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第三章勾股定理一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．下列说法中，不正确的是（ ） A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形 D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形2．如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ） A．4B．8C．16D．64 3．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 4．若三角形中相等的两边长为5cm，第三边长为6cm，那么第三边上的高为（ ） A．2cmB．3cmC．6cmD．4cm 5．已知一个直角三角形的面积为96，并且两直角边的比为3：4，则这个三角形的斜边为（ ） A．10B．20C．5D．15 6．在△ABC中，若a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2（m＞n），则△ABC是（ ） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形 7．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（ ） A．32B．42C．32或42D．以上都不对 19/19
8．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A．7B．7.5C．8D．9 9．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A．4B．8C．10D．12 10．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ） A．10cmB．12cmC．19cmD．20cm 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，把答案填写在题中横线上．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，则c= ；若c=25，b=15，则a= ． 12．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= ． 19/19
13．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为 ． 14．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为 m． 15．一个三角形的三边的比为5：4：3，它的周长为60cm，则它的面积是 cm2． 16．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2= ． 17．一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是 三角形． 18．如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则B、D′两点间的距离为 cm．三、运算题19/19
19．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？ 20．如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°．求四边形ABCD的面积． 21．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？ 22．如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且分别是三个半圆的直径，求阴影部面积（π取3）．19/19
23．有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需多少米？ 19/19
参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，．1．下列说法中，不正确的是（ ） A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形 D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案．解答：解：A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为22.5°，67.5°，90°，所以是直角三角形；B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形；C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形；D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形．故选B．点评：此题考查了利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理来判定直角三角形的方法．解题的关键是对知识熟练运用． 2．如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ） A．4B．8C．16D．64考点：勾股定理．19/19
分析：根据勾股定理的几何意义解答．解答：解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．点评：能够运用勾股定理发现并证明结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论可以迅速解题，节省时间． 3．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：相似三角形的性质．分析：根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．解答：解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题主要考查相似三角形的判定以及性质． 4．若三角形中相等的两边长为5cm，第三边长为6cm，那么第三边上的高为（ ） A．2cmB．3cmC．6cmD．4cm考点：勾股定理．分析：作出图形，过点A作第三边BC上的高AD，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC，再利用勾股定理列式计算即可求出AD．解答：解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，19/19
∴BD=BC=×6=3cm，由勾股定理得，AD===4cm，即第三边上的高为4cm．故选D．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟记定理和性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 5．已知一个直角三角形的面积为96，并且两直角边的比为3：4，则这个三角形的斜边为（ ） A．10B．20C．5D．15考点：勾股定理．分析：根据两直角边的比为3：4，这个直角三角形的面积等于96．可设两直角边的长度分别为3a、4a，那么根据以上两个等量关系可以列出一个关于a的方程，求出a的值，再根据勾股定理求出斜边的长．解答：解：设两直角边的长度分别为3a、4a，则3a•4a÷2=96，解得a2=16，则这个三角形的斜边为=20．故选B．点评：考查了勾股定理，根据三角形面积公式列方程，正确求解方程组是解题关键． 6．在△ABC中，若a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2（m＞n），则△ABC是（ ） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形19/19
考点：勾股定理的逆定理．分析：根据题意可得出a、b、c的表达式，然后分别平方可得出c2=a2+b2，从而利用勾股定理的逆定理即可作出证明．解答：解：∵a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2（m＞n），∴a2=m4﹣2m2n2+n4，b2=4m2n2，c2=m4+2m2n2+n4，∴c2=a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故选D．点评：此题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（ ） A．32B．42C．32或42D．以上都不对考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：作出图形，利用勾股定理列式求出AD、BD，再分CD在△ABC内部和外部两种情况求出AB，然后根据三角形的周长的定义解答即可．解答：解：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD===9，BD===5，如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD﹣BD=9﹣5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，△ABC的周长为32或42．故选C．19/19
点评：本题考查了勾股定理，难点在于分情况讨论求出AB的长，作出图形更形象直观． 8．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A．7B．7.5C．8D．9考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高．解答：解：如图所示：设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故选B．点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，要求同学们熟练掌握勾股定理的表达式． 9．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A．4B．8C．10D．1219/19
考点：勾股定理．分析：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．解答：解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，根据勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故选C．点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 10．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ） A．10cmB．12cmC．19cmD．20cm考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．19/19
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，把答案填写在题中横线上．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，则c= 41 ；若c=25，b=15，则a= 20 ．考点：勾股定理．分析：分清要求的是斜边还是直角边，熟练运用勾股定理即可求解．解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，则c==41；若c=25，b=15，则a==20．故答案为：41；20．点评：此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，掌握勾股定理的形式是关键． 12．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= 7 ．考点：勾股定理．分析：连续运用勾股定理即可解答．解答：解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD=∴OD2=7．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 19/19
13．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为 10 ．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．解答：解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB===10．点评：注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理． 14．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为 480 m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．解答：解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480米．点评：考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单． 15．一个三角形的三边的比为5：4：3，它的周长为60cm，则它的面积是 150 cm2．19/19
考点：勾股定理的逆定理．分析：先根据三角形的三边长的比是3：4：5，它的周长是60cm求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，由三角形的面积公式即可求解．解答：解：∵三角形的三边长的比是5：4：3，它的周长是60cm，∴设此三角形的边长分别是5x，4x，3x，则5x+4x+3x=60，解得x=5cm，∴此三角形的边长分别是25cm，20cm，15cm，∵152+202=625=252，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的面积=×15×20=150cm2．故答案为：150．点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 16．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2= 50 ．考点：勾股定理．分析：根据勾股定理即可解决．解答：解：根据勾股定理可知：AB2=AC2+BC2，∵AB=5，∴AB2=25，∴AB2+AC2+BC2=50．故答案为：50．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 17．一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是 直角 三角形．19/19
考点：勾股定理的逆定理．分析：化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．解答：解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形．故答案为：直角．点评：考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单． 18．如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则B、D′两点间的距离为 13 cm．考点：勾股定理．分析：在本题中，两次运用勾股定理即可解答即可．解答：解：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算底面的对角线的长BD==5cm．再根据勾股定理计算由5，12组成的直角三角形的斜边即B、D′两点间的距离为=13cm．故答案为：13．19/19
点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决． 三、运算题19．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．解答：解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°；根据勾股定理，得BC===12，∴BD=12+2=14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 20．如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°．求四边形ABCD的面积．19/19
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：连接AC，如下图所示：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．点评：本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中． 21．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？19/19
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题．分析：根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．解答：解：∵甲的速度是12海里/时，时间是2小时，∴AC=24海里．∵∠EAC=35°，∠FAB=55°，∴∠CAB=90°．∵BC=40海里，∴AB=32海里．∵乙船也用2小时，∴乙船的速度是16海里/时．点评：此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，比较简单． 22．如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且分别是三个半圆的直径，求阴影部面积（π取3）．考点：勾股定理．分析：根据圆面积公式以及勾股定理进行计算．解答：解：S=π×（）2+π×（）2+π×（）2=25π≈75．答：阴影部分的面积是75．点评：本题考查了勾股定理的应用．注意：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积19/19
23．有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需多少米？考点：平面展开-最短路径问题．分析：把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论．解答：解：如图所示：∵AC=12m，BC=5m，∴AB===13m，答：梯子最短需要13m．点评：本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 19/19
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