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第二章 2.5 等比数列的前n项和 第二课时 数列求和(习题课)课时分层训练1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n解析：选C 由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C.2．数列{(－1)n·n}的前2012项的和S2012为( )A．－2012B．－1006C．2012D．1006解析：选D S2012＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2008－2009＋2010－2011＋2012＝(2－1)＋(4－3)＋(6－5)＋…＋(2010－2009)＋(2012－2011)＝＝1006.故选D.3．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为( )A．13B．－76C．46D．76解析：选B ∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.S22＝(－4)×11＝－44.S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.故选B.4．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )A．2100－101B．299－101C．2100－99D．299－99
解析：选A 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.故选A.5．(2019·皖西七校联考)在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和Sn＝，则n＝( )A．3B．4C．5D．6解析：选D 由an＝＝1－得，Sn＝n－＝n－，则Sn＝＝n－，将各选项中的值代入验证得n＝6.故选D.6．数列1，，，…的前n项和Sn＝.解析：由于数列的通项an＝＝＝2，∴Sn＝2＝2＝.答案：7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝.解析：∵＝3，故q≠1，∴×＝1＋q3＝3，即q3＝2.所以＝×＝＝.
答案：8．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2016项的和等于．解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2016项的和等于S2016＝1008×＝1512.答案：15129．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求＋＋…＋.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意有解得或(舍去)．故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)∵Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝＝－.10．(2018·河南八市质检)已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，得解得所以an＝2n.(2)因为bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，所以Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－，故Tn＝－＝－.1．(2019·长沙模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )A．15B．12C．－12D．－15解析：选A ∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.故选A.2．数列{n·2n}的前n项和等于( )A．n·2n－2n＋2B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2nD．n·2n＋1－2n＋1解析：选B ∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)
＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2.故选B.3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6等于( )A．282B．147C．45D．70解析：选B ∵an＝2n＋n，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋＝2n＋1－2＋，∴S6＝27－2＋＝147.故选B.4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝ ( )A.B．C．1D．解析：选B ∵函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，∴a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B.5．(2019·河北五个一名校联盟一诊)已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2018项和为( )A．1008B．1009C．2017D．2018解析：选D 由题意得，解得∴an＝2n－1，设bn＝cosnπ，则b1＋b2＝a1cosπ＋a2cos2π＝2，b3＋b4＝a3cos3π＋a4cos4π＝2，…∴数列{ancosnπ}的前2018项和为Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2017＋b
2018)＝2×＝2018.故选D.6．(2018·江西等八校联考)若{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前2018项和为．解析：∵anbn＝1，且an＝n2＋3n＋2，∴bn＝＝＝－，∴{bn}的前2018项和为－＋－＋－＋…＋－＝－＝＝.答案：7．已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)∵＋＋＋…＋＝n2＋n，∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，两式相减得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)．又∵当n＝1时，＝1＋1，∴a1＝4，满足an＝n·2n＋1.∴an＝n·2n＋1.(2)∵bn＝＝n(－2)n，∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n，－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1，∴两式相减得3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1
＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－，∴Sn＝－.8．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，∴∴d＝2，q＝2.∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.(2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)，∴cn＝∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋.
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