资料简介
6.2.1 向量基本定理必备知识基础练1.在四边形OABC中,CB=12OA,若OA=a,OC=b,则AB=( )A.a-12bB.12a-bC.b+12aD.b-12a2.如图,在△ABM中,BM=3CM,AN=27AM,若AN=λAB+μAC,则λ+μ=( )A.-17B.17C.-27D.273.(多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且BC=3EC,F为AE的中点,则( )A.BC=-12AB+ADB.AF=13AB+13ADC.BF=-23AB+13ADD.CF=16AB-23AD4.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n=( )
A.12B.23C.67D.15.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若AF=mAB+nAD,则mn= . 6.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点.若AP=mAB+16AC,则实数m的值为 . 7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1= ,λ2= . 8.已知△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示向量OC,DC;
(2)若向量OC与OA+kDC共线,求k的值.关键能力提升练9.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=( )A.22B.-22C.±22D.810.(多选题)如图①,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O,且三组对边分别平行,A,B是“六芒星”(如图②)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界).若OP=xOA+yOB,则x+y的取值可能是( )A.-6B.1C.5D.911.在平面四边形ABCD中,已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得AC=1x-4AB+1-1yAD成立,则2x+y的最小值为( )A.1B.2C.3D.412.如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若AM=xAB,AN=yAC,试问:1x+1y是否为定值?学科素养创新练13.如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.
参考答案1.D 由CB=OB-OC=12OA,可得OB=OC+12OA=b+12a,所以AB=OB-OA=b+12a-a=b-12a,故选D.2.D AN=27AM=27(AB+BM)=27AB+27BM=27AB+27×32BC=27AB+37(BA+AC)=-17AB+37AC,所以λ=-17,μ=37,λ+μ=-17+37=27.故选D.3.ABC ∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,∴BC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12AB+AD,A正确;∵BC=3EC,∴BE=23BC=-13AB+23AD,∴AE=AB+BE=AB+-13AB+23AD=23AB+23AD,又F为AE的中点,∴AF=12AE=13AB+13AD,B正确;BF=BA+AF=-AB+13AB+13AD=-23AB+13AD,C正确;CF=CB+BF=BF-BC=-23AB+13AD--12AB+AD=-16AB-23AD,D错误.4.C 由题意可得AP=2QP,QB=2QR.∵AB=a=AQ+QB=12AP+2QR,①AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+12AP-QR=32AP-QR=b,②∴由①②解方程求得AP=27a+47b.
又AP=ma+nb,∴m=27,n=47,m+n=67.5.23 AF=AD+DF=AD+12DE=AD+12(DC+CE)=AD+12AB+12CB=AD+12AB-12AD=12AB+34AD.∵AF=mAB+nAD,∴m=12,n=34,∴mn=23.6.13 设BP=λBD,∵AD=13DC,∴AD=14AC,∴AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+14λAC.∵AP=mAB+16AC,∴1-λ=m,14λ=16,解得λ=23,m=13.7.-16 23 由题意知,D为AB的中点,BE=23BC,∴AE-AB=23(AC-AB),∴AE=13AB+23AC,∴DE=AE-12AB=13AB+23AC-12AB=-16AB+23AC,∴λ1=-16,λ2=23.8.解(1)∵A为BC的中点,∴OA=12(OB+OC),∴OC=2OA-OB=2a-b,∴DC=OC-OD=OC-23OB=2a-53b.(2)由(1)得OA+kDC=(2k+1)a-53kb.∵OC与OA+kDC共线,设OC=λ(OA+kDC),
即2a-b=λ(2k+1)a+-53λkb,根据平面向量基本定理,得2=λ(2k+1),-1=-53λk,解得k=34.9.C ∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量,∴8=-kλ,-k=λ,解得k=±22,故选C.10.BC 如右图所示,设OA=a,OB=b,求x+y的最大值,只需考虑下图中以O为起点,6个顶点为终点向量即可,讨论如下:①∵OA=a,∴(x,y)=(1,0).②∵OB=b,∴(x,y)=(0,1).③∵OC=OA+AC=a+2b,∴(x,y)=(1,2).④∵OD=OC+CD=OC+BC=2OC-OB=2a+3b,∴(x,y)=(2,3).⑤∵OE=OA+AE=a+b,∴(x,y)=(1,1).⑥∵OF=OA+AF=a+3b,∴(x,y)=(1,3).∴x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5,故x+y的取值范围是[-5,5],观察选项,选项B,C均符合题意.11.A 如图,设AC与BD交于点M,由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍,可得BM=2MD,所以AM=AB+BM=AB+23BD=AB+23(AD-AB)=13AB+23AD,
又A,M,C三点共线,即AM,AC共线,所以存在实数k使得AC=kAM.因为AC=1x-4AB+1-1yAD,所以1x-4=13k,1-1y=23k,消去k,可得2x+1y=9,又因为x>0,y>0,所以2x+y=19·(2x+y)2x+1y=195+2yx+2xy≥195+22yx×2xy=1,当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时等号成立.所以2x+y的最小值为1.故选A.12.解设AB=a,AC=b,则AM=xa,AN=yb,AG=12AD=14(AB+AC)=14(a+b).所以MG=AG-AM=14(a+b)-xa=14-xa+14b,MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb.因为MG与MN共线,且a,b不共线,所以有14-xy=14(-x),即14x+14y=xy,得1x+1y=4,所以1x+1y为定值.
13.证明设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.因为AR与AC共线,所以存在实数n,使得r=n(a+b),n∈R.因为ER与EB共线,所以存在实数m,使得ER=mEB,m∈R.而EB=AB-AE=a-12b,则ER=ma-12b.因为AR=AE+ER,所以n(a+b)=12b+ma-12b,即(n-m)a+n+m-12b=0.因为向量a,b不共线,于是有n-m=0,n+m-12=0,解得m=n=13,所以AR=13AC.同理AT=23AC.所以AR=RT=TC,故AR=RT=TC.
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