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第2课时二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像.2.掌握形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k二次函数图像的性质,并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的联系.一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中,为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通,修筑于路面以下的排水孔道(过水通道),通过这种结构可以让水从公路的下面流过.从如图所示的直角坐标系中,你能得到函数图像解析式吗?二、合作探究探究点一:二次函数y=a(x-h)2的图像和性质【类型一】y=a(x-h)2的图像与性质的识别已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标是(-2,0),且图像经过点(-4,2),求a,h的值.解:∵抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标为(-2,0),∴h=-2.又∵抛物线y=a(x+2)2经过点(-4,2),∴(-4+2)2·a=2,∴a=.方法总结:抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴是直线x=h.【类型二】二次函数y=a(x-h)2增减性的判断对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是(  )A.y随x的增大而增大B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当x>-1时,y随x的增大而增大D.当x>1时,y随x的增大而增大解析:由于a=9>0,抛物线开口向上,而h=1,所以当x>1时,y随x 的增大而增大.故选D.【类型三】确定y=a(x-h)2与y=ax2的关系能否向左或向右平移函数y=-x2的图像,使得到的新的图像过点(-9,-8)?若能,请求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.解:能,设平移后的函数为y=-(x-h)2,将x=-9,y=-8代入得-8=-(-9-h)2,所以h=-5或h=-13,所以平移后的函数为y=-(x+5)2或y=-(x+13)2.即抛物线的顶点为(-5,0)或(-13,0),所以向左平移5或13个单位.方法总结:根据抛物线平移的规律,向右平移h个单位后,a不变,括号内变“减去h”;若向左平移h个单位,括号内应“加上h”,即“左加右减”.【类型四】y=a(x-h)2的图像与几何图形的综合把函数y=x2的图像向右平移4个单位后,其顶点为C,并与直线y=x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边),求△ABC的面积.解析:利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式,确定C点坐标,再解由得到的二次函数解析式与y=x组成的方程组,确定A、B两点的坐标,最后求△ABC的面积.解:平移后的函数为y=(x-4)2,顶点C的坐标为(4,0),解方程组得或∵点A在点B的左边,∴A(2,2),B(8,8).∴S△ABC=S△OBC-S△OAC=OC×8-OC×2=12.方法总结:两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的.探究点二:二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质【类型一】利用平移确定y=a(x-h)2+k的解析式将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得的抛物线是(  )A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+1C.y=(x+2)2+1D.y=(x+2)2-1解析:由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=x2 向下平移1个单位所得抛物线的解析式为:y=x2-1;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=x2-1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,故选A.【类型二】y=a(x-h)2+k的图像与几何图形的综合如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为________.(用含a的式子表示)解析:如图,∵对称轴为直线x=-2,抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,∴OB=4,∵由抛物线的对称性知AB=AO,∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4.故答案是:a+4.方法总结:二次函数的图像关于对称轴对称,本题利用抛物线的这一性质,将四边形的周长转化到已知的线段上去,在这里注意转化思想的应用.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k图像与性质,体会数学建模的数形结合思想方法. 查看更多

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