资料简介
*10.3 复数的三角形式及其运算A级必备知识基础练1.12(cos30°+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°)=( )A.322+322iB.322-322iC.-322+322iD.-322-322i2.cosπ2+isinπ2×3cosπ6+isinπ6=( )A.32+332iB.32-332iC.-32+332iD.-32-332i3.4(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isinπ3=( )A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i4.2÷[2(cos60°+isin60°)]=( )A.12+32iB.12-32iC.32+12iD.32-12i5.9(cos3π+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)]=( )A.3B.-3C.3iD.-3i6.复数z=(sin25°+icos25°)3的三角形式是( )A.cos195°+isin195°
B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15°D.cos75°+isin75°7.复数z=(cos40°+isin40°)6的结果是( )A.12+32iB.12-32iC.-12+32iD.-12-32i8.2(cos15°+isin15°)×532+12i= . 9.已知复数z=cosπ15+isinπ15是关于x的方程x5-α=0的一个根,那么α的值等于 . 10.2(cos210°+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)= . 11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.B级关键能力提升练12.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于( )A.3B.-33C.-1D.113.复数1-cosθ-isinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是( )A.2sinθ2cosθ+π2+isinθ+π2B.2sinθ2cosπ-θ2+isinπ-θ2C.2sinθ2cosθ-π2+isinθ-π2D.2cosθ2cosπ-θ2+isinπ-θ2
14.把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM且模相等,已知z2=-1-3i,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是( )A.-2+2i,3π4B.-2-2i,3π4C.-2+2i,π4D.-2-2i,π415.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),则(-1+3i)10=( )A.1024-10243iB.-1024+10243iC.512-5123iD.-512+5123i16.设复数z=cos23π+isin23π,则11-z+11-z2=( )A.0B.1C.12D.3217.设32+x2i2020=f(x)+ig(x),其中f(x),g(x)均为实系数多项式,则f(x)的系数之和是( )A.-32B.1C.-12D.1218.6÷[3(cos135°+isin135°)]= . 19.已知复数z=cos2π3+isin2π3,则z3+z2z2+z+2= . 20.复数z=16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是 . 21.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且argz2∈(0,π),求z2的代数形式.C级学科素养创新练
22.已知复数z=32-12i,ω=22+22i,复数zω,z2ω3在复平面上所对应的点分别为P,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).参考答案1.C 12(cos30°+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°)=12×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]=3(cos135°+isin135°)=3-22+22i=-322+322i.故选C.2.C cosπ2+isinπ2×3cosπ6+isinπ6=3cosπ2+π6+isinπ2+π6=3cos2π3+isin2π3=-32+332i.故选C.3.C 4(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isinπ3=2cosπ-π3+isinπ-π3=2cos2π3+isin2π3=-1+3i.故选C.4.B 2÷2[(cos60°+isin60°)]=2(cos0°+isin0°)÷[2(cos60°+isin60°)]
=cos(0°-60°)+isin(0°-60°)=cos(-60°)+isin(-60°)=12-32i.故选B.5.B 9(cos3π+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)]=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cosπ+isinπ)=-3.故选B.6.A z=(sin25°+icos25°)3=(cos65°+isin65°)3=cos195°+isin195°.故选A.7.D z=(cos40°+isin40°)6=cos240°+isin240°=-12-32i.故选D.8.52+52i 2(cos15°+isin15°)×532+12i=2(cos15°+isin15°)×5(cos30°+isin30°)=10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]=10(cos45°+isin45°)=1022+22i=52+52i.9.12+32i 因为复数z=cosπ15+isinπ15是方程x5-α=0的一个根,所以α=z5=cosπ15+isinπ155=cosπ3+isinπ3=12+32i.10.53-5i 2(cos210°+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)=10(cos210°+isin210°)×(cos120°+isin120°)
=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]=10(cos330°+isin330°)=1032-12i=53-5i.11.解所得向量对应的复数为(-2+2i)×(cos75°+isin75°)=22(cos135°+isin135°)×(cos75°+isin75°)=22[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=22(cos210°+isin210°)=22-32-12i=-6-2i.12.D 复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,所以tanα=12,tanβ=13,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1.故选D.13.C 1-cosθ-isinθ=2sin2θ2-2isinθ2cosθ2=2sinθ2sinθ2-icosθ2=2sinθ2cosπ-θ2-isinπ-θ2=2sinθ2cosπ-θ2+isin-π-θ2=2sinθ2cosθ-π2+isinθ-π2.故选C.14.A 由复数乘法的几何意义得,z1cosπ4+isinπ4=z2cos5π3+isin5π3.又z2=-1-3i=2cos4π3+isin4π3,∴z1=2cos4π3+isin4π3cos5π3+isin5π3cosπ4+isinπ4
=2cos3π-π4+isin3π-π4=-2+2i,z1的辐角主值为3π4.故选A.15.D 根据复数乘方公式zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),得(-1+3i)10=210cos10×2π3+isin10×2π3=1024cos20π3+isin20π3=1024-12+32i=-512+5123i.故选D.16.B17.C 因为32+x2i2020=f(x)+ig(x),取x=1,所以cosπ6+isinπ62020=f(1)+ig(1),所以cos2π3+isin2π3=f(1)+ig(1)=-12+32i.则f(1)=-12,故选C.18.-22-22i 6÷3[(cos135°+isin135°)]=6(cos0°+isin0°)÷[3(cos135°+isin135°)]=2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]=4[cos(-135°)+isin(-135°)]=-22-22i.19.12-32i 根据题意,有z3+z2z2+z+2=1+z2=-z=12-32i.20.2(cos10°+isin10°),2(cos100°+isin100°),2(cos190°+isin190°),2(cos280°+isin280°)z=16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是
416cos40°+k·360°4+isin40°+k·360°4(k=0,1,2,3),当k=0时,结果为2(cos10°+isin10°);当k=1时,结果为2(cos100°+isin100°);当k=2时,结果为2(cos190°+isin190°);当k=3时,结果为2(cos280°+isin280°).21.解因为z1=2cosπ6+isinπ6,设z2=2(cosα+isinα),α∈(0,π),所以z1z22=8cos2α+π6+isin2α+π6.由题设知2α+π6=2kπ+3π2(k∈Z),所以α=kπ+2π3(k∈Z).又α∈(0,π),所以α=2π3.所以z2=2cos2π3+isin2π3=-1+3i.22.证明z=32-12i=cos-π6+isin-π6,ω=22+22i=cosπ4+isinπ4,∴zω=cos-π6+π4+isin-π6+π4=cosπ12+isinπ12,∴zω=cos-π12+isin-π12.又z2ω3=cos-π3+isin-π3cos3π4+isin3π4=cos5π12+isin5π12,因此OP,OQ的夹角为5π12--π12=π2,∴OP⊥OQ.又|OP|=|zw|=1,|OQ|=|z2w3|=1,
∴|OP|=|OQ|,∴△OPQ为等腰直角三角形.
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