入
在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个
平角，得出如下结论：三角形的内角和为 180°.那么，你能用几何知识进行证明吗？
二、探索问题，引入新知
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角，证明：∠1＋∠2＋∠3＝180°.
解：延长 BC至点 E，以 C为顶点，在 BE的上侧作∠DCE＝∠2，则 CD∥BA.∵CD∥BA，∴∠1
＝∠ACD，∵∠3＋∠ACD＋∠DCE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
由三角形的内角和等于 180°，可以得出：
结论：直角三角形的两个锐角互余．
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与
这个外角不同顶点的两个内角．
三角形的外角与内角有什么关系呢？
显然有：∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻内角)＝180°
那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
∵∠CBD＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠CBD＝∠ACB＋∠BAC.
结论：三角形的外角有两条性质：
1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角
中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．
问：你能用“三角形的内角和等于 180°”来说明图中∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？
∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋
∠BAC＝180°×3，又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3－180°＝
360°.
结论：三角形的外角和等于 360°.
【例 1】 如图，在△ABC 中，AD是 BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝42°，∠DAE
＝18°，求∠C的度数．
分析：由 AD是 BC边上的高，∠B＝42°，可得∠BAD＝48°，再由∠DAE＝18°，可得∠BAE
＝∠BAD－∠DAE＝30°，然后根据 AE是∠BAC的角平分线，可得∠BAC＝2∠BAE＝60°，最后根
据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．
解：∵AD是 BC边上的高，∠B＝42°，∴∠BAD＝48°，∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD
－∠DAE＝30°，∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，∴∠C＝180°－∠B－
∠BAC＝78°.
【例 2】 如图，在△ABC中，D是 BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC
的度数．
分析：在△ABD 中，由三角形的外角的性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，
根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.因为∠BAC＝63°，所以∠2＋∠4＝117°，即 x＋2x＝117°，
所以 x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°.
三、巩固练习
1．如图，在△ABC中，点 D在 AB上，点 E在 AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，
则∠B的大小为( )
A．54° B．62° C．64° D．74°
,第 1题图) ,第 2题图)
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝( )
A．145° B．150° C．155° D．160°
3．如图，直线 AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于________．
,第 3题图) ,第 4题图)
4．小明把一副含 45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝
30°，则∠α＋∠β等于________．
5．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
6．如图，AE，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1＝∠2.
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 79页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
实践出真知，因此，在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学
生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老
师“导”学生“学”．教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获．归纳、对比
对于知识的掌握有着不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并
熟练应用．本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外
角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质．
9．1.3 三角形的三边关系
1．掌握和理解三角形三边的关系．
2．认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．
重点
三角形任何两边之和大于第三边的应用．
难点
已知三角形的两边求第三边的范围．
一、创设情境、复习引入
1．三角形的三个内角和是多少？三角形的外角有什么性质？
2．在连结两点的所有线中最短的是哪一种？
二、探索问题，引入新知
做一做： 画一个三角形，使它的三条边分别为：4 cm，3 cm，2.5 cm.
画法步骤如下：
(1)先画线段 AB＝4 cm；
(2)以点 A为圆心，3 cm的长为半径画圆弧；
(3)再以 B为圆心，2.5 cm的长为半径画圆弧，两弧相交于点 C；
(4)连结 AC，BC.
△ABC就是所要画的三角形．
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等．
试一试： 现有长 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它
的三边长分别是你所选择的三条线段的长．你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？
在画三角形的过程中，你会发现有多种情况，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．
结论：三角形的任意两边的和大于第三边．
你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？
做一做： 用 3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形
的大小会变吗？你知道这是为什么？
用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变
吗？你知道这是为什么？
结论：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做
三角形的稳定性．四边形具有不稳定性．
三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用．例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构．
【例 1】 已知三角形三条边分别为 a＋4，a＋5，a＋6，求 a的取值范围．
分析：根据三角形两边之和大于第三边可得 a＋4＋a＋5＞a＋6再解即可．
解：由题意得：
a＋4>0，
a＋4＋a＋5>a＋6，
解得：a＞－3.
【例 2】 若 a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|
分析：根据三角形的三边关系得出 a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即
可．
解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|a－(b＋c)|＋|b－(c＋
a)|＋|(c＋b)－a|＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a＝－a＋b＋3c.
三、巩固练习
1．长度分别为 2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则 x的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．9
2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )
A．2，3，4 B．5，7，7
C．5，6，12 D．6，8，10
3．已知 a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为________．
4．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8 m和 5 m的木棒．如果要求第三根木棒的长度
是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
5．如图，点 O是△ABC内的一点，证明：OA＋OB＋OC＞1
2
(AB＋BC＋CA)．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作补充．
作业
1．教材第 82页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考
后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，
以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获．
9．2 多边形的内角和与外角和
1．理解多边形的概念和正多边形的概念．
2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念．
3．在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．
重点
多边形内角和定理的探索和应用．
难点
多边形的内角和，外角和定理的推导．
一、创设情境、复习引入
什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？
二、探索问题，引入新知
试一试：四边形和五边形是怎样表示呢？
如图(1)，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.
如图(2)，四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形
ABCD.
如图(3)，五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形
ABCDE.
一般地，由 n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n边形，又称为多边形．
注意：(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形，也就是凸多边形，如图(4)也是多边形，但不是我
们现在研究范围．
(2)与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，∠CBE
和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．连结多边形不相邻的两个顶
点的线段叫做多边形的对角线．
如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．
试一试：我们知道三角形的三个内角和是 180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多
少？
由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个
三角形的内角和等于 180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．
根据我们的分析，完成下表：
多边形
的边数
3 4 5 6 … n
分成的三
角形个数
1 2 3 4 … n－2
多边形的
内角和
180° 360° 540° 720° … (n－2)·180°
由此，我们可以得出：
结论：n边形的内角和为(n－2)·180°.
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角
中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．
如图，四边形 ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°，又因为∠DAB＋∠CBA
＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于 360°)，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.所以四边形的
外角和等于 360°.根据 n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得 n边形的外角和，填
表：
多边形
的边数
3 4 5 … n
多边形的
内角与外
角的总和
3×180°
＝540°
4×180°
＝720°
5×180°
＝900°
… n×180°
多边形的
内角和
180° 360° 540° …
(n－2)·
180°
多边形的
外角和
360° 360° 360° … 360°
结论：任意多边形的外角和都为 360°.
