天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 八年级下册 / 第四章 因式分解 / 北师版八年级数学下册第四章因式分解教学课件
资料简介
4.1 因式分解
第四章 因式分解
学习目标
1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重
点）
2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）
导入新课
复习引入
问题1：21能被哪些数整除？
1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？
因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成
几个整式的积吗？
可以.
因式分解的概念一
讲授新课
问题：993-99能被100整除这个吗？
所以，993-99能被100整除.
3 2
2
99 - 99 99 99 - 99 1
99(99 -1)
99 9800
98 99 100
想一想: 993-99还能被
哪些整数整除?
探究引入
问题探究
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面
积吗？
a b c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法
?
完成下列题目：
x(x-2)=_______
(x+y)(x-y)=_______
(x+1)2=________
x2-2x
x2-y2
x2+2x+1
根据左空，解决下列问题：
x2-2x=( )( )
x2-y2=( )( )
x2+2x+1=( )2
x x-2
x+y x-y
x+1
做一做
联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整
式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分
析说出什么是因式分解吗？
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
总结归纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因
式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
辩一辩
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2•2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的
形式. (3)右边的因式全是整式.
做一做
根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= __,
(2) m(a+b+c) = ______ ,
(3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= __,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+9
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
因式分解与整式乘法的关系二
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个
整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为
a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）
=ax2+ax-6a.
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
典例精析
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关
键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（ ）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
当堂练习
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有______ .
①24x2y=4x•6xy ②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③x2+2x﹣3=（x+3）
（x﹣1）
④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
（ ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ )
C
③⑥
x
1
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 ．
解析：由题意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n)
=x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5．
解得n=1，m= ，
m+n=1+ = .
5
2
5
2
3
2
3
2
4. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，
求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为
(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6，
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
∴a+b=15．
课堂小结
因
式
分
解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式
分解，也可称为___________.
其中，每个整式叫做这个多项式的_______.
与多项式乘法运算
的关系
的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的
_____，后者是把几个整式的______化
为一个_________.
积
分解因式
因式
相反
多项式
乘积
乘积
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第1课时 提公因式为单项式的因式分解
学习目标
1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）
2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）
导入新课
问题引入
问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因
式是什么？
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
有，为m
问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.
a, b, ab
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公
因式.
讲授新课
确定公因式一
例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公
约数
3
字母：相同
的字母
x
所以公因式是3x.
指数：相同字母
的最低次幂1
典例精析
u正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即
字母最低次幂.
要点归纳
写出下列多项式的公因式.
（1）x-x2；
（2）abc+2a；
（3）abc-b2+2ab；
（4）a2+ax2；
练一练
x
a
b
a
提公因式为单项式的因式分解二
观看视频学习
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取
出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解
因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )pa+ pb +pc p=
概念学习
8a3b2 + 12ab3c；例2 分解因式：
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因
式的乘积.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,
另一个因式是否还有
公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b.
思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：
（1）2x2+4x = 2(x2+2x)；
（2）2x2+4x = x(2x+4)；
（3） 2x2+4x = 2x(x+2).
第几位同学的结果是正确的？
用提公因式法
分解因式应注意
哪些问题呢？
做乘法运算来检验易
得第3位同学的结果是
正确的.
因式分解：12x2y+18xy2.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式
2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式=6xy(2x+3y).
问题1：小明的解法有误吗？
易错分析
当多项式的某一项和公因式相同时，提公
因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x-6y).
因式分解：3x2 - 6xy+x.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
问题2：小亮的解法有误吗？
提出负号时括号里的项没变
号
错误
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
问题3：小华的解法有误吗？
例3 分解下列因式：
解：(1)3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)；
3
3 2
3 2 3
3 2
(1) 3
(2) 7 21
(3) 8 12
(4) 24 12 28
x x
x x
a b ab c ab
x x x
(2)7x3－ 21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
(3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－
12b2c+1)；
(4)－24x3+ 12x2－28x
=－(24x3 －12x2+28x)
=－(4x·6x2 －4x·3x+4x·7)
=－4x(6x2 －3x+7).
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分
解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整
体带入即可.
1. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
解析：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大
公约数，为4；
（2）字母取各项都含有的相同字母，为xy；
（3）相同字母的指数取次数最低的，x为m次，
y为n-1次；
D
当堂练习
2. 把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（ ）
A．﹣a（4a2﹣4a+16）
B．a（﹣4a2+4a﹣16）
C．﹣4（a3﹣a2+4a）
D．﹣4a（a2﹣a+4）
D
3. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（ ）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
解析：因为ab=﹣3，a﹣2b=5，
所以a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）
=﹣3×5=﹣15．
A
4. 计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（ ）
A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1
C．﹣（﹣3）m﹣1 D．（﹣3）m
解析：（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1
=（﹣3）m﹣1（﹣3+2）
=﹣（﹣3）m﹣1．
C
5.把下列多项式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3xz；
(2)3a3b+9a2b2-6a2b.
解：-3x2+6xy-3xz
=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z
=-3x·(x-2y+z).
3a3b+9a2b2-6a2b
=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2
=3a2b(a+3b-2)
6.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
课堂小结
因 式
分 解
提公因式法（单项
式 ）
确定公因式的方法：三定，即定系数；定
字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注 意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
学习目标
1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点）
2.能运用整体思想进行因式分解.（难点）
导入新课
复习引入
1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各
项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _________.
提公因式法因式分解的一般步骤：
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找上面各式的公因
式.
思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
)()( yxbyxa )1(
)2( )(3)(2 cbcba
)3(
)4(
)3(2)3( xbxa
22 )1()1( xyxy
提公因式为多项式的因式分解
讲授新课
例1 把下列各式分解因式
（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2）
解:（1） a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b)
22 11 xyxy
221 1y x y x =y(x+1)(1+xy+y)(2)
典例精析
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练：
1. x(a+b)+y(a+b)
2. 3a(x－y)－(x－y)
3. 6(p+q)2－12(q+p)
=(a+b)(x+y)
=(x－y)(3a－1)
=6(p+q)(p+q-2)
( ) ( )a x y b x y
(1) ( ) ( );a x y b y x
(1) ( ) ( )a x y b y x 解： ( )x y ( )y x
( )( )x y a b
( )b x y
例2 把下列各式因式分解：
3 2(2)6( ) 12( ) ;m n n m
3 2(2 )6 ( ) 1 2 ( )m n n m
26 ( ) [( ) 2 ]m n m n
3 26 ( ) 1 2 ( )m n m n 2)(12 nm
)2()(6 2 nmnm
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
归纳总结
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使
等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3; (4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b) =___(b+a); (6) (a+b)2 =___(b+a)2.
+-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3;- (8) (a+b)4 =__(-a-b)4.+
当堂练习
1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2) (2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
-
(6)-m-n= (m+n)(5) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
(7) (b-a)3= (a-b)3
-
+ +
- -
-
3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
2.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).
课堂小结
因 式
分 解
公因式为多
项 式
确定公因式的方法：三定，即定系数
；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提公因式
注 意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
4.3 公式法
第四章 因式分解
第1课时 平方差公式
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化
思想．（重点）
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解．（难点）
导入新课
a米
b米
b米a米
(a-b)
情境引入
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部
分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
用平方差公式进行因式分解一
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
))(( b a ba -+=22 ba -
))(( 22baba ba-+ = -
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项
式才能用平方差公式进行因
式分解，即能写成: ( )2-
( )2的形式.
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2 -(x2+y2)
y2-x2（4）-x2+y2
（5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y)
（6）m2-1 (m+1)(m-1)
2(1) 4 9 ;x
例1 分解因式：
2 2( 2 ) 3x (2 3)(2 3) ;x x
2 2(2) ( ) ( ) .x p x q
a ab b( + ) ( - )a2 - b2 =
解:(1)原式= 2x 3 2x 2x3 3
( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q (2)原式
(2 )( ).x p q p q
2 2( ) ( )x p x q
典例精析
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因
式分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中有公因
式，一定要再用提公因式法继续分解.
))((22 bababa -+=-
20152－20142 =（2mn）2 - ( 3xy)2 =(x+z)2 - (y+p)2 =
例2 分解因式：
4 4 3(1 ) ; ( 2 ) .x y a b a b
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继
续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行
分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a-1).
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，
再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分
解因式为止．
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
针对训练
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
1 ,2
3 .2
x
y
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问
题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进
行变形，使运算得以简化.
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然
后分析能被哪些数或式子整除．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
4
原式=-40×5=-200．
当4m+n=40，2m-3n=5时，
7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，
求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∵n为整数
∴(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
∴992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
课堂小结
平 方 差 公
式 分 解 因
式
公 式 a2-b2=(a+b)(a-b)
步 骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再
分解为止.
