天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 八年级下册 / 第五章 分式与分式方程 / 北师版八年级数学下册第五章分式与分式方程教学课件
资料简介
第五章 分 式
5.1 认识分式
第1课时 分式的有关概念
学习目标
导入新课
情境引入
第
十
届
田
径
运
动
会
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了
1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒.
7
100
a
100
a+1
100
填空：乐乐同学参加百米赛跑
（4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保
温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆
柱形容器中，水面高度为( ).
2 0 0
3 3
V
S
V
S
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元.
（8a+b）
讲授新课
分式的概念一
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
7
100
a
100
a+1
100 V
S
2 0 0
3 3
单项式：
多项式：
既不是单项式也不是多项式： a
100
a+1
100 V
S
8a+b
8a+b
整
式
7
100 2 0 0
3 3
问题2 ：式子
它们有什么相同点和不同点？
相同点
不同点
（观察分母）
从形式上都具有分数 形式
分母中是否含有字母
7
100
a
100
a+1
100 V
S
2 0 0
3 3
分子f、分母 g 都是整式
f
g
知识要点
分式的定义
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式， 且B中含
有字母，那么称 为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对
于任意一个分式，分母不能为零.
u理解要点：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是 （其中A，B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）分数 分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
整数
分数
整式
分式
有理
数
有理
式
数、式通性
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢
？
数的
扩充
式的扩
充
判一判：下面的式子哪些是分式？
32
S
a300
3000
sb
2
S
V
75 x 13 2 x5
12
22
x
yxyx
cb 5
4
分式:
5
12 2 x
3
归纳：1.判断时，注意含有 的式子， 是常数.
2.式子中含有多项时，若其中有一项分
母含有字母，则该式也为分式，如：
.
a
11
• 规则： 从本班选出6名同学到讲台选取自己的名牌:
1 , a+1 , c-3 , π , 2(b-1) , d2
• 再选1名学生发号指令，计时3秒钟
• 6名学生按要求自由组合
数学运动会
想一想：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式
有意义，分式 中的分母应满足什么条件？
当B=0时，分式 无意义.
当B≠0时，分式 有意义.
分式有意义的条件二
问题3.已知分式 , 2
42
x
x
(1) 当 x=3 时，分式的值是多少?
(2) 当x=-2时，你能算出来吗?
不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.
即当x______时，分式有意义.
(3)当x为何值时，分式有意义？
当 x=3 时，分式值为 1
23
432
一般到特殊思想
类比思想
≠-2
例1 （1）当a=1,2，-1时，分别求出分式 的值； 12
1
a
a
（2）当a取何值时，分式有意义.
解：（1）当a=1时，
1 1 1 2 ;
2 1 2 1 1
a
a
当a=2时，
1 2 1 1;
2 1 2 2 1
a
a
1 1 1 0 ;
2 1 2 ( 1 ) 1
a
a
当a=-1时，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.
由分母2a-1=0，得
1 .
2
a
所以，当 时，分式 有意义.
1
2
a 1
2 1
a
a
例2 已知分式 有意义，则x应满足的
条件是 ( )
A.x≠1 B．x≠2
C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
1
( 1 ) ( 2 )
x
x x
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积
的形式，则每个因式都不为零.
C
（2）当x 时，分式 有意义；
（1）当x 时，分式 有意义；
2
3 x
1
x
x
1
5 3b
0
1
3
5
x y
x y
x≠y
（3）当b 时，分式 有意义；
（5）当x 时，分式 有意义；
（4）当 时，分式 有意义.
做一做：
为任意实数 2
- 1
+ 1
x
x
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
f
g
当f=0而 g≠0时，分式 的值为零.
f
g
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
分式值为零的条件三
解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为
零.
2 1
1
x
x
的值为零.∴当x = 1时分式
∴ x ≠ -1.
而 x+1≠0，
∴x = ±1，
则 x2 - 1=0，
例3 当x为何值时，分式 的值为零?
2 1
1
x
x
变式训练
（1）当 时，分式 的值为零.
x 2
x 2
x=2
【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零，
∴
解得x=2.
x - 2 0
x 2 0
，
，
（2）若 的值为零，则x＝ ．
【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为
零，即
2
| | 3
2 3
x
x x
2
x 3 0 ,
x 2 x 3 0 ,
x 3 . 解得
－3
分式 的值为 .
因此当 时，
（2）当 x -2=0， 即 x=2 时，
2
2 3
x
x
0 = 0
2 2 3
解: （1）当2x-3=0，即 时，
3
2
x
3
2
x
分式的值不存在；
例4:当x取什么值时，分式 的值.
（1）不存在；（2）等于0？
2
2 3
x
x
有2x-3=4 ≠0，
例5: 求下列条件下分式 的值.
（1）x = 3； （2）x=－0.4.
5
6
x
x
解 （1）当 x = 3 时，
（2）当x = －0.4时，
3. 填表：x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
3 2
x
x … …0 1 -2 -1
练一练
填表：
当堂练习
1.下列代数式中，属于分式的有（ ）
A. B. C. D.
3
2
1
2
a b 1
1x
4
3
x
C
2.当a＝－1时，分式 的值( )
A.没有意义 B.等于零
C.等于1 D.等于－1
2
1
1
a
a
A
3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. 2
1
+ 1
x
x
B. 2
1x
x
C.
2
2
1
1
x
x
D.
2
1
x
x
A
4.已知，当x=5时，分式 的值等于零，则k= .23
2
x
kx
-10
5.列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40公顷,人均耕地面积
为 公顷；
（2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD为 ；
（3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千
米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车
速为 千米/小时.
