资料简介
第一章1.1.2集合的基本关系
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.2.能使用维恩图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.
基础落实•必备知识全过关
知识点1维恩图如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.对维恩图的理解(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显
过关自诊集合能用直观图形来表示吗?提示能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.
知识点2子集、真子集、集合相等的概念
名师点睛1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A⊈B或B⊉A.(3)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况.(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
过关自诊1.用适当的符号填空(⫋,=,⊈).(1){0,1}N;(2){2}{x|x2=x};(3){2,1}{x|x2-3x+2=0}.⫋⊈=2.下列写法哪些是正确的?①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}.提示只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.
知识点3子集、真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任意一个集合A的子集,⌀⊆A;(2)任何集合A是它自身的子集,即A⊆A;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得A⊆C;(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得A⫋C.
名师点睛1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有∈Q,∉Q等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.(3){0}与⌀的区别:{0}是含有一个元素的集合,⌀是不含任何元素的集合.因此,有⌀⊆{0},不能写成⌀={0},⌀∈{0}.
2.有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:①集合A的子集的个数为2n;②集合A的真子集的个数为2n-1;③集合A的非空子集的个数为2n-1;④集合A的非空真子集的个数为2n-2.如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
关自诊1.若{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则集合A的个数是()A.8B.7C.4D.3答案A解析(方法一)列举法:满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.(方法二)计数法:因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有元素1,2(可不考虑),可能含有元素3,4,5,故集合A的个数即集合{3,4,5}的子集个数,即23=8(个).
2.⌀与{⌀}的关系如何?提示⌀⫋{⌀}与⌀∈{⌀}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把⌀看成集合{⌀}中的元素来考虑.
重难探究•能力素养全提升
探究点一集合的子集、真子集问题【例1】已知集合A={x|1≤x4},则集合A与B是什么关系?答案A⊈B,且B⊈A.
答案A⫋B规律方法将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
A.A=B⊆CB.A⊆B=CC.A⊆B⊆CD.B⊆C⊆A
答案B当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,所以A⊆B=C.
探究点二确定集合的子集、真子集【例3】(1)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=.若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=.(2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出集合A的所有子集.
答案(1){-1,0}{-1,0}因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(2)解因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
规律方法1.求集合子集、真子集的步骤2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练2(1)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有个.(2)设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由两个元素组成的子集数为T,则的值为.
解析(1)根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个.(2)含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由两个元素组成的子集
探究点三两个集合相等及其应用【例4】已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.分析A=B→列方程组→解方程组求x,y
规律方法1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.
{1,a,0}={0,a2,a}.所以a2=1,a=±1.当a=1时,不满足集合元素的互异性,所以a=-1.所以a2021+b2020=(-1)2021+0=-1.
探究点四由集合间的关系求参数的范围【例5】已知集合A={x|-5
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