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反比例函数（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【要点梳理】
【高清课堂 反比例函数 知识要点】
要点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反
比例.即 xy k ，或表示为
ky
x
，其中 k是不等于零的常数.
一般地，形如
ky
x
( k为常数， 0k )的函数称为反比例函数，其中 x是自变量， y
是函数，自变量 x的取值范围是不等于 0 的一切实数.
要点诠释：（1）在
ky
x
中，自变量 x是分式
k
x
的分母，当 0x 时，分式
k
x
无意义，
所以自变量 x的取值范围是 ，函数 y的取值范围是 0y .故函
数图象与 x轴、 y轴无交点.
（2）
ky
x
( )可以写成 ( )的形式，自变量 x的指数是
－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3）
ky
x
( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比
例函数的比例系数 k，从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
ky
x
中，只有一个待
定系数 k，因此只需要知道一对 x y、 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k的值，
从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
ky
x
( 0k )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数 k的值；
（4）把求得的 k值代回所设的函数关系式
ky
x
中.
要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、
四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 x轴、 y轴相交，只是无限靠近两坐
标轴.
要点诠释：（1）若点( a b， )在反比例函数
ky
x
的图象上，则点( a b ， )也在此图象
上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 ( k为常数， 0k ) 中，由于 ，所以
两个分支都无限接近但永远不能达到 x轴和 y轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以 O 为中心，在 0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反
数的值，填写 y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量
从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠
近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 k的符号决定的：当 0k 时，两支曲线分别位于第
一、三象限内，当 0k 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图 1，当 0k 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y
值随 x值的增大而减小；
（2）如图 2，当 0k 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， y
值随 x值的增大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情
况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置
和函数的增减性，也可以推断出 k的符号.
要点四：反比例函数 ( )中的比例系数 k的几何意义
过双曲线
x
ky ( 0k ) 上任意一点作 x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面积为 k .
过双曲线
x
ky ( 0k ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形
的面积为
2
k
.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴
的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数的定义
1、下列函数：①y=2x，②y= ，③y=x﹣1，④y= ．其中，是反比例函数的有（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C；
【解析】
解：①y 是 x 正比例函数；
②y 是 x 反比例函数；
③y 是 x 反比例函数；
④y是 x+1的反比例函数．
故选：C．
【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般 ( 0ky k
x
≠ ）转化为 y=kx﹣1
（k≠0）的形式．
类型二、确定反比例函数的解析式
2、（2016春•大庆期末）已知 y与 x成反比例，且当 x=﹣3时，y=4，则当 x=6时，y
的值为 ．
【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答
案．
【答案】﹣2．
【解析】
解：设反比例函数为 y= ，
当 x=﹣3，y=4 时，4= ，解得 k=﹣12．
反比例函数为 y= ．
当 x=6时，y =﹣2，
故答案为：﹣2．
【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
举一反三：
【变式】已知 y与 x成反比，且当 6x 时， 4y ，则当 2x 时， y值为多少？
【答案】
解：设
ky
x
，当 6x 时， 4y ，
所以 4
6
k
，则 k＝－24，
所以有
24y
x
．
当 2x 时，
24 12
2
y
．
类型三、反比例函数的图象和性质
3、在函数
2 1ay
x
（ a为常数）的图象上有三点( 1 1x y， )，( 2 2x y， )，( 3 3x y， )，
且 1 2 30x x x ，则 1 2 3y y y， ， 的大小关系是（ ）．
A． 2 3 1y y y B． 3 2 1y y y C． 1 2 3y y y D． 3 1 2y y y
【答案】D；
【解析】
解：因为
2 21 ( 1) 0k a a ，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限
内， y随 x的增大而增大．因为 1 2x x ，所以 1 2y y ．因为 3 3( , )x y 在第四象限，而
1 1( , )x y ， 2 2( , )x y 在第二象限，所以 3 1y y ．所以 3 1 2y y y ．
【总结升华】已知反比例函数
ky
x
，当 k＞0， x＞0 时， y随 x的增大而减小，需要强
调的是 x＞0；当 k＞0， x＜0 时， y随 x的增大而减小，需要强调的是 x＜0．这里不能
说成当 k＞0， y随 x的增大而减小．例如函数
2y
x
，当 x＝－1 时， y＝－2，当 x＝1
时， y＝2，自变量由－1到 1，函数值 y由－2 到 2，增大了．所以，只能说：当 k＞0时，
在第一象限内， y随 x的增大而减小．
举一反三：
【变式 1】已知
2( 3) my m x 的图象是双曲线，且在第二、四象限，
(1)求m的值．
(2)若点(－2， 1y )、(－1， 2y )、(1， 3y )都在双曲线上，试比较 1y 、 2y 、 3y 的大小．
【答案】
解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且
2 1
3 0
m
m
，∴ 1m .
(2)由(1)得此函数解析式为：
2y
x
．
∵ (－2， 1y )、(－1， 2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 1 20 y y ．
而(1， 3y )在第四象限， 3 0y ．
∴ 3 1 2y y y
【高清课堂 反比例函数 例 5】
【变式 2】对于函数 y= ，下列说法错误的是（ ）
A. 它的图象分布在一、三象限；
B. 它的图象与坐标轴没有交点；
C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D. 当 x＜0时，y的值随 x的增大而增大.
【答案】D；
解：A、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；
B、因为 x、y均不能为 0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；
C、它的图象关于 y=﹣x成轴对称，关于原点成中心对称，正确；
D，当 x＜0时，y的值随 x的增大而减小，
故选：D．
类型四、反比例函数综合
4、已知点 A(0，2)和点 B(0，－2)，点 P 在函数
1y
x
的图象上，如果△PAB 的面积
是 6，求 P点的坐标．
【思路点拨】由已知的点 A、B 的坐标，可求得 AB＝4，再由△PAB 的面积是 6，可知 P
点到 y轴的距离为 3，因此可求 P的横坐标为±3，由于点 P 在
1y
x
的图象上，则由横
坐标为±3可求其纵坐标．
【答案与解析】
解：如图所示，不妨设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ，过 P 作 PC⊥ y轴于点 C．
∵ A(0，2)、B(0，－2)，
∴ AB＝4．
又∵ 0| |PC x 且 6PABS △ ，
∴ 0
1 | | 4 6
2
x ，∴ 0| | 3x ，∴ 0 3x ．
又∵ 0 0( , )P x y 在曲线
1y
x
上，∴ 当 0 3x 时， 0
1
3
y ；当 0 3x 时， 0
1
3
y ．
∴ P 的坐标为 1
13,
3
P
或 2
13,
3
P
．
【总结升华】通过三角形面积建立关于 0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴
的距离等于相应坐标的绝对值．
举一反三：
【变式】已知：如图所示，反比例函数
ky
x
的图象与正比例函数 y mx 的图象交于 A、B，
作 AC⊥ y轴于 C，连 BC，则△ABC 的面积为 3，求反比例函数的解析式．
【答案】
解：由双曲线与正比例函数 y mx 的对称性可知 AO＝OB，
则
1 3
2 2AOC ABCS S △ △ ．
设 A 点坐标为( Ax ， Ay )，而 AC＝| Ax |，OC＝| Ay |，
于是
1 1 1 3| | | |
2 2 2 2AOC A A A AS AC OC x y x y △ ，
∴ 3A Ax y ，
而由 A
A
ky
x
得 A Ax y k ，所以 3k ，
所以反比例函数解析式为
3y
x
．
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