4 0
n
2 S
a
a
b
1
a
b
6.在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
3
3
x
x
答：当x ≠ 3时，该分式有意义；当x=-3时，该分式的值
为零.
7.分式 的值能等于0吗？说明理由．
12
3
2
xx
x
答：不能.因为 必须x=-3，而x=-3时，分
母x2-x-12=0，分式无意义.
2
3 = 0
1 2
x
x x
课堂小结
分 式
定 义
值为零的条
件
有 意 义 的
条 件
分式 有意义的条件是 g ≠0.
分式 值为零的条件是 f=0且g ≠0.
概念：一个整式 f 除以一个非零整式g（g中含字
母）所得的商 .
f
g
f
g
f
g
第五章 分 式
5.1 认识分式
第2课时 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．（重点）
2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）
?
10
4
5
2
相等吗与
导入新课
情境引入
分数的 基
本性质 2.这些分数相等的依据是什么？
1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
3
6
解：
讲授新课
分式的基本性质一
思考：下列两式成立吗？为什么？
）0 （c
c4
c3
4
3
）0 （c
6
5
c6
c5
分数的基本性质：
即对于任意一个分数 有： b
a
0
c
cb
ca
b
a
cb
ca
b
a
）0（a，m，n
mn
n
m
n
2
1
a2
a
2
均不为
”相等吗？”与““
”；分式”与“你认为分式“
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质
吗？
思考：
u分式的基本性质：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，
分式的值不变.
上述性质可以用式表示为：
0A A C A A C C
B B C B B C
（ ）, .
其中A,B,C是整式.
知识要点
3 2
2
3 31 0
6
x x x y x y x
x y y x
（ ）
（ ） ， （ ） ；
（ ）
2x
2 x
a 22 a b b
2 2 2
1 22 0 .
a b b
a b a b a a b
（ ） （ ）
（ ） ， （ ）
例1 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化.
看分子如何变化，想分母如何变化.
典例精析 想一想：（1）中为
什么不给出x ≠0,而
（2）中却给出了b ≠0?
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么?
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化
为整数.
⑴ ⑵
解：
5(0.6 ) 30 18 503
2 21 12(0.7 ) 30
5
a b a b
a ba b
(0.01 5) 100 500
(0.3 0.04) 100 30 4
x x
x x
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴ ⑵ ⑶
3
7
a
b
10
3
m
n
解：（1）原式= （2）原式=
（3）原式=
2
5
x
y
3
7
a
b
10
3
m
n
练一练
2
5
x
y
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？
分式的约分二
yx
x
xyx
2
2
222
xxx
x
x
yx
xx
xxyx
2
2 )(
2
1
)2( 2
xxxx
xx
（ ）
（ ）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分
母.
把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式
的约分．
知识要点
约分的定义
2
5
2 0
x y
x y
2 2
5 5
2 0 2 0
x y x
x y x
2
5 5 1
20 4 5 4
xy xy
x y x xy x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、
分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
注意
知识要点
u最简分式
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
2 3
2
2 51
1 5
a b c
a b c
（ ） ；
例3 约分:
典例精析
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法:
（1）约去系数的最大公约数.
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：
2 3 2 2
2
25 5 5 51
5 3 315
a bc abc ac ac
abc b bab c
（） ；
(公因式是5abc)
2
2
92
6 9
x
x x
（ ） ．
解：
2
2 2
9 3 3 32
36 9 3
x x x x
xx x x
（ ）（
（ ）
（ ）
)
.
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因
式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
2
1 a b c
a b
（ ） ；约分:
做一做
解：
2
1 a bc ab ac ac
ab ab
（） ；
(公因式是ab)
2
2
12
2 1
x
x x
（ ） ．
2
2 2
1 1 1 12
12 1 1
x x x x
xx x x
（ ）(
（ ）
（ ）
)
.
解：
知识要点
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去
相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去
分子﹑分母所有的公因式．
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的
整体都除以同一个因式.
当堂练习
2.下列各式中是最简分式的（ ）
2 2 2
2 2
4A . B . C . D .
2
a b x y x x y
b a x y x x y
B
1.下列各式成立的是（ ）
A.
c c
b a a b
B. c c
a b a b
C. c c
b a a b
D. c c
b a a b
D
3.若把分式
A．扩大两倍 B．不变
C．缩小两倍 D．缩小四倍
y
x y
的 x 和y 都扩大两倍,则分式
的值( )B
4.若把分式 中的 和 都扩大3倍,那么分式
的值( ).
x y
x y x y
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．扩大4倍 D．不变
5.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？
22 2 2 2
42 2 2
2 1 2 11 ; 2 ; 3 ; 4 .
1 2 8 8
a bm m x y x x
m y x xb a
解： 最简分式：
22
42
2 1; .
1
a bm m
m b a
2 2 2
2 2
2 1; .
2 8 8
x y x x
y x x
22
2
2 2
4 4 2
12 1 1;
1 1 1 1
1 .
mm m m
m m m m
a b a b
b a a b a b
不是最简分式：
解： 2 21 bc b
ac a
（） ；
22 x y y x y
x yx y
（ ）
（ ） ；
2 2
2 2 2 2
21 2 3 4
2 1
b c x y y x xy m m
a c xy x xy y m
（ ）
（ ） ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
6.约分
2
2 2 23
2
x x y x x y x
x yx x y y x y
（ ）
（ ） ；
（ ）
2
2
14
11 1 1
m m m m m
mm m m
（ ）
（ ）
（ ）（ ）
.
