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第4章 万有引力定律及航天第1节 天地力的综合:万有引力定律必备知识基础练1.理论和实践证明,开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动,而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用。对于开普勒第三定律的公式a3T2=k,下列说法正确的是( C )A.公式只适用于轨道是椭圆的运动B.式中的k值,对于所有行星(或卫星)都相等C.式中的k值,只与中心天体有关,与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关D.若已知月球与地球之间的距离,根据公式可求出地球与太阳之间的距离解析行星和卫星的轨道可以近似为圆,公式r3T2=k也适用,故选项A错误;比例系数k是一个由中心天体决定而与行星无关的常量,但不是恒量,不同的星系中,k值不同,故选项B错误,C正确;月球绕地球转动的k值与地球绕太阳转动的k值不同,故选项D错误。2.根据万有引力定律,两个质量分别是m1和m2的物体,他们之间的距离为r时,它们之间的万有引力大小为F=Gm1m2r2,式中G是引力常量,若用国际单位制的基本单位表示G的单位应为( C )A.kg·m·s-2B.N·kg2·m-2C.m3·s-2·kg-1D.m2·s-2·kg-2解析国际单位制中质量m、距离r、力F的基本单位分别是:kg、m、kg·m·s-2,根据牛顿的万有引力定律F=Gm1m2r2,得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1,选项C正确。3.2021年11月5日我国成功发射“广目地球科学卫星”。已知卫星的质量为m,地球的质量为M、半径为R,引力常量为G。卫星在距地面高为h的圆轨道上运行时受到地球的引力为( D )A.GMmh2B.GMmR+hC.GMmR2D.GMm(R+h)2
解析根据万有引力定律可知,卫星在距地面高为h的圆轨道上运行时受到地球的引力为F=GMm(R+h)2,故选D。4.太阳系有八大行星,八大行星离太阳的远近不同,绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像正确的是( D )解析由开普勒第三定律知R3T2=k,所以R3=kT2,选项D正确。5.某行星沿椭圆轨道运行,远日点离太阳的距离为a,近日点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为va,则过近日点时的速率为( C )A.vb=bavaB.vb=abvaC.vb=abvaD.vb=bava解析如图所示,A、B分别为远日点和近日点,由开普勒第二定律知,太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等,取足够短的时间Δt,则有va·Δt·a=vb·Δt·b,所以vb=abva。6.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( B )A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160
解析对于月球绕地球公转有Gm地m月(60R)2=m月a月,得a月=Gm地(60R)2;对于地球表面的物体,有Gm地mR2=mg,得g=Gm地R2,上面两式中Gm地为同一定值,如果“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,则gR2=a月(60R)2,得到a月=g602,B正确;地球吸引月球的力与地球吸引苹果的力之比除了与距离的二次方成反比例之外,还与月球与苹果的质量之比有关,A错误;C、D两项需要知道地球与月球的质量之比和半径之比,故C、D错误。7.大麦哲伦云和小麦哲伦云是银河系外离地球最近的星系(在北半球看不见)。大麦哲伦云的质量为太阳质量的1010倍,即2×1040kg,小麦哲伦云的质量为太阳质量的109倍,两者相距4.7×1020m,已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,它们之间的万有引力约为 N。 解析由万有引力公式,F=Gm1m2r2=6.67×10-11×2×1040×2×1039(4.7×1020)2N=1.2×1028N。答案1.2×10288.月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍,运动周期约为27天,应用开普勒定律计算:在赤道平面内离地多高时,人造地球卫星可以随地球一起转动,就像停留在天空不动一样?(R地=6400km)解析设人造地球卫星运行半径为R,周期为T,根据开普勒第三定律有k=R3T2;同理,设月球轨道半径为R',周期为T',则有k=R'3T'2由以上两式可得R3T2=R'3T'2R=3T2T'2R'3=3(127) 2×(60R地)3=6.67R地在赤道平面内离地面高度H=R-R地=6.67R地-R地=5.67R地=5.67×6.4×103km=3.63×104km。答案3.63×104km关键能力提升练
9.2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是( D )解析根据万有引力定律F=Gm地m探(R+h)2可知,探测器所受的地球引力F随h增加而减小,但不是线性关系,因此F-h图像应是一曲线,D正确,A、B、C错误。10.为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( C )A.2∶1B.4∶1C.8∶1D.16∶1解析两个卫星都是绕同一中心天体(地球)做圆周运动,根据开普勒第三定律有R3T2=k,已知RPRQ=41,可得RP3RQ3=TP2TQ2=641,化简可得TP∶TQ=8∶1,选项C正确。11.在讨论地球潮汐成因时,地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍,地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力,以下说法正确的是( D )A.太阳引力远小于月球引力B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析根据F=Gm1m2R2,可得F太F月=m太m月·R月2R太2,代入数据可知,太阳的引力远大于月球的引力,则A、B错误;由于月心到不同区域海水的距离不同,所以引力大小有差异,C错误,D正确。12.物理学领域中具有普适性的一些常量,对物理学的发展有很大作用,引力常量就是其中之一。卡文迪许首次利用如图所示的装置,比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史,下列说法错误的是( B )A.卡文迪许被称为“首个测量地球质量的人”B.万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的C.这个实验装置巧妙地利用放大原理,提高了测量精度D.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小解析卡文迪许通过测出的引力常量进而测出了地球的质量,被称为“首个测量地球质量的人”,A正确;万有引力定律是牛顿发现的,B错误;实验利用了放大的原理,提高了测量的精确程度,C正确;引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小,D正确。13.天文学家观察哈雷彗星的周期为76年,离太阳最近的距离为8.9×1010m,试根据开普勒第三定律计算哈雷彗星离太阳最远的距离。太阳系的开普勒常数k可取3.354×1018m3/s2。解析由开普勒第三定律知a3T2=k,所以a=3kT2=33.354×1018×(76×365×24×3600)2m=2.68×1012m彗星离太阳最远的距离为2a-8.9×1010m=(2×2.68×1012-8.9×1010)m=5.27×1012m。答案5.27×1012m14.如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球,放在相距为d的地方。求两球之间的引力大小。
解析根据匀质球的质量与其半径的关系M=ρ×43πR3∝R3两部分的质量分别为m=ρ×43πR23=M8M'=M-m=7M8根据万有引力定律,这时两球之间的引力为F=GM'md2=7GM264d2。答案7GM264d2
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