资料简介
第十一章11.2平面的基本事实与推论
课标要求1.理解平面的三个基本事实与三个推论,会运用三种语言表示事实和推论.2.能进行文字语言、图形语言、符号语言之间的互相转化.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1点、线、面之间的位置关系及表示文字语言图形语言符号语言点A在直线l上A∈l点A不在直线l上A∉l点A在平面α内A∈α点A不在平面α内A∉α
文字语言图形语言符号语言直线l在平面α内l⊂α直线l不在平面α内l⊄α直线l和直线m相交于点Al∩m=A平面α与平面β相交于直线aα∩β=a
过关自诊1.“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗?2.若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α?提示不对,直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交.提示根据直线在平面内定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
3.如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,Bα,Eα,Cα,Dα.(2)α∩β=.(3)A∈β,Bβ,Cβ,Dβ,Eβ,Fβ.(4)ABα,ABβ,CDα,CDβ,BFα,BFβ.答案(1)∈∈∉∉(2)AB(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄
知识点2平面的基本事实基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面,即不共线的3点确定一个平面若A,B,C三点不共线,则有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内如果A∈α,B∈α,那么直线AB⊂α
基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,这条直线通常称为两个平面的交线如果A∈α,A∈β,则α∩β=a且A∈a
名师点睛1.基本事实1中,“有且只有一个”有两层含义,“有”表示存在,“只有一个”表示唯一,故“有且只有一个”表示存在并且唯一.本事实的作用:①确定平面;②证明点、线共面.2.基本事实2中,阐述了两个观点:一是整条线在平面内;二是直线上所有点在平面内.本事实的作用:可判断直线是否在平面内,点是否在平面内,也可用直线来检验平面.3.基本事实3中,此事实中强调的是两个不重合的平面,只要它们有公共点,其交集就是一条直线,若无特别说明,提到的两个平面,都指不重合的两个平面.
过关自诊1.经过空间中的三点,能作出几个平面?2.两个平面的交线可能是一条线段吗?提示当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过这三点作出唯一的一个平面.提示不可能.由基本事实3知,两个平面若相交,则它们的交线是一条直线.
3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N答案A解析因为M∈a,N∈b,a⊂α,b⊂α,所以M∈α,N∈α,根据基本事实2可知l⊂α.故选A.
4.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有()A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上答案D解析利用基本事实3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.
知识点3平面基本事实的推论推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线与______一点,有且只有一个平面,即直线与直线外一点确定一个平面点C∉直线AB⇒存在唯一的平面α,使C∈α,直线AB⊂α推论2经过两条直线,有且只有一个平面直线AB∩直线AC=A⇒存在唯一的平面α,使直线AB⊂α,且直线AC⊂α直线外相交
推论文字语言图形语言符号语言推论3经过两条直线,有且只有一个平面l∥m⇒存在唯一的平面α,使l⊂α且m⊂α平行
过关自诊1.经过空间任意两条直线能确定一个平面吗?2.三条直线两两相交,可确定个平面.提示不一定.只有经过空间两条相交或平行的直线才能确定一个平面.答案一或三解析当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时可确定一个平面.
重难探究•能力素养全提升
探究点一文字、图形、符号三种语言的转化【例1】用符号语言和文字语言分别表示下面的图形.解符号语言:l⊂α,m∩α=M,M∉l.文字语言:直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点M,点M不在直线l上.
变式训练1用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩m=P,b∩m=P.解用文字语言表示为:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示(画法不唯一).
探究点二证明多线共面问题【例2】求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么这四条直线共面.证明如图所示,因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,设为α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l⊂α.因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
变式训练2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于A,B两点.求证:三条直线PA,PB,l共面.证明如图所示,∵PA∩PB=P,∴过PA,PB确定一个平面α.∴A∈α,B∈α.∵A∈l,B∈l,∴l⊂α.∴PA,PB,l共面.
探究点三证明多点共线问题【例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.证明∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P,Q,R三点共线.
规律方法证明点线共面的常用方法(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2.(2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用基本事实1证明这几个平面重合.
变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M.求证:C1,O,M三点共线.
证明由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,而O∈A1C,∴O∈平面ACC1A1.又A1C∩平面BC1D=O,∴O∈平面BC1D.∴O点在平面BC1D与平面ACC1A1的交线上.又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面ACC1A1.又C1∈平面BC1D且C1∈平面ACC1A1,∴平面ACC1A1∩平面BC1D=C1M,∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线.
探究点四证明三线共点问题【例4】如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF,GH,BD交于一点.
证明如图可知,平面ABD∩平面BCD=BD.所以FH∥GE且GH,EF交于点O.因为GH⊂平面ABD,O∈GH,所以O∈平面ABD.因为EF⊂平面BCD,O∈EF,所以O∈平面BCD.所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.
规律方法证明三线共点的常用方法先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.
变式探究例4中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H四点是否共面并证明.
探究点五交线问题【例5】如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及直线AC;(2)过三点E,F,D1.
解(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.
规律方法1.画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助于基本事实2和基本事实3.2.还要注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线.(2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.
素养培优分类讨论思想的应用【典例】三个平面将空间分成几部分?请作出图形.分析平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入,分类解决.解(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时,将空间分成4部分,如图①所示.图①
(2)当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α∥β,γ与α,β相交)时,将空间分成6部分,如图②所示.图②(3)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合时,将空间分成6部分,如图③所示.图③
(4)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线共点,但互不重合时,将空间分成8部分,如图④所示.图④(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交,且三条交线平行时,将空间分成7部分,如图⑤所示.图⑤
学以致用•随堂检测全达标
1.下列说法错误的是()A.平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面C.经过两条相交直线,有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合答案A解析对于A,平面与平面相交成一条直线,因此它们有无数个公共点,A错误;对于B,直线和直线外一点确定一个平面,B正确;对于C,两条相交直线确定一个平面,C正确;对于D,不共线的三点确定一个平面,D正确.
2.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定个平面.(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定个平面.答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列叙述正确的是.(填序号)①直线AC1⊂平面CC1B1B;②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1;③点A,O,C只能确定一个平面;④由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;⑤由点A,C1,B1确定的平面和由点A,C1,D确定的平面是同一平面.②④⑤
4.判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)一点和一条直线确定一个平面;(2)经过一点的两条直线确定一个平面;(3)两两相交的三条直线确定一个平面;(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内.解(1)不正确.如果点在直线上,这时有无数个平面;(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,有唯一一个平面.(3)不正确.三条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,可以确定1个或3个平面.(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第四点不一定在此平面内,因此,这四条线段不一定在同一平面内.
本课结束
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