课堂小结
分 式 的
基 本 性 质
内 容
作 用
分式进行约分
的依据
注 意
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除，不能进
行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除同一个整
式；
(4)除式是不等于零的整式
进行分式运算的基
础
0b b m b b m m
a a m a a m
（ ）, .
第五章 分 式
5.2 分式的乘除法
学习目标
1.掌握分式的乘除运算法则.（重点）
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．（难点）
导入新课
情境引入
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当
容器内的水占容积的 时,水高多少? n
m
V
ab
V m
ab n
.水高为
a
mb
n a b
m n
想一想：
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
讲授新课
分式的乘除一
填空：
类比探究
2 4 2 41 2
3 5 3 5
（ ） ＝ ，（ ） ＝ .
2 4
3 5
2 5
3 4
1 2? ?a c a c
b d b d
类似于分数，分式有：
u乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积
的分母.
u除法法则：
两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
aa c
b d
c
bd
g b c bc
a da d
b d
c a
g
归纳法则
例1 计算:
解： 3
4(1)
3 2
xy y
y x
2
3
4
6
x y
x y 2
2 ;
3
y
x
3 2 2
3
5(2)
2 4
ab a b
c cd
3
2 2 2
4
2 5
ab cd
c a b
2 .
5
b d
a c
典例精析
注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约
分，使运算结果化成最简分式.
先把除法转化为乘
法
约分
3
4(1) ;
3 2
xy y
y x
3 2 2
3
5(2) .
2 4
ab a b
c cd
x
y
y
xy 22 6
2
3
解：（1）原式
（2）原式
（1） （2）
做一做
3 2
3
2
3 4
y x
x x y
；
3 2
3
2=
3 4
y x
x x y
2 3
4
2=
1 2
x y
x y
2
2= ;
6
y
x
2
2
3=
2 6
x y x
y y
2 2
3
3=
1 2
x y
y
2
= .
4
x
y
方法归纳
分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，
分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：
(1)符号运算；
(2)按分式的乘法法则运算．
例2 计算：
2
2 2
4 4 1( 1 )
2 1 4
a a a
a a a
；
解：原式=
约分
2 2
1 1(2)
49 7m m m
.
2
2
1 7
49 1
m m
m
1 ( 7)
(7 )(7 ) 1
m m
m m
( 7)
(7 )(7 )
m m
m m
7
m
m
.
整式与分式 运算
时，可以把整式看成
分母是1的分式．
负号怎么得来
的？
(1)
4
9
3
2
2
2
x
x
x
x
解：原式
做一做
2 (x 3)(x 3)
( 3) (x 2)(x 2)
x
x
( 2)(x 3)(x 3)
( 3)(x 2)(x 2)
x
x
x 3
x 2
解：原式
aa
a
aa
aa
3
4
96
2
2
2
2
2
(2)
2 2
2 2
2 3
6 9 4
a a a a
a a a
2
( 2 ) ( 3 )
( a 3 ) ( a 2 ) ( a 2 )
a a a a
2
2
( 2 ) ( 3 )
( a 3 ) ( a 2 ) ( a 2 )
a a a
2
( 3 ) ( a 2 )
a
a
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照
法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视
其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
要点归纳
分式乘除法的解题步骤
当x=1999,y=-2000时,得
2 2
2
2x xy y x y
x xy x y
2( y )
( y )
x x y
x x x y
解 ： 原 式
+ y - y
( y ) ( y )
x x
x x x
2（ ） （ ）
+ y ) ( - y
( y ) ( y )
x x x
x x x
（ ）( + y )
x
x
+ y
y 1 9 9 9 2 0 0 0 1
1 9 9 9 1 9 9 9
x
x
做一做
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代
入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！
思考：本题中，x的取
值不能为哪些数？
分式的乘方二
根据乘方的意义计算下列各式：
43 3 3 3 3 81
22
3
2 2 4
3 3 9
42
3
2 2 2 2 16
3 3 3 3 81
类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
2a
b
a a
b b
2
2
a
b
3a
b
a a a
b b b
3
3
a
b
10a
b
a a a
b b b
g g ggg g
10
10
a
b
10个
想一想：
一般地，当n是正整数时，
( )na
b
a a a
b b b
g g ggg g
n个
a a a
b b b
n个
n个
n
n
a
b
( ) .na
b
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
想一想：目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？
(1) am·an ＝am+n ；
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n＝anbn；
5 .
n n
n
a a
b b
知识要点
分式的乘方法则 ( .)
n
n
n
a a
b b
u理解要点：
n
nn
b
a
b
a
n na a
b b
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为
正，负数的奇次方为负.
（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.
×√
例4 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方
形蓄水池后余下的部分， “丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方
形，两块试验田的小麦都收获了500千克.
（1）哪种小麦的单位面
积产量高？
（2）高的单位面积产量
是低的单位面积产量的
多少倍？
1m
am
（a-1）m
分式的乘除法应用三
am
1m （a-1）m
∵a>1, 0＜（a－1）2, a 2-1>0，
由图可得（a－1）2＜ a 2-1.
∴
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积
是（a 2-1）m2，单位面积产量是
kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是
（a－1）2m2，单位面积产量是
kg/m2.
2
500
1a 2
5 0 0
( 1)a
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
2
500
1a
2
5 0 0
( 1)a
（2） 2
2 2 2
500 500 500 1 1.
( 1) 1 ( 1) 500 1
a a
a a a a
所以 “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面
积产量的 倍.
1
1
a
a
一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流的速度是
每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km（x>2），那么船在
往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为
（x-2）km/h，由题意得
1 0 0 1 0 0 1 0 0 x -2 x -2= =
x + 2 x -2 x + 2 1 0 0 x + 2
g
做一做
2
2
x
x
当堂练习
1.计算 等于（ ）
A. B. C. D.
2 3
2 4
ab ax
cd cd
22
3
b
x
23
2
b x
22
3
b
x
2 2
2 2
3
8
a b x
c d
C
2.化简 的结果是（ ） B
1 1A. B. C. 1 D.