【例 1】 如图，多边形 ABCDE的每个内角都相等，求每个内角的度数．
分析：根据多边形内角和定理求解．
解：∵五边形的内角和＝(5－2)·180°＝540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数
＝540°÷5＝108°.
【例 2】 一个多边形的内角和等于 900°，则这个多边形是几边形？
分析：根据多边形内角和定理求解．
解：设多边形为 n边形，由题意得(n－2)·180°＝900°，解得 n＝7.
【例 3】 一个多边形的每一个外角都等于 72°，则这个多边形是几边形？
分析：根据任意多边形的外角和都为 360°求解．
解：设多边形为 n边形，由题意，得 n·72°＝360°解得 n＝5.
例 4：如图，小亮从 A点出发，沿直线前进 10米后向左转 30度，再沿直线前进 10米，又向左转
30度，……照这样走下去，他第一次回到出发点 A点时，一共走了多少米？
分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用 360°除以 30°求出边数，然后再乘以 10米
即可．
解：∵小亮每次都是沿直线前进 10米后向左转 30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数 n＝360°
÷30°＝12，∴他第一次回到出发点 A时，一共走了 12×10＝120(米)．故他一共走了 120米．
三、巩固练习
1．一个多边形的内角和是外角和的 2倍，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
2．若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
3．如果 n边形每一个内角等于与它相邻外角的 2倍，则 n的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．七边形的内角和为________．
5一个 n边形的内角和是 720°，则 n＝________.
6．若一个正多边形的一个外角是 40°，则这个正多边形的边数是________．
7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l上，且有一个公共顶点 O，其摆放方式如图所示，
则∠AOB等于________度．
,第 7题图) ,第 8题图)
8．如图，∠1是五边形 ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝________.
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第 88页“习题 9.2”中第 1，2，3题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形
的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外
角和等于 360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．通过练习情况来看学
生本节课掌握的较好．
9．3 用正多边形铺设地面
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．
2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．
重点
通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．
难点
通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键．
一、创设情境、复习引入
回到开始提出的问题：某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？地砖或瓷砖的形
状大多数是正多边形，是不是所有的正多边形都能铺满地面呢？
二、探索问题，引入新知
探究 1：用相同的正多边形
使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？
通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一
起的几个正多边形的内角相加恰好等于 360°.
下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：
正多边形
的边数
3 4 5 6 7 … n
正多边形
的内角和
180° 360° 540° 720° 900° … (n－2)180°
正多边形每
个内角度数
60° 90° 108° 120°
900°
7
…
（n－2）180°
n
当[360°÷
（n－2）·180°
n
]为正整数时，即
2n
n－2
为正整数时，用这样的正多形就可以铺满地面．
结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平
面图形．
探究 2：用多种正多边形
用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？
由正六边形和正三角形组成也能铺满地面．
因为正六边形的内角为 120°，正三角形的内角为 60°，这样用 2块正六边形和 2块正三角形，它
们内角之和为一个周角 360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°)
能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？
如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为 135°，正方形的内角为 90°，那
么用 2 个正八边形和 1个正方形各一内角之和正好等于 360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋
90°＝360°)
如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为 120°，正方形的内角
为 90°，正三角形的内角为 60°，那么用 1 个正六边形，2 个正方形和 1个正三角形各一个内角之和
为 360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°)
结论：若几个正多边形的一个内角的和等于 360°，那么这几个正多边形可铺满地面．
【例 1】 正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．
分析：先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除 360°.
解：不能．∵正八边形每个内角是
（8－2）×180°
8
＝135°，不能整除 360°，∴不能密铺．
点评：正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°.
【例 2】 某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．
(1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有________．(填序号)
①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤任意三角形；⑥任意四边形
(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行
的方案？
(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，
有几种可行的方案？
分析：(1)由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能
整除 360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
(2)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．
(3)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．
解：(1)①正方形的每个内角是 90°，4 个能组成镶嵌；②正五边形每个内角是 180°－360°÷5
＝108°，不能整除 360°，不能密铺；③正六边形的每个内角是 120°，能整除 360°，3个能组成镶
嵌；④正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，不能整除 360°，不能密铺．⑤任意三角形
⑥任意四边形都可以镶嵌平面．
(2)正三角形的每个内角是 60°，正方形的每个内角是 90°，∵3×60°＋2×90°＝360°，能密
铺．正八边形的每个内角是 135°，正方形的每个内角是 90°，∵2×135°＋90°＝360°，能密铺．故
共有两种可行的方案；
(3)由题意可得出：正三角形、正四边形，正十二边形可以镶嵌地面； 正四边形，正六边形，正十
二边形可以镶嵌地面；故有 2种可行的方案．
点评：用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°，任意多边形能进行镶嵌，说明它
的内角和应能整除 360°，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起
恰好组成一个周角．
三、巩固练习
1下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是( )
A．正六边形 B．正五边形
C．正方形 D．正三角形
2．下列三组正多边形的组合：①正八边形和正方形；②正五边形和正八边形；③正六边形和正方
形，能够铺满地面的组合是________(填序号即可)．
3．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
(1)则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？(两种图形都要用上)
(2)请画出你的镶嵌图．
4．小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块
地板砖的各边长都相等，各个角也都相等、某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度
数分别为 60°，90°，108°，120°，135°，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由．
5．现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如图所示)，设计能铺满地面的瓷砖图案．
(1)能用相同的正多边形铺满地面的有________．
(2)从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．
(3)从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．
(4)你能说出其中的数学道理吗？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 91页“习题 9.3”第 1，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课学习用正多边形铺设地面是在学习多边形的内角和与外角和的前提下来学习的，且是多边形在生
活中应用的拓展．所以这节课，教师以生活中常见的地板瓷砖来创造问题情境，学生对此也 比较感兴
趣，进而引导学生探索哪些正多边形能铺满地面．这一节课，内容比较简单，幻灯片的图片也比较形象、
直观，所以学生比较感兴趣、课堂气氛也相对活跃，课堂效果比较成功．
第 10章 轴对称、平移与旋转
10．1 轴对称
10．1.1 生活中的轴对称
1．通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称和轴对称图形．
2．会找出简单的轴对称图形的对称轴，了解轴对称和轴对称图形的联系和区别．
重点
正确理解轴对称图形以及轴对称的概念．
难点
能正确区分轴对称图形和轴对称．
一、创设情境，引入新课
不论是在自然界还是在建筑中，不论是在艺术中还是科学中，甚至在最普通的日常生活用品中，对
称的形式都随处可见，如图．对称的形式被认为是和谐美丽的．
通过观察图片．使学生能够形象直观地感受图形的对称．使学生明白对称在美学和自然界中的作用．
二、探索问题，引入新知
观察下面各个图形．你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述．你能不能在上面的
每个图形中画一条线，在把这个图形沿你所画的线对折，使左右两旁的部分完全重合．
结论： 如果图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图
形．这条直线叫做这个图形的对称轴．
注意：(1)轴对称图形是一个图形；(2)对折；(3)重合．观察下面两组图形．
请注意观察，当把这两个图案沿着一条直线折叠后，会发现什么样的现象？
请同学再看图②，当沿着一条直线折叠后，这两个五边形会有什么现象？
这就是说两个图形也可以是对称的．我们把这样的两个图形称为成轴对称．
结论： 把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点．
注意：(1)“轴对称”是两个图形．
(2)对折．
(3)重合．
试一试：请同学标出第(2)个图中 A，B，C三点的对称点 A1，B1，C1.
