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人教B版数学高中必修第四册课件第十一章本章总结

2022-11-22
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第十一章本章总结内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升网络构建归纳整合专题突破素养提升专题一共点、共线、共面问题【例1】如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.证明(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF∥GH,且EF≠GH.所以EG与FH必相交.设交点为M.而EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上. 专题二空间中的平行关系【例2】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由. 解当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图,连接BD和AC交于点O,连接FO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD,∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC,∴平面AFC∥平面PMD. 专题三空间中的垂直关系【例3】如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求证:BC1⊥AB1. 证明(1)设BC的中点为M,连接B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又AC⊂平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB. (2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1,∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1. 专题四空间角的计算【例4】如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.(1)证明由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又二面角B-AO-C是直二面角,∴CO⊥BO.∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.∵CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB. (2)解作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角. 专题五逻辑推理的核心素养【例5】如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF. 证明因为AB为☉O的直径,C为☉O上一点,所以BC⊥AC.因为DA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以DA⊥BC.又DA∩AC=A,所以BC⊥平面DAC.因为AF⊂平面DAC,则BC⊥AF.又AF⊥DC,DC∩BC=C,所以AF⊥平面BCD.因为BD⊂平面BCD,所以AF⊥BD.又因为AE⊥BD,AE∩AF=A,所以BD⊥平面AEF. 专题六函数与方程思想【例6】如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0 查看更多

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