1
a a
a a
2
1 1a a
a a
2
6 33
2
x b b
b x x
； 4 24 .
3 2 3
x a
a x
1 1b a
a b
； 2 b a b
a
；对
2
b
a
3
x
2
2
8
3
x
a
2 2 2 2
1 1 2
2
a b
a b a b a b
4.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家
种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，
并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家
种植的单位面积产量的多少倍？
解：设花生的总产量是1，则
2
3 1 6 4
34 9
a b
ab a
；
2
3 1 6
4 9
a b
b a
；
2 2
2 2
4 3 2
4 3
x x x
x x x x
2 2
2 2
4
4 3 3 2
x x x
x x x x
( 2)( 2) ( 1)
( 3)( 1) ( 1)( 2)
x x x x
x x x x
( 2)
( 3)( 1)
x x
x x
2
2
2
2 3
x x
x x
.
解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值．
6.先化简，再求值：
解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
课堂小结
分式乘除运算
乘 除 法 运 算
注 意
(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约
分化成最简分式或整式
除法先转化成乘法，再按照乘法
法则进行运算
(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再
按法则进行
(3)运用法则时要注意符号的变化
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减
1.理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算；
（重点）
2.会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算.（难点）
学习目标
1.同分母分数的加减法则是什么吗？
2.计算：
2 5(1) _____;
7 7
2 3(2) ______ .
7 7
1
1-
7
5 1(3) ______;
12 12
5 1(4) ______ .
2 2
2
1
2
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
导入新课
回顾与思考
思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？
xxx
132
x
y
x
y
x
y 32
11
3
1
2
x
y
x
y
x
y
a
1
a
2+
猜一猜：同分母的分式应该如何加减？
讲授新课
同分母分式的加减一
类比探究
1 2 1 2 3
5 5 5 5
1 2 1 2 1
5 5 5 5
1 2 ?
a a
1 2
a
1 2 ?
2 2x x
1 2
2x
2 ?
1 1
a
x x
2
1
a
x
知识要点
同分母分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
上述法则可用式子表示为
b c b c
a a a
例1 计算：
23 3(1) ;x xy
x y x y
解：
注意: 把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分
式．
（2）原式
2 2
2 2 2 2(2) .
2 2
x y
x xy y x xy y
典例精析
例2 计算：
解:原式=
分母不变
分子相加减
合并整理
能约分的要约分
2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 .x y x y x y
x y x y x y
注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括
号括起来
2 2 2 2
5 3 2(1 ) x y x
x y x y
；
解：原式= 2 2
(5 3 ) 2x y x
x y
=
=
注意：结果要化为最
简分式！=
2 2
3 3x y
x y
3( )
( )( )
x y
x y x y
3
x y
；
例3 计算：
2 2 2
2 2 2
5 3 3 5 8(2 ) .a b a b a b
ab ab ab
解：原式=
=
=
注意：结果要化为
最简分式！=
把分子看作一个整
体，先用括号括起
来！
2 2 2
2
(5 3) (3 a b 5) (8 a b)a b
ab
2 2 2
2
5 3 3 a b 5 8 a b)a b
ab
2
2
a b
ab
a
b
2 2
2
2
x x
x
x
?2
4
2)1(
2
xx
x
?1
3
1
1
1
2)2(
x
x
x
x
x
x
2 4
2
x
x
2 1 3
1
x x x
x
注意：当分子是
多项式时要加括号！
注意：结果要化为最
简形式！
2 1 3
1
x x x
x
1
x
x
做一做
思考：下列等式是否成立？为什么？
.f f f f
g g g g
，
0= 0
.
f f f f
g g g g
f f
g g
（ ）
，
所 以
.
f f
g g
f f
g g
，
所 以
分式的符号法则二
例3 计算: .
ab
bc
ba
ac
）（ ba
bc
ba
ac
ab
bc
ba
ac
解：
典例精析
ba
bcac
ba
bc
ba
ac
.c
ba
bac
）（
分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母放到带
有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相
加减的法则进行运算．
方法总结
1.计算：
；）（
yx
y
yx
x
23 12 151
a a a
（） ；
3 12 -15: (1) 0;
a
解 原式
= =1;x y
x y
(2)原式
2 2 2 2
5 3 23 .x y x
x y x y
（）
3 3(3) .
- -
x y
x y x y x y
（ ）
原式
（ ）( ）
当堂练习
x
c
x
y
x
m)1(
y
c
y
a
y
m)2(
cab
d
bca
n
abc
m
222
)3(
yx
b
yx
a)4(
x
cym
y
cam
abc
dnm
2
yx
ba
2.计算：
3.计算：
2 2
.
m n n m
n m m n n m
4.先化简，再求值： 其中x=3.
2
2 2
1 1 ,
2 2
x x
x x x x
2
2
1 1
2
x x
x x
∵x=3,
∴原式=1
2
x
x
2
2 2
x x
x x
1
2
x x
x x
课堂小结
分式加减运
算
同 分 母 加 减 法 则
符 号 法 则 .f f f f
g g g g
，
b c b c
a a a
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第2课时 异分母分式的加减(1)
1.会确定几个分式的最简公分母，并根据分式的基本性质进行统分；
（重点）
2.会运用通分法则进行异分母分式的加减.（重点、难点）
学习目标
1.分式的基本性质：
一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个
________________,分式的值_______. 不变不为0的整式
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种
变形叫做分式的约分.
