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2.1 二次函数 第二章 二次函数 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.(重点) 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.(难点) 导入新课 里约奥运会上,哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象?你能猜出下 面表情包是谁吗? 你们是根据哪些 特征猜出的呢? 情景引入 下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频,注意前方高能表情包. 通过表情包来辨别人物,最重要的是根据个人的特征,那么数学的特 征是什么呢? “数学根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也.” ------中科院数学与系统科学研究院 李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么? 如果变量y随着x而变化,并且对于x取的每一个值,y总有唯一的一个值 与它对应,那么称y是x的函数. 函 数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k≠0) (正比例函数) y=kx (k≠0) 问题2 我们学过哪些函数?  0 kx ky 思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少?y是x的函数吗?是我们学 过的函数吗? y=x2,对于x的每一个值,y都有唯一的一个对应值,即y是x的函数.这 个函数不是我们学过的函数. 思考:这种函数叫 什么?这节课我们 一起来学习吧. 问题1:某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种 一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树 所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会 少结5个橙子. (1)问题中有那些变量?其中哪些是自变量? 哪些是因变量? 讲授新课 二次函数的定义 合作探究 (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树 结多少个橙子? (3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树? (4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子 y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000. (100+x)(600-5x)=60320 解得, 1 24, 1 6x x  对于x的每一个值,y都有唯一的一个对应值, 即y是x的函数. 问题2 正方体六个面是全等的正方形,设正方体棱长为 x,表面积为 y, 则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正 方体棱长x之间的关系,对于x的每 一个值,y都有唯一的一个对应值, 即y是x的函数. 问题3 某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投 放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗? 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应 为(20-x)m.若它的面积是S m2,则有  20S x x  2 20S x x   此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系,对于x的每一个值,S都有唯 一的一个对应值,即S是x的函数. 前面求出的三个函数有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示 的 y=6x2 y=-5x²+100x+60000. 2 20S x x   二次函数的定义: 一般地,若两个自变量x,y之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式,则称y是x的二次函数. a为二次项系数,ax2叫做二次项; b为一次项系数,bx叫做一次项; c为常数项. 归纳总结 温馨提示: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式; (2)a,b,c为常数,且a≠ 0; (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但不能没有 二次项; 例1 (1)m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数? 解:(1)由题可知 解得 = 2 2;m  (2)由题可知 解得 m=3. 第(2)问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件, 从而得出m=3或-3的错误答案,需要引起同学们的重视.   2 73 .my m x   2 7 1, 3 0, m m       2 7 2, 3 0, m m       注意 典例精析 1.下列函数中,哪些是二次函数? 22 2 2 )1()4( )1()3( 1)2( )1( xxy xxy xy xy     先化简后判断 是 不是 是 不是 练一练 2.把下列函数化成一元二次函数的一般式. (1)y=(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2. 解:(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. 问题4:上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么? ① y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. ② y=6x2  2 0S x x ③ 2= 20x x  ①∵600-5x>0,∴0≤x0. ③∵20-x>0,∴0y2; 2 2 y1>y3>y2 方法三:∵在对称轴的右边,y随x的增大而增大, 而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1). 又∵3> >1,∴y1>y3>y2.2 课堂小结 二次函数y=x 2 和 y=-x 2 图象与性 质 画 法 描 点 法 以对称轴为中心对 称 取 点 图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形 性 质 重点关注4个 方 面 开口方向 对 称 轴 顶 点 坐 标 增 减 性 2.2 二次函数的图象与性质 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质 学习目标 1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.(难点) 2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.(重点) 3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系. 导入新课 门禁反映了图形的平移,大家还记得平移的要点吗? 羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出 二次函数y=x2的性质吗? 如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎 样的火花呢?