资料简介
第2章特殊三角形2.8直角三角形全等的判定
情境引入学习目标1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”，理解角平分线性质定理的逆定理.（难点）2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）3.掌握角平分线性质定理的逆定理并应用其解题.（难点）
SSSSASASAAAS旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法新课引入
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？新课引入
ABCA′B′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？口答：新课引入
动脑想一想如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF新课引入
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”）新课讲解1
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC作图探究新课讲解
画图思路（1）先画∠MC′N=90°ABCMC′N新课讲解
（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′新课讲解画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC′ABCNB′A′新课讲解画图思路
（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？新课讲解画图思路
知识要点“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,新课讲解
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（）（3）一个锐角和斜边对应相等.（）（4）两直角边对应相等.（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）HL×SASAASAAS判一判新课讲解
典例精析例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.AB=BA,AC=BD，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.新课讲解
变式1：如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS新课讲解
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.变式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC新课讲解
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.变式3HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC新课讲解
例2如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.新课讲解
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．新课讲解
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF.∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°.新课讲解
角平分线性质定理的逆定理PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB,∴PD=PE.几何语言：猜想:思考：这个结论正确吗？新课讲解2
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，∴点P在∠AOB的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的对应角相等）.OP=OP，PD=PE，BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP证明猜想新课讲解
性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结新课讲解
典例精析例4：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.新课讲解
1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN随堂即练
DA2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1B．2C．3D．4随堂即练
5.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，CE=BD,BC=CB.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.全等HL随堂即练
AFCEDB5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.随堂即练
如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG变式训练1AB=CD,AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF随堂即练
如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?变式训练2CAB=CD,AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF随堂即练
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm.能力拓展随堂即练
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm.故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．随堂即练
直角三角形全等的判定内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等前提条件在直角三角形中课堂总结角平分线性质定理的逆定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
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