导入新课
回顾与思考
7 1
12 8
与
8124
3 2
最简公倍数：
4×3×2=24
12
7
解：
24
14
212
27
8
1
38
31
24
3
类比分数，怎样把分
式通分呢？
例1 找出下面各组分式最简公分母：
2 2
3(1)
2
a b
a b ab c
与 ；
最小公倍数
2a 2b c2 最简公分母
最高次幂 单独字母
类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.
讲授新课
最简公分母一
2 3(2) .
5 5
x x
x x
与
不同的因式
1
1 5x （ ） 1 5x （ ）
-5x（ ） +5x（ ）
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式
子取各分母中所有分母和式子的最高次幂.
找最简公分母:
2
3(1)
2 3
b
a ac
与 ；
2 2
3(2)
2
a b
a b ab c
与 ；
2 3(3)
( 5) 5
x
x x x
与 ；
2 2 2 2
2(4) .
2
xy x
x xy y x y
与
x(x-5)（x+5）
(x+y)2 (x-y)
练一练
异分母分式的加减二
问题： 请计算 ( )， ( ).
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
6
23
6
5
6
5
6
1
6
2
6
3
3
1
2
1
6
2
6
3
6
23
6
1
异分母分数相加减
分数的通分
依据：分数的基本性质
转化
同分母分数相加减
异分母分数相加减，先通分，
变为同分母的分数，再加减 .
请计算 ( )， ( );
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
6
23
6
5
6
2
6
3
3
1
2
1
依据:分数基本性质
分数的通分
同分母分数相加减
异分母分数相加减
转化
异分母分数相加减，先通分，变为同
分母的分数，再加减.
6
2
6
3
6
23
6
1
db
11
bd
b
bd
d
bd
bd
db
11
bd
b
bd
d
bd
bd
异分母分式相加减
分式的通分
依据:分式基本性质
转化
同分母分式相加减
异分母分式相加减，先通分，变为同
分母的分式，再加减.
请思考
6
5
6
1
b d b d
bd
bd
bd
bd
解： 最简公分母是
2 2
3(1)
2
a b
a b a b c
与 ；
例2 通分:
2 3(2) .
5 5
x x
x x
与
解： 最简公分母是 (x-5)(x+5)
找最简公分母：
总结归纳
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这
一过程称为分式的通分.
知识要点
异分母分式的加减法则
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母
分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为
.b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
例3 计算：
1 11 ;
1 1x x
（）
解:
3 3 ;
3 3
x x
x x
(2)
1 1=
1 1 1 1
x x
x x x x
（ 1） 原 式
2
2
1 1
1 1
2
1
2
1
x x
x x
x
x
注意：先确定公分母(各个分式的分母变成相同)，通分后，再计算.
2 23 3
=
3 3 3 3
x x
x x x x
（ 2） 原 式
2 2
2
2
3 3
9
1 2
9
x x
x
x
x
2
2 1
4 2
a
a a
计 算 ：例 4
2
2 1 2 2=
4 2 2 2 2 2
a a a
a a a a a a
解 ：
（ ） ( ） （ ） ( ）
2 2=
2 2
a a
a a
( ）
（ ） ( ）
2=
2 2
a
a a
（ ） ( ）
1= .
2a
因式分解
先化简，再确定最简公
分母
通分
整式加减法则
最简分式
2 2 2 2
2
4 4 2
a b a b
a a b b a a b b
计 算 ：
做一做
2
2 b=
2 ( )
a a b
a b a b
2
解 ： 原 式
（ ）
1 1=
2a b a b
2=
( 2 ) ( b ) ( 2 b ) ( )
a b a b
a b a a a b
2=
( 2 ) ( b )
a b a b
a b a
3=
( 2 ) ( b )
b
a b a
例5 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v
km/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在
下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么：
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间．
解：（1）小刚从家到学校需要
（2）小丽从家到学校需要
小丽比小刚在路上花费时间少
因为 所以小丽在路上花费的时间少.
1 2 5 ( h ) .
3 3v v v
3 h .
2v
5 3
3 2v v
＞ ，
5 3 1= h .
3 2 6v v v
- （ ）
xyy
x
x
y
4
1,
3
,
2 2
2.分式 的最简公分母是______________.
C1.三个分式 的最简公分母是（ ）
B.
C. D.
A. 4xy 3y2
12xy2 12x2y2
2x(x-1)(x+1)
当堂练习
3. 计算：
=_______________ 1 1(1) 2 -2x x
；
-x y
xy
2
2 1(3) 4-2-4 xx = ____________ ；
1-2( 2)x
( 2) -( ) ( )
yx
y x y x x y
= ______________ ；
1( 4) 1- .1-x = _________
2
2
-4
x
x
-1-
x
x
4.计算： (1) 22 3
2
6
7
xyyx
； (2) 3x
x
─ 2x
x
.
(1)原式= 2 2 2 2
7 4
6 6
y x
x y x y
2 2
7 4 ;
6
y x
x y
=
(2)原式=
( 2)
( 3)( 2)
x x
x x
( 3)
( 3)( 2)
x x
x x
─
( 2) ( 3)
( 3)( 2)
x x x x
x x
= .
( 3)( 2)
x
x x
=
解：
1.分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相
加减
同分母相
加减
分子（整式）相
加减
分母不变
转化为
2.分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一
个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式）.
课堂小结
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
学习目标
1.复习并巩固分式的运算法则.