在图(2)中，如果把它看作两个五边形，那么它就是成轴对称的，如果我们把它看作是一个图形的
两个部分，那么它就成了轴对称图形．
从上图中我们可以发现，轴对称图形(或成轴对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部分是完全重合
的．
结论：轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重
合的角)相等．
【例 1】如图，四边形 ABCD与四边形 EFGH 关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，
AB＝3 cm，EH＝4 cm.
(1)试写出 EF，AD的长度；
(2)求∠G的度数．
分析：(1)根据图形写出对应线段即可；
(2)对称图形的对应角相等，据此求解；
解：(1)∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB
＝3 cm，EH＝4 cm.∴EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm；
(2)∵∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，∴∠C＝80°，∴∠G＝∠C＝80°.
【例 2】 如图，点 P在∠AOB内，点M，N分别是 P点关于 OA，OB的对称点，且MN交 OA，
OB相交于点 E，若△PEF的周长为 20，求MN的长．
分析：根据轴对称的性质可知：EP＝EM，PF＝FN，所以线段MN 的长＝△PEF 的周长，再根据
△PEF的周长为 20，即可得出MN的长．
解：∵点M 是 P点关于 OA的对称点，∴EP＝EM，∵N是 P 点关于 OB的对称点，∴PF＝FN，
∴MN＝ME＋EF＋FN＝PE＋EF＋PF＝△PEF的周长，∵△PEF的周长为 20，∴MN＝20.
三、巩固练习
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
( )
2．如图，直线MN 是四边形 AMBN的对称轴，与对角线 AB 交与点 Q，点 P是直线 MN 上面一
点，下列判断错误的是( )
A．AQ＝BQ
B．AP＝BP
C．∠MAP＝∠MBP
D．∠ANM＝∠NMB
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线 l对称，∠A＝30°，∠C′＝60°，则∠B＝________.
,第 3题图) ,第 3题图)
4如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线 l对称，则这个英语单词的汉语意思
为________．
5．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231＝132×21；仿照上面的形式填空，并判断等
式是否成立：
(1) 12×462＝______×______(________)；
(2) 18×891＝______×______(________)．
6．如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并
简述你的理由．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 100页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
本节通过大量生动的生活中的实例引领学生进入图形中的对称世界，深刻体会对称在现实生活中的
广泛应用和丰富的文化价值．同时通过本节的学习与探索，使同学们对对称的认识由感性到理性，由浅
到深，为后面抽象的对称图形的学习作好铺垫工作．
10.1.2 轴对称的再认识
1．掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形．
2．并请熟练画出轴对称图形的对称轴．
3．通过动手操作探索轴对称的性质，运用轴对称性质解决实际问题．
重点
画轴对称图形的对称轴．
难点
画轴对称图形的对称轴．
一、创设情境，问题引入
在纸上画出线段 AB和它的中点 O，再过 O点画与 AB垂直的直线 CD，沿直线 CD将纸对折，观
察线段 OA和线段 OB是否重合？
二、探索问题，引入新知
从上面的操作我们可以看出，线段 OA和线段 OB互相重合，因此，线段 AB是轴对称图形．直线
CD是线段 AB的对称轴，它垂直于线段 AB，又平分线段 AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直
线称为这条线段的垂直平分线．
如上图中直线 CD是线段 AB的垂直平分线．线段的垂直平分线是直线．
试一试：每位同学准备一张半透明的白纸，在纸上画一个角(∠AOB)，然后对折这个角，使角的两
条边完全重合，然后用直尺画出折痕 OM.
思考：从上面的实验中你能发现什么？
角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线．如图所示的直线 OM就是∠AOB的对称轴．
有时我们感觉一个图形是轴对称的，那么如何来验证呢？这就需要我们去找到它的对称轴，看看沿
着对称轴翻折以后两部分是否重合．
试一试：如图，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称轴．
由于图形在方格子内，我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴，你能想想是什么原因吗？
因为在方格子中我们比较容易看清楚图形的位置，也就比较容易确定图形的中间位置．
如果没有方格子，而又不能折叠，你还能比较容易地画出图形的对称轴吗？请同学试试看．
做一做：试着画出如下图形的对称轴．
用折叠的方法可以检验自己画的对称轴是否正确．如果不能折叠又该如何判断对称轴的位置呢？
做一做：如图点 A和点 A1关于某直线成轴对称，你能画出这条直线吗？
如图，我们只要连结点 A和点 A1，画出线段 AA1的垂直平分线MN，则直线MN就是所是点 A和
点 A1的对称轴．
总结一下对称轴的画法．
结论：1.找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点．
2．画出对称点所在连线段的垂直平分线．则这条垂直平分线就是它的对称轴．通过以上的操作，
我们可以有这样的结论：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是
该图形的对称轴．
【例】 画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正 n边形有________条对称轴．
分析：轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是
轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
解：如图，
故填 3，4，5，6，7，n.
