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12.4分式方程教学目标【知识与能力】1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.【过程与方法】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.【情感态度价值观】通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.教学重难点【教学重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【教学难点】理解解分式方程时可能无解的原因.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】 小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为xh,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?[设计意图] 先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:
【课件2】 西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x+xx+3=1;猪八戒:2x+2x+3=1;沙和尚:21x+1x+3+x-2x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗?同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.二、新知构建：探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程.〔解析〕 设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千米/时,顺流航行90千米所用的时间为9030+v小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v小时.可列方程9030+v=6030-v.教师提问:刚才我们所接触的方程38-21-x=9×2x,38-29x+2x=1,9030+v=6030-v与以前所学的整式方程有何不同?学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】 如何解分式方程38-21-x=9×2x和38-29x+2x=1呢?在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;
(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识. [过渡语] 通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗?归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程38-21-x=9×2x,38-29x+2x=1有什么特点?学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.(1)x+y=5; (2)x+25=2y-z3; (3)1x; (4)yx+5; (5)1x+2x=5.根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法 [过渡语] 如何解分式方程呢?我们一起回顾几个问题:(1)解一元一次方程时是怎样去分母的?从中能否得到一点启发?(2)有没有办法可以去掉分式方程中的分母?把它转化为整式方程呢?学生自主探索,并尝试选分式方程求解.【课件6】 解方程1+x5+x=12.解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:2(x+1)=5+x,2x+2=5+x,x=3.检验:把x=3代入原方程左边=1+35+3=12,右边=12,左边=右边.所以x=3是原分式方程的解.学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.检验:将v=6代入分式方程中,左边=52,右边=52,左边=右边,因此v=6是原分式方程的解.师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.【拓展延伸】 分式方程与整式方程的定义区分:
特点说明举例整式方程方程里所有的未知数都出现在分子上,分母只是常数而没有未知数有“元”和“次”的说法3x+12=-x是一元一次方程;2x+y=3是二元一次方程分式方程方程里分母中含有未知数x-1x=2,1y+2+1=y探究二:分式方程的增根 [过渡语] 刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程时要验根.那么为什么一定要验根呢?学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解.【课件8】 解分式方程x+1x-1=x-31-x+1.教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x=1.师:x=1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】 解方程:2x+2-2-x2+x=3.解:方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2),解这个整式方程,得x=-3,经检验,x=-3是原分式方程的根.[知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.三、课堂小结：解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;
使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.[设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.
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