2.能熟练地进行分式的混合运算.（难点）
导入新课
复习引入
1.分式的乘除法法则是什么，用字母表示出来？
2.分式的加减法法则是什么，用字母表示出来？
aa c
b d
c
bd
g b c bc
a da d
b d
c a
g
b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
2 1
1 1
x
x x
（ 1） ；
解：原式=
2 1
1 1
x
x x
=
=
注意：(1-x)=-(x-1)
2 ( 1)
1
x
x
3
1
x
x
；
例1 计算：
分母不同，先化为同
分母.
异分母分式的加减一
讲授新课
1 1
2 3 2 3p q p q
（ 2） ；
解：原式=
2 3 2 3
(2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )
p q p q
p q p q p q p q
(2 3 ) (2 3 )
(2 3 )(2 3 )
p q p q
p q p q
4
(2 3 )(2 3 )
p
p q p q
2 2
4
4 9
p
p q
；
先找出最简公分母，再正确通分，
转化为同分母的分式相加减.
2 2
2 1
2 4 4
x x
x x x x
（ 3） ；
解：原式= 2
2 1
( 2) ( 2)
x x
x x x
=
=
注意：分母是多项式先分解
因式
2 2
( 2)( 2) ( 1)
( 2) ( 2)
x x x x
x x x x
2 2
2
4
( 2)
x x x
x x
先找出最简公分母，再
正确通分，转化为同分
母的分式相加减.=
2
4 .
( 2 )
x
x x
知识要点
分式的加减法的思路
通分
转化为
异分母相
加减
同分母
相加减
分子（整式）相
加减
分母不变
转化为
例2.计算：
2
1
1
a a
a
法一：
原式=
2 ( 1)( 1)
1 1
a a a
a a
2 2( 1)
1
a a
a
2 2 1
1
a a
a
1
1a
法二：
原式=
2
( 1 )
1
a a
a
2 ( 1) 1
1 1 1
a a a a
a a a
2 2( ) ( 1)
1
a a a a
a
2 2 1
1
a a a a
a
1
1a
2 ( 1) ( 1)
1
a a a a
a
把整式看成分母为“1”
的分式
阅读下面题目的计算过程.
①
= ②
= ③
= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；
（2）错误原因___________；
（3）本题的正确结果为： .
2
2 13 2 3
1 1 1 1 1 1
xx x
x x x x x x
3 2 1x x
3 2 2x x
1x
②
漏掉了分母
做一做
例3 计算： 2
2 1
9 3
m
m m
2 3
3 3 3 3
m m
m m m m
2 3
3 3
m m
m m
（ ）
解：原式
从1、-3、3中任选一个你
喜欢的m值代入求值
当m=1时，原式
3
3 3
m
m m
1
m - 3
1
1-3
1
2
先化简，再求值： ,其中 ．2
1 2
1 1x x
2x
解：
2
1 2
1 1x x
12 = 1
2 1
x
当 时，原式
做一做
1 2
1 ( 1) ( x 1)x x
( 1) 2
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x
x x x x
1 2 1 1
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
x x
x x x x x
分式的混合运算二
2
2 1
4
a a b
b a b b
-
-
问题：如何计算 ？
请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.
解：
2
2 1
4
a a b
b a b b
2
2
4 1 4a a
b a b b b
2 2
2 2 2 2
4 4 4 4 ( )
( ) ( ) ( )
a a a a a b
b a b b b a b b a b
2 2
2 2 2
4 4 4 4 4 .
( ) ( )
a a a b a b a
b a b b a b a b b
先乘方，再乘除，
最后加减
分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面
的.
要点归纳
计算结果要化为最简分式或整式．
5 2 42 ) ;
2 3
mm
m m
（1）（例4 计算：
解：原式
2 2 5 2 4
2 3
m m m
m m
2 3 2 6 ;m m
2 2 29 -
2 3
mm
m m
3 3 2 2
2 3
m m m
m m
先算括号里的加法，
再算括号外的乘法
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”
2
1
m ( 2 )(2 )
2
m m
m
或
2 2
2 1 42 .
2 4 4
x x x
x x x x x
（ ）
解：原式 2
2 1
( 2 ) ( 2 ) 4
x x x
x x x x
2
( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
( 2 ) 4
x x x x x
x x x
2 2
2
4
( 2 ) ( 4 )
x x x
x x
2
1 .
( 2 )x
注意：分子或分母是多项式的先因
式分解，不能分解的要视为整体.
做一做
2
2
1 1
1 11
m m
m mm
解：原式
2
2
1 1
11
m m
mm
2
2
1
1
m m
mm
1
m
m
2
2
1(1 )
2 1 1
m
m m m
计算：
解：原式
x
x
xx
x
xx
x 4
244
2
22
方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计
算技巧，可简化运算，提高速度.
例5 计算：
利用乘法分配率简
化运算
2 21 1
2 2
x x
x x x
2 2 2 21 1
2 2
x x x x
x x x x
2 2 4x x
x x x
用两种方法计算：
解：（按运算顺序）
原式
做一做
23 4( )
2 2
x x x
x x x
2
2 2
3 ( 2 ) ( 2 ) 4
4 4
x x x x x
x x x
2 2
2
2 8 4
4
x x x
x x
2 8 .x
解：（利用乘法分配律）
原式
3( 2 ) ( 2 )x x
2 8 .x
3 ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
( 2 ) ( 2 )
x x x x x x
x x x x
23 4
2 2
x x x
x x x
例6：计算
ba
1
ba
1
)ba(
1
)ba(
1
22
分析：把 和 看成整体，题目的实
质是平方差公式的应用.