让我们拭目以待吧! 情境引入 讲授新课 画出函数 的图象.22y x 列表. x ··· -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ··· ··· ···4.5 2 0.5 0 4.520.5 二次函数y=ax2的图象与性质 合作探究 描点,连线. -2 2 2 4 6 4-4 8 22y x2y x 问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状? 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线, 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么? y轴就是它的对称轴. -2 2 2 4 6 4-4 8 22y x 观察思考 问题3 图象的顶点坐标是什么? 原点 (0,0). 问题4 当x取何值时,y的值最小? 最小值是什么? x=0时,ymin=0. -2 2 2 4 6 4-4 8 22y x 当x0时, y随x的增大而增大. 问题5 当x0时呢? y=ax2 a>0 a2 0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标(0,-3). 6.在平面直角坐标系xOy中,函数y=2x2的图象经过点M(x1,y1), N(x2,y2)两点,若-4<x1<-2,0<x2<2, 则y1与y2的大小关系是__________.y1>y2 7.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图 象大致为(  ) 方法总结:熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及 熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解 决问题的关键. D 8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=-2, m2=1 由①得:m>-1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象和性质 图 象 性 质 与y=ax2的关 系 1.开口方向由a的符号 决定; 2.c决定顶点位置; 3.对称轴是y轴. 增减性结合开 口方向和对称 轴才能确定. 平移规律: c正向上; c负向下. 课堂小结 2.2 二次函数的图象和性质 第二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 情境引入 学习目标 1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.(难点) 2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点) 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系. 导入新课 复习引入 a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c0,开口向上 a0,k>0). y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下 平移 左右 平移 上 下 平 移 左 右 平 移 u平移规律 简记为: 上下平移, 括号外上加下减; 左右平移, 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 要点归纳 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系 1.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 形状相同,且顶点坐 标是(4,-2),试求这个函数关系式. 23 1 2  xy 21 ( 4 ) 23y x    练一练 当堂练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, -2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , -6 ) 向上 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (-3, 5 ) y=-3(x-1)2-2 y = 4(x-3)2+7 y=-5(2-x)2-6 1.完成下列表格: 2.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛 物线的解析式为______________  23 2 3y x    3.抛物线y=2x2不动,把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位,则在新 坐标系下,此抛物线的解析式为__________________.y=2(x-3)2-3 4.已知y= (x-3)2-2的部分图象如图所示,抛物线与x轴交点的一个坐 标是(1,0),则另一个交点的坐标是________. 解析:由抛物线的对称性知,对称轴为x=3,一个交点坐标是(1,0), 则另一个交点坐标是(5,0). (5,0) 1 2 5.对于抛物线y=- (x−2)2+6,下列结论: ①抛物线的开口向下; ②对称轴为直线x=2; ③顶点坐标为(2,6); ④当x>2时,y随x的增大而减小. 其中正确的结论有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 D 6.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数 y=-(x-1)2+1的图象上,若-1<x1<0,3<x2<4,则y1_____y2 (填“>”、“<”或“=”). > 解析:抛物线y=-(x-1)2+1的对称轴为直线x=-1, ∵a=-1<0, ∴抛物线开口向下, ∵-1<x1<0,3<x2<4, ∴y1>y2. 7.抛物线 与x轴交于B,C两点,顶点为A,则△ABC的周长为 ( ) A. B. C.12 D. 42  xy 54 454  452  B 8.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2向左平移1个单位, 再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x-h)2+k.所得抛物线与x轴交于A, B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D. (1)求h,k的值; 解:(1)∵将抛物线y=x2向左平移1个单位, 再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x+1)2-4, ∴h=-1,k=-4; (2)判断△ACD的形状,并说明理由. (2)△ACD为直角三角形. 理由如下:由(1)得y=(x+1)2-4. 当y=0时,(x+1)2-4=0,x=-3或x=1, ∴A(-3,0),B(1,0). 当x=0时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3, ∴C点坐标为(0,-3). 顶点坐标为D(-1,-4). 作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E,过D作DF⊥y轴于点F, 如图所示. 在Rt△AED中,AD2=22+42=20; 在Rt△AOC中,AC2=32+32=18; 在Rt△CFD中,CD2=12+12=2. ∵AC2+CD2=AD2, ∴△ACD是直角三角形. 课堂小结 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同. 