三、巩固练习
1．下列说法错误的是( )
A．等边三角形是轴对称图形
B．轴对称图形的对应边相等，对应角相等
C．成轴对称的两条线段必在对称轴一侧
D．成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分
2．设 A，B两点关于直线MN轴对称，则________垂直平分________．
3．下列图形中，哪些是图形的对称轴，哪些不是图形的对称轴？
4．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 110页“习题 10.1”中第 3，4，5 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课应采用小组学习模式，在小组讨论之前，应该留给学生充分独立思考的时间，不要让一些思
维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师应对小组讨论给予适当的指
导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实
效性．根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成．
10．1.3 画轴对称图形
1．使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．
2．通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操．
重点
让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴．
难点
画轴对称图形．
一、创设情境，问题引入
1．如图，作出它们的对称轴．
2．如图，给出一个图形和一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢？
二、探索问题，引入新知
如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形．
思考下面两个问题：
(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确．
(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单吗？
在格点图中，很容易画出已知图形的轴对称图形，如果没有格点图，我们还能比较准确地画出已知
图形的轴对称图形吗？
你能画出点 A关于直线 L的对称点吗？
画法：(1)过点 A向直线 L画垂线段 AO，垂足点 O；
(2)延长 AO至 OA1，使 OA1＝OA.则点 A1就是点 A关于直线 L的对称点．
做一做：你能画出线段 AB关于直线 L的对称线段吗？
画法：(1)画点 A，点 B关于直线 L的对称点 A1，B1；
(2)连结 A1 ，B1.
则线段 A1 B1就是线段 AB关于直线 L的对称线段．
做一做：你能画出三角形 ABC关于直线 L的对称图形吗？
画法：(1)画出点 A，点 B和点 C关于直线 L的对称点 A1，B1和 C1；
(2)连结 A1 B1，B1 C1，A1 C1，则△A1 B1 C1就是△ABC关于直线 L的对称三角形．
从上面的例子可以知道，如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点的
对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．
结论：先画点的对称点，再画线段的对称图形，最后画三角形的对称图形．由易到难，这样学生就
很容易的知道了知识的形成过程．
【例 1】 如图，方格图中每个小正方形的边长为 1，点 A，B，C都是格点．画出△ABC关于直线
BM对称的△A1B1C1.
分析：画出图形中的特殊点的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．
解：如图所示，△A1B1C1即为所求
【例 2】 如图，请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整，使得它们关于直线 l对称．(保留作图痕迹)
分析：过点 C，点 B′作关于直线 l的对称点，连结 AB，BC，B′C及 A′C′即可．
解：如图所示：
三、巩固练习
1．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是( )
2．下列各图都是一个汉字的一半，你能想像出它的另一半并能确定它是什么字吗？(有几个字的笔
划在对称轴上)．
3．如图，先画△ABC关于直线 l1的对称△A1B1C1，(直线 l1过点 C)，再画出△A1B1C1，关于直线
l2的对称△A2B2C2.
4．如图，在网格中有两个大小、形状一样的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试
分别在图中画出两种不同的拼法．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 110页“习题 10.1”中第 6 题．
2．完成练习册中本课时练习．
学生是学习的主体，要让学生成为真正的主人，就必须在数学活动中学习数学，也就是在创造中学
习数学．本课从最基本的图形中，让学生自己动手画，体验探索成功的快乐；通过动手操作，小组讨论
来解决自己提出的问题；通过有层次的练习，提高学生解决问题的能力，巩固所学知识．
10．1.4 设计轴对称图案
会设计简单的轴对称图案．
重点
能灵活运用轴对称进行简单的图案设计．
难点
能灵活运用轴对称进行简单的图案设计．
一、创设情境，问题引入
随着人们生活水平的不断提高，各种小汽车已经走进我们的家庭．道路交通也越来越堵塞，我们必
须遵守交通规则，安全出行．下面是一些交通标志牌，仔细观察这些图案，发现其中有很多轴对称图形．
生活中还有很多复杂的轴对称图形，那么我们如何设计轴对称图案呢？
二、探索问题，引入新知
如图，是一个轴对称图形．
(1)有多少条对称轴呢？
(2)可以利用轴对称性来画出它吗？
准备一张正方形纸片，按以下五个步骤一起来画：
(1)在正方形纸片上用虚线画出四条对称轴．
(2)如图，在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条(可以自己设计线条)．
(3)按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形．
(4)按照其中一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形．
(5)按照水平(或垂直)对称轴画出(4)中图形的对称图形．
画好后可以涂上自己喜欢的颜色，擦掉其它多余的线条，一幅对称的图案就完成了(如下图)．
【例】把如图(实线部分)补成以虚线 m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．(不
用写作法，保留作图痕迹)．
分析：作 A，B，C，D关于直线 m的对称点 A′，B′，C′，D′即可解决问题．
解：作 A，B，C，D关于直线 m的对称点 A′，B′，C′，D′，图案如图所示．
三、巩固练习
1．长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹，是中国悠久历史的见证，是中华民族的象征，被列
为世界文化遗产．下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是( )
2．如图，由 4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出
与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有________个．
3．如图是由 16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法
分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．
4．观察设计．
(1)观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
(2)借助如图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答(1)中所写出的两个共同
特征．(注意：新图案与如图的①～④的图案不能重合)
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 109页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
课前让学生充分收集生活中的利用轴对称设计的图案，使学生感受到轴对称在生活中的广泛存在和
丰富的文化价值．课堂上各个环节为学生展示自己聪明才智提供机会，并在此过程中让学生去发现问题、
分析问题、解决问题形成独到见解．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过
运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．
10.2 平移
10．2.1 图形的平移
1．通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本性质．
2．能按要求画出简单的平面图形平移后的图形．
3．培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力．
重点
认识图形的平移变换．
难点
掌握两次连续平移的方法，正确判断平移的距离．
一、创设情境，引入新课
日常生活中经常可以看到的一些如图所示的现象：如滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，火车
在笔直的铁轨上飞驰而过等等．
我们还可以看到如图所示的一幅幅美丽的图案，它们可以看成是由某一基本图形沿着一定的方向移
动而产生的结果．
二、探索问题，引入新知
平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移．它由移动的方向和距离所决定．
如图，当我们用直尺和三角板画平行线时，△ABC沿直尺 PQ平移到△A′B′C′时，就可以画出 AB
的平行线 A′B′了．
我们把点 A与 A′叫作对应点，线段 AB与 A′B′叫作对应线段，∠A与∠A′叫作对应角．此时：
(1)点 B的对应点是________；
(2)点 C的对应点是________；
(3)线段 AC的对应边是________；
(4)线段 BC的对应边是________；
(5)∠B的对应角是________．
【例】 如图，四边形 ABCD(图 1)与四边形 EFGH(图 2)的形状、大小完全相同．
(1)若图 1经过一次平移后得到图 2，请指出平移的方向和距离；
(2)若图 1经过一次轴对称后得到图 2，请分别指出点 A，B，C，D的对应点．
分析：通过测量可知平移的距离；轴对称是沿着对称轴翻折后能够重合的位置关系，对应找到对应
点即可．
解：(1)图 1向右平移 5 cm即可得到图 2；
(2)A，B，C，D的对应点分别是 G，F，E，H.