1
a b
1
a b
解：原式
巧用公式
ba
1
ba
1
)ba(
1
)ba(
1
22
1 1 1 1 1 1
a b a b a b a b a b a b
1 1
a b a b
2 2
2 a
a b
例7. 繁分式的化简：
1
11
1
11
a
a
解法1:原式
把繁分式写成分子除以分
母的形式，利用除法法则
化简
拓展提升
1 11 1
1 1a a
1 1
a a
a a
1
1
a
a
解法2：
利用分式的基本性
质化简
11 1- 1 11- 11
1 11 1 1 1
1 1
a a
aa
a a
a a
1 1
1
1 1
1
a a a
a
a a a
a
1
1
a a
a a
1
1
a
a
2
2
1 1 1
A B
x x x
例8.若 ，求A、B的值.
解： 0
2
A B
A B
∴
解得
1
1
A
B
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，
可得到关于A、B的方程组.
1 1
A B
x x
2 2
1 1
1 1
A x B x
x x
2 1
A B x A B
x
u分式的混合运算
（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从
左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减；
（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的
特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综
合性强.
总结归纳
A. B． C．－1 D．2
当堂练习
1
1 1
a
a a
1
1
a
a
1
a
a
1. 计算 的结果为（ )C
2.填空：
3 5(1) ;
x y x y
4 4( 2 ) ;x y
x y y x
8
xy
4
3.计算: 2
1 21 ; 2 .
3 2 1 1
b a
a b a a
解：(1)原式=
(2)原式=
2 2 2 22 3 2 3 ;
6 6 6
b a b a
ab ab ab
2
1 2
1 1a a
1 2
1 1 1a a a
1 2
1 1 1 1
a
a a a a
2
3 3 .
1 1 1
a a
a a a
13 1 .
1
x
x
（ ）
4.先化简，再求值：： ，其中x＝2016.
课堂小结
2.分式的混合运算法则
先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
1.分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相
加减
同分母相
加减
分子（整式）相
加减
分母不变
转化为
第五章 分 式
5.4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及列分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（难
点）
2.能根据题意列分式方程.(重点）
导入新课
情境引入
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知
高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh．那么y满足怎样的方程．
讲授新课
分式方程的概念及列分式方程一
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列
车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；
等量关系：①乘高铁列车=乘特快列车-9，
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
1400 1400 9
2.8x x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh．那么y满足怎样的方
程．
1 4 0 0 1 4 0 02 .8
9y y
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们
自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第
二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第
一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？
4800 5000
20x x
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
4 8 0 0 5 0 0 0
2 0x x
1 4 0 0 1 4 0 0 9
2 .8x x
1400 14002.8
9y y
分母中都含有未知数.
u分式方程的概念
u分式方程的特征
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
知识要点
1 3( 2 )
2x x
2(1)
2 3
x x
3( 3 )
2
x x
( 1)(4) 1x x
x
10
5
126
xx）（
215
x
x）（ 2 1 3 1x x
x
4 3 7
x y
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未
知数(注意：π不是未知数)．
例1 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
4 3( 2 ) 7 ;
x y
1( 3 ) 3 0 ;
2 1x
3( 6 ) .
2
x
x
21 ;
2 3
x x
（）
3(4) = ;
2
x x
π
1(5)2 10;
5
xx
解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5）是整式方程，
（6）不是方程.
注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母中有没有未知数.
（4）中π是一确定的数不是未知数.
典例精析
例2 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江 以最大航速顺流
航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的
流速为多少?
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
1 0 0 6 0 .
2 0 2 0v v
思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和一元一次方程有什么共
同特点？ 步骤一样
u列分式方程的步骤：
（1）审清题意，明确题目中的未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
归纳总结
当堂练习
1.下列属于分式方程的是（ ） A
1 3A.
2x x
5. 0
2
x x
Ｂ
３
1C. ( 1)
2 3
xx
1D. 1
2
x
2.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为
奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买
笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格
为x元，则可列方程__________.
2 0 0 3 5 0
3x x
3.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少
施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结
果提前15天完成任务．设原计划每天铺设
管道x m，则可得方程 _______________.
5 0 0 0 5 0 0 0 1 5
2 0x x
课堂小结
分式方
程
概 念
列方程步
骤
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
1.审清题意，明确题目中的未知数；
2.根据题意找等量关系，列出分式方程.
第五章 分 式
5.4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点）
2.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）
学习目标
导入新课
复习引入
1. 解一元一次方程的步骤：
移项，合并同类项，未知数系数化为1.
2. 解一元一次方程 1 1.
2 3
x x
解：3x-2（x+1）=6
3x-2x=6+2
x=8
你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
9 0 6 0
3 0 + 3 0x x
分式方程的解法
讲授新课
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
9 0 6 0
3 0 + 3 0x x
解得 x=6.
x=6是原分式方程
的解吗？
5
2
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做
法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的
一般方法.
归纳总结
下面我们再讨论一个分式方程：
2
1 10
5 25x x
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的
分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方
程 的解，实际上，这个分式方程无解. 2
1 10
5 25x x
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
9 0 6 0
3 0 + 3 0x x
①
2
1 10
5 25x x
②
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程
的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
9 0 6 0
3 0 + 3 0x x
①
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分
母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=02
1 10
5 25x x
②
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程
的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验？
这个整式方程的解是不是原
分式的解呢？
u分式方程解的检验------必不可少的步骤
u检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则
整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤
例1 解方程：
5 3(1 ) ;
2x x
解 ：方程两边都乘最简公分母x(x－2)，得
5 3( 2)x x
解这个一元一次方程，得 x = －3.
检验：把 x=－3 代入原方程的左边和右边，得
5 1
3 2
左边
3 1
3
右边
因此 x = －3 是原方程的解．
( 2 )x x
典例精析
2
1 4( 2 ) .
