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第三章 3.4 基本不等式：≤第二课时 利用基本不等式求最值课时分层训练1．已知f(x)＝x＋－2(x＜1)，则f(x)有( )A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－3D．最小值为－3解析：选C ∵x＜1，∴x－1＜0，∴f(x)＝－－1≤－2－1＝－3，∴f(x)有最大值－3.故选C.2．函数y＝3x2＋的最小值是( )A．3－3B．－3C．6D．6－3解析：选D y＝3＝3x2＋1＋－1≥3(2－1)＝6－3，当且仅当x2＋1＝时等号成立．3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )A．3B．4C.D．解析：选B 依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y
的最小值是4.故选B.4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )A.B．2C．2D．4解析：选C 因为＋＝，所以a>0，b>0，由＝＋≥2＝2，得ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.故选C.5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值是( )A. B．4C. D．5解析：选C ∵a＋b＝2，∴1＝，4＝2(a＋b)．∴＋＝＋＝＋＋＋2＝＋＋≥＋2＝.故选C.6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为．解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.答案：47．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是．解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或t≥3，故xy的最小值为18.当且仅当2x＝y
＝6时等号成立．答案：188．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为．解析：x＋≥a恒成立⇔min≥a，∵x>1，即x－1>0，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．∴a≤3，即a的最大值为3.答案：39．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．解：x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，∴(＋)2＝18，又∵a＋b＝10，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.10．已知x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0.(1)当x，y分别为何值时，xy取得最小值？(2)当x，y分别为何值时，x＋y取得最小值？解：(1)∵x>0，y>0，且x＋8y－xy＝0，∴xy＝x＋8y≥4，当且仅当x＝8y，即x＝16，y＝2时取等号，∴xy≥32.∴xy的最小值为32.(2)∵x＋8y－xy＝0，∴＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝9＋＋≥9＋4，当且仅当＝，即y＝1＋2，x＝8＋2时取等号．因此x＋y的最小值为9＋4.1．y＝(－6≤a≤3)的最大值为( )A．9 B．C．3 D．解析：选B 解法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．解法二：＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．故选B.2．已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )A.B．C.D．3解析：选D 由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．故选D.3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )A．16B．25C．9D．36解析：选B 因为(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2
＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.4．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值为( )A．2B．2C．4D．2解析：选C 由lg2x＋lg8y＝lg2，得2x·8y＝2，即2x＋3y＝21，∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．故选C.5．设a>0，b>0，若3是3a和3b的等比中项，则＋的最小值为．解析：因为3a·3b＝9，所以a＋b＝2，所以＋＝(a＋b)＝1＋≥1＋×2＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时“＝”成立．答案：26．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的值为．解析：∵a>0，∴(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.答案：47．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是．解析：x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．答案：8．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5m的简易房，房的前后墙用2.5m高的彩色钢板，两侧墙用2.5m高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5m．用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢板每米单价为200元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费200元，每套房的材料费控制在32000元以内．(1)设房前面墙的长为x(m)，两侧墙的长为y(m)，建造一套房所需材料费为P(元)，试用x，y表示P；(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？解：(1)依题意，P＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，即P＝900x＋400y＋200xy.(2)∵S＝xy，∴P＝900x＋400y＋200xy≥2＋200S＝200S＋1200，又因为P≤32000，所以200S＋1200≤32000，解得0
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