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第十一章11.4.2平面与平面垂直
课标要求1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1二面角1.二面角的概念一般地,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个.从一条直线出发的两个所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的,这两个半平面称为二面角的.半平面半平面棱面
2.平面角(1)概念:在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.(2)范围:[0,π].(3)规定:二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为.3.一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,的角的大小.直二面角不大于90°
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角.()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()×××√
2.二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
知识点2两个平面垂直及其判定定理、性质定理定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面,记作α⊥β.定理判定定理性质定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的,则这两个平面互相垂直如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面图形语言符号语言如果l⊂α,l⊥β,则α⊥β如果α⊥β,α∩β=m,AO⊂α,AO⊥m,则AO⊥β互相垂直一条垂线垂直于它们交线的直线
名师点睛对判定定理的理解:此定理不仅是判定两个平面互相垂直的理论依据,还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据,该定理实现了线面垂直和面面垂直之间的转化,可以简单记为“线面垂直得面面垂直”.应用时可先固定一个平面,再在另一个平面内找到一条直线与第一个平面垂直即可.对性质定理的理解:此定理实现了面面垂直和线面垂直之间的转化,可以简单记为“面面垂直得线面垂直”,该定理也给出了过一点引一个平面垂线的方法.两个平面垂直的性质还有:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.
过关自诊1.过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直?2.两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的?提示无数个.提示两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内.
3.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有()A.1对B.2对C.3对D.4对
答案C解析∵AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又BC⊥CD,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∵CD⊂平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD,共3对.
重难探究•能力素养全提升
探究点一求二面角的大小【例1】如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数.解(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意知∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.设AB=a,则PA=AB=BC=a,
所以∠BEO=60°,即∠BED=120°.所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.
规律方法作二面角的平面角的方法(方法一定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
(方法二垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
(方法三垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
变式训练1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定(2)已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.(1)答案C解析可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.
(2)解如图所示,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD.设OC=a,∵AO⊥α,BC⊂α,∴AO⊥BC.又AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD,∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO⊥α,OB⊂α,OC⊂α,知AO⊥OB,AO⊥OC.又∠ABO=30°,∠ACO=45°,
探究点二面面垂直的判定【例2】如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形.令SA=SB=SC=AB=AC=a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
(方法二)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.∵△SBC为直角三角形,∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,∴AD⊥平面SBC.又AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.
规律方法证明面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1.因为BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
探究点三面面垂直的性质【例3】如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明;(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.解(1)BC⊥平面PAC.证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.
(2)平面PBC⊥平面PAC.证明:因为BC⊥平面PAC,且BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.
变式训练3如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B均是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点
答案D解析因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点,故选D.
探究点四探索型问题【例4】在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并求解;若不能,请说明理由.解当点E位于线段BB1中点时,截面A1EC⊥侧面AA1C1C.如图,作EM⊥A1C于点M,因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,所以EM⊥平面AA1C1C.取AC的中点N,连接BN,MN.因为AB=BC,所以BN⊥AC.
而AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,所以BN⊥平面AA1C1C.所以BN∥EM,BN⊥MN.又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,所以BE∥MN∥A1A.所以四边形BEMN为平行四边形.因为AN=NC,所以A1M=MC.所以BE=MN=A1A,即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.
规律方法1.垂直关系的相互转化2.探究型问题的两种解题方法(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.
变式探究如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0
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