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第九章9.2正弦定理与余弦定理的应用
课标要求1.利用正弦定理、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部或顶部不可到达的物体高度测量的问题.3.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1测量中的基本术语名称定义图示基线在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线—仰角在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫做仰角
名称定义图示俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫做俯角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角叫做方向角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角)
名称定义图示方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角叫做方位角视角观察物体的两端视线张开的角度,叫做视角在点A处观察一物体的视角为50°
名称定义图示坡角坡面与水平面的夹角.如图中的角α坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比.如图中的
过关自诊1.若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的()A.东偏北45°50'方向上B.北偏东45°50'方向上C.南偏西44°50'方向上D.西偏南45°50'方向上答案C解析如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'的方向上.故选C.
2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为()A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案B解析根据题意和仰角、俯角的概念,得α=β,故选B.
3.已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.提示如图所示:
4.请分别作出北偏东30°,南偏东45°的方向角.提示如图所示:
知识点2解三角形应用题1.解题思路
2.基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下:①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
3.主要类型
名师点睛1.解三角形应用问题常见的几种情况解三角形应用题经抽象概括为解三角形问题时,常有以下几种情况:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可直接用正弦定理或余弦定理求解;(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形时,可先解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列方程(组),通过解方程(组)得出所求的解.
2.求解模型的解时应该注意的问题在求模型的解时,为避免误差的积累,尽可能用原始数据,少用间接求出的量,要根据求解问题对精确度的要求合理地选择近似值,要注意实际问题中是否有一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等,以优化解题过程,如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形应用题的实质,就是把已知量按方程思想进行处理.解题时,应根据已知量和未知量,选择一个比较容易解的方程.
过关自诊1.高度问题的处理方法是什么?提示①测量底部不可到达的建筑物的高度时,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.②在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如下图.
2.角度问题的处理方法是什么?提示测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是最关键、最重要的一步.
3.如图,某船开始航行时,灯塔在该船北偏东30°方向,后来该船沿北偏东60°的方向航行60海里,此时灯塔在该船正西方向,则此时船与灯塔的距离是()
答案D
重难探究•能力素养全提升
探究点一测量高度问题【例1】如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD.
解在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β.
规律方法求高度(距离)问题应注意的两点(1)根据题意,如果没有图形,先画出示意图,然后选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都有可能,则选择更便于计算的定理.当题目中出现互补(余)的角时,注意补角(余角)之间的关系.
变式训练1在飞机上,某一时刻测得地面上两建筑物的俯角分别为45°和30°,这一时刻飞机对两建筑物的视角为45°.若两建筑物之间的距离为2km,则飞机的飞行高度为.答案2km解析设两建筑物为A,B,这一时刻飞机所在位置为P,其在地面上的投影为D,则由题意知,∠PAD=30°,∠PBD=45°,∠APB=45°,设飞机飞行高度为h,由余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB,所以8=4h2+2h2-4h2=2h2,所以h=2km.
探究点二测量角度问题【例2】如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30°且与甲船相距10nmile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?(参考数据:sin41°≈)
解如图所示,连接CB.在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos120°.又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°.作CM⊥BA,交BA的延长线于点M,则∠BCM=30°+∠ACB≈71°.所以乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援.
规律方法测量角度问题的解决策略解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤.
变式训练2缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向,距小岛A12nmile的B处,发现隐藏在小岛A边上的一走私船正开始向小岛A北偏西10°方向行驶,测得其速度为每小时10nmile,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数据:sin38°≈0.62)解如右图所示,AC所在射线即走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截获走私船,巡逻艇的速度为每小时xnmile,则BC=2x,AC=20nmile.依题意∠BAC=180°-50°-10°=120°,
而如图所示的Rt△ADB中,∠ABD=40°.所以∠EBC=90°-38°-40°=12°.即巡逻艇需用每小时14nmile的速度向北偏东12°的方向航行.
探究点三正弦定理、余弦定理在力学中的应用【例3】如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一个重力为12N的灯,OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大小.
规律方法解答力学问题的解决策略解答与力学有关的三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平衡的关系,准确进行受力分解.
变式训练3作用在小车A上的两个水平力F1,F2,|F1|=40N,|F2|=20N,夹角为60°,小车的摩擦力大小为20N,则小车在力的作用下能否保持静止?解如图所示.在▱ABCD中,由题意AB=20N,AD=BC=40N,∠ABC=120°,在△ABC中,由余弦定理,得
素养培优探究距离测量问题【角度一】两点不相通的距离【典例1】如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法是先选定适当的位置C,测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB=.若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,试计算AB的长.
解在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000.所以AB=200m.即A,B两点间的距离为200m.
【角度二】两点间可视但有一点不可到达【典例2】如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在点A的同侧,且点B不可到达,要测出A,B两点间的距离,其方法是在点A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为.
解析∠ABC=180°-75°-45°=60°,
【角度三】两点都不可到达【典例3】如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B两点间的距离,其测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,应用余弦定理计算出AB.若测得CD=km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A,B两点间的距离.
解因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,所以∠DAC=60°,
学以致用•随堂检测全达标
答案B解析设A处与C处之间的距离为x千米,由余弦定理可得
2.雕塑是大学校园不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,则像体AD的高度约为()(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)A.4.0米B.4.2米C.4.3米D.4.4米
答案B解析在Rt△BCD中,∠DBC=45°,所以BC=CD=2.3米.在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,A=90°-∠ABC.
3.一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向,经过40分钟后,测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向,则灯塔和轮船原来的距离是海里.解析如图所示,M为灯塔,C为轮船,∠MBC=180°-75°-30°=75°,
4.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船正以anmile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是anmile/h,则甲船应沿着方向前进,才能最快与乙船相遇.答案北偏东30°因为0°
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