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第二章2.1.3方程组的解集
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.会根据等式的性质求方程组的解集.2.会利用消元法解方程组的解集.
基础落实•必备知识全过关
知识点1二元一次方程组的解集1.方程组的解集一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.2.二元一次方程组方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
名师点睛二元一次方程组的解法(1)代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.(2)加减消元法:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
过关自诊1.求下列方程组的解集.解(1)由②得y=4-2x,③把③代入①,得3x+4(4-2x)=6,解这个方程,得x=2,把x=2代入③,得y=0,所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,0)}.(2)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解这个一元一次方程,得x=2,把x=2代入①,得y=1,所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,1)}.
2.解二元一次方程组的基本思路是什么?提示解二元一次方程组的基本思路是消元,把“二元”变为“一元”.
知识点2三元一次方程组和二元二次方程组1.三元一次方程组方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.名师点睛三元一次方程组的解法(1)解三元一次方程组时,先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点,然后确定先要消去的未知数,再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元,达到消元的目的.(2)三元一次不定方程组的解法当“三元一次方程组”只含有两个方程时,我们将其中一个未知数看成已知数,此时,方程组即二元一次方程组,利用消元思想即可求解.
2.二元二次方程组二元二次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程.二元二次方程组:方程组中含有两个未知数,含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组.(1)二元二次方程组有两种类型:一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成;二是由两个二元二次方程组成,我们主要学习第一种类型.(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次
过关自诊
2.解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些?提示解三元一次方程组的基本思想是消元,其方法有代入消元法和加减消元法两种,通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.解三元一次方程组时要特别注意:①三元一次方程组的解法多种多样,只要逐步消元,解出每一个未知数即可;②解三元一次方程组时,每一个方程都至少要用到一次,否则解出的结果也不正确.
重难探究•能力素养全提升
探究点一二元一次方程组的解集及其应用分析方程组整理后,利用加减消元法求解即可.①-②得4y=28,即y=7.把y=7代入①得x=5.则方程组的解集为{(5,7)}.
规律方法二元一次方程组的求解策略解二元一次方程组,通常利用消元的思想,消元的方法有:代入消元法和加减消元法.
变式训练1求下列方程组的解集:
②×2-①,得x=1.将x=1代入②,得y=-3.所以原方程组的解集为{(1,-3)}.①+②,得30x=60,解得x=2.将x=2代入①,得y=3.所以原方程组的解集为{(2,3)}.
探究点二二元二次方程组的解集分析根据解二元二次方程组的步骤求解即可.解由方程①,得(x+y)(x-y)=-3,③由方程②,得x+y=-1,④联立③④,得x-y=3,⑤联立④⑤,得x=1,y=-2.所以原方程组的解集为{(1,-2)}.
规律方法二元二次方程组的解法解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程求解.
探究点三三元一次方程组的解集【例3】求下列方程组的解集:分析(1)方程2x-y=7是二元一次方程,可以将另外两个方程结合起来消去z,再和2x-y=7联立求解即可;或将y用含x的代数式表示出来,再分别代入前两个方程,消去y,解方程组,进而得到原方程组的解集.(2)由x∶y=3∶2,y∶z=2∶5,得x∶y∶z=3∶2∶5,引入参数k,用含k的式子分别表示x,y,z,再代入③中,求出k的值,或将x与z用含y的式子表示出来,代入③,进而求出原方程组的解集.
解(1)(方法一)①×2+②,得5x+8y=7,④把x=3,y=-1代入①,得3+3×(-1)+2z=2,所以z=1.所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}.
(方法二)由③,得y=2x-7,④把④代入①,整理得7x+2z=23,⑤把④代入②,整理得7x-4z=17,⑥所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}.
(2)(方法一)由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5.设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0),并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2.所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10.所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}.把y=4分别代入④和⑤,得x=6,z=10.所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}.
规律方法(1)解三元一次方程组时若能根据题目的特点,灵活地进行消元,则可准确、快速地求解.消去一个未知数把“三元”转化为“二元”的方法:①先消去某个方程缺少的未知数;②先消去系数最简单的未知数;③先消去系数成整数倍的未知数;④注意整体加减或代入的应用.(2)解特殊的三元一次方程组的技巧:解特殊的三元一次方程组时,应具体问题具体分析,观察方程组的特点及未知数系数之间的关系,灵活消元.对于一些特殊的方程组,有特殊的解法,例如:若一个方程组由两个方程构成,其中一个方程是x∶y∶z=a∶b∶c(a,b,c为常数,且都不为0),另一个方程是关于x,y,z的三元一次方程,解这种方程组时,可引入k(k≠0),用含k的式子表示x,y,z,再代入三元一次方程中,化“三元”为“一元”,求出k的值,进而可求出x,y,z的值.
变式训练3求下列方程组的解集:
解(1)①+③,得3x+5y=11,④③×2+②,得3x+3y=9,即x+y=3.⑤把x=2,y=1代入③,得2+2-z=5,所以z=-1.所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(2,1,-1)}.
(2)(方法一)①+②+③,得2x+2y+2z=8,即x+y+z=4,④④-①,得z=3.④-②,得x=-1.④-③,得y=2.所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(-1,2,3)}.
(方法二)②-①,得z-x=4,④把x=-1代入①,得-1+y=1,所以y=2.所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(-1,2,3)}.
探究点四方程组的解集实际应用【例4】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载:“今有雏兔同笼,上有二十五头,下有七十六足,问雏兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有25个头;从下面数,有76条腿,问笼中各有几只鸡和兔?分析设笼中有x只鸡,y只兔,根据“上有二十五头,下有七十六足”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
解设笼中有x只鸡,y只兔,∴原方程组的解集为{(12,13)}.答:笼中有12只鸡,13只兔.规律方法二元一次方程组的实际应用本题考查了二元一次方程组的应用,解答此类问题的关键是读懂题意,合理设出未知数,找出等量关系,列方程组求解.
变式训练4某天,一蔬菜经营户用90元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共50kg,然后在市场上按零售价出售,西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示:如果西红柿和豆角全部以零售价售出,他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱?品名西红柿豆角批发价(单位:元/kg)2.01.5零售价(单位:元/kg)2.92.6
解设购进西红柿xkg,购进豆角ykg,∴(2.9-2)x+(2.6-1.5)y=49.答:他当天卖这些西红柿和豆角赚了49元钱.
学以致用•随堂检测全达标
当堂检测1.若|2m-n-7|+(m+n+1)2=0,则m-2n的值是()A.8B.-4C.4D.-8答案A解析由|2m-n-7|+(m+n+1)2=0,可得两式相加得3m-6=0,解得m=2.将m=2代入m+n+1=0,则2+n+1=0,解得n=-3,因此,m-2n=2-2×(-3)=8.故选A.
2.小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元;小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元,则买2本数学书和1本语文书要花()A.25元B.30元C.35元D.45元答案C解析设1本数学书的价格为x元,1本语文书的价格为y元,即买2本数学书和1本语文书要花35元.
答案1∶2∶3
4.关于x,y的方程3kx+2y=6k-3,对于任何k的值都有相同的解,则方程的解集为.
解由方程②,得y=1-x.③把方程③代入方程①,得x2+(1-x)2=1.整理,得x2-x=0.解得x1=0,x2=1.把x=0代入方程③,得y=1;把x=1代入方程③,得y=0.所以方程组的解集为{(0,1),(1,0)}.
本课结束
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