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象 和 性 质 图 象 特 点 当a>0,开口向上;当 a0 a0,当x< 时,y随x的增大而 减小;当x> 时,y随x的增大而 增大;当x= 时,函数达到最小值, 最小值为 . 2 bx a   2 b a  2 b a  2 b a  24 4 ac b a  二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (2) 2 bx a   x y O 如果a 时,y随x的增大而减 小;当x= 时,函数达到最大值,最 大值为 . 2 b a  2 b a  2 b a  24 4 ac b a  二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 例3 已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值随x值的增大而减 小,则实数b的取值范围是( ) A.b≥-1 B.b≤-1 C.b≥1 D.b≤1 解析:∵二次项系数为-1<0,∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,y的 值随x值的增大而减小,由题设可知,当x>1时,y的值随x值的增大而减小, ∴抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=-x2+ 2bx+c的对称轴 ,即b≤1,故选择D .2 2 ( 1) bx b    D 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6( ,-6)1 3  直线x= 1 3  填一填 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示, 请根据一次函数图象的性质填空: x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 ___ 0 b2 ___ 0 < > > < k3 ___ 0 b3 ___ 0 > > 二次函数的系数与图象的关系 合作探究 x y O 2 22 bx a  1 12 bx a   问题2 二次函数 的图象如下图所示,请根据二次 函数的性质填空: 2y a x b x c   a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 > > > > < = 开口向上,a>0 对称轴在y轴左侧, 对称轴在y轴右侧,1 1 02 bx a   < 2 2 02 bx a   > x=0时,y=c. x y O 4 42 bx a  3 32 bx a   a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 < = > < > < 开口向下,a<0 对称轴是y轴, 对称轴在y轴右侧,3 3 = 02 bx a   4 4 02 bx a   > x=0时, y=c. 字母符号 图象的特征 a>0 开口_____________________ a<0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴交于_____半轴 c<0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 要点归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 例4 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论: ①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)2<b2. 其中正确的个数是 (  ) A.1   B.2    C.3   D.4 D 由图象上横坐标为 x=-2的点在第三象限可得4a-2b+c< 0,故③正确; 由图象上x=1的点在第四象限得a+b+c<0,由图象上x= -1的点在第二象限得出 a-b+c>0,则(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0, 可得(a+c)2<b2,故④正确. 【解析】由图象开口向下可得a<0,由对称轴在y轴左侧可得b<0, 由图象与y轴交于正半轴可得 c>0,则abc>0,故①正确; 由对称轴x>-1可得2a-b<0,故②正确; 二次函数 的图象如图,反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是( ) 2y a x b x c   ay x  y b x 解析:由二次函数的图象得知a<0, b>0.故反比例函数的图象在二、四 象限,正比例函数的图象经过一、 三象限.故选C. C 练一练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表: x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D 当堂练习 5 2 3 2 2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值:      2 2 (1) 2 12 13; (2) 5 80 319; 1(3) 2 2 ;2 (4) 1 2 . y x x y x x y x x y x x                 直线x=3  3 , 5 直线x=8  8, 1 直线x=1.25 5 9, 4 8     直线x= 0.5 1 9, 2 4      最小值-5 最大值1 最小值 9 8  最大值 9 4 O y x –1 –2 3 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示,则下列结论: (1)a、b同号; (2)当x= –1和x=3时,函数值相等; (3) 4a+b=0; (4)当y=–2时,x的值只能取0; 其中正确的是 . 直线x=1 (2) 4.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单 位长度,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则(  ) A.b=3,c=7 B.b=6,c=3 C.b=-9,c=-5 D.b=-9,c=21 解析:y=x2-3x+5化为顶点式为y=(x- )2+ .将y=(x- )2+ 向左平 移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,即为y=x2+bx+c.则y=x2+ bx+c=(x+ )2+ ,化简后得y=x2+3x+7,即b=3,c=7.故选A. 3 2 11 4 3 2 11 4 3 219 4 A 5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列 判断:①b-2a=0;②4a-2b+cy2.其中正确的是( ) 2 3 A.①②③   B.①③④ C.①②④  D.②③④ x y O 2 x=-1 B 6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对 称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3, y3)是直线l上的点,且x3<-1<x1<x2,则y1,y2,y3的大小关系是(   ) A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 D ∴这个二次函数的解析式为y=- x2+4x-6; 7. 