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第二章 2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念及通项公式课时分层训练1．如果数列{an}是等比数列，那么( )A．数列{a}是等比数列 B．数列{2}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列解析：选A 利用等比数列的定义验证即可．2．(2019·信阳调研)已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝( )A.B．C.D．2解析：选B 因为{an}是等比数列，所以a5a7＝a＝4a，所以a6＝2a4，q2＝＝2，又q>0，所以q＝，a1＝＝.故选B.3．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )A．4B．5C．6D．7解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.故选D.4．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )A．0B．1或－2C．－1或2D．－1或－2解析：选C 设等比数列的公比为q，由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵
a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.故选C.5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于( )A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5>a2，所以a20，从而a1>0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.故选A.6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝.解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝.解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，所以an＝4×n－1.答案：4×n－18．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1，则an＝.解析：∵Sn＝2an－1，①∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，②①－②得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.∵S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1，∴数列{an}为首项是1，公比是2的等比数列，故an＝2n－1.答案：2n－1
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，∴＝.∴{an}是等比数列．10．已知：a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．解：由题意知b2＝×＝6，∴b＝±.当b＝时，ab＝2，解得a＝.bc＝2＝10，解得c＝7.同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.1．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于( )A．1B．2C．－2D．－1解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3
成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.故选B.2．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于( )A．32B．34C．66D．64解析：选C 依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.3．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝( )A．44B．45C.×(46－1)D．×(45－1)解析：选B 由an＋1＝3Sn，得a2＝3S1＝3.当n≥2时，an＝3Sn－1，则an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，则数列{an}从第二项起构成等比数列，所以S6＝＝＝45.故选B.4．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝( )A．－1B．1C.D．－2解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.故选B.5．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝.解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8.答案：－86．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是．解析：由an＝2Sn－3得，an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，即＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3×(－1)n－1.答案：an＝3×(－1)n－17．已知a,1，b成等差数列，a2,1，b2成等比数列，则＝.解析：∵a,1，b成等差数列，∴a＋b＝2.又∵a2,1，b2成等比数列，∴a2b2＝1，∴ab＝±1，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4±2，∴＝1或＝.答案：1或8．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*且n≥2)．(1)求a2，a3，并证明：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)∵a1＝－1，an＝3an－1－2n＋3，∴a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：
∵＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，∴an＝n－2×3n－1.
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