三、巩固练习
1．下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是( )
2在以下现象中，①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；
④传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移的是( )
A．①，② B．①， ③ C．②，③ D．②，④
3．如图所示的△ABC和△DEF中，一个三角形经过平移后成为另一个三角形，指出点 A，B，C
的对应点，并指出线段 AB，BC，CA的对应线段，∠A，∠B，∠C的对应角．
4．如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，写出图中的对应角、对应线段、对应点．
四、小结与作业
小结
组织学生总结这节课所学的内容，并作适当的补充．
作业
1．教材第 113页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课首先，通过创设大量的生活情境让学生形成直观上的初步认识．然后，让学生通过演示，使
平移运动生动、形象地展现在学生面前，给学生更多的空间和机会．将静态的教学内容，设计成动态的
过程，将传统的教学方法演变得更加生动有趣．引导学生在丰富、有趣的数学活动中，积极思考、充分
探究、获取知识、发展能力．加深了学生对概念的理解，起到突破难点的作用．
10．2.2 平移的特征
1．能根据所给条件作简单的平面图形平移后图形．
2理解平移时对应点所连线段平行(有时在同一条直线上)且相等，对应线段平行(有时在同一条直线
上)且相等以及对应角相等的理论．
重点
平移的特征和平移的基本性质．
难点
准确理解平移的特征和平移的基本性质．
一、创设情境，问题引入
上一节课我们学习了图形的平移，那么平移后的图形与原来的图形的形状、大小有没有发生变化？
每对对应线段有怎样的位置关系和数量关系？ 每对对应角之间又有怎样的关系？
二、探索问题，引入新知
如图△A′B′C′是由△ABC平移得到的．
我们知道 A′B′∥AB，A′B′＝AB，∠B′＝∠B，同时也有 A′C′∥ ________，A′C′＝________，
∠C′＝________.
结论： 平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等(也可能在同一条直线上)，对应角相等，图
形的形状和大小不变．
探索：△ABC沿着 PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现
有哪些线段平行且相等？
我们可以看到，△ABC 上的每一点都作了相同的平移：A→A′，B→B′，C→C′.不难发现，
AA′∥________∥________；AA′＝________＝________.
结论： 平移后对应点所连的线段平行并且相等．
注意：若把△ABC 沿着 BC 的方向平移到△A′B′C′的位置，在平移过程中，同学们发现了不
同于所概括规律的特征吗？
结论：在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．
试一试：将图中的△A′B′C′沿着 RS 的方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段 RS的长
度．
【例 1】 现要把方格纸上的小船沿图中箭头方向平移 8个单位，请你在方格纸上画出小船的平移
后图形．
分析：分别作出△MNE 和梯形 ABCD向右平移 8个单位的对应位置即可．
解：如图所示：
【例 2】 如图，在每个小正方形边长为 1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
(1)将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点 B的对应点 B′，补全△A′B′C′；
(2)若连结 AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是________；
(3)在图中画出△ABC的高 CD.
分析：(1)根据平移前后对应点连线互相平行且相等，即可找到 A′，C′的位置，从而补全△A′B′C′；
(2)根据平移的性质即可作出判断；(3)利用格点图形作出即可．
解：(1)如图所示：
(2)平行且相等；
(3)如图所示：
三、巩固练习
1．如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是( )
2．下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在 5×5的方格纸中，将如图①的三角形甲平移到如图②所示的位置，与三角形乙拼成一
个长方形．正确的平移方法，可以先将甲向下平移 3格，再向________平移________格得到．
4．如图，网格中的小正方形都是边长为 1个单位长度的小正方形．
(1)请画出将△ABC向右平移 7个单位长度后的对应△DEF；
(2)写出平行的线段；
(3)写出相等的角．
5．按要求画图：将下图中的阴影部分向右平移 6个单位，再向下平移 4个单位．
6．如图，在方格中平移三角形 ABC，使点 A移动到点 M，点 B，C应移动到什么位置？再将 A
由点M移动到点 N？分别画出两次平移后的三角形．如果直接把三角形 ABC平移，使 A点移到点 N，
它和前面先移到M后移到 N的位置相同吗？
四、小结与作业
小结
通过本节课，你学习了哪些知识？你掌握了哪些学习方法？
作业
1．教材第 117页“习题 10.2”中第 1，2，3 题．
2．完成练习册中本课时练习．
该节课要注意关注学困生的学习状态，利用大量的动画展示平移的特征，其目的之一是加强直观性，
目的之二是吸引学生的注意力，增强学习的效果．从上课的情况来看，收到了不错的效果，当然，对于
学困生来说，在观察引导后，还需多加辅导，特别是画平移的图形．
10．3 旋转
10．3.1 图形的旋转
1．通过具体实例认识旋转．
2．了解旋转的定义，能说出旋转中心、旋转角．
重点
旋转的有关概念．
难点
会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角．
一、创设情境，问题引入
在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多物体的旋转现象，如图中的时钟，风
车等等．
思考：(1)图中，哪些零部件作转动？
(2)在这些转动中有哪些共同特征？
(3)钟上的秒针在不停地转动中，其形状、大小、位置是否发生改变？大风车在转动中其形状、大
小、位置是否发生改变？
这就是今天我们所研究的课题“图形的旋转”．
二、探索问题，引入新知
观察教材第 118页图 10.3.2，我们可以把它们看成：由一个或几个平面图形，在它所在的平面上转
动而产生奇妙画面．
这些图形有什么共同点呢？
如图是单摆上小球的转动情形．
(1)单摆上小球的转动由位置 P转到 P′，它是绕着哪一点？沿着什么方向？转动了多少角度？
(2)单摆上小球转到 P与 P′中间时，它绕着的点、沿着的方向有没有变化？转动的角度有没有变化？
结论： 像这样，把一个图形绕着某一点 O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O叫做旋转中
心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应
点．
试一试：任意画一个△ABC，把透明纸覆盖在△ABC上，并在透明纸上画出一个与△ABC重合的
三角形．用一枚图钉将点 A处固定．将透明纸绕着图钉(即点 A)转动 45°，透明纸上的三角形就旋转
了新的位置，标上 A′，B′，C′.
