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第二章 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质课时分层训练1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )A．－1 B．1 C．3 D．7解析：选B ∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.故选B.2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝( )A．5B．6C．7D．8解析：选D 在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3；又a2＋a4＋a6＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a3＋a4＝8.故选D.3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )A．120B．105C．90D．75解析：选B ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16.∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故选B.4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4B．6C．8D．10解析：选C 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.故选C.5．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )A．0B．1C．2D．1或2解析：选D ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.解析：由等差数列的性质可知，a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6，所以a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：747．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写个大字．解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1＝4，a3＝12，所以d＝＝4.答案：48．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝.解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列
是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.答案：n29．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解：∵a1＋a7＝2a4，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.∴当d＝2时，a1＝－1，an＝2n－3，当d＝－2时，a1＝11，an＝13－2n.10．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123…？…60距离s(cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬行多远？它爬行49cm需要多长时间？解：(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1min＝60s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．当s＝49cm时，t＝＝＝5(s)．1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.故选D.2．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则( )A．d0C．a1d0解析：选C ∵数列{2}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d4)，则＝－，解得a＝10，三边长分别为6,10,14.
所以S△ABC＝×6×10×＝15.答案：156．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为．解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，则解得或∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.答案：－217．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n＋1列的数是．解析：由题中数表知，第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，设为{an}，则a1＝n，d＝2n－n＝n，所以an＋1＝n＋n·n＝n2＋n，即第n行第n＋1列的数是n2＋n.答案：n2＋n8．数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．解：∵b1＋b2＋b3＝＋＋＝，b1b2b3＝＝，∴a1＋a2＋a3＝3.∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由＋＋＝，得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
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