4.3 公式法
第四章 因式分解
第2课时 完全平方公式
学习目标
导入新课
复习引入
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
用完全平方公式分解因式一
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积
吗？
同学们拼出图形为：
a
a b
b
a
b
a
b
aba² b²ab
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2 （a+b）2 =
b
a² ab
ab b²
（a+b）2 a2+2ab+b2=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
22 2 baba 完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方
形式，便实现了因式分解.
2ab +b2± =(a ± b)²a2
首2 +尾2±2×首
×尾 (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)
这两个数的积的2倍，等于这
两个数的和(或差)的平方.
3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²
2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²
1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2
a a 2b a + 2b2b
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
m m - 33
x 2
m 3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a²;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b²与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
典例精析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所
在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出
参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2,
9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x
+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9=
(4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2ab +b2a2
(2)中首项有负号，一般先利
用添括号法则，将其变形为-
(x2-4xy
+4y2),然后再利用公式分解因
式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）
的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
概念学习
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
针对训练
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公
因式
要检查每一个多项式的因
式，看能否继续分解．
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99²；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解
因式，可以简化计算，
=1.
＝2500.
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则
这几个非负数都为0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数
的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
±4
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)²
=(4a+2b － 1)2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1)² －x²
=(y+1+x)(y+1－x).
2( 2 0 1 4 2 0 1 3 )
1 .
2 2(2014) 2 2014 2013 (2013) (2)原式
2 2( 2 )2 0 1 4 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 .
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
x2－2x＋3.1
3
(2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2
1
3
解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2
小聪: 小明:
× ×
1
3
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
课堂小结
完全平方公式
分 解 因 式
公 式 a2±2ab+b2=(a±b)2
特 点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式
的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，
符号可正可负.
第四章 因式分解
小结与复习
一、因式分解
要点梳理
1.把一个多项式化成几个整式的 ____的形式，叫
做多项式的_________，也叫将多项式__________.
2.因式分解的过程和 的过程正好____．
3.前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者
是把几个整式的______化为一个_________.
因式分解
乘积
分解因式
整式乘法 相反
多项式
乘积
乘积
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)系数：多项式各项整数系数的 ___；
(2)字母：多项式各项 的字母；
(3)各字母指数：取次数最 __的．
公因式 公因式
最大公约数
相同
最低
3.定义：逆用乘法对加法的______律，可以把
_______写在括号外边，作为积的一个_____，这
种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
分配
公因式 因式
三、公式法 —— 平方差公式
1.因式分解中的平方差公式
a2－b2＝ ；
2.多项式的特征：(1)可化为个____整式；
(2)两项负号______；
(3)每一项都是整式的______.
3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式;
(2)进行到每一个多项式都不能再
分解为止.
(a＋b)(a－b)
两
相反
平方
四、公式法 —— 完全平方公式
1.完全平方公式：a2+2ab+b2=( )2
a2 -2ab+b2=( )2
2.多项式的特征：(1)三项式；
(2)有两项符号_____,能写成两个
整式的_________的形式；
(3)另一项是这两整式的______的
_____倍.
3.注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a+b
a-b
相同
平方和
乘积
2
公因式
考点一 因式分解与整式乘法的关系
例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;
(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;
(3)x2-6x+9=(x-3)2;
(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.
【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第
一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式
的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断
过程要从左到右保持恒等变形.
考点讲练
不是
不是
是
不是
考点二 提公因式法分解因式
例2 因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解：(1)原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc)；
(2)原式 ＝ (2a－3)(b＋c)；
(3)原式 ＝ (a＋b)(a－b－1)．
方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式
的形式.
1. 把下列多项式分解因式.
3 21 1x x x
2 1 1x x x
21 1x x
2 a x b x a y b y
ax bx ay by
x a b y a b
a b x y
针对训练
例3 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
考点三 利用提公因式法求值
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
2. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解：因为a＋b＝7，ab＝4，
所以原式＝ab(a＋b)
＝4×7＝28.
针对训练
方法归纳 原式提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算
即可得出答案．
考点四 平方差公式分解因式
例4 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
3. 已知x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求x－y的值．
解：∵ x2－y2
＝(x＋y)(x－y)＝－1，
x＋y＝ ，
∴x－y＝－2.
针对训练
1
2
1
2
4. 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，
最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方
形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个
图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面
积的差，
而正方形的面积是其边长的平方，
则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值．
解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2)
＝ ab(a＋b)2.
当a＋b＝5，ab＝10时，
原式＝ ×10×52＝125.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
因 式
分 解
定 义
提 公 因 式 法
公 式 法
平 方 差 公 式
完 全 平 方 公 式
课堂小结
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