我们可以认为△ABC绕着 A点旋转 45°后到△AB′C′.
在这样的旋转中，你发现了什么？
(1)B点旋转到哪一点？(点 B′)
(2)C点旋转到哪一点？(点 C′)
(3)∠BAC旋转到哪里？(∠B′AC′)
(4)线段 AB旋转到哪里？(线段 AB′)
(5)线段 AC旋转到哪里？(线段 AC′)
(6)线段 BC旋转到哪里？(线段 B′C′)
(7)∠B旋转到哪里？(∠B′)
(8)∠C旋转到哪里？(∠C′)
(9)它的旋转中心是什么？(点 A)
(10)它的旋转的角度是多少？(45°)
在旋转的过程中，(1)点 B与点 B′，点 C和点 C′是对应点；(2)线段 AB与线段 AB′，线段 AC与线
段 AC′，线段 BC与线段 B′C′是对应线段；(3)∠BAC和∠B′AC′，∠B与 B′，∠C与∠C′是对应角．
想一想：△ABC的边 AB的中点 D的对应点在哪里？
根据旋转的原理：图形上每一个点都绕着旋转中心，按同一方向，旋转同一角度而得到的，所以
AB的中点 D的对应点也应在它的对应线段 AB′的中点位置．
做一做：如果△ABC 的外面一点 O作为旋转中心，把△ABC绕着点 O按逆时针方向旋转 60°，
将△ABC旋转到△A′B′C′位置，你会做吗？在学生动手操作下，不会的同学也可以互相交流．
观察下图，回答问题．
△ABC和△A′B′C′的顶点、边、角是如何对应的呢？
(1)点 A与点 A′，点 B与点 B′，点 C与点 C′是对应点．
(2)线段 AB与线段 A′B′，线段 BC与线段 B′C′，线段 AC与线段 A′C′是对应线段(即对应边)．
(3)∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角.
【例 1】 如图，△ABC绕顶点 C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转角是什么？
(3)如果点M是 BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
分析：根据旋转的性质和题意容易得出结果．
解：(1)旋转中心是点 C；
(2)旋转角是∠ACA′或∠BCB′；
(3)B′C的中点．
【例 2】 如图，△ABC 的∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在 BC 上，∠DAE＝45°，△AEC 按
顺时针方向转动一个角后得到△AFB.
(1)图中哪一点是旋转中心？
(2)旋转了多少度？
(3)指出图中的对应点、对应线段和对应角．
分析：利用旋转的定义找旋转中心，旋转角及对应点、对应线段和对应角．
解：(1)点 A (2)90° (3)A的对应点是 A，E的对应点为 F，C的对应点是 B，AC的对应线段 AB，
AE的对应线段是 AF，EC的对应线段是 FB，∠1的对应角为∠2，∠3的对应角为∠F，∠C的对应角
为∠4.
三、巩固练习
1．下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其
中，属于旋转的是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
2．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕 O点按逆时针旋转 90°后的图案应该是( )
3．如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋
转过程中：
(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点 A、B分别移动到什么位置？
4．如图所示，△DBE是等边△ABC绕着 B点按逆时针方向旋转 30°得到的，按图回答：
(1)A，B，C的对应点是什么？
(2)线段 AB，AC，BC的对应线段是什么？
(3)∠A，∠C和∠ABC的对应角是什么？
四、小结与作业
小结
本节课你学会了什么？还有哪些问题和不足之处？
作业
1．教材第 121页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响，为了达到最佳的教
学效果，教师一方面采取多媒体辅助教学，旨在呈现更直观的印象，提高学生的积极性和主动性，并提
高课堂效率．另一方面采取“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式展开，引导学
生自己提出问题、解决问题、拓展问题，指导学生用观察、抽象、自主探究为主，合作交流为辅的方法
进行学习．
10.3.2 旋转的特征
1．通过具体实例认识旋转．
2．理解旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼
此相等的性质．
3．能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形．
重点
图形的旋转的基本性质及其应用．
难点
图形的旋转的基本性质及其应用．
一、创设情境，问题引入
复习上节课的内容，什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？什么叫旋转的对应点？
二、探索问题，引入新知
如图，若旋转中心在△ABO的外面点 O处，逆时针转动 45°，将整个△ABO 旋转到△A′B′O′的位
置．
观察上图，旋转中心是点 O，点 A，B都是绕着点 O旋转 45°角到对应点 A′，B′，则 OA＝______，
OB＝________，AB＝________，∠AOB＝________，∠A＝________，∠B＝________.∠AOA′＝
________＝45°.
△ABO和△A′B′O′的形状、大小有何变化？你发现了什么？
如图，若旋转中心在△ABC的外面点 O处，逆时针转动 60°，将整个△ABC旋转到△A′B′C′的位
置．
观察上图，旋转中心是点 O，点 A，B，C都是绕着点 O旋转 60°角到对应点 A′，B′，C′，则
OA＝________，OB＝________，OC＝________，AB＝________，BC＝______，CA＝______，∠CAB
＝______，∠ABC＝________，∠BCA＝________.∠AOA′＝________＝________＝60°.