如图,已知二次函数y=- x2+bx+c的图象经过 A(2,0) ,B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式; 1 2 解:(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入 y=- x2+bx+c 得1 2 - 2 + 2 0 , 6 , b c c      4 , 6 , b c     解得 1 2 (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求 △ABC的面积. (2)∵该抛物线对称轴为直线x= =4, ∴点C的坐标为(4,0), ∴AC=OC-OA=4-2=2, ∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.1 2 1 2 4 12 ( )2    课堂小结 24( , )2 4 b ac b a a  2 bx a   y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) (顶点式) 2 2 4( )2 4 b a c by a x a a    2.3 确定二次函数的表达式 第二章 二次函数 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点) 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.(重点) 导入新课 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标 求出它的表达式? 2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤是什么? 2个 2个 待定系数法 (1)设:(表达式) (2)代:(坐标代入) (3)解:方程(组) (4)还原:(写表达式) 复习引入 ∴ 讲授新课   例1.已知二次函数y=ax2 + c的图象经过点(2,3)和(-1,-3), 求这个二次函数的表达式. 解:∵该图象经过点(2,3)和(-1,-3), 3=4a+c, -3=a+c, ∴所求二次函数表达式为 y=2x2-5. a=2, c=-5. 解得 { 关于y轴对 称 { 特殊条件的二次函数的表达式 典例精析   1.已知二次函数y=ax2 + bx的图象经过点(-2,8) 和(-1,5),求这个二次函数的表达式. 解:∵该图象经过点(-2,8)和(-1,5), 图象经过 原点 8=4a-2b, 5=a-b, ∴ 解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. { 针对训练 选取顶点(-2,1)和点(1,-8),试求出这个二次函数的表达式. 解:设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k, 把顶点(-2,1)代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1, 再把点(1,-8)代入上式得 a(1+2)2+1=-8, 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 顶点法求二次函数的表达式 这种知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是: ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k; ②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程; ③将另一点的坐标代入原方程求出a值; ④a用数值换掉,写出函数表达式. 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1),它的顶点坐标为(8,9), 求这个二次函数的表达式. 解: 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9), 因此,可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1),可得 1=a(0-8)2+9. 解得 1 .8a   ∴所求的二次函数的表达式是 21 ( 8) 9.8y x    针对训练 解: ∵(-3,0)(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函 数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点(0,-3)代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3, 解得a=-1, ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2-1-2-3-4 -1-2 -3 -4 -5 1 2 交点法求二次函数的表达式 这种知道抛物线与x轴的交点,求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是: ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2); ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中,得到关于a的一元一次方程; ③将另一点的坐标代入原方程求出a值; ④a用数值换掉,写出函数表达式. 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件? 任意三点不在同一直线上 (其中两点的连线可平行于x轴,但不可以平行于y轴. 问题1 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数?需要几个抛 物线上的点的坐标才能求出来? 3个 3个 (2)下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分: x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 一般式法求二次函数的表达式 合作探究 解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-3, 0),(-1,0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得 ①选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个 二次函数的表达式. 9a-3b+c=0, a-b+c=0, c=-3, 解得 a=-1, b=-4, c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤: 1.设: (表达式) 2.代: (坐标代入) 3.解: 方程(组) 4.还原: (写表达式) 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是: ①设函数表达式为y=ax2+bx+c; ②代入后得到一个三元一次方程组; ③解方程组得到a,b,c的值; ④把待定系数用数字换掉,写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点, 求这个二次函数的表达式. 解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过 点(0, 1),可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得 4a+2b+1=4, 9a+3b+1=10, 解这个方程组,得 3 ,2a  3 .2b   ∴所求的二次函数的表达式是 23 3 1.2 2y x x   针对训练 当堂练习 1.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应是 .23 4y x= 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、 y=a(x-h)2+k一样都是顶点式,只不过 前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 1 2-1-2-3-4 3 2 1 -1 34 5 2.