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第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与简单表示法课时分层训练1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；②数列的项数一定是无限的；③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．其中正确的是( )A．① B．①②C．③④D．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：选A an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.3．数列{an}：－，3，－3，9，…的一个通项公式是( )A．an＝(－1)n(n∈N*)B．an＝(－1)n(n∈N*)C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)解析：选B 把前四项统一形式为－，，－，
，可知它的一个通项公式为an＝(－1)n.故选B.4．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为( )A.B．－C.D．－解析：选D 易知，数列的通项公式为(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5×＝－.故选D.5．一个无穷数列的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( )A．an＝nB．an＝n3－6n2＋12n－6C．an＝n2－n＋1D．an＝解析：选C 根据题意，依次分析选项：对于A.若an＝n，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B.若an＝n3－6n2＋12n－6，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C.an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D.an＝，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选C.6．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第项．解析：令＝－3，即－＝－3，∴n＝9.答案：97．323是数列{n(n＋2)}的第项．解析：由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．∴323是数列{n(n＋2)}中的第17项．答案：178．已知数列{an}：2，－6,12，－20,30，－42，…
，写出该数列的一个通项公式为．解析：根据题意，数列{an}：2，－6,12，－20,30，－42，…，则a1＝(－1)2×1×2＝2，a2＝(－1)3×2×3＝－6，a3＝(－1)4×3×4＝12，…，归纳可得，an＝(－1)n＋1×n(n＋1)．答案：an＝(－1)n＋1×n(n＋1)9．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)1，2，3，4，…；(4)1,11,111,1111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式为an＝n2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．10．已知数列{an}的通项公式是an＝.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．解：(1)由通项公式an＝可得
a4＝＝，a7＝＝.(2)令＝，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故是该数列中的项，并且是第3项；令＝，得n2＝，所以n＝±，由于±都不是正整数，因此不是数列中的项．1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：选A an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．故选A.2．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于( )A.B．C.D．解析：选B an·an＋1·an＋2＝··＝.故选B.3．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )A.B．5
C．6D．解析：选B a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.故选B.4．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为( )A．3n－1B．3nC．3n＋1D．3(n＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；…，可以发现，第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根)．故选C.5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第项．解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，∴an＝.由＝2⇒3n－1＝20⇒n＝7，∴2是该数列的第7项．答案：76．已知数列{an}的前四项为11,102,1003,10004，…，则它的一个通项公式为．解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n7．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝.
解析：＝，1＝＝，＝，＝，可知：通项公式an是一个分数，分子为2n＋1，分母是n2＋1，∴这个数列的一个通项公式是an＝.答案：8．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1－an＝，试写出该数列的前4项，并归纳出它的通项公式．解：由a1＝，an＋1－an＝，得a2＝a1＋＝＋＝，a3＝a2＋＝＋＝，a4＝a3＋＝＋＝，归纳出通项公式为an＝.
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