△ABC和△A′B′C′的形状、大小有何变化？你发现了什么？
结论：图中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度；对应点到旋转中心的距离相
等；对应线段长度相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等；图形的形状与大小
不变．
【例 1】 如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4 cm，△ABC 逆时针旋转一定角度
后与△ADE重合，且点 C恰好成为 AD的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求出∠BAE的度数和 AE的长．
分析：(1)先利用三角形内角和计算出∠BAC＝140°，然后根据旋转的定义求解；
(2)根据旋转的性质得∠EAD＝∠BAC＝140°，AE＝AC，AD＝AB＝4，则可利用周角定义可计算
出∠BAE＝80°，然后计算出 AC，从而得到 AE的长．
解：(1)∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝180°－15°－25°＝140°，即∠BAD＝140°，所以旋
转中心为点 A，旋转的度数为 360°－140°＝220°；
(2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴∠EAD＝∠BAC＝140°，AE＝AC，AD＝
AB＝4，∴∠BAE＝360°－140°－140°＝80°，∵点 C恰好成为 AD的中点，∴AC＝1
2
AD＝2，∴
AE＝2.
点评：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后
的图形的形状与大小不变．
【例 2】 如图，将△ABC绕点 B顺时针旋转 60°后得到△DBE(点 A对应点为 D)，线段 AC交线
段 DE于点 F，求∠EFC的度数．
分析：由旋转性质可得∠A＝∠D，根据∠1＝∠2可得∠EFC＝∠DFA＝∠ABD＝60°.
解：如图，∵△ABC绕点 B顺时针旋转 60°后得到△DBE，∴∠A＝∠D，又∵∠1＝∠2，∴∠
DFA＝∠ABD＝60°，∴∠EFC＝∠DFA＝60°.
点评：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转
前、后的图形的形状与大小不变是解题的关键．
三、巩固练习
1．在图形旋转中，下列说法错误的是( )
A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B．图形上的每一点转动的角度相同
C．图形上可能存在不动点
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
2．△ABC绕点 A按顺时针方向旋转了 60°得△AEF，则下列结论错误的是( )
A．∠BAE＝60° B．AC＝AF
C．EF＝BC D．∠BAF＝60°
3．如图，将△AOB绕点 O按逆时针方向旋转 45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD 的
度数是________．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点 C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C′，
且点 A在 A′B′上，则旋转角为________．
5．如图，将△ABC绕点 C顺时针旋转 90°后得△DEC，若 BC∥DE，求∠B的度数．
四、小结与作业
小结
引导学生从以下几个方面进行小结：
(1)这节课你学到了什么？
(2)对自己的学习情况进行评价．
作业
1．教材第 122页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
在教学的全过程中，教师始终以提问、指导学生操作等方式引导学生发现规律；所有的特征都是通
过让学生回顾自己的操作过程和观察自己的画图作品，体会、归纳得出．这样可以有效地培养学生的合
作交流、独立思考问题、解决问题的能力. 在练习的设计上，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生
逐步熟练应用旋转特征，解决生活上的实际问题，从而体现数学的价值；同时，不同难度的习题可以满
足不同层次学生的需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．
10．3.3 旋转对称图形
1．理解旋转对称图形和旋转对称的特征．
2．通过探究图形之间的变换关系的过程，发展图形的分析能力，提高“化归”意识和综合运用变
换解决实际问题的能力．
重点
认识旋转对称图形．
难点
合理运用变换解决有关问题．
一、创设情境，问题引入
在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合．
电扇的叶片转动 120°能与自身重合；螺旋桨转动 180°后，能与自身重合．你能再举出一些这样
的实例吗？
二、探索问题，引入新知
试一试：用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图所示
的图形重合．然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄
纸上的图形能与原图形再一次重合．
由上述操作可知，该图形绕圆心旋转 60°后，能与自身重合，而且绕圆心旋转 120°或 180°后，
都能与自身重合．
结论：像这样图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形．
注意：这个旋转的角度并不是唯一的．
用类似上述的操作方法对如图所示的图形进行旋转，它们是不是旋转对称图形？想一想：旋转中心
在何处？该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？该图形是轴对称图形吗？
你能设计一个旋转 30°后能与自身重合的图形吗？
【例】 如图，下列各图形是否是旋转对称图形？若是， 则各绕哪一点最少要旋转多少度后，能与
它自身重合？
解：(1)是旋转对称图形，圆心，180°；
(2)不是旋转对称图形；
(3)是旋转对称图形，圆心，60°；
(4)是旋转对称图形，正方形对角线的交点，90°.
三、巩固练习
1．下列图形中，旋转对称图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是( )
A．150° B．120° C．90° D．60°
,第 2题图) ),\s\do5(第 3题图))
3．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 n°后能与原来的图案互相重合，则 n的最
小值为( )
A．45 B．60 C．72 D．144
4．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？
四、小结与作业
小结
通过本节课的学习，你学会了什么？
作业
1．教材第 124页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课通过观察图形，分析图形，使学生掌握什么样的图形是旋转对称图形，会分析一个图形绕某
个点旋转多少度后能够与原图形重合．从练习上可以看出学生掌握得较好．
10.4 中心对称
1．了解中心对称、对称中心和对称点的概念．
2．理解中心对称的性质．
3．掌握运用中心对称的性质作图的方法．
重点
1．中心对称的概念．
2．中心对称的性质，利用中心对称的性质进行作图．
难点
中心对称与轴对称的区别与联系．
一、创设情境，问题引入
观察下列图形，哪些是轴对称图形？哪些是旋转对称图形？
二、探索问题，引入新知
上面的第一个图形，我们把这个图形绕着中心旋转 180°后，仔细观察旋转后的图形与原图形有什
么关系？
我们发现旋转 180°后能与原图形重合．
结论：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
如图，△ABC与△A1B1C1关于点 O成中心对称，图中有哪些线段相等？
由图形及旋转的性质可以得到：AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O.