2 4x x
解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，
得 x+2=4.
解得 x=2.
检验：把x=2代入原方程，两边分母为0，分式无意义.
因此x=2不是原分式方程的解，从而原方程无解.
( 2 ) ( 2 )x x
提醒：在去分母,将分式方程转化为整式方程解的过程中出现使最简公
分母（或分母）为零的根是增根.
u用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最简公分母是
否为零？
否 是
例2 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是
____________．
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程
的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜
－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的
正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能
为0.
a＜－1且a≠－2
2 1
1
x a
x
2 1
1
x a
x
若关于x的分式方程 无解，求m的值．例3
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求
解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x
＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分
式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包
括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使
整式方程无解的数．
方法总结
1. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
8 5 8
7 1 4 2
x x
x x
A
2．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
D
当堂练习
3.解方程
2 3 .
3x x
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
4.解方程
31 .
1 ( 1 ) ( 2 )
x
x x x
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得 x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
2 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) .x x x x x
1
2.
x
11) 0 .
4
x x （
5. 解方程：
1 2 .
1
x x
x x
解：去分母，得
解得
检验：把 代入
1
2
x
所以原方程的解为 1
2.
x
6.若关于x的方程 有增根，求m的值.2 2
2 2
x m
x x
解：方程两边同乘以x-2，
得2-x+m=2x-4,
合并同类项,得3x=6+m,
∴m=3x-6.
∵该分式方程有增根，
∴x=2，
∴m=0.
课堂小结
分 式
方程的解
法
注 意
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
步 骤
（去分母法）
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因
分数线有括号的作用）
(3)忘记检验
第五章 分 式
5.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
学习目标
导入新课
问题引入
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
分式方程 整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方
程.通常使用第一种方法.
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
u基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打
折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发
价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
讲授新课
列分式方程解决工程问题一
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，
这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
u表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
1
2
1
3
1
2
1
x
1
2 x
3
2
u等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x天.
解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据
题意得
1
3
1 1 1 1(1 ) 1,
3 2 2x
即
1 1 1 .
2 2 x
方程两边都乘以2x,得
1 2 .x x
解得 x=1.
检验：当x=1时，2x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完
成全部任务，所以乙队的施工速度快.
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作 1
2
设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率
是 ，合作的工作效率是 .
1
x
1
3
1 1( )
3x
此时方程是：
1
1 1( )
3x
1
3
1 1 1 11 ( ) 1
3 2 3 x
表格为“3行
4列”
知识要点
工程问题
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2.通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效
率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲
单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两
个主人公工作总量之和=全部工作总量.
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好
按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现
甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独
做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小
时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根
据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列
方程．
做一做
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小
时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量
和工作时间上考虑相等关系．
例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，
小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发
现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快
10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？
0 180 200
列分式方程解决行程问题二
路程 速度 时间
面包车
小轿车
200
180
x+10
x
10
200
x
x
180
分析：设小轿车的速度为x千米/小时
面包车的时间=小轿车的时间 等量关系：
u列表格如下：
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千
米/小时，依题意得
解得x＝90
经检验，x＝90是原方程的解，
且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100千米/小时，
小轿车的速度为90千米/小时.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
10
200180
xx
做一做
1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了
180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好
在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多
少km/h？
0 180 200 300
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
1 0 0 1 2 0
1 0 0 9 0 x
解得x＝30
经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.
答：小轿车提速为30千米/小时.
2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公
里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里
的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？
0 180 200 S
路程 速度 时间
面包车
小轿车
s-200
s-180
100
100
200s
90
180
x
s90+x
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
90
180
100
200
x
ss
解得x＝ 200
10
s
s
满足题意。是原方程的解，且经检验
200
10
200
10:
s
sx
s
sx
./
200
10 hkm
s
s
答：小轿车的提速为
3.小轿车平均提速vkm/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶skm，
提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车车的平均速度为多少
km/h？
0 S S+50
路程 速度 时间
提速前
提速后
s
s+50
v
v
s
xv
s
50x+v
解：设小轿车提速为x千米/小时， 依题意得
vx
s
v
s
50
50
,0
50
,
svx
vxxsvxvs
为所以，原分式方程的解
时，都是正数，得检验：由
./
50
hkmsv
答：小轿车的提速为
50
50
,
svx
xxvxs
vxx
解得
得方程两边乘以
知识要点
行程问题
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
u列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题
意）；
6.写:答案.
列分式方程解决商业问题三
例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家
去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量
比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3.
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的水价为
元/m3,根据题意，得
3 0 1 5 5 .
11
3
xx
解得
经检验， 是原方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
11
3
x
3 .
2
x
3
2
x
33 11 2( m ).
2 3
元/
例4 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元
购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，
第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购
买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现
高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水
果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得
出答案；
解：(1)设第一次购买的进价为x元，则第二次的进价为1.1x
元，
根据题意得 ，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
1452 120020
1.1x x
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利
或亏损了多少元？
解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实
际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝
－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
当堂练习
1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，
出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，
若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为( )
A
2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，
水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度.
x=－18（不合题意，舍去），
解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得
解得 x=±18.
检验得：x=18.
答：船在静水中的速度为18千米/时.
80 80 1.
2 2x x
方程两边同乘（x-2)(x+2)得
80x+160 －80x+160=x2 －4.
3. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其
余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得：
解得 x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
15 15 2.
3 3x x
4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购
买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根
据题意，列方程得
解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，
x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
课堂小结
分式方程的
应 用
类 型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问
题等
方 法
步 骤 一审二设三找四列五解六验七写
321法
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