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式 是 . 顶点坐标是(1,6) y=-2(x-1)2+6 3.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1).求这个 二次函数的表达式. 解:设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 依题意得 ∴这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-4. a+b+c=1, c=-4, a-b+c=-5, 解得 b=3, c=-4, a=2, 4.已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求此 函数的表达式. 解:因为点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点,所以设二次函数 的表达式为y=a(x+1)(x-1). 又因为抛物线过点M(0,1), 所以1=a(0+1)(0-1),解得a=-1, 所以所求抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-1), 即y=-x2+1. 5.综合题:如图,已知二次函数 的图象经过A(2,0), B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的表达式; (2)设该二次函数的对称轴与 x轴交于点C,连接BA,BC,求 △ABC的面积. 21 2y x b x c= - + + A B C x y O (1) 21 4 6;2y x x    (2)△ABC的面积是6. 6.已知一条抛物线经过E(0,10),F(2,2),G(4,2),H(3,1) 四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为(  ) A.E,F B.E,G C.E,H D.F,G C 7.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于(   ) A.8 B.14 C.8或14 D.-8或-14 C 8.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴 是x=-3,请解答下列问题: (1)求抛物线的表达式; 解:把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c 得16-4b+c=-3,c-4b=-19. ∵对称轴是x=-3,∴ =-3, ∴b=6,∴c=5, ∴抛物线的表达式是y=x2+6x+5; 2 b (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧, 且CD=8,求△BCD的面积. ∵CD∥x轴,∴点C与点D关于x=-3对称. ∵点C在对称轴左侧,且CD=8, ∴点C的横坐标为-7, ∴点C的纵坐标为(-7)2+6×(-7)+5=12. ∵点B的坐标为(0,5), ∴△BCD中CD边上的高为12-5=7, ∴△BCD的面积= ×8×7=28.1 2 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对 称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的 两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法:y=ax2+bx+c 用顶点法:y=a(x-h)2+k 用交点法:y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 2.4 二次函数的应用 第二章 二次函数 第1课时 图形面积的最大值 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.(难点) 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.(重点) 导入新课 复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4. 解:(1)开口方向:向上;对称轴:x=2; 顶点坐标:(2,-9); (2)开口方向:向下;对称轴:x= ; 顶点坐标:( , ); 3- 23- 2 2 5 4 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低(高)点, 当 时, 二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值 2 bx a   24 4 a c by a  . 想一想:如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小(大)值? 讲授新课 例1 写出下列抛物线的最值. (1)y=x2-4x-5; 解:(1)∵a=1>0,对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-9), ∴当x=2时,y取最小值,最小值为-9; (2)y=-x2-3x+4. (2)∵a=-1<0,对称轴为x= ,顶点坐标为( , ), ∴当x= 时,y取最大值,最小值为 ; 3- 2 25 4 3- 2 3- 2 25 4 求二次函数的最大(或最小)值 典例精析 例2 已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2,则a的值为(  ) A.3   B.-1    C.4    D.4或-1 解析:∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2, ∴a>0,y最小值= = =2, 整理,得a2-3a-4=0,解得a=-1或4. ∵a>0,∴a=4.故选C. 24 4 ac b a  24 ( 1) 4 4 a a a   C 引例:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小球的 运动时间 t(单位:s)之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 (0≤t≤6).小球的运 动时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 可以看出,这个函数的图象是一条抛物 线的一部分,这条抛物线的顶点是这个函 数的图象的最高点.也就是说,当t取顶点 的横坐标时,这个函数有最大值. 几何图形面积的最大面积 小球运动的时间是 3s 时,小球最高.小球运动中的 最大高度是 45 m. 30 32 2 5 bt a      ( ) , 2 24 30 454 4 5 ac bh a     ( ) . t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变 化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大? 问题1 矩形面积公式是什么? 问题2 如何用l表示另一边? 问题3 面积S的函数关系式是什么? 典例精析 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而 变化.当l是多少时,场地的面积S最大? 解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0 查看更多

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