结论：在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分；
反过来，如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形关于这一点
成中心对称．
中心对称与轴对称的联系与区别：
中心对称 轴对称
1 有一个对称中心——点 有一条对称轴——直线
2 图形绕中心旋转 180° 图形沿轴对折，即翻折 180°
3 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合
4 平面内旋转变化 空间内旋转变化
…
【例 1】 如图，已知△ABC和点 O，画出△DEF，使△DEF 和△ABC关于点 O成中心对称．
分析：中心对称就是旋转 180°，关于点 O成中心对称就是绕点 O旋转 180°，因此，我们连 AO，
BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：(1)连结 AO并延长 AO到 D，使 OD＝OA，于是得到点 A的对称点 D，如图所示．
(2)同样画出点 B和点 C的对称点 E和 F.
(3)顺次连结 DE，EF，FD，则△DEF 即为所求的三角形．
【例 2】 如图，由 4个全等的正方形组成的 L形图案，请按下列要求画图：
(1)在图案①中添加 1个正方形，使它成轴对称图形(不能是中心对称图形)；
(2)在图案②中添画 1个正方形，使它成中心对称图形(不能是轴对称图形)；
(3)在图案中改变 1个正方形的位置，画成图案③，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．
分析：(1)根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
(2)先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图；
(3)根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
注意此题有多种画法，答案不唯一．
解：如图所示．(1)如图①，图②，图③所示；
(2)如图④所示；
(3)如图⑤，图⑥所示．
三、巩固练习
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．下列说法中错误的是( )
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转 180°后，都能与自身重合
3．已知△ABC和△DEF关于点 O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是( )
A．AO＝BO
B．BO＝EO
C．点 A关于点 O的对称点是点 D
D．点 D 在 BO的延长线上
4．如图，四边形 ABCD与四边形 FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是( )
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于点 O成中心对称，∠ABC＝45°，∠B′C′A′＝80°，∠BAC
＝________°.
6．如图，下列 4×4网格图都是由 16个相同小正方形组成，每个网格图中有 4个小正方形已涂上
阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
(1)在图 1中选取 2个空白小正方形涂上阴影，使 6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
(2)在图 2中选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是
中心对称图形．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 132页“习题 10.4”中第 3，4 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课还有许多可探讨之处，而且不少学生并没有真正理解．课堂上有一段时间，学生好像成了配
合教师上课的配角，没有给足学生应有的思考空间，失去了学生的主体作用．教学过程中学生只是被动
的回答问题，很少主动的提出问题；特别是教师一对多的问答，其实一问一答的机械形式，是一种无实
质性交往的“假”对话，是一种变相的灌输式教学，后果是：看着热闹，实则沉闷．人的好奇心是天生
的，初中学生的认知特点决定了他们拥有探求新异事物的本能需要．
10.5 图形的全等
1．借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程．
2．了解图形全等的意义．
3．了解图形全等的特征．
重点
全等图形的意义及特征．
难点
识别全等图形．
一、创设情境，问题引入
观察下面的图片，它们有什么特点？
二、探索问题，引入新知
我们已经认识了图形的轴对称、平移、旋转，这是图形的三种基本变换．它们的位置发生了变化，
但它们的大小、形状没变．
要想知道两个图形的大小、形状是否发生了变化，我们可以经过这三种变换，把它们重合在一起，
观察它们是否完全重合．如果能够完全重合，那么它们的大小、形状没变．
结论： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
试一试：观察图中的平面图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？
结论：图形的翻折、旋转、平移是图形的三种基本的运动. 图形经过这样的运动，位置虽然发生了
变化，但形状、大小却没有改变，前后两个图形是全等的．反过来，两个全等的图形经过这样的运动一
定能够重合．
思考：观察下图中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的运动和另一个图形重合？
上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过运动而重合，相互
重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
如下图中的两个五边形是全等的，记作五边形 ABCDE≌五边形 A′B′C′D′E′.(这里，符号“≌”表示
全等，读作“全等于”．).点 A与 A′，B与 B′，C与 C′，D与 D′，E与 E′分别是对应顶点．
结论：全等多边形的对应边、对应角分别相等．
这就是全等多边形的特征．实际上这也是我们识别全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两
个多边形全等．
三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等．
同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．
如下图所示，△ABC≌△DEF.
【例 1】 图中所示的是两个全等的五边形，∠β＝115°，d＝5，指出它们的对应顶点、对应边与
对应角，并说出图中标的 a，b，c，e，α各字母所表示的值．
分析：根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；
重合的角叫做对应角可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得 a，b，c，e，α各字母所表示的值．
解：对应顶点：A和 G，E和 F，D和 J，C和 I，B和 H；对应边：AB和 GH，AE和 GF，ED和
FJ，CD和 JI，BC和 HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；∵两
个五边形全等，∴a＝12，c＝8，b＝10，e＝11，α＝90°.
【例 2】 将△ABC沿 BC的方向平移得到△DEF.
(1)若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数；
(2)若 BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，求△ABC平移的距离．
分析：(1)根据平移的性质求出∠2＝∠F，再利用三角形的内角和等于 180°列式计算即可得解；(2)
先求出 BE，再根据平移的性质可得 BE即为平移距离．
解：(1)由图形平移的特征可知△ABC 和△DEF 的形状与大小相同，即△ABC≌△DEF，∴∠2＝
∠F＝26°，∵∠B＝74°，∴∠A＝180°－(∠2＋∠B)＝180°－(26°＋74°)＝80°；(2)∵BC＝4.5 cm，
EC＝3.5 cm，∴BE＝BC－EC＝4.5－3.5＝1 cm，∴△ABC平移的距离为 1 cm.
三、巩固练习
1．下列各组的两个图形属于全等图形的是 ( )
2．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形
的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，Rt△ABC沿直角边 BC所在直线向右平移到 Rt△DEF，则下列结论中，错误的是( )
A．BE＝EC B．BC＝EF
C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF
4．如图，四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′全等，则∠A′＝________°，∠A＝________°，B′C′
＝________，AD＝________.
5．如图，△ABC≌△ADE，其中点 B与点 D，点 C与点 E对应．
(1)写出对应边和对应角．
(2)∠BAD与∠CAE相等吗？说明理由．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第 136页“习题 10.5”中第 1，2，3题．
2．完成练习册中本课时练习．
通过这节课的教学实践，使教师认识到．教学必须紧密联系学生的生活和实际，使学生对所学的内
容兴趣盎然，乐于探究．教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人
——演员．全面的培养学生的创新意识与实践能力．
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