资料简介
第2讲 数列求和及综合问题
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、
错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同
时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
真 题 感 悟
1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝
________.
解析 法一 因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1，
所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1，
所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，
所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.
因为数列{an}的前16项和为540，
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①
因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1，
所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，
所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②
由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.
又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，
a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.
法二 同法一得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝448.
当n为奇数时，有an＋2－an＝3n－1，
答案 7
2.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
解析 法一 因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，
所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝－2n－1.
法二 由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，
当n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，
∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，
∴{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，
所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.
答案 －63
3.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
解 (1)设{an}的公比为q(q＞1).
由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.
由题设得a1＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…
＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
4.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.
解 (1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，
即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.
故{an}的公比为－2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得an＝(－2)n－1，
所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n·(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.
考 点 整 合
(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.
3.数列求和
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当
拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数
列和等比数列.
4.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常
利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类
问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等
式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值.
解 (1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*，
所以an＋1＝5Sn＋1＋1，
(2)由(1)知bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前n项和Tn＝n2，
因此{An}是单调递增数列，
探究提高 1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝
an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求
出Sn与n之间的关系，再求an.
2.由Sn求an时，一定注意分n＝1和n≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式
子，若不能，则用分段形式来表示.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若{bn}是递增数列，求实数a的取值范围.
(2)bn＝(1－an)2－a(1－an)＝(n－1)2＋a(n－1)，
∵{bn}是递增数列，
∴bn＋1－bn＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1＞0，
即a＞1－2n恒成立，∴a＞－1.
∴实数a的取值范围是(－1，＋∞).
热点二 数列求和
方法1 分组转化求和
【例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等
式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)，
所以数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)可得，a2n＝2n，2an＝2n.
因为bn＝a2n＋2an－1，所以bn＝2n－1＋2n，
探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的
问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a1及d；(3)“分组求和”关，观察
数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等
差、等比数列的前n项和公式求和.
2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易
忽视数列通项的下标如错得a2n＝n，应注意“＝”左右两边保持一致.
【训练2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，S4＝40.数列{bn}
的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为Tn－2bn＋3＝0，
所以当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0，
两式相减，得bn＝2bn－1(n≥2)，
则数列{bn}为首项为3，公比为2的等比数列，所以bn＝3·2n－1.
当n为奇数时，
法一 n－1(n≥3)为偶数，Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－1)＋1＋(n－1)2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－
1，n＝1时符合上式.
方法2 裂项相消求和
【例3】 (2020·江南六校调研)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.
(1)证明 由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，
当n≥2时，an＝Sn－1＋2，
所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，所以an＋1＝2an(n≥2).
(2)解 由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.
探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的
项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第
几项.
【训练3】 设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②
方法3 错位相减法求和
【例4】 (2020·济南统测)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2，②b2＝2，a3＋a4＝3b3，③S3＝9，
a4＋a5＝8b2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题.
解 选条件①.
(1)∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d>1，
选条件②.
(1)∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d>1，
选条件③.
(1)∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d>1，
探究提高 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}
的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公
比，然后作差求解.
2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地
写出“Sn－qSn”的表达式.
【训练4】 (2020·潍坊模拟)在①b2n＝2bn＋1，②a2＝b1＋b2，③b1，b2，b4成等比数列
这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.
解 因为a1＝1，an＋1＝3an，
所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以an＝3n－1.
选①②时，设数列{bn}的公差为d1.
因为a2＝3，所以b1＋b2＝3(ⅰ).
因为b2n＝2bn＋1，所以当n＝1时，b2＝2b1＋1(ⅱ).
选②③时，设数列{bn}的公差为d2.
因为a2＝3，所以b1＋b2＝3，即2b1＋d2＝3.
因为d2≠0，所以b1＝d2，从而d2＝b1＝1，所以bn＝n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和
为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.
∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1.
∴an＋1＝an＋2，则an＋1－an＝2，
因此数列{an}是公差为2，首项为1的等差数列.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
等比数列{bn}中，设公比为q，∵b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，
∴q＝3.∴bn＝3n－1，
又n∈N*，∴n＝1，或n＝2.
故适合条件Tn≤Sn的所有n的值为1和2.
探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，
其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；
(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.
2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数
列或数列对应函数的单调性处理.
【训练5】 已知数列{an}与{bn}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn(n∈N*)，若{an}是各
项为正数的等比数列，且a1＝2，b3＝b2＋4.
(1)解 由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，①
当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，②
①－②可得an＝2(bn－bn－1)
⇒
a3＝2(b3－b2)＝2×4＝8，
∵a1＝2，an＞0，设{an}的公比为q，
∴a1q2＝8
⇒
q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n(n∈N*).
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